2020年中考數(shù)學圓：相交弦定理(含答案)

《相交弦定理》

知識梳理：

（1）相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等.（經(jīng)過圓內(nèi)一

點引兩條線，各弦被這點所分成的兩段的積相等）.

幾何語言：若弦AB、CD交于點P,貝（!PA?PB=PC?PD（相交弦定理）

（2）推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項.

幾何語言：若AB是直徑，CD垂直AB于點P,貝!]PC2=PA?PB（相交弦定理推論）.

--選擇題

1.如圖，0。的兩條弦力6、8相交于點B/C和。6的延長線交于點戶，下列結(jié)論中

成立的是（）

A.PC?CA=PB?BDB.CE?AE=>BE?ED

C.CE?CD=BE?BAD.PB?PD=PC'PA

2.如圖，正方形內(nèi)接于OO,點戶在劣弧力6上，連接。只交/C于點Q.若

A.273-1B.2MC.V3W2D.?+2

3.如圖在一次游園活動中有個投籃游戲，活動開始時四個人力、&。、。在距籃筐戶都是

5米處站好，籃球放在"C和6。的交點O處，已知取籃球時“要走6米，6要走3米,

。要走2米，則。要走（）

p

D

A.2米B.3米C.4米D.5米

4.如圖，已知為。。的直徑，。為。。上一點，于。，AD=9,5/7=4,以

C為圓心，。。為半徑的圓與。。相交于尸，Q兩點，弦戶Q交。。于￡則戶日既?的

C.6D.27

5.矩形46"為。。的內(nèi)接四邊形，AB=2,6c=3,點萬為6c上一點，且肥=1,延

長工廠交。。于點尸，則線段工廠的長為（)

A.1B.5c.V5+1D.—

5娓2V5

6.如圖，。O的直徑AB與弦CD交于點E,AE=6,BE=2,8=2g,則NXa的

度數(shù)是（）

A.30°B.60°C.45°D.36°

7.如圖，點戶為弦上的一點，連接OR過點戶作尸C_LORPC交。。干C,且。。

的半徑為3.若力尸=4,PB=},則。尸的長是（）

A.2B.2泥C.遂D.V3

8.如圖，。。的直徑"6=10,E是06上一點，弦8過點￡且肥=2,DE=272,

則弦心距。尸為（）

C.V?D.73

9.已知：如圖，△46C是。O的內(nèi)接正三角形，弦）經(jīng)過6c的中點。，且EFHAB,若

48=2,則。舊的長是（）

C.坐

D.卜

10.如圖，已知O為。O'上一點，。。和。O相交于4B,C。是。。的直徑，交

于廠，。。的延長線交00于己且6=4,OF=2,則CE的長為（）

A.12B.8C.6D.4

--填空題

11.如圖，的弦/從。。相交于點￡若/￡DE=3-5,則/C:BD=

12.如圖，在。。中，弦6cDE交千點、P,延長6。，交于點A6c=10,BP=1CP,

嚼小則。尸的長為——

13.已知弦46和弦C。相交于。。內(nèi)一點P,AP=8,BP=3,PD=PC,則CD=.

14.如圖，。。的直徑與弦C。相交于點例，AE1CD于E,BFLCD于F.若C〃=

4,MD=3,BF-.AE=]\3,則。。的半徑是.

15.如圖，半徑為八的圓內(nèi)切于半徑為^的圓，切點為P,過圓心O｝的直線與OQ交于“、

r,

8,與。。交于C、D,已知/IC:CD:DB=3:4:2,則」=

r2

16.如圖，已知/、8、C、。在同一個圓上，BC=CD,AC與BD交手E,若/C=8,

CD=4,且線段6日力為正整數(shù)，則

5

17.如圖，。。過點，0"交。。于力，延長。O的直徑力8交。用于C,若"6=8,

BC=1,貝（］AM=

三.解答題

18.(1)如圖1,AB,8是。O中的兩條弦，它們相交于點尸，求證：PA?PB=PC?PD.

(2)如圖2,點尸在。。內(nèi)，。。的半徑為5s?,OP=3cm,過點尸任意畫一條弦

交。。于8兩點，根據(jù)(])中的結(jié)論計算以?06的值.

19.在一次數(shù)學實驗探究課中，需要研究同一個圓中兩條線段的關(guān)系問題，某同學完成了

以下部分的記錄，單位：cm

測量結(jié)果第一次第二次第三次

BB0

?AcA

AE2.003.002.99

BE6.015.005.00

CE3.013.883.75

DE3.993.874.00

AEXBE-

CEXDE

(I)請你計算AEXBE,4義。萬的值，并填入上表相應的位置.?

(2)猜，想對在同一個圓中，兩條線段相交，被交點分成的兩條線段的積有什么關(guān)系？

并試著證明.

(3)利用上述結(jié)論，解決問題：為。。的弦，尸是46上一點，AB=]O,PA=4,

OP=5,求。。的半徑R

20.已知：如圖是。。的直徑，”切。。于點8,入交。。于點C,尸尸分別交工3、

BC于E、D,交。。于F、G,且6。恰好是關(guān)于x的方程幺-6肝(力2+40+13)

=0(其中力為實數(shù))的兩根.

(1)求證：BE=BD.

(2)若GE,EiM，求//的度數(shù).

參考答案

選擇題

1.解：'''ZP-ZP,/_A=/_D,

:APABSXPDC、

,PA_PB

"PD"PC5

:.PB?PD=POPA,

故選：D.

2.解：如圖，設。。的半徑為，，QO=m,貝IJQQ=/77,QC=r+m,

QA-r-m.

在。。中，根據(jù)相交弦定理，得Q/?QC=QQQ。.

22

即（r-m）（什m）=m、QD,所以QD=37一二.

m

連接。O,由勾股定理，得QC^Db+QC^,

22

即（三工）2-2+m2，

m

解得

o

r4m

所以02.--E+l^/Z+n

所以‘QA%-m-仔l(wèi)，3+2

故選：D.

3.解：根據(jù)題意得：46、C、。在以尸為圓心，半徑是5米的圓上.

:.OA?OC=OB?OD,即6X2=3XOD.

解得。。=4.

故選：C.

4.，解：延長。C交。C于例，延長。。交。。于M

■:CU=AD-DB,AD=9,BD=4,

CD—6.

在。O、OC中，由相交弦定理可知，PE-EQ=DE-EM=CE-EN,

設CE-x,貝ijDE=6—x,EN=6—x+6

貝ij(6-x)(A+6)=x(6-肝6),

解得x=3.

所以，CE=3,DE=6-3=3,EM=6+3=9.

所以戶曰反?=3x9=27.

故選：D.

.1,Z5=90°,

AE=VAB2+BE2=722+l2=爬'

-：BC=3,BE=1,:.CE=2,

由相交弦定理得：AE*EF=BE?CE,

匚匚BE-CE1X22A/5

AE網(wǎng).5

:.AF=A&EF=g^,

故選：4

6.解：連接O。，過圓心O作O〃1C。于點H.

.■.DH=CH=^CD(垂徑定理);

'''CD=2.14,

DH=7y4-

^-：AE=6,BE=2,

AB—8,

,■,0/1=00=4（。。的半徑）;

:.OE=2-,

.?.在RtAODH中，OH=/0D2_DH2="一乜=&（勾股定理）;

在Rt△。曰/中，sin/OEH=^=^-,

AOEH=45°,

即N/￡9=45°.

故選：C.

7.解：延長O尸交圓于一點。，連接OC,

-：PCVOP,

:.PC=PD,

:.PC^=PA?PB,

-：AP=4,PB=1,

.?.尸3=4x1,

..尸C=2,

op=Voc2-pc2=VS2-22=V5-

8.解：丫/8=10,

二。。的半徑為5,

又■：BE?AE=CE、ED,

即BE*（OA+OE）=CE*ED,

即2x（5+5-2）=2&C￡

:.CE=4近,

CD=CE^ED=4/2+2-\y2=6、b，EF=~CD~ED=3-y2—2、歷=、粒,

叉■:OE=OB-BE=5-2=3,

在RtAO爐中，EF=近,05=3,

■■-OF=VOE2-EF2=7s2-（V2）2=V7■

故選：c.

9.解：如圖.過C作CML46于N,交平于M貝lJCAn&.

根據(jù)圓和等邊三角形的性質(zhì)知：CN必過點O.

■■■EFIIAB,。是6c的中點，

，OG是△，/1紇的中位線，即。6=95=1;

易知△CG。是等邊三角形，而C及1OG,則。例="G;

由于OA<L&,由垂徑定理得：EM=MF,椒DE=GF.

?.?弦6C、）相交于點。，

:.BD?DC=DE?DF,即DEX（。61）=1;

解得。E=近二1（負值舍去）.

2

故選：B.

10.解：。。中，。尸=2,6=4

:.OC=OD=6

:.AF?FB=CF?FD=AX(2+6)=32

OO'中，EF，OF=AF，F(xiàn)B=32

:.EF=32+0尸=16

即EF=EC+CF=EC+4=16

:.EC=12.

故選：4

二.填空題（共7小題）

11.解：???弦/8、C。相交于點￡

ZC=/_B,

.?△ACESXDBE,

,AC=AE=_3

"BD"DE"?5

故答案為：3:5.

12.解：如圖，作C77//OF交于“設DP=2Q.

'：PD\\CH,

,PD=PB=BD

"CH"BC-

CH-3a

BD\AD=2:3,

:.BD:AD=BD:BH,

:.AD=BH,

:.BD=AH,

■.AH:AD=2:3,

:.CHIIDE,

,HC=AH=2

"DE"AD"I5

Q

,DE=3。,

2

:.PE=—a-2,a=—a,

22

:BC=10,BP:PC=2:1,

“8號心學

":PB，PC=PD”E,

.-.5^=200,

9

歲（負根已經(jīng)舍棄），

...也=2a=@M

_3

故答案為斗匝.

13.解：,?.弦45和弦8相交于。。內(nèi)一點只

:.PA?PB=PC?PD,

而力尸=8,BP=3,PD=PC,

二PC2=8x3=24,

PC—

:.CD=2PC=4遍.

故答案為4-y0.

14.解：由題意得，/U7X例6=。四*"。=12①，

-：AE\_CD,BFLCD,

AEIIBF,

:.BM\AM=BF\AE=1:3②，

聯(lián)合①②可得：AM=6,BM=2,

.AB=AM+MB=8,

二。。的半徑是4.

故答案為：4.

15.解：如圖，設“C,CD,分別是3x,4x,2x、

貝ijr}=2x,

根據(jù)兩圓相切，切點一定在連心線上，

則作直線。2。1，一定經(jīng)過點尸，交圓于另一點已

根據(jù)相交弦定理，得外?（22-八）=O}A*O}B,

貝ijr2=6x

，IL_1

,r23

16.解：BC=CD,

ABAC=ADAC,

■：/.DBC=ADAC,

/_BAC=/_DBC,

又?：LBCE=AACB,

:./\ABC^/\BEC,

:.BC^=CE?AC,

:AC=8,8=4,

.1.EC=2,AE=6,

由相交弦定理得，BE*DE=AE?EC,

即BB*DE=\1,■

又線段6Ea為正整數(shù)，

且在△68中，BC+CD>BE^DE,

所以可得6￡=3、DE=4BE=A,DE=3,

所以BD=BE^DE=7.

故答案為：7.

17.解：作過點例、8的直徑4，交圓于點EF,

貝ijEM=MA=MF,

由相交弦定理知，AB?BC=EB?BF=(EM+MB)(MF-MB)=AA^-M^=8,

,.X8是圓O的直徑,

:.AAMB=9Q°,

由勾股定理得，用層=/母=64,

三.解答題(共3小題)

18.(1)證明：連接BD,

由圓周角定理得，NC=/5,AA=AD,

:.XACPSXDBP、

,AP=PC

"PD-PB1

:.PA*PB=PC*PD\

(2)延長。。交OO于。，

貝ij尸。=5+3=8,PC=5-3=2,

由相交弦定理得，入?戶8=PC?戶。=8x2=16.

19.解：⑴填表如下:

測量結(jié)果第一次第二次第三次

BB

AE2.003.002.99

BE6.015.005.00

CE3.013.883.75

DE3.993.874.00

AEXBE12.0215.0014.95

CEXDE12.009915.015615

(2)猜想:AE?BE=CE*DE;

證明：連接力。、BD,

'/_A—/_D,/_ACD=/_DBA,

△CAESRBDE,

,AECE

"DE"BE5

即：AE*BE=CE*DE;

(3)如圖，延長。尸交圓于點C延長尸O交圓于點。,

根據(jù)題意得：/P=4,BP=6,

設半徑為八則尸C=-5,PD=r+5,

由相交弦定理得：AP*BP=CP*DP,

即：(-5)(r-5)