概率論與統(tǒng)計全冊配套完整課件3

概率論與統(tǒng)計全冊配套完整課件3

第一章

隨機事件及其概率

自然界和社會生活中的現(xiàn)象大體上可分為兩類：一類可事前預知，如：“太陽從東方升起”、“在一個大氣壓下，水在100℃時沸騰”等一定會發(fā)生；“同性電荷相吸引”、“太陽從西方升起”等一定不會發(fā)生。這類現(xiàn)象是確定性現(xiàn)象，也叫必然現(xiàn)象。

另一類事前不可預知，如：“拋一枚硬幣的結(jié)果”、“某地區(qū)年降雨量的多少”、“打靶時，彈著點與靶心的距離”等。這類現(xiàn)象是偶然性現(xiàn)象，也叫隨機現(xiàn)象。隨機現(xiàn)象的特點：在一定條件下，可能出現(xiàn)這樣的結(jié)果，也可能出現(xiàn)那樣的結(jié)果，而在試驗之前不能預知確切的結(jié)果．人們經(jīng)過長期實踐并深入研究之后，發(fā)現(xiàn)這類現(xiàn)象在大量重復試驗下，它的結(jié)果又呈現(xiàn)出某種規(guī)律性——統(tǒng)計規(guī)律性．例如，在相同條件下拋同一枚硬幣，其結(jié)果可能是正面朝上，也可能是反面朝上，并且在每次拋擲之前無法肯定拋擲的結(jié)果是什么。但是，如多次重復拋一枚硬幣得到正面朝上大致有一半。概率論與數(shù)理統(tǒng)計是研究隨機現(xiàn)象規(guī)律性的數(shù)學學科，是科技工作者所必須具備的一種工具，也是現(xiàn)代經(jīng)濟理論的應用與研究的重要工具。§1.1樣本空間和隨機事件

一、隨機試驗為了研究隨機現(xiàn)象，就要對客觀事物進行觀察．觀察的過程稱為試驗．下面舉一些試驗的例子．E1：拋一枚硬幣，觀察正面H、反面T出現(xiàn)的情況．E2：拋兩枚硬幣，觀察正面H、反面T出現(xiàn)的情況．E3：拋兩枚硬幣，觀察“正面H朝上”的硬幣個數(shù).．E4：擲一顆骰子，觀察出現(xiàn)的點數(shù)．E5：記錄電話交換臺一分鐘內(nèi)收到的呼喚次數(shù)．E6:

盒中有標號為1到10的相同小球，任取一個觀察標號.E7:某射手向槍靶射擊一發(fā)子彈，觀察其中靶的環(huán)數(shù).上述對隨機現(xiàn)象進行的試驗或觀測具有以下特點：（1）可以在相同條件下重復地進行；（2）每次試驗的可能結(jié)果不止一個，但能事先明確所有可能結(jié)果，且每次試驗僅有其中一個結(jié)果出現(xiàn)；（3）每次試驗進行之前，不能斷言哪個結(jié)果會出現(xiàn)．在概率論中，將具有上述三個特點的試驗稱為隨機試驗，簡稱試驗，常用字母E來表示．我們進行隨機試驗的目的是要對試驗的各種結(jié)果出現(xiàn)的可能性進行分析，從而找出隨機現(xiàn)象的規(guī)律．二、樣本空間隨機試驗的所有可能出現(xiàn)的結(jié)果所構(gòu)成的集合稱為的樣本空間，通常記為Ω．樣本空間的元素，即的每個結(jié)果，稱為樣本點．下面是前面試驗的樣本空間：

Ω1：{H,T}．Ω2

：{HH,HT,TH,TT}．Ω3：{0,1,2}．Ω4：{1,2,3,4,5,6}．

Ω5：{0,1,2,…}.Ω6:{1,2,3,4,5,…,10}Ω7：{0,1,2,3,4,5,…,10}注意：樣本空間的元素由試驗的目的確定．如試驗E2和E3同是拋兩枚硬幣，由于試驗目的不一樣，樣本空間也不一樣．三、隨機事件在進行隨機試驗時，人們往往關(guān)心的是滿足某種條件的一些樣本點所組成的集合．例如，在E4中，令A表示“出現(xiàn)的點數(shù)為偶數(shù)”，則A是Ω4＝{1,2,3,4,5,6}的子集，它由樣本點{2,4,6}構(gòu)成，記作A＝{2,4,6}．一般地，稱試驗的樣本空間Ω的子集為隨機事件，簡稱事件，通常用大寫字母A、B、C、…表示事件．在一次試驗中，若某事件中至少有一個樣本點出現(xiàn)了，則稱事件發(fā)生了．稱試驗中必定發(fā)生的事件為必然事件，不可能發(fā)生的事件為不可能事件．在每次試驗中，樣本空間Ω中必定有一個樣本點會出現(xiàn)，因此又把樣本空間稱為必然事件．空集

是樣本空間Ω的一個特殊的子集，也可作為一個事件．但由于空集不含樣本空間Ω中的任何元素，在每次試驗中

都不會發(fā)生，因此又稱之為不可能事件．把必然事件和不可能事件看作隨機事件，是為了事件運算方便．由樣本空間的單個元素構(gòu)成的子集，即樣本點，又稱為基本事件．

四、事件間的關(guān)系和運算

樣本空間和事件都是集合，因此事件間的關(guān)系和運算實際上是集合間的關(guān)系和運算．設樣本空間為Ω，A、B、C和Ak（k＝1,2,3…）為Ω的子集．1、事件的包含和相等在一次試驗中，若A發(fā)生必然導致B發(fā)生，則稱B包含A。記為如在E4中，A表示“出現(xiàn)的點數(shù)為偶數(shù)”，B表示“出現(xiàn)的點數(shù)大于1”．即A={2,4,6}，B={2,3,4,5,6}，則實際上，A

是B

的子集。2、事件的和（相當于并集）在一次試驗中，“事件A與B至少有一個發(fā)生”是一個事件，稱為事件A與B的和，記作A∪B，或者A＋B．“n個事件A1、A2、…、An中至少有一個發(fā)生”稱為這n個事件的和。記作“可列個事件A1、A2、…中至少有一個發(fā)生”稱為這可列個事件的和。記作如，在E4中，令A表示擲一顆骰子“出現(xiàn)偶數(shù)點”，C表示“出現(xiàn)的點數(shù)不大于1”，

Ak表示“出現(xiàn)k點”（k＝1,2,…,6）那么A＝{2,4,6}，C＝{1}，A∪C＝{1,2,4,6}，又如，在E5中，令Ak表示“一分鐘內(nèi)收到k次呼喚”，k＝0、1、2、…，A表示“呼喚次數(shù)大于100次”，B表示“呼喚次數(shù)小于150次”．那么

3、事件的積（相當于交集）在一次試驗中，“事件A與B同時發(fā)生”是一個事件，稱為事件A與B的積，記作A∩B或者AB．表示“n個事件A1，A2，…An同時發(fā)生”．表示“可列個事件A1，A2，…An,…同時發(fā)生”．

A∩B表示“一分鐘內(nèi)呼喚次數(shù)大于100次且小于150次”，即有A∩B

E4中，A＝{2,4,6}，B＝{2,3,4,5,6}，C＝{1}，則A∩B表示“出現(xiàn)的點數(shù)為大于1的偶數(shù)”．由于A是B的子集，所以A∩B=A．而A∩C表示“出現(xiàn)的點數(shù)為不大于1的偶數(shù)”，這是不可能發(fā)生的，故A∩C＝

。4、互不相容的事件若A∩B＝

，則稱事件A與B為互不相容．互不相容的事件在一次試驗中不能同時發(fā)生．

例如，在E4中，A與C為互不相容的事件．5、事件的差（相當于差集）在一次試驗中，“事件A發(fā)生而事件B不發(fā)生”這一事件稱為事件A與B的差，記作A－B．6、對立事件（相當于余集）“A不發(fā)生”這一事件稱為事件A的對立事件，記作事件的關(guān)系和事件的運算可以用文氏圖（圖1－1）直觀地表示．事件的關(guān)系和運算與集合論的內(nèi)容對照如表1－1．7、事件運算的主要性質(zhì)（1）交換律A∪B＝B∪A，AB＝BA；（2）結(jié)合律(A∪B)∪C＝

A∪(B∪C)，(A∩B)∩C

＝A∩(B∩C)；（3）分配律(A∪B)C＝AC∪BC,(A∩B)∪C＝(A∪C)∩(B∪C);(4）吸收律

(A∪B)A=A,(AB)∪A=A

；

（5）對偶律此外還有：

A∪A＝A，AA＝A，A∪Ω＝Ω，AΩ＝A．

A∪

＝A，A∩

＝

，利用事件的關(guān)系、事件的運算及其性質(zhì)，可將復雜的事件用己知的簡單事件表示，這在處理問題時會很方便．例1一大批產(chǎn)品中有5件次品，若從中依次任取3件，令Ak表示“取到的第k件為正品”，k＝1，2，3．試用A1,A2，A3，表示下列事件：（1）“取到的3件中至少有一件為正品”，記為A．（2）“取到的3件均為次品”，記為B．（3）“取到的3件恰好有一件為正品”，記為C．（4）“取到的3件至多有一件為正品”，記為D．解（1）A＝A1∪A2∪A3

例2如圖1－2所示的電路中，以A表示“信號燈亮”這一事件，以B、C、D分別表示事件：繼電器接點Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ閉合，則§1.2事件的頻率與概率

概率論研究的是隨機現(xiàn)象量的規(guī)律性．因此僅僅知道試驗中可能出現(xiàn)哪些事件是不夠的，還必須對事件發(fā)生的可能性大小的問題進行量的描述．一、

概率的統(tǒng)計定義人們經(jīng)過長期實踐發(fā)現(xiàn)，雖然隨機事件在一次試驗中可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)，但在大量重復的試驗中它卻呈現(xiàn)出明顯的規(guī)律性――頻率穩(wěn)定性．頻率的定義：在相同條件下進行的n次試驗中，事件A發(fā)生的次數(shù)nA稱為事件A發(fā)生的頻數(shù)．比值nA／n稱為事件A發(fā)生的頻率，并記為fn(A),即fn(A)=nA

／n．

由定義，易知頻率具有下述基本性質(zhì)：

(1)0≤fn(A)≤1；(2)fn(Ω)=1，fn(

)＝0．(3)若A、B為互不相容的兩個事件，則

fn(A∪B)=fn(A)+fn(B)事實上，若在ｎ次試驗中，事件A發(fā)生了ｎA次，事件B發(fā)生了ｎB次，由于A、B為互不相容，故A∪B發(fā)生的次數(shù)ｎA∪B=ｎA

＋ｎB

，根據(jù)頻率的定義得

fn(A∪B)=fn(A)+fn(B)

由于事件發(fā)生的頻率是它發(fā)生的次數(shù)與試驗次數(shù)之比，其大小表示發(fā)生的頻繁程度．頻率愈大，事件發(fā)生愈頻繁，這意味著事件在一次試驗中發(fā)生的可能性愈大．因而，直觀的想法是用頻率來表示事件在一次試驗中發(fā)生的可能性的大?。欠窨尚?？例1(拋擲硬幣試驗)在一組不變的條件(如硬幣是勻的，垂直上拋等等)下，重復拋擲一枚硬幣，考察事件A＝{出現(xiàn)正面}發(fā)生的頻率．歷史上曾經(jīng)有不少人做過這個試驗，表1－3列出了大量投擲硬幣的試驗結(jié)果．

從上表可見，在多次重復試驗中，同一事件發(fā)生的頻率

雖然并不完全相同，但總是在一個固定的數(shù)值附近擺動，呈

現(xiàn)出一定的穩(wěn)定性．當重復的次數(shù)增加時，這種現(xiàn)象就越明

顯．頻率的這種穩(wěn)定性，反映了隨機事件本身固有的屬性，

也就是說，事件的概率是客觀存在的。實驗者投擲次數(shù)正面次數(shù)

頻率蒲豐404020480.5069皮爾遜1200060190.5016皮爾遜24000120120.5005概率的統(tǒng)計定義：在相同條件下，重復進行n次試驗，當n充分大，事件A發(fā)生的頻率fn(A)=nA

／n．穩(wěn)定地在某一數(shù)值p附近擺動，則稱

p為事件A發(fā)生的概率，記作P(A)＝p．關(guān)于概率的統(tǒng)計定義:(1)0≤P(A)≤1P(Φ)=0P(Ω)=1;(2)給出了概率的一種近似求法(頻率近似代替概率)(3)頻率與概率不同,頻率與試驗次數(shù)有關(guān),而概率是事物的本身屬性.(實際問題中頻率可認為是概率的隨機表現(xiàn)).(4)頻率代替概率的缺點是不能使n+1次試驗優(yōu)于n次試驗所得結(jié)果.(很多問題中影響并不大)為此，人們要尋找更精確的定義.二、概率的公理化體系在勒貝格測度論和積分理論基礎上，前蘇聯(lián)數(shù)學家柯爾莫哥洛夫在1933年提出了概率的公理化體系．

公理1對任一事件A有P(A)≥0．

公理2P(Ω)=1．

公理3對可列個兩兩互不相容的事件A1,A2,…,An,…,有

在此基礎上得到概率的理論定義：

設實值函數(shù)P(A)的定義域為所考慮的全體隨機事件組成

的集合，且這個集合函數(shù)滿足公理1、2、3，則稱P(A)為事件A的概率．

通常將公理1、2、3稱為概率的三個基本性質(zhì)，第三條稱為可列可加性．三、性質(zhì)由概率的三個基本性質(zhì)可以推出其他的重要性質(zhì):（1）P(

)=0證明令Ai=

（i=1,2,…），則故由公理3：

而實數(shù)P(

)≥0，由上式知P(

)=0

(2)(有限可加性)設A1,A2,…,An為n個兩兩互不相容的事件，則

只需令An

＋1=An＋2=…=

，利用公理3即可證明．

特別地，當A、B為兩個互不相容的事件，則P(A∪B)=P(A)＋P(B)(3)設A為任一事件，則(4)(單調(diào)性)若A

B,則P(B－A)=P(B)－

P(A)，且P(A)≤P(B)

證明當A

B,有B=A∪(B－A)，且A(B－A)=

，則P(B)=P(A)＋P(B－A)，∴P(B－A)=P(B)－

P(A)．

由概率的非負性P(B－A)≥0，故P(A)≤P(B)．(5)兩個事件概率的加法公式:若A、B為任意兩個事件，則P(A∪B)=P(A)＋P(B)－P(AB)(1-7)證明∵A∪B=A∪(B－AB)且A與B－AB互不相容∴P(A∪B)=P(A)＋P(B－AB)∵AB

B∴P(B－AB)=P(B)—P(AB)∴P(A∪B)=P(A)＋

P(B)—P(AB)

例1若事件A、B的概率分別為1/4和1/3，在下列三種情況下分別求(1)A與B互不相容；(2)A

B；(3)P(AB)=1/5．

解(1)若A、B為互不相容，則(2)若A

B，則(3)若P(AB)=1/5，則

又由加法公式P(A∪B)=P(A)＋

P(B)－P(AB)，解法2∵B=BΩ§1.3古典概型和幾何概型

一、古典概型（等可能概型）有很多試驗都具有兩個共同的特點：(1)試驗的可能結(jié)果(樣本空間的樣本點)有限；(有限性)(2)每次試驗中各樣本點出現(xiàn)的可能性相等。(等可能性)具有以上兩個特點的試驗稱為等可能概型．它在概率論發(fā)展初期是主要的研究對象，故也稱為古典概型．古典概型在概率論中占有重要地位．一方面它有助于簡單直觀地理解概率論的一些基本概念；另一方面古典概型的概率計算在產(chǎn)品質(zhì)量的抽樣檢查等實際問題以及理論物理的研究中都有重要的應用．若試驗結(jié)果由n個基本事件組成，并且基本事件的發(fā)生具有相同的可能性，而事件A由其中的m個基本事件組成，則（事件A含的基本事件數(shù)除以試驗的基本事件總數(shù)）此定義通常稱為概率的古典定義。顯然古典概率滿足：

(1

)

0≤P(A)≤1(2)P(Φ)=0P(Ω)=1;(3)若A、B為互不相容的兩個事件，則

P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．例1袋內(nèi)有外形一樣的5個白球，3個黑球，從中任取兩個。求取出的兩個球⑴都是白球的概率；⑵都是黑球的概率；⑶一個白球一個黑球的概率。解：設A表示“取到兩白”、B表示“取到兩黑”、C表示“取到一白一黑”試驗的基本事件總數(shù)A含的基本事件數(shù)B含的基本事件數(shù)C含的基本事件數(shù)例2：一批產(chǎn)品共200個，其中有6個廢品。求（1）這批產(chǎn)品的廢品率（任取一件產(chǎn)品是廢品的概率）；（2）任取3個恰有一個廢品的概率；（3）任取3個全非廢品的概率。解：設A、B、C分別表示(1)、(2)、(3)中三事件，則例3：兩封信隨機投入Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四個郵筒，A表示恰有一封信投入第二個郵筒，B表示各有一封信投入前兩個郵筒。求P(A)、P(B)。解：基本事件總數(shù)為4×4=16

A含的基本事件數(shù)表示兩封信中任一封投入第二個郵筒表示另一封可投入余下三個郵筒中的一個郵筒B含的基本事件數(shù)例410件產(chǎn)品中7件正品，3件次品，任取兩件(不放回抽樣)，求“取到一件正品一件次品”的概率．解：令A表示“取到兩件正品”，B表示“取到兩件次品”，C表示“取到一正一次”。法1直接用古典概型的概率計算公式計算(既非兩件正品又非兩件次品即一正一次)∵A、B互不相容，∴P(A∪B)=P(A)＋

P(B)=8/15=1-P(A∪B)=7/15例5在1~100中任取一數(shù)，求取到的數(shù)既不能被6整除，又不能被8整除的概率．解令A表示“取到的數(shù)能被6整除”，B表示“取到的數(shù)能被8整除”．那么“取到的數(shù)既不能被6整除，又不能被8整除”可表示為100內(nèi)6的倍數(shù)有16個，8的倍數(shù)有12個，6和8的公倍數(shù)有4個，故有

P(A)=16/100，P(B)=12/100，P(AB)=4/100．由P(A∪B)=P(A)＋P(B)－P(AB)=0.24二、幾何概型古典概型所研究的隨機試驗是有限等概率樣本空間，對于有無窮多可能結(jié)果的試驗，古典概率的定義就不適用了．向某一可度量的區(qū)域G內(nèi)投一點，如果所投點落在G中任一區(qū)域g內(nèi)的可能性的大小與g的度量成正比，而與g的位置和形狀無關(guān)．把具有這種特征的隨機試驗稱為幾何概型．這里所說的度量，可以是線段的長度；可求積的平面區(qū)域的面積；可求積的空間區(qū)域的體積等等．幾何概型中樣本點可以用G中的點表示，因而樣本空間Ω=G．事件A的概率的計算公式為顯然幾何概率具有如下性質(zhì)：(1)0≤P(A)≤1．(2)P(Ω)=1，P(

)=0．(3)若A1,A2,…,An,…為可列個兩兩互不相容的事件，則例6甲乙兩人約定在0時到T時在某地會面，先到者等候t（≤T）時，過時即可離去，試求兩人能會面的概率．解令x和y分別表甲和乙到達某地的時刻，那么x和y均可能取[0，T]內(nèi)任一值．即0≤x≤T，0≤y≤T．如圖1-3，建立直角坐標系，問題可視為向平面區(qū)域Ω={(x,y)|0≤x≤T,0≤y≤T}內(nèi)投點．令A表示“兩人能會面”，則A={(x,y)||x-y|≤t}為圖中陰影部分．例7

平面上畫著一些平行線，相鄰兩條平行線間的距離均為a，向該平面上任意投一枚長度為l(l＜a)的針，試求針與平行線中任意一條相交的概率．解令x表示針的中點到最近的一條平行線的距離，表示針與此線的交角，如圖1－4．于是投針問題相當于向平面區(qū)域內(nèi)投點．令A表示“針與平行線相交”，則A發(fā)生相當于在平面上建立直角坐標系，如圖1－5．此問題是是法國科學家蒲豐在1777年提出的“投針問題”．令

p=P(A)，那么此事件的概率p與π有關(guān)，因此可用它計算π的近似值.“投針問題”還是找礦中的一個重要概型．設在給定區(qū)域內(nèi)的某處有一礦脈（相當于針）長為l，用間隔為a的一組平行線進行探測，假定l＜a，那么“找到礦脈”的概率也就相當于針與平行線相交的概率．求π的方法是：投針N次，記錄針與平行線相交的次數(shù)n，用頻率作為概率p的值，得到近似計算公式：§1.4條件概率

一、條件概率直到現(xiàn)在，對P(A)的討論都是相對于某組確定的條件S而言的．P(A)就是在條件組實現(xiàn)之下，事件A發(fā)生的概率（為簡略起見，“條件組S”通常不再提及）．除這組基本條件“S”外，有時還要提出附加的限制條件；即要求“在事件A已經(jīng)發(fā)生的前提下”事件B發(fā)生的概率．這就是條件概率的問題．條件概率是概率論中的一個重要而實用的概念．例1將一枚硬幣擲兩次．觀察其出現(xiàn)正反面的情況．設事件A“至少有一次為正面”，事件B為“兩次擲出同一面”．現(xiàn)在來求已知事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率．這里，樣本空間Ω={HH,HT,TH,TT},A={HH,HT,TH}B＝{HH,TT}．已知事件A已發(fā)生，有了這一信息，即知試驗所有可能結(jié)果所成的集合就是A，A中共有3個元素，其中只有HH∈B．于是，在A已經(jīng)發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率

P(B|A)＝1/3在這里，P(B)＝2/4≠P(B|A)．這是因為在求P(B|A)時是限制在A已經(jīng)發(fā)生的條件下考慮B發(fā)生的概率的．另外，P(A)＝3/4，

P(AB)＝1/4，

P(B|A)＝1/3

故有當P(A)＞0時上式對古典概型都是成立的．事實上,設試驗的基本事件總數(shù)為n，

A所包含的基本事件數(shù)為nA(nA>0)，AB所包含的基本事件數(shù)為nAB，即有由此給出一般情況下條件概率的定義：設A、B為兩個事件，且P(A)＞0，則稱為事件A已發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率．可以驗證條件概率滿足：(1)對任一事件B，有P(B|A)≥0；(2)P(Ω|A)=1；(3)設B1，B2，…，Bn，…為兩兩互不相容的事件，則例2袋中有5個大小相同的球，其中編號為1、2、3的是紅球，編號為4、5的是白球．甲乙兩人從中各摸一球．求下列事件的概率．(1)“甲摸到了紅球”；“乙摸到了白球”；“甲摸到紅球且乙摸到白球”；(2)“甲先摸到紅球后，乙摸到白球”的概率．解(1)令A表示“甲摸到了紅球”，B表示“乙摸到了白球”，則AB為“甲摸到紅球且乙摸到白球”．將甲、乙兩人所摸到的球的編號用(i，j)表示，則樣本空間由下列樣本點構(gòu)成：(1，2)(1，3)(1，4)(1，5)(2，1)(2，3)(2，4)(2，5)(3，1)(3，2)(3，4)(3，5)(4，1)(4，2)(4，3)(4，5)(5，1)(5，2)(5，3)(5，4)樣本空間所含樣本點數(shù)n=A52=5×4=20，事件A所含樣本點數(shù)nA=A31A41=4×3=12，事件B所含樣本點數(shù)nB=A21A41=2×4=8，事件AB所含樣本點數(shù)nAB=A31A21=2×3=6，∴P(A)=12/20=0.6；P(B)=8/20=0.4；P(AB)=6/20=0.3．(2)“甲先摸到紅球后，乙摸到白球”的概率是A發(fā)生條件下，B發(fā)生的概率P(B|A)．由（1）可見導致A發(fā)生的樣本點有12個，AB同時發(fā)生的樣本點有6個，故有P(B|A)=P(AB)/P(A)

=6/12=1/2．對第二問，若利用第一次摸取的所有可能結(jié)果作成的樣本空間，即Ω={1,2,3,4,5},則做法更簡潔．由于Ω中共有5個元素，已知A發(fā)生，即1,2,3號三個球中已摸走一個，于是，第二次的所有可能結(jié)果的集合中共有4個球，2紅2白，故得

P(B|A)=2/4=1/2．例3在0至9這10個數(shù)字中隨機取一個，(1)已知抽到的為奇數(shù)，求該數(shù)大于6的概率；(2)已知抽到的數(shù)大于6，求該數(shù)為奇數(shù)的概率．解令A表示“抽到的為奇數(shù)”，B表示“抽到的數(shù)大于6”．（1）要求P（B|A）；（2）要求P（A|B）．Ω={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,}，A={1,3,5,7,9}，B={7,8,9}，AB={7,9}故有P(A)=0.5，P(B)=0.3，P(AB)=0.2．∴P(B|A)=P(AB)/P(A)=2/5，

P(A|B)=P(AB)/P(B)=2/3

．由此例可見P(B|A)與P(A|B)是不同的．二、乘法公式由條件概率定義可得兩個事件積的概率公式．若P(A)＞0，P(AB)=P(A)P(B|A)．若P(B)＞0，P(AB)=P(B)P(A|B)．兩式都稱為概率的乘法公式例410件產(chǎn)品中有7件正品和3件次品，(1)任取兩件(不放回抽樣)，求“取到一正一次”的概率；(2)任取兩件(有放回抽樣)，求“取到的兩件正品”的概率．解此題在古典概型時討論過，現(xiàn)用乘法公式來討論．令Ai表示“取到的第i件為正品”，i=1，2．那么問題(1)中“取到一正一次”可表示為問題（2）中“取到的兩件均為正品”可表示為A1A2（2）P(A1A2)=P(A1)P(A2|A1)注意：在有放回抽樣問題中P(A2|A1)=P(A2)．乘法公式還可推廣到多個事件的情況，如P(ABC)=P(AB)P(C|AB)=P(A)P(B|A)P(C|AB)．例510件產(chǎn)品中3件為次品，每次從中任取一件不放回，求第3次才取到次品的概率．解令Ai表示“第i次取到的為正品”（i=1，2，3），則“第3次才取到次品”的概率為§1.5全概率公式和貝葉斯公式

一、全概率公式例1有10件產(chǎn)品，其中有3件為次品，從中任取一件不放回，連續(xù)取兩次，求第2次取到的為次品的概率．解令A表“第2次取到次品”，B表“第一次取到正品”，則

從形式上看，上述分解式似乎將A復雜化了；但從實質(zhì)上看，上述分解式將復雜的事件A分解為較簡單的事件了．把這個想法一般化，得

全概率公式設試驗E的樣本空間為Ω，B1，B2，…，Bn為E的一組事件，若滿足(1)BiBj=

，i、j=1，2，…，n，i≠j；(2)B1∪B2∪…∪Bn=Ω．滿足(1)與(2)的事件組叫樣本空間的一個劃分．(完備事件組)若P（Bi）＞0，（i=1，2，…，n），那么，E的任一事件A的概率此式即為全概率公式證∵A=AΩ=A(B1∪B2∪…∪Bn)=AB1∪AB2∪…∪ABn

且P（Bi）＞0，（i=1，2，…，n），(ABi

)(ABj)=

，i≠j

∴

P(A)=P(AB1)+P(AB2)+…+P(ABn)=P(B1)P(A|B1)

+P(B2)P(A|B2)

+…+P(Bn)P(A|Bn)例1就用了ｎ＝2的全概率公式．若P(A)不易直接求得，但卻容易找到Ω的一個劃分B1,B2,…,Bn

,且P(Bi)和P(A|Bi)已知或容易求，那么就可以根據(jù)全概率公式求P(A)。用全概率公式的關(guān)鍵在于找出完備事件組．例2某廠有1、2、3三個車間，生產(chǎn)同一型號的元件，其產(chǎn)量分別占該廠總產(chǎn)量的25%、35%和40%，各車間的次品率分別為5%、4%和3%，各車間的產(chǎn)品都混放在一起，求從總產(chǎn)品中任取一件為次品的概率．解令A表示“取到一件次品”，Bi表示“取到第i車間的產(chǎn)品”，i=1，2，3，則由題意知P(B1)=0.25，P(B2)=0.35，P(B3)=0.4．P(A|B1)=0.05P(A|B2)=0.04P(A|B3)=0.03而B1，B2，B3是完備事件組，由全概公式P(A)=P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3)=0.25×0.05＋0.35×0.04＋0.40×0.03=0.0385．例：有12個乒乓球為新球，每次比賽時取出3個用完后放回去，求第三次比賽時取到3個新球的概率。解：設Ai，Bi，Ci分別為第一、二、三次取到i個新球(i=0、1、2、3）。二、貝葉斯公式在全概率公式中，復雜事件A的概率是通過尋找出引起A發(fā)生的各種“原因”:B1、B2、…、Bn發(fā)生的概率P(Bi)，和它們對A產(chǎn)生的作用P(A|Bi)，i=1、2、…、n來求P(A)的

P(Bi)通常是從已知條件或以往經(jīng)驗得到的，是在試驗前對引起A發(fā)生的各種“原因”發(fā)生的可能性大小的估計，稱為驗前概率．若在事件A發(fā)生條件下，重新考慮引起A發(fā)生的各種“原因”發(fā)生的概率P(Bi|A)，i=1，2，…，n，則可以利用條件概率定義和全概率公式推導出此式稱貝葉斯公式，也稱逆概率公式．貝葉斯公式所求的P(Bi|A)(i=1,2,…,n)又稱為驗后概率．這是在試驗后當A發(fā)生的條件下，對導致A發(fā)生的各種“原因”發(fā)生的可能性大小的重新估計．(i=1,2,…,n)例3對以往數(shù)據(jù)分析結(jié)果表明，當機器調(diào)整良好時，產(chǎn)品合格率為90%，而當機器發(fā)生某一故障時，合格率為30%．每天早上機器開動時，機器調(diào)整良好的概率為75%．試求已知某日早上第一件產(chǎn)品是合格品時，機器調(diào)整良好的概率是多少？解設A為事件“產(chǎn)品合格”，B為事件“機器調(diào)整良好”，已知P(A|B)=0.9，

這就是說，當生產(chǎn)出第一件產(chǎn)品是合格品時，機器調(diào)整良好的概率是0.9．這里，概率0.75是由以往的數(shù)據(jù)分析得到的，是驗前概率．而0.9就是驗后概率．有了驗后概率我們就能對機器的情況有進一步的了解．例4根據(jù)以往記錄資料，某疾病的診斷性試驗具有如下效果，確實患此病的人試驗反應呈陽性的占95%，沒患此病的人試驗反應呈陰性的占95%，此病的發(fā)病率為0.5%，現(xiàn)對自然人群進行普查，求當試驗反應呈陽性時，確實患此病的概率．解令A表示“試驗反應呈陽性”，B表示“確實患此病”，則問題所求為P(B|A)．由題意可知：

P(A|B)=0.95P(B)=0.005此題的結(jié)論表明，盡管有病反應呈陽性和無病反應呈陰性的概率都較高，都為0.95，但若將此試驗用于普查，則有P(B|A)＝0.087，亦即其正確性只有8.7%(平均1000個陽性反應的人中大約只有87人確患有此病)．如果不注意到這一點，將會經(jīng)常得出錯誤的診斷，這也說明，若將P(B|A)和P(A|B)搞混了會造成不良的后果．

§1.6事件的獨立性一、相互獨立的事件在前面的討論中我們看到對“有放回抽樣”問題第1次取到正品與否，不影響第2次取到正品的概論，即P(A2|A1)=P(A2)，此時由乘法公式可得P(A2A1)=P(A1)P(A2)．設A、B是兩事件，若P(AB)=P(A)P(B)，則稱A與B為相互獨立的事件．由上述定義不難驗證:(1)若A、B相互獨立，則A與即P(AB)=P(A)P(B)(2)若P(A)＞0，P(B)＞0，則A、B相互獨立與A、B互不相容不能同時成立．事實上，當A、B相互獨立時，P(AB)=P(A)P(B)，若P(A)＞0，P(B)＞0，則P(AB)＞0．而在A、B互不相容時P(AB)=0，故兩者不能同時成立．例1P(A)=0.4，P(A∪B)=0.7，A、B相互獨立，求P(B)．解A、B相互獨立，即P(AB)=P(A)P(B)．∴P(A∪B)=P(A)＋P(B)－

P(AB)=P(A)＋P(B)－

P(A)P(B)=P(A)＋P(B)[1－

P(A)]

相互獨立概念可以推廣:n事件A1，A2，…，An若滿足P(AiAj)=P(Ai)P(Aj)，(i≠j，i、j=1,2,…,n)，則稱A1，A2，…，An兩兩獨立．例2當A、B、C兩兩獨立時，P(ABC)=P(A)P(B)P(C)是否一定成立？解不一定．如，一袋中有4張大小相同的卡片，上面分別印有下列數(shù)字：111，001，100，010．從中任取一張，用A、B、C分別表示取到的卡片上第1、2、3位上數(shù)字為1．則于是A、B、C滿足P(AB)=P(A)P(B)

P(AC)=P(A)P(C)

P(BC)=P(B)P(C)故A、B、C為兩兩獨立事件．但是P(ABC)=1/4，P(A)P(B)P(C)=1/8，∴P(ABC)≠P(A)P(B)P(C)．設A、B、C為三個事件，若滿足P(AB)=P(A)P(B)

P(AC)=P(A)P(C)

P(BC)=P(B)P(C)P(ABC)=P(A)P(B)P(C)．則稱A、B、C為相互獨立的事件．一般地，設A1,A2,…,An為n個事件，若對任意k,任意1≤i1＜i2＜…＜ik≤n，都有

P(Ai1

Ai2…Aik

)=P(Ai1)P(Ai2)…P(Aik)．則稱A1，A2，…，An為相互獨立的事件．例3甲、乙兩人射出同一目標，已知甲的命中率為0.6，乙的命中率為0.5，若兩人同時射出，求目標被擊中的概率．解令A表示“甲命中目標”，B表示“乙命中目標”，C表示“目標被擊中”，則C=A∪B．P(A∪B)=P(A)＋P(B)－P(AB)．根據(jù)題意，可以認為A、B為相互獨立，即有P(AB)=P(A)P(B)∴P(C)=P(A∪B)=P(A)＋P(B)－

P(A)P(B)=0.6＋0.5－0.6×0.5=0.8

例4一個元件能正常工作的概率叫做這個元件的可靠性，由元件組成的系統(tǒng)能正常工作的概率叫做系統(tǒng)的可靠性，設構(gòu)成系統(tǒng)的每個元件的可靠性均為p(0＜p＜1)，且各元件能否正常工作是相互獨立的．由4個元件按圖1－7的兩種連接方式構(gòu)成系統(tǒng)Ⅰ和系統(tǒng)Ⅱ，試比較兩個系統(tǒng)可靠性的大小．解令Ai表示“第i個元件工作正?！?i=1,2,3,4)，B表示“系統(tǒng)Ⅰ工作正?！保珻表示“系統(tǒng)Ⅱ工作正?！保瑒tP(Ai)=p(i=1,2,3,4)

，且A1,A2,A3,A4相互獨立．B=A1A2∪A3A4，C=(A1∪A3)(A2∪A4)P(B)=P(A1A2∪A3A4)=P(A1A2)＋P(A3A4)－P(A1A2A3A4)=P(A1)P(A2)+P(A3)P(A4)－P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)=2p2－p4．=2(1－p)2－(1－p)4．=2(1－p)2－(1－p)4=(2p－p2)2．∴P(C)－P(B)=(2p－p2)2－（2p2－p4）=2p2(1－p)2＞0．故系統(tǒng)Ⅱ優(yōu)于系統(tǒng)Ⅰ．二、n重伯努利概型許多問題中，我們只關(guān)心試驗中某事件A發(fā)生與否．這種只有兩個可能結(jié)果的試驗稱為伯努利試驗．例如：射擊“中”與“不中”，抽樣時的“正品”和“次品”，投幣試驗“出正面”還是“出反面”，等等．在每次試驗中事件A或者發(fā)生或者不發(fā)生，且每次試驗結(jié)果與其它各次試驗結(jié)果無關(guān)，即每次試驗中A發(fā)生的概率都是P(0<p<1)，這樣的n次重復試驗叫n重伯努里試驗.。例5一射手每次射擊命中率為0.8，向一目標連續(xù)射擊3次是三重伯努利試驗．若令Ai表示“第i次射擊命中目標”，由已知P(Ai)=0.8(i=1,2,3)．這個試驗的所有可能結(jié)果為這8個事件兩兩互不相容．由于3次射擊是獨立的，則事件A1，A2，A3是相互獨立的．上述8個事件的概率均可求出：P(A1A2A3)=0.83=0.512．若令pi表示“3次射擊中命中i”的概率(i=0,1,2,3)，那么伯努里定理：設一次試驗中A發(fā)生的概率為p(0<p<1),則n重貝努里試驗中，A恰好發(fā)生k次的概率例620件產(chǎn)品中2件次品，每次從中取一件，然后放回．取5次，求5件中取到次品數(shù)為k的概率pk(k=0,1,2,3,4,5)．解這是有放回抽樣，是五重伯努利試驗，每次取到次品的概率p=0.1．那么章小結(jié)一、隨機試驗

（1）可以在相同條件下重復地進行；（2）每次試驗的可能結(jié)果不止一個，但能事先明確所有可能結(jié)果，且每次試驗僅有其中一個結(jié)果出現(xiàn)；（3）每次試驗進行之前，不能斷言哪個結(jié)果會出現(xiàn)．二、隨機事件（在一次試驗中可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件或樣本空間的子集）概念關(guān)系運算三、概率（事件發(fā)生可能性的大小）1、頻率穩(wěn)定性→概率的統(tǒng)計定義2、古典概型（兩特性：有限性等可能性）3、幾何概型（向某可度量的區(qū)域G內(nèi)隨機投點，g是G內(nèi)任意小區(qū)域，點落入g內(nèi)的可能性大小滿足：與g的度量成正比，而與g的形狀和位置無關(guān)）4、3個公理

P(A)≥0P(Ω)=1可列可加性概率的公理化定義四、加法公式1、有限可加性（條件：兩兩互不相容）2、多去少補原理五、條件概率、乘法公式六、全概率公式、貝葉斯公式七、相互獨立性3、n

個事件兩兩獨立與相互獨立的區(qū)別八、n

重貝努里試驗每次試驗中事件A要么發(fā)生要么不發(fā)生，且每次試驗中事件A發(fā)生的概率相等，這樣的n

次重復試驗叫n重貝努里試驗。若在每次試驗中事件A發(fā)生的概率都為p，則在n重貝努里試驗中，事件A發(fā)生n次的概率為例1、設一個人的生日在哪一天是等可能的，現(xiàn)有20人。求①生日各不相同；②恰有兩人生日相同；③至多兩人生日相同；④至少兩人生日相同的概率。（一年365天）解：用A、B、C、D依次表示上述四事件，則有例2、對飛機進行兩次獨立射擊，第一次命中率為0.4，第二次命中率為0.5，中一彈被擊落的概率為0.2，中兩彈被擊落的概率為0.6。求①被擊中一次；②被擊中兩次；③被擊落；④已知被擊落而只中一彈的概率。解：B表示被擊落，Ci

表示中i彈，Ai

表示第i次中，則(3)用全概率公式(4)用貝葉斯公式例3、在圓周上任取三點A，

B，C，求△ABC為銳角△的概率。解：設D表示△ABC為銳角△，∠A=x，

∠B=y，則Ω對應的區(qū)域ABCOxy例4、假定生男生女是等可能的，考慮有兩個孩子的家庭。①已知某家有男孩，求這一家有兩個男孩的概率；②若從這些家庭中隨機選取一個孩子結(jié)果是男孩，求這家另一個孩子也是男孩的概率。(1)b、g分表男女孩，則Ω={(bb),(bg),(gb),(gg)}(樣本點是家庭)且每個樣本點出現(xiàn)的概率都為1/4（生男生女等可能，相互獨立）設A表“有男孩”，B表“有兩男孩”，則AB=B(2)bb有兄弟的男孩，bg有姐妹的男孩，

gb有兄弟的女孩，

gg有姐妹的女孩，則Ω1={bb,bg,gb,gg}，每個樣本點出現(xiàn)的概率為1/4A1表示“選到男孩”，B2表示“一個孩子有兄弟”，則例5、從學校乘公汽到火車站要經(jīng)過6個交通崗，設在各交通崗遇紅燈的概率為2/5，且相互獨立。求①沒有遇到紅燈；②遇到一次紅燈；③至多遇到一次紅燈；④至少遇到一次紅燈的概率解：這是一個

n=6,p=2/5的貝努里概型①求p0②求p1③求p0+p1④求p1+p2+p3+

p4+p5+p6=1-p0例6、某店有4個售貨員，根據(jù)經(jīng)驗每個售貨員平均一個小時只有15分鐘用秤，問該店應配備幾臺秤較為合理？解：由題設每個售貨員用秤的概率都為1/4，且相互獨立，所以此問題可看作n=4,p=1/4的貝努里概型。由于p0+p1+p2≈0.95，即最多兩人同時用秤的概率高達95%，該店應配備兩臺秤較為合理。例7、現(xiàn)有外包裝完全相同的優(yōu)、良、中3個等級的的產(chǎn)品，各等級產(chǎn)品數(shù)量相等，每次取1件，有放回連續(xù)取3次，求下列各事件的概率：A=“三件全優(yōu)”；B=“三件同級”；C=“三件等級全不同”；D=“三件等級不全同”；E=“三件中無優(yōu)”；F=“三件無優(yōu)且無中”；G=“三件無優(yōu)或無中”。解：Ai表第i次取到優(yōu)，Bi表第i次取到良，Ci表第i次取到中，9個事件相互獨立用一般加法公式第二章

隨機變量及其分布§2.1

隨機變量及其分布函數(shù)

一、隨機變量在第一章里討論了如何用字母表示事件以及求事件概率的基本方法．為了全面地研究隨機試驗的結(jié)果，揭示客觀存在著的統(tǒng)計規(guī)律性，我們將隨機試驗的結(jié)果與實數(shù)對應起來，將隨機試驗的結(jié)果數(shù)量化，引入隨機變量的概念．有許多隨機試驗的可能結(jié)果本身就是數(shù)字，如：擲一顆骰子觀察出現(xiàn)的點數(shù)某射手射擊10次，觀察命中的次數(shù)測定一批電子元件的使用壽命還有一些隨機試驗的可能結(jié)果本身不是數(shù)字，如：

抽查產(chǎn)品質(zhì)量，結(jié)果是“正品”或“次品”

射擊結(jié)果“中”或“不中”但這些結(jié)果也可以用實數(shù)來代替，如用“1”代表“中”、“0”代表“不中”等。

定義設隨機試驗E的樣本空間為Ω，若對每一個樣本點ω∈Ω，存在唯一實數(shù)X(ω)與之對應，且對任何實數(shù)x，事件{X(ω)≤x}都有確定的概率，則稱X(ω)是一個隨機變量，簡單地記為X．

許多教材習慣用希臘字母ξ、η、ζ等表示隨機變量。

隨機變量是研究隨機試驗的有效工具．引入隨機變量后，就可以用隨機變量X描述事件．例如

擲一顆骰子，用X表示出現(xiàn)的點數(shù)，則{X=i}表示“出現(xiàn)i點”，{X＜0}是不可能事件，{X＜7}是必然事件，{X≥2}表示出現(xiàn)的點數(shù)大于或等于2。

隨機變量X的取值隨試驗結(jié)果而定，在試驗之前只知道其可能取值的范圍，因為試驗的各種結(jié)果出現(xiàn)的概率是可以確定的．那么，隨機變量取各個值的概率或在某個范圍內(nèi)取值的概率也就可以確定．隨機變量是隨機事件的函數(shù).

上例中P{X=i}=1/6，P{X＜0}=0，P{X＜7}=1P{X≥2}=5/6二、隨機變量的分布函數(shù)

引進隨機變量后，我們可以用隨機變量X取值的集合來表示隨機事件。即對于任意實數(shù)a和b,{X≤a}、{X＜a}、{X＝a}、{X≥a}、{X＞a}、{a

＜X≤b

}等都是隨機事件。

定義設X是隨機變量，x是任意實數(shù)，函數(shù)

F(x)=P(X≤x)稱為X的分布函數(shù)。

對任意實數(shù)x1、x2（x1＜x2）有P{x1＜X≤x2}=P{X≤x2}－P{X≤x1}=F(x2)－F(x1)．因此，若已知X的分布函數(shù)，就知道X落在任一區(qū)間上的概率,在這個意義上分布函數(shù)完整地描述了隨機變量的統(tǒng)計規(guī)律性．

首先分布函數(shù)F(x)描述的是事件“X≤x”的概率，其次，它

又是一個定義于全體實數(shù)且以區(qū)間[0,1]為值域的普通函數(shù)．正

是由于它的這種雙重屬性使我們得以用數(shù)學分析的方法來研究隨

機變量的概率問題．

由分布函數(shù)的定義可知F(x)具有以下基本性質(zhì)：(1)0≤F(x)≤1，(－∞＜x＜＋∞)．(2)對任意實數(shù)x1、x2，當x1＜x2時，有F(x1)≤F(x2)．（不減）（右連續(xù)）此外，還有這是因為這是因為

解當x＜0時，{X≤x}為不可能事件，P{X≤x}=0．

當0≤x＜1時，P{X≤x}=P{X=0}=

0.5，

當x≥1時，P{X≤x}=P{X=0}＋

P{X=1}=1．這是一個分段函數(shù)，圖形為

例1設X為擲一枚硬幣出現(xiàn)正面的次數(shù)，求隨機變量X的分布函數(shù)．oxy0.511例2向區(qū)間[0，1]上隨機投一點，使所投點落在[0，1]內(nèi)

任一子區(qū)間的概率與子區(qū)間長度成正比（比例系數(shù)為1），而

與子區(qū)間所在位置無關(guān)．令X表示落點的坐標，則X是一個隨

機變量，求X的分布函數(shù)．

解X是一個非離散型隨機變量，分布函數(shù)F(x)=P{X≤x}

根據(jù)題意有：

x＜0時，{X≤x}為不可能事件，F(xiàn)(x)=P{X≤x}=0．0≤x＜

1時，F(xiàn)(x)=P{X≤x}=P{0≤X＜

x}=x．

x＞1時，{X≤x}為必然發(fā)生，F(xiàn)(x)=P{X≤x}=1．

因此，X的分布函數(shù)

例2設X的分布函數(shù)為求常數(shù)A與B的值。解：由于所以于是

例3設X的分布函數(shù)為求P{1<X≤2},P{2≤X≤4},P{X>3}。

解P{1＜X≤2}=F(2)－F(1)=0.5－0.2=0.3P{2≤X≤4}=P{X=2}+P{2＜X≤4}=［F(2)－F(2－0)］+［F(4)－F(2)

］=0.6－0.2=0.4P{X＞3}=1－P{X≤3}=1－F(3)=1－0.5=0.5§2.2離散型隨機變量有些隨機變量，它全部可能取值只有有限個或可列無窮多個，這類隨機變量叫做離散型隨機變量．例如，擲一顆骰子觀察出現(xiàn)的點數(shù)、某射手射擊10次，觀察命中的次數(shù)、電話交換臺單位時間接到的呼叫次數(shù)等，它們都是離散型隨機變量．而測定電子元件的使用壽命，其可能取的值充滿了區(qū)間(0,+∞)，是無法按一定次序一一列舉出來的,所以它是一個非離散型的隨機變量．為了完全描述隨機變量X，只知道它可能取的值是遠遠不夠的，更重要的是要知道它取各個值的概率．

設離散型隨機變量X的可能取值為xk(k=1,2,…)，事件{X=xk}的概率為

P{X=xk}=pk(k=1,2,…)

(1)

稱(1)式為離散型隨機變量X的概率分布或分布律．它也可以用表格的形式來表示：X

x1x2…

xn

…

pkp1

p2…

pn…由概率的定義，pk

滿足如下兩個條件

(1)pk≥0(k=1,2,…)；

反之，滿足上述條件的數(shù)列{pk}都是某一隨機變量的分布列。

一般地，離散型隨機變量的分布函數(shù)可表成都是右連續(xù)單調(diào)不減的階梯函數(shù)．它在X的每一個可能取值處發(fā)生“跳躍”，其跳躍的高度恰為X取xi的概率．

顯然，離散隨機變量的分布函數(shù)由其分布律惟一確定．反之，若已知離散隨機變量的分布函數(shù)，則其分布律亦被惟一地確定下來．因而分布律和分布函數(shù)都能完整描述離散型隨機變量的統(tǒng)計規(guī)律，在應用時可選一種即可。例1設X的分布函數(shù)為求X的分布率。

解離散隨機變量僅在其分布函數(shù)發(fā)生跳躍的點處取值，且其概率恰等于該點處的躍度．

于是由分布函數(shù)可得分布律為X0245P{X=k}

0.20.30.10.41．兩點分布（0-1分布）若隨機變量X只可能取兩個值，其概率分布為

P{X=1}=p，P{X=0}=q(0＜p＜1，p＋q=1)．

則稱X服從兩點分布或0-1分布．也可表示為：X01pk

1－

pp分布函數(shù)為

對于只有兩種可能結(jié)果的隨機試驗，總可以令其中一個結(jié)果為事件A，則另一個結(jié)果為則問題就歸結(jié)為兩點分布．例如，一次射擊的命中與否；一個新生兒是男是女；一次抽樣結(jié)果是正品還是次品，等等．2．二項分布在§1.7中介紹了n重伯努利試驗，當每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p(0＜p＜1)時，n次試驗中A發(fā)生的次數(shù)X的可能值為0,1,2,…,n．且P{X=k}=pk=用{X=1}表A，{X