滿分線性代數(shù)（第二版）課件 第3章 矩陣的秩與線性方程組

第三章矩陣的秩與線性方程組3.1矩陣秩的定義3.2矩陣秩的求法3.3矩陣秩的性質(zhì)3.4利用初等行變換解線性方程組3.5利用初等行變換解非齊次線性方程組舉例3.6線性方程組解的判定3.7典型例題分析

3.1矩陣秩的定義

1.k階子式

m×n矩陣A的任意k行與任意k列交叉處的k2個(gè)元素構(gòu)成的k階行列式稱為矩陣A的k階子式。顯然矩陣A共有CkmCkn個(gè)k階子式。圖3.1給出一個(gè)3×4矩陣A的1個(gè)二階子式。

圖3.1矩陣A的1個(gè)二階子式示意圖

2.矩陣的秩

若矩陣A的某一個(gè)k階子式D不等于零,而A的所有k+1階子式全為零,那么D稱為A的最高階非零子式,數(shù)k稱為矩陣A的秩,記作R(A)。并規(guī)定零矩陣的秩等于0。

3.與秩相關(guān)的幾個(gè)矩陣

(1)行滿秩矩陣:矩陣的秩等于其行數(shù)的矩陣。

(2)列滿秩矩陣:矩陣的秩等于其列數(shù)的矩陣。

(3)滿秩矩陣:若n階矩陣A的行列式|A|≠0,則A的秩等于n,稱其為滿秩矩陣。顯然滿秩矩陣就是可逆矩陣,也稱非奇異矩陣。

(4)降秩矩陣:若n階矩陣A的行列式|A|=0,則A的秩小于n,稱其為降秩矩陣。顯然降秩矩陣就是不可逆矩陣,也稱奇異矩陣。

(5)行階梯矩陣:滿足兩個(gè)條件,

①如果有零行(元素全為0的行),則零行位于非零行的下方;

②每一行第一個(gè)非零元素前面的零的個(gè)數(shù)逐行增加。

任意一個(gè)矩陣A總可以經(jīng)過(guò)若干次初等行變換化為行階梯矩陣。圖3.2給出了3個(gè)行階梯矩陣的示意圖,圖3.3又給出了2個(gè)反例。圖3.2行階梯矩陣示意圖

圖3.3非行階梯矩陣示意圖

(6)行最簡(jiǎn)形矩陣:滿足兩個(gè)條件,①是一個(gè)行階梯矩陣;

②每一行的第一個(gè)非零元素為1,且這個(gè)元素所在列的其他元素都是0。

任意一個(gè)矩陣A總可以經(jīng)過(guò)若干次初等行變換化為行最簡(jiǎn)形矩陣。圖3.4給出了一個(gè)具體的行最簡(jiǎn)形矩陣。

圖3.4行最簡(jiǎn)形矩陣示意圖

(7)標(biāo)準(zhǔn)形矩陣:把分塊矩陣的形式稱為標(biāo)

準(zhǔn)形,任意秩為r的矩陣A總能夠經(jīng)過(guò)若干次初等變換(行變換

和列變換)化為標(biāo)準(zhǔn)形

3.2矩陣秩的求法

1.初等變換不改變矩陣秩的定理因?yàn)槌醯茸儞Q不改變矩陣的秩,所以,若矩陣A與矩陣B等價(jià),則有R(A)=R(B),即“等價(jià)則等秩”。

2.求矩陣秩的方法

通過(guò)尋找矩陣的最高階非零子式來(lái)確定矩陣的秩是一個(gè)比較繁瑣的過(guò)程。根據(jù)初等變換不改變矩陣秩的定理,可以通過(guò)初等行變換把矩陣A化為行階梯矩陣B,而矩陣B的非

零行數(shù)就是矩陣B的秩,也就是矩陣A的秩。圖3.5給出了構(gòu)造行階梯矩陣最高階非零子式的示意圖。

圖3.5構(gòu)造行階梯矩陣最高階非零子式示意圖

3.3矩陣秩的性質(zhì)

1.秩是非負(fù)整數(shù)矩陣A的秩就是它最高階非零子式的階數(shù),或者是把它化成行階梯矩陣的非零行數(shù),所以它永遠(yuǎn)不會(huì)是負(fù)數(shù),即R(A)≥0。

2.零矩陣的秩為零規(guī)定零矩陣O的秩為0。所以,若R(A)=0,則A=O。

3.秩不大于矩陣“尺寸”

根據(jù)矩陣秩的定義,顯然矩陣A的秩不大于其“尺寸”,即

4.轉(zhuǎn)置、數(shù)乘秩不變換．

5.初等變換秩不變

矩陣A經(jīng)過(guò)有限次初等變換(行或列)變?yōu)锽,那么A與B的秩相等。并有以下定理:若P、Q為可逆矩陣,則

6.部分的秩不大于整體的秩

矩陣A和B分別是分塊矩陣(A,B)的一部分,那么有:R(A,B)≥R(A),R(A,B)≥R(B)。

7.和的秩不大于秩的和

矩陣和的秩不會(huì)超過(guò)矩陣秩的和:R(A+B)≤R(A)+R(B)。

8.合并的秩不大于秩的和

把矩陣A和B合并為一個(gè)分塊矩陣(A,B),那么有合并矩陣的秩不會(huì)超過(guò)矩陣秩的和:R(A,B)≤R(A)+R(B)。

9.矩陣越乘秩越小

矩陣乘積的秩不會(huì)大于其中任意一個(gè)矩陣的秩:R(AB)≤R(A);R(AB)≤R(B)。

若A列滿秩,則R(AB)=R(B)。若B行滿秩,則R(AB)=R(A)。

10.關(guān)于AB=O的秩

根據(jù)公式R(AB)≥R(A)+R(B)-n,當(dāng)AB=O時(shí),有R(A)+R(B)≤n。

11.方陣的秩

針對(duì)n階矩陣,有以下結(jié)論:

|A|≠0?A是滿秩矩陣(R(A)=n)?A是可逆矩陣?A是非奇異矩陣。

|A|=0?A是降秩矩陣(R(A)<n)?A是不可逆矩陣?A是奇異矩陣。

12.伴隨矩陣的秩

n階矩陣A的伴隨矩陣A*的秩只有以下三種情況:

13.分塊矩陣的秩

設(shè)A、B、C、D均為n階矩陣,O為n階零矩陣,則

3.4利用初等行變換解線性方程組

1.線性方程組與矩陣在學(xué)習(xí)矩陣乘法運(yùn)算時(shí),知道線性方程組可以抽象成矩陣形式Ax=b。(1)非齊次線性方程組與增廣矩陣。當(dāng)常數(shù)向量非零(b≠0)時(shí),稱方程組Ax=b為非齊次線性方程組,其中,(A,b)稱為增廣矩陣。一個(gè)非齊次線性方程組Ax=b與一個(gè)增廣矩陣(A,b)一一對(duì)應(yīng),我們常常通過(guò)研究增廣矩陣來(lái)分析非齊次線性方程組的解。

(2)齊次線性方程組與系數(shù)矩陣。當(dāng)常數(shù)向量b=0時(shí),稱方程組Ax=0為齊次線性方程組,其中,A稱為系數(shù)矩陣。一個(gè)齊次線性方程組Ax=0與一個(gè)系數(shù)矩陣A一一對(duì)應(yīng),我們常常通過(guò)研究系數(shù)矩陣來(lái)分析齊次線性方程組的解。

2.利用初等行變換解線性方程組

用高斯消元法解非齊次線性方程組的過(guò)程實(shí)質(zhì)上就是對(duì)增廣矩陣進(jìn)行初等行變換的過(guò)程。

(1)針對(duì)非齊次線性方程組Ax=b,有

方程組Ax=b與方程組Cx=d同解。

(2)針對(duì)齊次線性方程組Ax=0,有

方程組Ax=0與方程組Bx=0同解。

3.5利用初等行變換解非齊次線性方程組舉例

例求非齊次線性方程組

解對(duì)非齊次線性方程組Ax=b的增廣矩陣進(jìn)行初等行變換,將其化為行最簡(jiǎn)形。

3.6線性方程組解的判定

1.非齊次線性方程組解的判定非齊次線性方程組的解有三種不同的情況:無(wú)解、有唯一解和有無(wú)窮組解。以下分別根據(jù)系數(shù)矩陣和增廣矩陣的秩來(lái)研究非齊次線性方程組解的情況。

(1)Am×nx=b

無(wú)解?R

(A)≠R((A,b))。

把增廣矩陣(A,b)經(jīng)過(guò)初等行變換化為行最簡(jiǎn)形時(shí),若R

(A)≠R((A,b)),則必有一行為(0,0,…,0,1),其對(duì)應(yīng)的是一個(gè)矛盾方程:0x1+0x2+…+0xn=1,所以方程組無(wú)解。

(2)Am×nx=b

有唯一解?R

(A)=R((A,b))=n。

增廣矩陣的秩就是把其化為行階梯矩陣的非零行數(shù),即是方程組的約束條件數(shù),而矩陣A的列數(shù)是方程組未知數(shù)的個(gè)數(shù),于是當(dāng)方程組約束條件數(shù)R((A,b))等于未知數(shù)個(gè)數(shù)n時(shí),方程組就只能有唯一解了。

(3)Am×nx=b有無(wú)窮多解?R(A)=R((A,b))<n。

在沒(méi)有矛盾方程的前提下R(A)=R((A,b)),當(dāng)方程組約束條件數(shù)R((A,b))小于未知數(shù)個(gè)數(shù)n時(shí),方程組就有多解了。

(4)若A為方陣,則有克萊姆法則相關(guān)定理:

(5)R(Am×n)=m?Am×nx=b有解。

由于m=R

(Am×n

)≤R((A,b)m×(n+1))≤m,

于是R(A)=R((A,b))=m,則Am×nx=b有解。

2.齊次線性方程組解的判定

(1)齊次線性方程組Ax=0一定有解。

因?yàn)辇R次線性方程組Ax=0一定有零解,即所有未知數(shù)都為零。

(2)Am×nx=0只有零解?R(

A)=n。

當(dāng)方程組約束條件數(shù)R(

A)等于未知數(shù)個(gè)數(shù)n時(shí),方程組就只能有零解了。

(3)Am×nx=0有非零解?R(A)<n。

當(dāng)方程組約束條件數(shù)R(

A)小于未知數(shù)個(gè)數(shù)n時(shí),方程組就有非零解了。

(4)若m<n,則Am×nx=0一定有非零解。

因?yàn)镽(

Am×n

)≤m<n,所Am×nx=0有非零解。

(5)若A為方陣,則有克萊姆法則相關(guān)定理:

3.7典型例題分析

【例3.1】已知ai(i=1,2,…,n)不全為零,bi(i=1,2,…,n)不全為零。求矩陣題分析

【解】

所以R(A)≤R((b1,b2,…,bn))=1,

又知ai(i=1,2,…,n)不全為零,bi(i=1,2,…,n)不全為零,所以矩