2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：圓的相關(guān)計(jì)算與證明專(zhuān)項(xiàng)練習(xí)

圓的相關(guān)計(jì)算與證明專(zhuān)項(xiàng)練習(xí)

類(lèi)型1圓與銳角三角函數(shù)的綜合

我們知道，三角函數(shù)問(wèn)題一定要在直角三角形中求解.在圓中，若沒(méi)有現(xiàn)成的直角三角形，則需合理構(gòu)造直角三角形，

或把角轉(zhuǎn)化到直角三角形中解答.

一般有兩個(gè)策略：①利用圓的有關(guān)性質(zhì)構(gòu)造直角三角形；②用圓周角的性質(zhì)把角轉(zhuǎn)化到直角三角形中.

1.（2022河北）如圖，某水渠的橫斷面是以AB為直徑的半圓O,其中水面截線(xiàn)MN〃AB.嘉琪在A(yíng)處測(cè)得垂直站立于

B處的爸爸頭頂C的仰角為14。,點(diǎn)M的俯角為7。.已知爸爸的身高為1.7m.

⑴求/C的大小及AB的長(zhǎng)

⑵請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出線(xiàn)段DH,用其長(zhǎng)度表示最大水深（不說(shuō)理由），并求最大水深約為多少米（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）.

（參考數(shù)據(jù)：（tan76。取4,g取4.1）

2.（2022四川成都）如圖，在RtAABC^,AACB=90。,,以肥為直徑作OO,交AB邊于點(diǎn)D在加上取一點(diǎn)E,使

BE=前，連接DE,作射線(xiàn)CE交AB邊于點(diǎn)F.

⑴求證：ZX=^ACF;

類(lèi)型2圓基本性質(zhì)的證明與計(jì)算

3.（2022浙江杭州）如圖，以點(diǎn)O為圓心，AB為直徑的圓形紙片，點(diǎn)C在OO上,將該圓形紙片沿直線(xiàn)CO對(duì)折，點(diǎn)B

落在OO上的點(diǎn)D處（不與點(diǎn)A重合），連接CB,CD,AD設(shè)CD與直徑AB交于點(diǎn)E.若.AD=ED,則ZB=度；瞿

的值等于.

4.（2022福建）如圖.AABC內(nèi)接于。O,AD〃BC交。O于點(diǎn)D,DF〃AB交BC于點(diǎn)E,交0O于點(diǎn)F,連接AF,CF.

⑴求證:AC=AF;

⑵若。O的半徑為3,NCAF=30。,求近的長(zhǎng)（結(jié)果保留兀）.

5.（2022湖北武漢）如圖，以AB為直徑的。O經(jīng)過(guò)AABC的頂點(diǎn)C,AE,BE分別平分/BAC和NABC,AE的延長(zhǎng)線(xiàn)交

OO于點(diǎn)D,連接BD.

⑴判斷ABDE的形狀，并證明你的結(jié)論；

（2）若.AB=10,BE=2同,求BC的長(zhǎng).

D

6.(2022浙江寧波)如圖1,?0為銳角掃碼觀(guān)看三角形ABC的外接圓，點(diǎn)D在船上,AD交BC于點(diǎn)E,點(diǎn)F在

AE上，滿(mǎn)足/AFB--/BFD=NACB,FG〃AC交BC于點(diǎn)G,BE=FG,連接BD,DG.設(shè)NACB=a.

⑴用含a的代數(shù)式表示/BFD;

⑵求證:ABDE&ZkFDG;

(3)如圖2,AD為。O的直徑.

①當(dāng)油的長(zhǎng)為2時(shí)，求前1的長(zhǎng)；

②當(dāng)OF:OE=4:11時(shí)，求cosa的值.

圖1圖2

類(lèi)型3與圓的切線(xiàn)有關(guān)的證明與計(jì)算

⑴角平分線(xiàn)+等腰得平行：如圖①，點(diǎn)C在以AB為直徑的圓O上若AH±CH且AC平分NHAB,則可證明OC

〃AH得/OCH=90。,則CH為圓O的切線(xiàn).

⑵證明和已知直角相等如圖②，點(diǎn)C在以AB為直徑的圓O上，若PA為切線(xiàn),PA=PC,則可證得APCOg△P40得

出APCO=^PAO=90。,廁PC是圓O的切線(xiàn).

⑶利用弦切角定理如圖③，若/BAC=NADC廁可證明N04B=Z.ECA=90。,，則AB是圓O的切線(xiàn).

7.(2022安徽)已知AB為。O的直徑,C為。O上一點(diǎn)，D為BA的延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，連接CD.

⑴如圖1,若CO1AB,^D=30°,OA=1,求AD的長(zhǎng);

⑵如圖2,若DC與。0相切,E為0A上一點(diǎn)，且^ACD=N2CE,求證:(CE1AB.

8.(1)在。。中,/AOB是說(shuō)所對(duì)的圓心角，/C是油所對(duì)的圓周角，我們?cè)跀?shù)學(xué)課上探索兩者之間的關(guān)系時(shí)，要

根據(jù)圓心O與NC的位置關(guān)系進(jìn)行分類(lèi).圖1是其中一種情況，請(qǐng)你在圖2和圖3中畫(huà)出其他兩種情況的圖形，

并從三種位置關(guān)系中任選一種情況證明ZC=jzXOB;

⑵如圖4,若。O的半徑為2,PA,PB分別與。O相切于點(diǎn)A,B,NC=60。,,求PA的長(zhǎng).

9.（2022江蘇蘇州）如圖,AB是。O的直徑,AC是弦,D是油的中點(diǎn),CD與AB交于點(diǎn)E.F是AB延長(zhǎng)線(xiàn)上的一點(diǎn)，

S.CF=EF.

（1）求證:CF為。O的切線(xiàn)；

⑵連接BD,取BD的中點(diǎn)G,連接AG.g（CF=4,BF=2,求AG的長(zhǎng).

10.（2022山東濰坊）如圖1,筒車(chē)是我國(guó)古代利用水力驅(qū)動(dòng)的灌溉工具，車(chē)輪縛以竹筒，旋轉(zhuǎn)時(shí)低則舀水，高則瀉水.

如圖2,水力驅(qū)動(dòng)筒車(chē)按逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)，竹筒把水引至A處，水沿射線(xiàn)AD方向?yàn)a至水渠DE,水渠DE所在

直線(xiàn)與水面PQ平行.設(shè)筒車(chē)為。0,。0與PQ交于P,Q兩點(diǎn)，與直線(xiàn)DE交于B,C兩點(diǎn)，恰有AD2=BD-CD,^

接AB.AC.

圖2

⑴求證:AD為。O的切線(xiàn);

(2)筒車(chē)的半徑為3m,AC=BC,NC=30。.當(dāng)水面上升A,O,Q三點(diǎn)恰好共線(xiàn)時(shí)求筒車(chē)在水面下的最大深度(精確到0.1m,

參考值：V2?1.4,V3?1.7).

11.(2022遼寧盤(pán)錦)如圖,四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)A,點(diǎn)B在。O上，邊DA的延長(zhǎng)線(xiàn)交。O于點(diǎn)E,對(duì)角線(xiàn)DB的

延長(zhǎng)線(xiàn)交。O于點(diǎn)F,連接EF并延長(zhǎng)至點(diǎn)G，使乙FBG=^FAB.

(1)求證:BG與OO相切;

⑵若。。的半徑為1,求AF的長(zhǎng).

'0

C

G

12.(2022四川樂(lè)山)如圖線(xiàn)段AC為0O的直