2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第八章 立體幾何初步 8.6 空間直線、平面的垂直 8.6.2 第2課時(shí) 直線與平面垂直的性質(zhì)（教學(xué)用書）教案 新人教A版必修第二冊(cè)

2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第八章立體幾何初步8.6空間直線、平面的垂直8.6.2第2課時(shí)直線與平面垂直的性質(zhì)（教學(xué)用書）教案新人教A版必修第二冊(cè)學(xué)校授課教師課時(shí)授課班級(jí)授課地點(diǎn)教具課程基本信息1.課程名稱：高中數(shù)學(xué)立體幾何初步——直線與平面垂直的性質(zhì)

2.教學(xué)年級(jí)和班級(jí)：高中二年級(jí)

3.授課時(shí)間：2024-2025學(xué)年第二學(xué)期第14周星期三上午第2節(jié)

4.教學(xué)時(shí)數(shù)：45分鐘

二、教學(xué)內(nèi)容與目標(biāo)

1.教學(xué)內(nèi)容：

（1）理解直線與平面垂直的性質(zhì)定理；

（2）學(xué)會(huì)運(yùn)用性質(zhì)定理判斷直線與平面的位置關(guān)系；

（3）掌握直線與平面垂直的性質(zhì)在實(shí)際問題中的應(yīng)用。

2.教學(xué)目標(biāo)：

（1）能夠準(zhǔn)確表述直線與平面垂直的性質(zhì)定理；

（2）能夠運(yùn)用性質(zhì)定理解決簡(jiǎn)單的立體幾何問題；

（3）培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力和邏輯思維能力。

三、教學(xué)方法與手段

1.教學(xué)方法：

（1）采用講授法，講解直線與平面垂直的性質(zhì)定理；

（2）采用案例分析法，分析實(shí)際問題中的應(yīng)用；

（3）采用互動(dòng)提問法，引導(dǎo)學(xué)生思考和探討。

2.教學(xué)手段：

（1）利用多媒體課件，展示直線與平面垂直的圖形；

（2）利用教具，直觀演示直線與平面的位置關(guān)系；

（3）利用練習(xí)題，鞏固所學(xué)知識(shí)。

四、教學(xué)過(guò)程

1.導(dǎo)入：

2.新課講解：

（1）講解直線與平面垂直的性質(zhì)定理；

（2）舉例說(shuō)明性質(zhì)定理的應(yīng)用；

（3）引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考和探討。

3.案例分析：

分析實(shí)際問題中的應(yīng)用，讓學(xué)生學(xué)會(huì)將理論知識(shí)運(yùn)用到實(shí)際問題中。

4.課堂練習(xí)：

布置練習(xí)題，讓學(xué)生鞏固所學(xué)知識(shí)。

5.總結(jié)與布置作業(yè)：

五、教學(xué)評(píng)價(jià)

1.課后作業(yè)：檢查學(xué)生對(duì)直線與平面垂直的性質(zhì)定理的理解和運(yùn)用；

2.課堂練習(xí)：評(píng)價(jià)學(xué)生在課堂上的參與度和思考能力；

3.課后訪談：了解學(xué)生對(duì)課堂內(nèi)容的掌握情況。

六、教學(xué)資源

1.教材：新人教A版必修第二冊(cè)；

2.多媒體課件；

3.教具：直線與平面垂直的模型。核心素養(yǎng)目標(biāo)本節(jié)課旨在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模和直觀想象等核心素養(yǎng)。通過(guò)學(xué)習(xí)直線與平面垂直的性質(zhì)定理，學(xué)生能夠從具體的圖形中抽象出一般性的規(guī)律，運(yùn)用邏輯推理證明定理的正確性，并將定理應(yīng)用于解決實(shí)際問題，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型。同時(shí)，通過(guò)觀察和操作立體圖形，學(xué)生能夠培養(yǎng)空間想象能力，從而提高他們的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。學(xué)情分析本節(jié)課的教學(xué)對(duì)象為高中二年級(jí)的學(xué)生，他們已經(jīng)學(xué)習(xí)了平面幾何的基礎(chǔ)知識(shí)，對(duì)圖形的性質(zhì)和公理體系有一定的了解。在學(xué)習(xí)立體幾何的過(guò)程中，他們已經(jīng)掌握了空間中點(diǎn)、線、面的基本關(guān)系，對(duì)立體圖形的認(rèn)知也有所提高。

在知識(shí)層面，大部分學(xué)生已經(jīng)具備了學(xué)習(xí)直線與平面垂直性質(zhì)的基礎(chǔ)，對(duì)于空間中的位置關(guān)系有一定的認(rèn)識(shí)。然而，部分學(xué)生在空間想象能力上還有所欠缺，對(duì)于復(fù)雜的立體圖形可能存在理解上的困難。此外，學(xué)生對(duì)于定理的證明過(guò)程和方法可能還存在疑惑，需要老師在教學(xué)中進(jìn)行引導(dǎo)和解釋。

在能力層面，大部分學(xué)生具備一定的邏輯推理能力，能夠理解并應(yīng)用定理解決簡(jiǎn)單的問題。但仍有部分學(xué)生在解決問題的過(guò)程中，缺乏條理性和邏輯性，需要老師通過(guò)實(shí)例分析和練習(xí)題進(jìn)行針對(duì)性訓(xùn)練。此外，學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力還有待提高，需要老師在教學(xué)過(guò)程中注重培養(yǎng)。

在素質(zhì)方面，學(xué)生們的學(xué)習(xí)態(tài)度和行為習(xí)慣參差不齊。部分學(xué)生學(xué)習(xí)積極性較高，能夠主動(dòng)參與課堂討論和練習(xí)；但也有部分學(xué)生學(xué)習(xí)積極性不高，容易走神和注意力不集中。對(duì)于這部分學(xué)生，老師需要通過(guò)豐富的教學(xué)手段和互動(dòng)環(huán)節(jié)，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣，提高他們的學(xué)習(xí)效果。

對(duì)于課程學(xué)習(xí)，學(xué)生的知識(shí)基礎(chǔ)、能力水平和素質(zhì)狀況都會(huì)產(chǎn)生影響。老師需要充分了解學(xué)生的實(shí)際情況，針對(duì)性地進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，調(diào)整教學(xué)策略，以提高教學(xué)效果。在教學(xué)過(guò)程中，老師要關(guān)注學(xué)生的個(gè)體差異，給予不同的學(xué)生不同的關(guān)注和指導(dǎo)，確保每個(gè)學(xué)生都能在課堂上得到有效的學(xué)習(xí)和提升。同時(shí)，老師還要注重培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和自主學(xué)習(xí)能力，幫助他們養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，為后續(xù)的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。教學(xué)資源1.軟硬件資源：

-教室內(nèi)的多媒體設(shè)備

-投影儀

-白板

-直線與平面垂直的模型和教具

-練習(xí)題紙張

2.課程平臺(tái)：

-學(xué)校提供的教學(xué)管理系統(tǒng)

3.信息化資源：

-數(shù)學(xué)教學(xué)課件

-立體幾何教學(xué)視頻

-線上練習(xí)題庫(kù)

4.教學(xué)手段：

-講授法

-案例分析法

-互動(dòng)提問法

-小組討論法

-實(shí)踐操作法

5.其他資源：

-學(xué)生作業(yè)反饋記錄

-學(xué)生課堂表現(xiàn)記錄

-教學(xué)反思筆記教學(xué)流程1.課前準(zhǔn)備（5分鐘）

在課前，教師需要準(zhǔn)備好相關(guān)的教學(xué)資源，如多媒體課件、模型教具等。同時(shí)，教師還需要布置一些預(yù)習(xí)任務(wù)，如讓學(xué)生復(fù)習(xí)平面幾何的相關(guān)知識(shí)，預(yù)習(xí)本節(jié)課的內(nèi)容等。

2.課堂導(dǎo)入（5分鐘）

教師可以通過(guò)一些現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)例，如建筑物、家具等，引出直線與平面垂直的概念。然后，教師可以提出一些問題，如直線與平面垂直的性質(zhì)是什么？如何判斷直線與平面的位置關(guān)系？引出本節(jié)課的主題。

3.新課講解（15分鐘）

教師可以通過(guò)多媒體課件，展示直線與平面垂直的圖形，引導(dǎo)學(xué)生觀察和分析。然后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)邏輯推理，得出直線與平面垂直的性質(zhì)定理。在這個(gè)過(guò)程中，教師需要注意引導(dǎo)學(xué)生理解定理的含義和證明過(guò)程。

4.案例分析（10分鐘）

教師可以給學(xué)生一些實(shí)際問題，讓學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決。例如，給出一個(gè)立體圖形的描述，讓學(xué)生判斷直線與平面的位置關(guān)系。通過(guò)這個(gè)環(huán)節(jié)，學(xué)生可以加深對(duì)直線與平面垂直性質(zhì)的理解和運(yùn)用。

5.課堂練習(xí)（5分鐘）

教師可以布置一些練習(xí)題，讓學(xué)生在課堂上完成。這些練習(xí)題可以包括判斷題、填空題、解答題等類型。通過(guò)這個(gè)環(huán)節(jié)，學(xué)生可以鞏固所學(xué)知識(shí)，提高解決問題的能力。

6.總結(jié)與布置作業(yè)（5分鐘）

教師可以對(duì)本節(jié)課的內(nèi)容進(jìn)行總結(jié)，強(qiáng)調(diào)直線與平面垂直的性質(zhì)和運(yùn)用。然后，教師可以布置一些課后作業(yè)，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固所學(xué)知識(shí)。

7.課后反饋（5分鐘）

教師可以通過(guò)課后訪談、作業(yè)批改等方式，了解學(xué)生對(duì)課堂內(nèi)容的掌握情況，為下一步的教學(xué)提供參考。

整個(gè)教學(xué)流程共計(jì)45分鐘。在這個(gè)時(shí)間內(nèi)，教師可以充分利用各種教學(xué)資源和方法，引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)知識(shí)，通過(guò)實(shí)踐和運(yùn)用鞏固所學(xué)知識(shí)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。同時(shí)，教師還需要關(guān)注學(xué)生的個(gè)體差異，給予不同的學(xué)生不同的關(guān)注和指導(dǎo)，確保每個(gè)學(xué)生都能在課堂上得到有效的學(xué)習(xí)和提升。知識(shí)點(diǎn)梳理本節(jié)課的主要內(nèi)容是直線與平面垂直的性質(zhì)。具體知識(shí)點(diǎn)如下：

1.直線與平面垂直的定義：在空間中，如果一條直線與一個(gè)平面相交，且相交角為90度，則稱這條直線與該平面垂直。

2.直線與平面垂直的性質(zhì)定理：如果一條直線與一個(gè)平面垂直，那么該直線上的任意一點(diǎn)到該平面的距離都相等。

3.直線與平面垂直的性質(zhì)定理的證明：可以通過(guò)反證法進(jìn)行證明。假設(shè)存在一條直線與一個(gè)平面垂直，但該直線上的某一點(diǎn)到該平面的距離不相等，則可以找到一個(gè)與該直線平行的直線，與該平面的距離也不相等，這與直線與平面垂直的定義矛盾，因此假設(shè)不成立，直線與平面垂直的性質(zhì)定理得證。

4.直線與平面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用：可以通過(guò)該定理判斷直線與平面的位置關(guān)系，解決一些立體幾何問題。例如，已知一條直線與一個(gè)平面垂直，求該直線在平面上的投影長(zhǎng)度；已知一條直線與一個(gè)平面不垂直，求該直線在平面上的投影長(zhǎng)度等。

5.直線與平面垂直的性質(zhì)定理的拓展：如果一條直線與一個(gè)平面垂直，那么該直線與該平面上的任意一條直線都垂直。作業(yè)布置與反饋1.作業(yè)布置

本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是讓學(xué)生掌握直線與平面垂直的性質(zhì)及其應(yīng)用。為了幫助學(xué)生鞏固所學(xué)知識(shí)，提高他們的能力，可以根據(jù)教學(xué)內(nèi)容布置適量的作業(yè)。作業(yè)可以包括以下幾個(gè)方面：

（1）復(fù)習(xí)直線與平面垂直的定義和性質(zhì)定理，讓學(xué)生用自己的話進(jìn)行表述。

（2）運(yùn)用性質(zhì)定理判斷一些立體圖形中直線與平面的位置關(guān)系，求解相關(guān)問題。

（3）結(jié)合生活實(shí)際，找一些直線與平面垂直的例子，并說(shuō)明其應(yīng)用。

（4）針對(duì)本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，設(shè)計(jì)一些拓展題目，讓學(xué)生進(jìn)行思考和探討。

2.作業(yè)反饋

在學(xué)生完成作業(yè)后，要及時(shí)對(duì)他們的作業(yè)進(jìn)行批改和反饋。在批改作業(yè)時(shí)，要注意以下幾點(diǎn)：

（1）檢查學(xué)生對(duì)直線與平面垂直的性質(zhì)定理的理解和運(yùn)用情況，看他們是否能夠準(zhǔn)確地表述和應(yīng)用。

（2）關(guān)注學(xué)生在解決問題時(shí)的思路和方法，看他們是否能夠?qū)⑺鶎W(xué)知識(shí)運(yùn)用到實(shí)際問題中。

（3）注重學(xué)生的解題規(guī)范性和準(zhǔn)確性，提醒他們注意常見的錯(cuò)誤和誤區(qū)。

（4）針對(duì)不同學(xué)生的作業(yè)表現(xiàn)，給出針對(duì)性的改進(jìn)建議，促進(jìn)他們的學(xué)習(xí)進(jìn)步。

在反饋?zhàn)鳂I(yè)時(shí)，可以采取以下幾種方式：

（1）個(gè)別輔導(dǎo)：針對(duì)學(xué)生的個(gè)性化問題，進(jìn)行面對(duì)面的指導(dǎo)和解答。

（2）集體講解：針對(duì)共性問題，在課堂上進(jìn)行講解和分析。

（3）書面批注：在學(xué)生的作業(yè)上給出詳細(xì)的批注和評(píng)語(yǔ)。

（4）線上交流：利用教學(xué)平臺(tái)或微信等工具，與學(xué)生進(jìn)行線上交流和答疑。重點(diǎn)題型整理1.題型一：判斷題

題目：如果一條直線與一個(gè)平面垂直，那么該直線上的任意一點(diǎn)到該平面的距離都相等。

答案：正確

2.題型二：填空題

題目：在空間中，如果一條直線與一個(gè)平面相交，且相交角為____度，則稱這條直線與該平面垂直。

答案：90

3.題型三：解答題

題目：已知直線AB與平面P垂直，點(diǎn)C在平面P上，求證：AC和CB的長(zhǎng)度相等。

答案：

（1）過(guò)點(diǎn)A作AD垂直于平面P，交平面P于點(diǎn)D。

（2）連接CD，由于直線AB與平面P垂直，所以AB垂直于CD。

（3）根據(jù)直線與平面垂直的性質(zhì)定理，得到AD垂直于CD。

（4）由于AD和CD都在平面P上，且AD垂直于CD，所以AC和CB的長(zhǎng)度相等。

4.題型四：應(yīng)用題

題目：一個(gè)長(zhǎng)方體容器，長(zhǎng)為4cm，寬為3cm，高為2cm。求證：容器底面上的任意一條直線都與容器側(cè)面垂直。

答案：

（1）設(shè)容器底面上的任意一條直線為l。

（2）過(guò)點(diǎn)A（2,1,0）作直線l垂直于底面，交底面于點(diǎn)B。

（3）設(shè)直線l在底面上的投影為線段AB，根據(jù)直線與平面垂直的性質(zhì)定理，得到線段AB垂直于底面。

（4）由于底面是一個(gè)矩形，所以線段AB垂直于底面的任意一條邊。

（5）根據(jù)長(zhǎng)方體的性質(zhì)，容器側(cè)面上的邊與底面的邊平行，所以線段AB垂直于容器側(cè)面。

（6）因此，容器底面上的任意一條直線都