2024-2025學(xué)年湖南省岳陽市平江縣頤華高級中學(xué)高二（上）入學(xué)數(shù)學(xué)試卷（含解析）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年湖南省岳陽市平江縣頤華高級中學(xué)高二（上）入學(xué)數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共11小題，第1-8題每小題5分，第9-11題每小題6分，共58分。1.已知a=log50.5，b=log30.3A.a<b<c B.b<a<c C.a<c<b D.b<c<a2.設(shè)向量a=(cos23°,cos67°)，b=(cos53°,cos37°)，a?A.32 B.12 C.?3.若p：|x|=x，q：x2+x≥0，則p是q的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.如圖，長方體ABCD?A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，E，F(xiàn)，G分別是DD1A.30°

B.45°

C.60°

D.90°5.已知按從小到大順序排列的兩組數(shù)據(jù)：

甲組：27，30，37，a，40，50；

乙組：24，b，33，44，48，52．

若這兩組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)對應(yīng)相等，第50百分位數(shù)也對應(yīng)相等，則a+b=(

)A.60 B.65 C.70 D.756.1748年，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)了復(fù)指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的關(guān)系，并寫下以下公式eix=cosx+isinx(e是自然對數(shù)的底，i是虛數(shù)單位)，這個公式在復(fù)變論中占有非常重要的地位，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”，下列說法正確的是(????)A.eix+1=0 B.12+37.若一個圓柱的內(nèi)切球(與圓柱的兩底面以及每條母線均相切)的表面積為4π，則這個圓柱的體積為(

)A.π B.2 C.2π D.2π8.已知直角梯形ABCD中，AD//BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的動點，則|PA+3PB|A.4 B.5 C.6 D.9.對于△ABC，有如下判斷，其中正確的判斷是(

)A.若cosA=cosB，則△ABC為等腰三角形

B.若A>B，則sinA>sinB

C.若a=8，c=10，B=60°，則符合條件的△ABC有兩個

D.若sin2A+sin10.已知函數(shù)f(x)=|log2(x+a)|,0<x≤2f(x?2),2<x≤4的圖象過點(1,0)，若函數(shù)g(x)=m?f(x)的從小到大的四個不同的零點依次為x1，xA.x1x2=1 B.x4?11.如圖，正方體ABCD?A′B′C′D′的棱長為4，M是側(cè)面ADD′A′上的一個動點(含邊界)，點P在棱CC′上，且|PC′|=1，則下列結(jié)論正確的有(

)A.沿正方體的表面從點A到點P的最短距離為45

B.保持PM與BD′垂直時，點M的運(yùn)動軌跡長度為32

C.若保持|PM|=25，則點M的運(yùn)動軌跡長度為4π3

二、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知集合A={x|x2?3x?10≤0}，集合B={x|m+1≤x≤2m?1}，且B?A，則實數(shù)m13.已知二次函數(shù)f(x)=ax2?2x+1在區(qū)間[1,3]上是單調(diào)函數(shù)，那么實數(shù)a14.如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為矩形；E為PD的中點.若AP=1，AD=3，AB=34，當(dāng)三棱錐P?ABCD的體積取到最大值時，點E到平面PBC

三、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.（13分）已知a→=(2sinx,cos2x)，b→=(3cosx,2)，f(x)=a?b．

16.（15分）已知△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對邊，sin(2C?π2)=12且a2+b2<c217.（15分）定義在(0,+∞)上的函數(shù)f(x)滿足f(xy)=f(x)+f(y)，且當(dāng)x>1時，f(x)<0．

(1)求f(1)；

(2)證明f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減；

(3)若關(guān)于x的不等式f(k?3x)?f(918.（17分）如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點，作EF⊥PB交PB于點F．

(1)求三棱錐A?BDE的體積；

(2)求證：PB⊥平面EFD；

(3)求平面CPB與平面PBD的夾角的大?。?/p>

19.（17分）某校象棋社團(tuán)組織了一場象棋對抗賽，參與比賽的40名同學(xué)分為10組，每組共4名同學(xué)進(jìn)行單循環(huán)比賽.已知甲、乙、丙、丁4名同學(xué)所在小組的賽程如表.規(guī)定：每場比賽獲勝的同學(xué)得3分，輸?shù)耐瑢W(xué)不得分，平局的2名同學(xué)均得1分，三輪比賽結(jié)束后以總分排名，每組總分排名前兩位的同學(xué)可以獲得獎勵.若出現(xiàn)總分相同的情況，則以抽簽的方式確定排名(抽簽的勝者排在負(fù)者前面)，且抽簽時每人勝利的概率均為12.假設(shè)甲、乙、丙3名同學(xué)水平相當(dāng)，彼此間勝、負(fù)、平的概率均為13.丁同學(xué)的水平較弱，面對任意一名同學(xué)時自己勝、負(fù)、平的概率都分別為第一輪甲—乙丙—丁第二輪甲—丙乙—丁第三輪甲—丁乙—丙(1)求丁同學(xué)的總分為5分的概率；

(2)已知三輪比賽中丁同學(xué)獲得兩勝一平，且第一輪比賽中丙、丁2名同學(xué)是平局，求甲同學(xué)能獲得獎勵的概率．

答案解析1.B

【解析】解：∵a=log50.5=1+log50.1=1+1log0.15，b=log30.3=1+log30.1=1+1log0.13，

又log0.15<log0.13<0，

∴1log0.12.A

【解析】解：∵向量a=(cos23°,cos67°)，b=(cos53°,cos37°)，

∴a?b=cos23°cos53°+cos67°cos37°

=cos23°cos53°+cos(90°?23°)cos(90°?53°)

=cos23°cos53°+sin23°sin53°

=cos(53°?23°)

=cos30°

=32．

3.A

【解析】解：由|x|=x可得x≥0，由x2+x≥0可得x≥0或x≤?1，

則p可推出q，反之推不出，故p是q的充分不必要條件．

故選：A．

判斷p，q的關(guān)系，即可求解．4.D

【解析】解：如圖：連接B1G，EG

∵E，G分別是DD1，CC1的中點，

∴A1B1//EG，A1B1=EG，∴四邊形A1B1GE為平行四邊形

∴A1E//B1G，∴∠B1GF即為異面直線A1E與GF所成的角

在三角形B1GF中，B1G=B1C12+5.C

【解析】解：根據(jù)題意，甲、乙兩組數(shù)據(jù)都按從小到大順序排列，

甲乙都有6個數(shù)據(jù)，6×30%=1.8，

則甲組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)為30，乙組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)為b，則有b=30，

又由6×50%=3，

則甲組數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)為12(37+a)，乙組數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)為12(33+44)=772，

則有12(37+a)=772，解可得a=40，

故a+b=70．

故選：6.CD

【解析】解：對于A，因為eix=cosx+isinx，所以eix+1=0不一定成立，選項A錯誤；

對于B，(12+32i)3=(cosπ3+isinπ3)3=(eπ3i)3=e7.C

【解析】解：設(shè)球的半徑為r，則4πr2=4π，解得r=1，

因半徑為r的球是圓柱的內(nèi)切球，則圓柱的高?等于其內(nèi)切球直徑2r，圓柱底面圓直徑等于球的直徑2r，

于是得圓柱的底面圓半徑為1，高?=2，則V=π×12×2=2π，

所以這個圓柱的體積為2π．

故選：8.B

【解析】解：如圖，以直線DA，DC分別為x，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，

則A(2,0)，B(1,a)，C(0,a)，D(0,0)

設(shè)P(0,b)(0≤b≤a)

則PA=(2,?b)，PB=(1,a?b)，

∴PA+3PB=(5,3a?4b)

∴|PA+3PB|=25+(3a?4b)2≥5，

即有當(dāng)3a=4b時，取得最小值5．

故選B．

根據(jù)題意，利用解析法求解，以直線DA，DC分別為x，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A(2,0)，B(1,a)，9.ABD

【解析】解：若cosA=cosB，則A=B，一定為等腰三角形，A正確；

若A>B，則a>b，即2RsinA>2RsinB，

所以sinA>sinB，B正確；

若a=8，c=10，B=60°，由余弦定理得，b2=64+100?2×8×10×12=84，

所以b=221，故符合條件的△ABC有一個，C錯誤；

若sin2A+sin210.AB

【解析】解：因為f(x)=|log2(x+a)|,0<x≤2f(x?2),2<x≤4，的圖象過點(1,0)，

所以f(1)=|log2(1+a)|=0，解得a=0，

所以f(x)=|log2x|,0<x≤2f(x?2),2<x≤4，

因為函數(shù)g(x)=m?f(x)從小到大的四個不同的零點依次為x1，x2，x3，x4，

所以關(guān)于x的方程f(x)=m從小到大的四個不同的實根依次為x1，x2，x3，x4，

即函數(shù)f(x)的圖象與直線y=m有四個交點，四個交點的橫坐標(biāo)從小到大依次為x1，x2，x3，x4．

作出函數(shù)f(x)的圖象，如圖中實線所示：

由圖易知0<m≤1.易知?log2x1=log2x2，

所以log2x1+log2x2=0，所以log2(x1x2)=0，所以x1x2=1，故A正確．

易知x4=x2+2，即x4?x2=2，故11.BCD

【解析】解：對于A，將正方體的下面和側(cè)面展開可得如圖圖形，

連接AP，則|AP|=16+49=65<45，故A錯誤；

對于B，如圖：

∵DD′平面ABCD，AC?平面ABCD，DD′⊥AC，又AC⊥BD，

DD′?BD=D，DD′，BD?平面

DD′B，

∴AC⊥平面

DD′B，BD′?平面

DD′B．

∴AC⊥BD′′，同理可得BD′⊥AB′，AC∩AC′=A，AC，AB′?平面

ACB′．

∴BD′⊥平面

ACB′．

∴過點P作PG//C′D交CD交于G，過G作GF//AC交AD交于F，

由AB′//C′D，可得PG//AB′，PG?平面ACB′，AB′?平面ACB′，

∴PG//平面ACB′，同理可得GF//平面ACB′．

則平面PGF//平面ACB′．

設(shè)平面PEF交平面ADD′A′于EF，則M的運(yùn)動軌跡為線段EF，

由點P在棱CC′上，且|PC′|=1，可得|DG|=|DF|=|AE|=1，

∴|EF|=34|A′D|=32，故B正確；

對于C，如圖：

若|PM|=25，則M在以P為球心，25為半徑的球面上，

過點P作PQ⊥平面ADD′A′，則|D′Q|=1，此時|QM|=|PM|2?|PQ|2=2．

∴點M在以Q為圓心，2為半徑的圓弧上，此時圓心角為2π3．

點M的運(yùn)動軌跡長度2π3×2=4π3，故C正確；

對于D，如圖：

延長DC，D′P交于點H，連接AH交BC于I，連接PI，

∴平面AD′P被正方體ABCD?A′B′C′D′截得的截面為AIPD′．

△PCH～△D′DH，∴|PH||D′H|=|PC||DD′|=|HC||DH|=34．

△ICH～△ADH，∴|CI||DA|=|HC||DH|=|IH||AH|=34，

12.m≤3

【解析】

解：∵x2?3x?10≤0，∴(x+2)(x?5)≤0，解得?2≤x≤5.∴A={x|?2≤x≤5}．

∵B?A，∴B=?，或m滿足m+1≥?22m?1≤5，解得m<2，或?3≤m≤3.即m≤3．

∴實數(shù)m的取值范圍是{m|m≤3}．

故答案為{m|m≤3}13.{a|a<0或0<a≤13或【解析】解：f(x)的對稱軸是x=1a，

a<0時，f(x)開口向下，x=1a<0，

f(x)在[1,3]遞減，符合題意，

a>0時，若f(x)在[1,3]單調(diào)，

只需1a≥3或0<1a≤1，

解得：a≥1或0<a≤13，

綜上，a∈{a|a<0或0<a≤13或a≥1}，

故答案為：14.310【解析】解：因為四邊形ABCD為矩形，邊長為定值，所以要使三棱錐P?ABCD的體積取到最大值，則PA⊥平面ABCD，

取PA的中點F，因為E為PD的中點，所以EF//AD，

而AD//BC，

所以EF//BC，

所以E，F(xiàn)到平面PBC的距離相等，

所以VE?PBC=VF?PBC=VC?PBF，

因為PA⊥平面ABCD，PA?平面PAB，

所以平面PAB⊥平面ABCD，

又因為平面PAB∩平面ABCD=AB，

BC⊥AB，BC?平面ABCD，

所以BC⊥平面PAB，

所以BC⊥PB，PB=PA2+AB2=12+(34)2=54，

S△PBF=12S△PAB=12×12PA×AB=14×1×34=316，S△PBC=12PB15.解：(1)a→=(2sinx,cos2x)，b→=(3cosx,2)，

由f(x)=a→?b→=23sinxcosx+2cos2x

=3sin2x+cos2x+1=2sin(2x+π6)+1，

∴f(x)的最小正周期T=2π2=π，

由2kπ+π2?2x+π6?3π2+2kπ,k∈Z，

【解析】本題考查三角函數(shù)化簡及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查了學(xué)生的計算能力，培養(yǎng)了學(xué)生分析問題與解決問題的能力，屬于中檔題．

(1)由f(x)=a?b，根據(jù)向量的數(shù)量積的運(yùn)用可得f(x)的解析式，化簡，利用周期公式求函數(shù)的最小正周期，最后將內(nèi)層函數(shù)看作整體，放到正弦函數(shù)的減區(qū)間上，解不等式得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；

(2)在[0,16.解：(1)∵sin(2C?π2)=?sin(π2?2C)=?cos2C=12，

∴cos2C=2cos2C?1=?12，即cos2C=14，

∵a2+b2<c2，即a2+【解析】(1)已知等式利用誘導(dǎo)公式化簡求出cos2C的值，由已知不等式，利用余弦定理得到C為鈍角，即可確定出C的度數(shù)；

(2)利用正弦定理化簡所求式子，將C的度數(shù)代入，用A表示出B，整理后利用余弦函數(shù)的值域即可確定出范圍．

此題考查了余弦定理，誘導(dǎo)公式，和差化積公式，兩角和與差的余弦函數(shù)公式，余弦函數(shù)的定義與值域，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．17.解：(1)∵f(xy)=f(x)+f(y)，

令x=y=1，

則F(1)=2f(1)

∴f(1)=0；

(5分)

證明：(2)由f(xy)=f(x)+f(y)

可得f(yx)=f(y)?f(x)，

設(shè)x1>x2>0，f(x1)?f(x2)=f(x1x2)，x1x2>1，

∴f(x1x2)<0，即f(x1)?f(x2)<0

∴f(x1)<f(x2)，所以f(x)【解析】(1)令x=y=1，根據(jù)定義在(0,+∞)上的函數(shù)f(x)恒有f(xy)=f(x)+f(y)，我們易構(gòu)造關(guān)于f(1)的方程，解方程即可求出求f(1)；

(2)根據(jù)已知中定義在(0,+∞)上的函數(shù)f(x)恒有f(xy)=f(x)+f(y)，并且x>1時，f(x)<0恒成立，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的證明方法--作差法(定義法)我們即可得到f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減；

(3)結(jié)合(1)、(2)的結(jié)論，我們可將不等式f(k?3x)?f(9x?3x+1)≥f(1)轉(zhuǎn)化為一個指數(shù)不等式，進(jìn)而利用換元法可將問題轉(zhuǎn)化為一個二次不等式恒成立問題，解答后即可得到滿足條件的實數(shù)k的取值范圍．

本題考查的知識點是抽象函數(shù)及其應(yīng)用，函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，其中(1)的關(guān)鍵是“湊配”思想的應(yīng)用，(2)的關(guān)鍵是將f(xy)=f(x)+f(y)，變型為18.解：(1)取DC中點M，連接EM，如圖所示：

在△PDC中，M、E分別為CD、CP中點，

∴EM為△PDC的中位線，

∴EM//PD，且EM=12PD，

又∵PD=2，

∴EM=1

∵PD⊥底面ABCD，

∴EM⊥底面ABCD，

∴VA?BDE=VE?ABD=13×12×2×2×1=23；

(2)∵PD⊥底面ABCD，且BC?面ABCD，

∴PD⊥BC，

∵底面ABCD是正方形，

∴DC⊥BC，

又PD∩DC=D，PD、DC?面PDC，

∴BC⊥面PDC，又DE?面PDC，

∴BC⊥DE，

∵PD=DC，且PD⊥DC，

∴△PDC是等腰直角三角形，又DE是斜邊PC的中線，

∴DE⊥PC，

又PC∩BC=C，PC、BC?面PBC，

∴DE⊥面PBC，

∵PB?面PBC，

∴DE⊥PB，

∵PB⊥EF，

又DE∩EF=E，DE、EF?面EFD，

∴PB⊥平面EFD；

(3)由(2)可知PB⊥DF，

故∠EFD是平面CPB與平面PBD的夾角，

∵PD=DC=2，

∴DE=2，

在△PBD中