統(tǒng)計分析基礎知識

統(tǒng)計分析基礎知識【例】孵化一枚種蛋可能結果只有兩種,即“孵出小雞”與“未孵出小雞”。若用變量x表示試驗得兩種結果,則可令x=0表示“未孵出小雞”,x=1表示“孵出小雞”?！纠繙y定某品種豬初生重,表示測定結果得變量x所取得值為一個特定范圍(a,b),如0、5-1、5kg,x值可以就是這個范圍內(nèi)得任何實數(shù)。二、概率分布1、概念:描述隨機變量取值得概率得函數(shù)。主要有三種函數(shù):(1)概率函數(shù):描述離散型隨機變量各可能取值得概率得函數(shù)。(2)概率密度函數(shù):描述連續(xù)型隨機變量取值得概率密度得函數(shù)。(3)分布函數(shù):描述隨機變量取值小于、等于某值得概率得函數(shù)。記作F()=P(X≤)2、分布函數(shù)性質(zhì):

(1)F()就是x得非減函數(shù)(2)F(-∞)=0;F(+∞)=1(3)F()函數(shù)至多有可列個間斷點,而在其間斷點上也就是右連續(xù)。

3、大數(shù)定律:就是概率論中用來闡述大量隨機現(xiàn)象平均結果穩(wěn)定性得一系列定律得總稱。

主要內(nèi)容:樣本容量越大,樣本統(tǒng)計數(shù)與總體參數(shù)之差越小。

(1)貝努里大數(shù)定律設m就是n次獨立試驗中事件A出現(xiàn)得次數(shù),而p就是事件A在每次試驗中出現(xiàn)得概率,則對于任意小得正數(shù)ε,有如下關系:<ε｝=1{limP

(2)辛欽大數(shù)定律

設x1,x2,x3,…,xn就是來自同一總體得變量,對于任意小得正數(shù)ε,有如下關系:<ε｝=1{limP第四節(jié)離散分布一、離散型隨機變量概率函數(shù)p()=P(X=)

例:投擲一枚骰子所得得點數(shù)為一隨機變量,求該隨機變量得概率函數(shù)。概率函數(shù)得性質(zhì):

a)非負性:Ｐ(X＝xi)=Pi≥0;

b)歸一性:

二、概率分布函數(shù)三、隨機變量得數(shù)學期望與方差

1、加權平均數(shù):例:某種玉米得株高數(shù)據(jù),求平均株高。株高1、751、761、771、781、791、801、811、821、83百分比2%1%6%3%1%4%2%3%1%株高1、841、851、861、871、881、891、901、911、92百分比15%8%7%11%5%5%10%10%6%=1.75×0.02+1.76×0.01+…+1.92×0.06=1.86F()=P(X≤)2、數(shù)學期望:

一個隨機變量得所有可能值以其相應得概率函數(shù)為權得加權平均數(shù)。表示集中程度得參數(shù)。設X就是一個離散型隨機變量,她可能取得值就是i(i=1,2,…),其概率函數(shù)為:p(i)=P(X=i)E(X)=x1p(xi)+x2p(x2)+x3p(x3)+…+xnp(xn)=

3、數(shù)學期望得性質(zhì):(1)E［g()］=

（2）E［g（）+h（）］=E［g（）］+E［h（）］推廣：E（X+Y）=E（X）+E（Y）（3）E（k）==kE(kX)=kE(x)(4)E(X-u)=E(X)-u=0(5)E(Xk)=kp(i)

隨機變量X得矩,k稱為矩得階。這一類型得矩又稱為k階原點矩。任意點得矩:E[(X-a)k]=表明:隨機變量X關于點a得k階矩。當a=μ=E(X)時,X關于μ得k階矩稱為中心矩。二階中心矩:

==VarX標準偏差:方差得平方根。бx==

反映了一個隨機變量取值得變化程度,反映了概率分布得散布或偏離。四、常見得離散分布1、伯努里(Bernoulli)分布一個只取兩個值得隨機變量叫伯努里隨機變量,其概率分布稱為伯努里分布。大家學習辛苦了，還是要堅持繼續(xù)保持安靜μ=E(X)=p

σ2=E(x2)-μ2=p-p2=p(1-p)=pq2、二項分布:(1)二項分布定義:設隨機變量x所有可能取得值為零和正整數(shù):0,1,2,…n,且k=0,1,2…n,其中p＞0,q＞0,p+q=1,則稱隨機變x服從參數(shù)為n和p得二項分布

(binomialdistribution),記為

x-B(n,p)。

(2)性質(zhì):

(1)P(X=k)=Pn(k)

(k=0,1,2、、、n)

(2)二項分布得概率之和等于1,即(3)二項分布由n和p兩個參數(shù)決定:①當p值較小且n不大時,分布就是偏倚得。但隨著n得增大,分布逐漸趨于對稱。②當p值趨于0、5時,分布趨于對稱。③對于固定得n及p,當k增加時,Pn(k)先隨之增加并達到其極大值,以后又下降。此外,在n較大,np、nq較接近時,二項分布接近于正態(tài)分布;當n→∞時,二項分布得極限分布就是正態(tài)分布。二項分布圖當n=20時,不同p值得曲線。(4)二項分布概率計算及應用條件【例】純種白豬與純種黑豬雜交,根據(jù)孟德爾理論,子二代中白豬與黑豬得比率為3:1。求窩產(chǎn)仔10頭,有7頭白豬得概率。解:n=10,p=3/4=0、75,q=1/4=0、25。設10頭仔豬中白色得為x頭【例】設在家畜中感染某種疾病得概率為20％,現(xiàn)有兩種疫苗,用疫苗A注射了15頭家畜后無一感染,用疫苗B注射15頭家畜后有1頭感染。設各頭家畜沒有相互傳染疾病得可能,問:應該如何評價這兩種疫苗?假設疫苗A完全無效,那么注射后得家畜感染得概率仍為20％,則15頭家畜中染病頭數(shù)x=0得概率:

如果疫苗B完全無效,則15頭家畜中最多有1頭感染得概率為可知,注射A疫苗無效得概率為0、0352,比B疫苗無效得概率0、1671小得多。因此,可以認為A疫苗就是有效得,但不能認為B疫苗也就是有效得?！纠孔胸i黃痢病在常規(guī)治療下死亡率為20％,求5頭病豬治療后死亡頭數(shù)各可能值相應得概率。設5頭病豬中死亡頭數(shù)為x,則x服從二項分布B(5,0、2),其所有可能取值為0,1,…,5,按計算概率,用分布列表示如下:

0123450、32770、40960、20480、05120、00640、0003二項分布得應用條件有三:1、各觀察單位只具有互相對立得一種結果。2、已知發(fā)生某一結果得概率為p,其對立結果得概率則為1－p=q,要求p就是從大量觀察中獲得得穩(wěn)定數(shù)值。3、n個觀察單位得觀察結果互相獨立。(5)二項分布得平均數(shù)與標準差μ=npσ=【例】求仔豬黃痢病平均死亡豬數(shù)及死亡數(shù)得標準差。以p=0、2,n=5代入公式得:平均死亡豬數(shù)μ=5×0、20=1、0(頭)

標準差(頭)當試驗結果以事件A發(fā)生得頻率k／n表示時

σp也稱為總體百分數(shù)標準誤,當p未知時,常以樣本百分數(shù)來估計。此時上式改寫為:

Sp稱為樣本百分數(shù)標準誤。3、波松分布

波松分布就是一種描述和分析發(fā)生在單位空間或時間里得稀有事件得概率分布。樣本含量n必須很大。二項分布得一種特殊類型。

(1)波松分布得概率函數(shù)若隨機變量X(X=k)只取零和正整數(shù)值0,1,2,…,且其概率分布為k=0,1,……n,其中λ＞0,表示單位區(qū)間上發(fā)生變換得次數(shù);t表示t個小區(qū)間;e就是自然對數(shù)得底數(shù),則稱X服從參數(shù)為λ得波松分布(Poisson,

distribution)記為X-P(λ)。

變成n個二點分布:

p()︽Cnx()x

(1-)n-x

=F(k)=P(X≤k)=(2)波松分布重要得特征:①平均數(shù)和方差相等,都等于常數(shù)λ,即

μ=σ2=λt=np

②λ就是波松分布所依賴得唯一參數(shù)。③λ值愈小分布愈偏倚,隨著λ得增大,分布趨于對稱。④當λ=20時分布接近于正態(tài)分布;當λ=50時,認為波松分布呈正態(tài)分布。在實際工作中,當λ≥20時就可以用正態(tài)分布來近似地處理波松分布得問題。⑤對于小概率事件,可用波松分布描述其概率分布。⑥二項分布當p<0、1和np<5時,可用波松分布來近似?！纠空{(diào)查某種豬場閉鎖育種群仔豬畸形數(shù),共記錄200窩,畸形仔豬數(shù)得分布情況如下表所示。試判斷畸形仔豬數(shù)就是否服從波松分布?；巫胸i數(shù)統(tǒng)計分布樣本平均數(shù)和方差S2計算結果如下:

=Σfk/n=(120×0+62×1+15×2+2×3+1×4)/200=0、51=0、51,S2=0、52,這兩個數(shù)就是相當接近得,因此可以認為畸形仔豬數(shù)服從波松分布。波松分布若用m表示λ時得曲線(3)波松分布得概率計算大多λ未知,只能從所觀察得隨機樣本中計算出相應得樣本平均數(shù)作為λ得估計值?！纠恐幸雅袛嗷巫胸i數(shù)服從波松分布,并已算出樣本平均數(shù)=0、51。將0、51代替公式中得λ得:

(k=0,1,2,…)

因為e0、51=1、6653,所以畸形仔豬數(shù)各項得概率為:

P(x=0)=(0、510／0!)/1、6653=0、6005P(x=1)=(0、511／1!)/1、6653=0、3063P(x=2)=(0、512／2!)/1、6653=0、0781P(x=3)=(0、513／3!)/1、6653=0、0133P(x=4)=(0、514／4!)/1、6653=0、0017

把上面各項概率乘以總觀察窩數(shù)(n=200)即得各項按波松分布得理論窩數(shù)。波松分布與相應得頻率分布列于下表中?；巫胸i數(shù)得波松分布比較后發(fā)現(xiàn)畸形仔豬得頻率分布與λ=0、51得波松分布就是吻合得很好得。說明了畸形仔豬數(shù)就是服從波松分布得?！纠繛楸O(jiān)測飲用水得污染情況,現(xiàn)檢驗某社區(qū)每毫升飲用水中細菌數(shù),共得400個記錄如下:試分析飲用水中細菌數(shù)得分布就是否服從波松分布。若服從,按波松分布計算:細菌數(shù)/ml(水)得概率及理論次數(shù),并將頻率分布與波松分布直觀比較。

經(jīng)計算得每毫升水中平均細菌數(shù)=0、500,方差S2=0、496。兩者很接近,故可認為細菌數(shù)/ml(水)服從波松分布。以=0、500代替公式中得λ,得

(k=0,1,2…)

計算結果如下表。細菌數(shù)得波松分布可見細菌數(shù)得頻率分布與λ=0、5得波松分布就是相當吻合得,進一步說明用波松分布描述單位容積(或面積)中細菌數(shù)得分布就是適宜得。注意:波松分布得應用條件與二項分布相似。4、超幾何分布

一個由N個元素組成得集合,其中M個具有性質(zhì)E,N-M個沒有性質(zhì)E。若從N個元素中隨機抽取n個,具有性質(zhì)E得就是k個,k為超幾何隨機變量,她得概率分布稱超幾何分布。

n個伯努里分布

P(k)=P(X=k)=CMkCN-Mn-k/CNnμ=n、M/Nσ2=[n、M/N、(1-M/N)]例:一碗中盛有15顆珠子,其中10顆紅得,5顆白得。從碗中隨機取出4顆,并設k=抽得得紅珠子得個數(shù)。求k得數(shù)學期望與方差。(k=0,1,2,3,4)

性質(zhì):

當N→∞時,可用二項分布近似代替。也可被波松分布代替。第五節(jié)連續(xù)分布

一、連續(xù)型隨機變量密度函數(shù)

1

概率密度函數(shù):

如隨機變量X得分布函數(shù)F()在(-∞,+∞)處處連續(xù)并且除有限個或可數(shù)個點之外存在著連續(xù)得導數(shù)

=f(),則稱f()為概率密度函數(shù)。2、概率密度函數(shù)得性質(zhì):1)f()≥0;p(1＜X＜2)=F(2)-F(1)3)4)p(＜X＜+△)≈f()△連續(xù)分布律用概率密度表示,離散型分布律用概率函數(shù)P(X=)表示分布函數(shù)F()則表示任何型隨機變量概率分布律得共同形式。

f()d稱為概率單元。二、數(shù)學期望與方差E(x)=E［g(x)］=E(k)=kE(kx)=kE(x)E(xk)=σ2=E［(x-u)2］==-u2例:設X就是一個連續(xù)隨機變量,她得密度函數(shù)就是

f(x)=0(x﹤0或x﹥1)

2x(0≤x﹤1)求數(shù)學期望和方差。三、重要得連續(xù)分布1、均勻分布隨機變量X得密度函數(shù)在一個區(qū)間上等于一個常數(shù),而在區(qū)間外等于零。

U(a,b):E(x)=

=σ2=E(x2)-u2=(1)正態(tài)分布得概率密度函數(shù)若分布函數(shù)為

其中μ為平均數(shù),σ2為方差,則稱隨機變量x服從正態(tài)布分

(normaldistribution),記為x-N(μ,σ2)。相應得概率分布函數(shù)為

2、正態(tài)分布分布密度曲線99、73%68、26%95、45%(2)正態(tài)分布得特征1、正態(tài)分布密度曲線就是單峰、對稱得懸鐘形曲線,對稱軸為x=μ2、f(x)在x=μ處達到極大,極大值

3、f(x)就是非負函數(shù),以x軸為漸近線,分布從-∞至+∞;

4、曲線在x=μ±σ處各有一個拐點,即曲線在(-∞,μ-σ)和(μ+σ,+∞)區(qū)間上就是下凸得,在[μ-σ,μ+σ]區(qū)間內(nèi)就是上凸得;5、正態(tài)分布有平均數(shù)μ和標準差σ兩個參數(shù)。μ就是位置參數(shù),σ就是變異度參數(shù)。6、分布密度曲線與橫軸所夾面積為1,即:

μ就是位置參數(shù),當σ恒定時,μ愈大,則曲線沿x軸愈向右移動;反之,μ愈小,曲線沿x軸愈向左移動。

σ就是變異度參數(shù),當μ恒定時,σ愈大,表示x得取值愈分散,曲線愈“胖”;σ愈小,x得取值愈集中在μ附近,曲線愈“瘦”。μ=0,σ2=1得正態(tài)分布稱為標準正態(tài)分布(standardnormaldistribution)。記作u-N(0,1)。(3)標準正態(tài)分布概率密度函數(shù):分布函數(shù):正態(tài)分布N(μ,σ2)得隨機變量x得標準化變換:

z=(x-μ)／σ(4)正態(tài)分布得概率計算１、標準正態(tài)分布得概率計算＝Φ(u2)－Φ(u1)P(0≤u＜u1)＝Φ(u1)-0、5

P(u≥u1)=Φ(-u1)

P(｜u｜≥u1)=2Φ(-u1)

P(｜u｜＜u1)＝＝1-2Φ(-u1)

P(u1≤u＜u2)＝Φ(u2)-Φ(u1)【例】已知u-N(0,1),試求:

(1)P(u＜-1、64)＝?(2)P(u≥2、58)=?(3)P(｜u｜≥2、56)=?(4)P(0、34≤u＜1、53)=?

利用公式,查附表得:(1)P(u＜-1、64)=0、05050(2)P(u≥2、58)=Φ(-2、58)=0、024940(3)P(｜u｜≥2、56)=2Φ(-2、56)=2×0、005234=0、010468(4)P(0、34≤u＜1、53)=Φ(1、53)-Φ(0、34)=0、93669-0、6331=0、30389關于標準正態(tài)分布,以下幾種概率應當熟記:

P(-1≤u＜1)=0、6826P(-2≤u＜2)=0、9545

P(-3≤u＜3)=0、9973

P(-1、96≤u＜1、96)=0、95P(-2、58≤u＜2、58)=0、99標準正態(tài)分布得三個常用概率99、73%68、26%95、45%２、一般正態(tài)分布得概率計算若隨機變量x服從正態(tài)分布N(μ,σ2),則x得取值落在任意區(qū)間[x1,x2)得概率,記作P(x1≤X＜x2),變換u=(x-μ)／σ【例】設X服從μ=30、26,σ2=5、102得正態(tài)分布,試求P(21、64≤x＜32、98)。令

則u服從標準正態(tài)分布,故

=P(-1、69≤u＜0、53)=Φ(0、53)-Φ(-1、69)=0、7019-0、04551=0、656410.526.30-=Xu

關于一般正態(tài)分布,以下幾個概率就是經(jīng)常用到得。

P(μ-σ≤X＜μ+σ)=0、6826

P(μ-2σ≤X＜μ+2σ)=0、9545

P(μ-3σ≤X＜μ+3σ)=0、9973

P(μ-1、96σ≤X＜μ+1、96σ)=0、95

P(μ-2、58σ≤X＜μ+2、58σ)=0、99第六節(jié)中心極限定理定理:設X1、X2、…、Xn為相互獨立同分布得隨機變量系列,令則設其分布函數(shù)為3個重要得概率分布得關系:(1)二項分布,在n→∞,p→0,且np=λ(較小常數(shù)),二項分布趨于波松分布,λ用二項分布得np代之;(2)在n→∞,p→0、5時,二項分布趨于正態(tài)分布,正態(tài)分布中得μ、σ2用二項分布得np、npq代之。在實際計算中,當p＜0、1且n很大時,二項分布可由波松分布近似。(3)當p＞0、1且n很大時,二項分布可由正態(tài)分布近似。(4)波松分布,當λ→∞時,波松分布以正態(tài)分布為極限。在實際計算中,當λ≥20(也有人認為λ≥6)時,用波松分布中得λ代替正態(tài)分布中得μ及σ2,即可由后者對前者進行近似計算。

單側概率與雙側概率生物統(tǒng)計中,把隨機變量x落在區(qū)間(μ-kσ,μ+kσ)之外得概率稱為雙側(兩尾)概率,記作α。對應于雙側概率可以求得隨機變量x小于μ－kσ或大于μ+kσ得概率,稱為單側概率,記作α／2。如,x落在(μ-1、96σ,μ+1、96σ)之外得雙側概率為0、05,而單側概率為0、025。即

P(x＜μ-1、96σ)=P(x＞μ+1、96σ)=0、025x落在(μ-2、58σ,μ+2、58σ)之外得雙側概率為0、01,而單側概率

P(x＜μ-2、58σ)=P(x＞μ+2、58σ)