高考數(shù)學（題型預(yù)測+范例選講）綜合能力題選講 第21講 抽象函數(shù)型綜合問題（含詳解）

抽象函數(shù)型綜合問題題型預(yù)測抽象函數(shù)型綜合問題，一般通過對函數(shù)性質(zhì)的代數(shù)表述，綜合考查學生對于數(shù)學符號語言的理解和接受能力，考查對于函數(shù)性質(zhì)的代數(shù)推理和論證能力，考查學生對于一般和特殊關(guān)系的認識．可以說，這一類問題，是考查學生能力的較好途徑，因此，在近年的高考中，這一類題目有增多和分量加重的趨勢．范例選講例1．定義在R上的函數(shù)滿足：對任意實數(shù)，總有，且當時，．（1）試求的值；（2）判斷的單調(diào)性并證明你的結(jié)論；（3）設(shè)，若，試確定的取值范圍．（4）試舉出一個滿足條件的函數(shù)．講解：（1）在中，令．得：．因為，所以，．（2）要判斷的單調(diào)性，可任取，且設(shè)．在已知條件中，若取，則已知條件可化為：．由于，所以．為比較的大小，只需考慮的正負即可．在中，令，，則得．∵時，，∴當時，．又，所以，綜上，可知，對于任意，均有．∴．∴函數(shù)在R上單調(diào)遞減．（3）首先利用的單調(diào)性，將有關(guān)函數(shù)值的不等式轉(zhuǎn)化為不含的式子．，，即．由，所以，直線與圓面無公共點．所以，．解得：．（4）如．點評：根據(jù)題意，將一般問題特殊化，也即選取適當?shù)奶刂担ㄈ绫绢}中令；以及等）是解決有關(guān)抽象函數(shù)問題的非常重要的手段；另外，如果能找到一個適合題目條件的函數(shù)，則有助于問題的思考和解決． 例2．已知定義在R上的函數(shù)滿足：（1）值域為，且當時，；（2）對于定義域內(nèi)任意的實數(shù)，均滿足：試回答下列問題：（Ⅰ）試求的值；（Ⅱ）判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性；（Ⅲ）若函數(shù)存在反函數(shù)，求證：．講解：（Ⅰ）在中，令，則有．即：．也即：．由于函數(shù)的值域為，所以，，所以．（Ⅱ）函數(shù)的單調(diào)性必然涉及到，于是，由已知，我們可以聯(lián)想到：是否有？（＊）這個問題實際上是：是否成立？為此，我們首先考慮函數(shù)的奇偶性，也即的關(guān)系．由于，所以，在中，令，得．所以，函數(shù)為奇函數(shù)．故（＊）式成立．所以，．任取，且，則，故且．所以，所以，函數(shù)在R上單調(diào)遞減．（Ⅲ）由于函數(shù)在R上單調(diào)遞減，所以，函數(shù)必存在反函數(shù)，由原函數(shù)與反函數(shù)的關(guān)系可知：也為奇函數(shù)；在上單調(diào)遞減；且當時，．為了證明本題，需要考慮的關(guān)系式．在（＊）式的兩端，同時用作用，得：，令，則，則上式可改寫為：．不難驗證：對于任意的，上式都成立．（根據(jù)一一對應(yīng)）．這樣，我們就得到了的關(guān)系式．這個式子給我們以提示：即可以將寫成的形式，則可通過裂項相消的方法