北師大版七年級數(shù)學上冊講義-生活中的立體圖形（解析版）

第01講生活中的立體圖形

學習目標

1.認識柱體、椎體、球體，并能夠熟練的進行立體圖形的分類；

2.掌握柱體、椎體、球體的特征；

3.掌握柱體特征及其面的個數(shù)、棱的條數(shù)、頂點個數(shù)之間的關(guān)系;

4.掌握立體圖形的表面積、體積公式；

5.掌握棱柱的頂點數(shù)、棱數(shù)、面數(shù)的計算方法；

6.掌握立體圖形的表面積和體積的計算方法.

思維導(dǎo)圖

認識立體圖形

棱柱與棱錐的頂點、面、棱數(shù)

生活中的立體圖形立體圖形的分類

幾何體的表面積與體積

-T點、線、面、體

單

知識點01認識立體圖形

（1）幾何圖形：從實物中抽象出的各種圖形叫幾何圖形.幾何圖形分為立體圖形和平面圖形.

（2）立體圖形：有些幾何圖形（如長方體、正方體、圓柱、圓錐、球等）的各部分不都在同一個平面內(nèi),

這就是立體圖形.

知識點02立體圖形的分類

（1）按形狀分類：球，柱體（圓柱、棱柱），椎體（圓錐、棱錐），臺體（圓臺、棱臺）.

（2）按構(gòu)成分類：旋轉(zhuǎn)體（由平面圍成的立體圖形），旋轉(zhuǎn)體（繞某一軸旋轉(zhuǎn)一周）.

知識點03點、線、面、體

（1）體與體相交成面，面與面相交成線，線與線相交成點.

（2）從運動的觀點來看：點動成線，線動成面，面動成體.點、線、面、體組成幾何圖形，點、線、面、

體的運動組成了多姿多彩的圖形世界.

（3）從幾何的觀點來看：點是組成圖形的基本元素，線、面、體都是點的集合.

（4）長方體、正方體、圓柱、圓錐、球、棱柱、棱錐等都是幾何體，幾何體簡稱體.

（5）面有平面和曲面之分，如長方體由6個平面組成，球由一個曲面組成.

知識點04棱柱與棱錐的頂點、面、棱數(shù)

立體圖形各項個數(shù)

n棱柱頂點個數(shù)_2〃_,棱個數(shù)_3〃一，面?zhèn)€數(shù)_〃+2一，側(cè)棱個數(shù)側(cè)面?zhèn)€數(shù)/一

n棱錐頂點個數(shù)_/1_,棱個數(shù)_2心，面?zhèn)€數(shù)一〃+1_,側(cè)棱個數(shù)側(cè)面?zhèn)€數(shù)」

知識點05幾何體的表面積與體積

（1）幾何體的表面積=側(cè)面積+底面積（上、下底的面積和）

（2）常見的幾種幾何體的表面積的計算公式:

立體圖形表面積公式

圓柱體_2成2+2成/?_（R為圓柱體上下底圓半徑，〃為圓柱體高）

萬產(chǎn)+九萬（層+產(chǎn)）/360（丁為圓錐體低圓半徑，/z為其高，〃為圓錐側(cè)面展開圖中

圓錐體

扇形的圓心角）

長方體_2（ab+ah+bh）_（“為長方體的長，b為長方體的寬，人為長方體的高）

正方體_6a2—（。為正方體棱長）

（3）常見的幾種幾何體的體積的計算公式:

立體圖形體積公式

圓柱體—成2仙（R為圓柱體上下底圓半徑，/?為圓柱體高）

圓錐體_1/3%催生（H為圓柱體上下底圓半徑，/z為圓錐體高）

長方體_abh_（〃為長方體的長，。為長方體的寬，。為長方體的高）

正方體―a3_（〃為正方體棱長）

題型精講

題型01幾何體的識別

【典例1】下列標注的圖形與名稱不相符的是（）

D.圓柱

【分析】根據(jù)每一個幾何體的特征逐一判斷即可.

【詳解】解：A.是圓錐，故A不符合題意；

B.是四棱柱，故B不符合題意；

C.是三棱柱，不是三棱錐，故C符合題意；

D.是圓柱，故。不符合題意；

故選：C.

【點睛】本題考查了認識立體圖形，熟練掌握每一個幾何體的特征是解題的關(guān)鍵.

【變式1］下面的立體圖形按從左到右的順序依次是（）

A.長方體、圓柱、圓錐、正方體B.長方體、圓柱、球、正方體

C.棱柱、棱柱、球、正方體D.長方體、棱柱、圓錐、棱柱

【答案】B

【分析】觀察立體圖形，進行作答即可.

【詳解】解：下面的立體圖形按從左到右的順序依次是：長方體、圓柱、球、正方體;

故選&

【點睛】本題考查常見的立體圖形.熟練掌握常見的立體圖形，是解題的關(guān)鍵.

題型02立體圖形的分類

【答案】①②⑥⑤

【分析】根據(jù)立體圖形的特征即可得到答案.

【詳解】解：柱體的有①②⑥；球體有⑤.

故答案為：①②⑥，⑤

【點睛】本題考查了認識立體圖形，熟知立體圖形的特征并知道他們的名稱是解題關(guān)鍵.

【變式1】如圖所示，請將下列幾何體分類.

【答案】答案不唯一，見解析

【分析】對于立體圖形的分類，可按照不同標準進行，①按照立體圖形的種類分類；②根據(jù)立體圖形包含

的平面類型分類.

【詳解】解：方法一：（1）、（3）、（5）是一類,都是柱體；（2）是錐體；（4）是球體.

方法二：（1）、（3）是一類，全是由平面構(gòu)成的；（2）、（5）是一類，既有平面，又有曲面；（4）是一類，

只有曲面.

【點睛】本題考查立體圖形的認識，掌握分類時的標準選擇是解題關(guān)鍵.

題型03幾何體中點、棱、面

【典例1］幾何知識.

（1）長方體有個面，條棱，個頂點.

（2）圓柱體由個面圍成，圓錐由個面圍成，它們的底面都是.

（3）已知三棱柱有5個面、6個頂點、9條棱，四棱柱有6個面、8個頂點、12條棱，五棱柱有7個面、

1。個頂點、15條棱，.…，由此類推w棱柱有個面，個頂點，條棱.

【答案】612832圓形n+22n3n

【分析】（1）根據(jù)長方體的特征即可得到答案；

（2）根據(jù)圓柱和圓錐的特征即可得到答案；

（3）根據(jù)棱柱的特征進行分析，即可得到答案.

【詳解】解：（1）長方體有6個面，12條棱，8個頂點，

故答案為：6,12,8；

（2）圓柱體由3個面圍成，圓錐由2個面圍成，它們的底面都是圓形，

故答案為：3,2,圓形；

（3）己知三棱柱有5個面、6個頂點、9條棱，四棱柱有6個面、8個頂點、12條棱，五棱柱有7個面、

10個頂點、15條棱，......，由此類推w棱柱有〃+2個面，2〃個頂點，3〃條棱，

故答案為：n+2,2n,3”.

【點睛】本題考查了常見幾何體的基礎(chǔ)知識，解題關(guān)鍵是具備空間想象能力.

【變式1】如圖所示，是我們熟悉的三棱柱、五棱柱和六棱柱.

⑴填寫下表:

立體圖形頂點數(shù)面數(shù)棱數(shù)

三棱柱

五棱柱

六棱柱

（2）設(shè)〃棱枉（”為正整數(shù)，且力23）的頂點數(shù)為。、棱數(shù)為b、面數(shù)為c,根據(jù)表中數(shù)據(jù)猜想a+c-6=.

【答案】⑴6,5,9；10,7,15；12,8,18

?）2

【分析】（1）根據(jù)所給的圖形，數(shù)一數(shù)直接得出結(jié)果；

（2）把（1）中的結(jié)果代入“+c-8,即可發(fā)現(xiàn)規(guī)律.

【詳解】（1）根據(jù)圖形，可以得出三棱柱有6個頂點，5個面，9條棱；五棱柱有10個頂點，7個面，15條

棱；六棱柱有12個頂點，8個面，18條棱；

故答案為：6,5,9；10,7,15；12,8,18.

（2）三棱柱：a=6,b=9,c=5,

a+c—b=6+5—9=2；

「五棱柱：a=10,b=l5,c=1,

--a+c—h—10+7—15=2；

，六棱柱：a=12,b=18,c=8,

a+c—Z>=12+8—18=2；

猜想：a+c-b=2.

【點睛】本題主要考查了幾何體的結(jié)構(gòu)特征，根據(jù)所給的材料，仔細觀察圖形，找出一般規(guī)律是解本題的

關(guān)鍵.

題型04點、線、面、體四者之間的關(guān)系

【典例I】當你用筆在紙上寫字時，你的筆尖實現(xiàn)了（）

A.點動成線B.線動成面C.面動成體D.以上都不對

【答案】A

【分析】筆尖點在紙上是一個點，寫字滑動筆尖就是一條直線，即點動成線.

【詳解】解：當你用筆在紙上寫字時，你的筆尖實現(xiàn)了點動成線，

故選：A.

【點睛】本題考查了點動成線，理解點動成線是解題關(guān)鍵.

【變式1】如圖，直角三角形繞它的一條直角邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，形成的幾何體是,這其中

蘊含的數(shù)學事實是.

【答案】圓錐面動成體

【分析】根據(jù)直角三角形繞它的一條直角邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，形成的幾何體是圓錐，以及面、體之間

的關(guān)系進行作答即可.

【詳解】解：由題意知，直角三角形繞它的一條直角邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，形成的幾何體是圓錐，這其

中蘊含的數(shù)學事實是面動成體，

故答案為：圓錐，面動成體.

【點睛】本題考查了平面圖形旋轉(zhuǎn)后所得的立體圖形，面、體之間的關(guān)系.解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練

掌握.

題型05平面圖形旋轉(zhuǎn)后所得的立體圖形

【典例1】圖中的圓柱體是由下面哪個圖形旋轉(zhuǎn)而成的（）

【答案】B

【分析】根據(jù)圓柱可以看成繞矩形的一邊旋轉(zhuǎn)得到，由此判斷即可.

【詳解】解：圓柱可以看成繞矩形的一邊旋轉(zhuǎn)得到，觀察圖象可知，圓柱的高大于底面圓的直徑,

故選項2符合題意，

故選：B.

【點睛】本題主要考查了點、線、面、體，關(guān)鍵是掌握點動成線，線動成面，面動成體.

【變式1】下列各選項中的圖形，繞虛線旋轉(zhuǎn)一周，所得的幾何體是圓錐的是（）

【答案】B

【分析】根據(jù)面動成體的知識逐項判斷即可得.

【詳解】A、本選項中的圖形繞虛線旋轉(zhuǎn)一周，所得的幾何體是球，不符合題意；

8、本選項中的圖形繞虛線旋轉(zhuǎn)一周，所得的幾何體是圓錐，符合題意；

C、本選項中的圖形繞虛線旋轉(zhuǎn)一周，所得的幾何體是圓柱，不符合題意；

。、本選項中的圖形繞虛線旋轉(zhuǎn)一周，所得的幾何體是圓臺，不符合題意；

故選：B.

【點睛】本題考查了面動成體以及基本幾何體的認識，正確掌握常見幾何體的特點是解題的關(guān)鍵.

強化訓練

一、選擇題

1.下列圖形是平面圖形的是（）

A.正方體B.圓C.球D.圓錐

【答案】B

【分析】根據(jù)題意可知，正方體、球、圓錐體都是立體圖形，圓是平面圖形，據(jù)此即可求解.

【詳解】解：圓是平面圖形，正方體、球、圓錐體都是立體圖形，故2正確.

故選：B.

【點睛】本題主要考查了平面圖形與立體圖形的認識，正確的區(qū)分是解題的關(guān)鍵.

2.下列幾何體中，不屬于棱柱的是（）

【答案】B

【分析】有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些

面所圍成的多面體叫做棱柱，由此可選出答案.

【詳解】解：A.該幾何體是四棱柱，故不符合題意；

B.該幾何體是四棱錐，故符合題意；

C.該幾何體是三棱柱，故不符合題意；

D該幾何體是六棱柱，故不符合題意.

故選：B.

【點睛】本題考查了立體圖形的識別，注意幾何體的分類，一般分為柱體、錐體和球，柱體又分為圓柱和

棱柱，椎體又分為圓錐和棱錐.

3.中華武術(shù)是中國傳統(tǒng)文化之一，是中華民族在日常生活中結(jié)合社會哲學、中醫(yī)學、倫理學、兵學、美學、

氣功等多種傳統(tǒng)文化思想和文化觀念，注重內(nèi)外兼修，諸如整體觀、陰陽變化觀、形神論、氣論、動靜說、

剛?cè)嵴f等,逐步形成了獨具民族風貌的武術(shù)文化體系."槍挑一條線，棍掃一大片"，從數(shù)學的角度解釋為（）

A.點動成線，線動成面B.線動成面，面動成體

C.點動成線，面動成體。.點動成面，面動成線

【答案】A

【分析】槍挑是用槍尖挑，槍尖可看作點，棍可看作線，轉(zhuǎn)化成數(shù)學思想即可.

【詳解】所以由題意可得：從數(shù)學的角度可解釋為點動成線，線動成面.

故選：A.

【點睛】本題考查了點、線、面、體的知識點，熟練掌握點、線、面之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

4.如圖，把圖形繞著給定的直線旋轉(zhuǎn)一周后形成的幾何體是（）

【答案】D

【分析】根據(jù)幾何體的特征判斷即可.

【詳解】解：觀察如圖，把圖形繞著給定的直線旋轉(zhuǎn)一周后形成的幾何體可能是：空心的圓柱體,

故選：D.

【點睛】本題考查了點、線、面、體，熟練掌握每一個幾何體的特征是解題的關(guān)鍵.

二、填空題

5.五棱柱的面的個數(shù)為.

【答案】7

【分析】五棱柱共有2個底面，5個側(cè)面，據(jù)此可以解答.

【詳解】解：五棱柱共有2個底面，5個側(cè)面，共7個面，

故答案為7.

【點睛】本題考查了認識立體圖形的知識，解題的關(guān)鍵是了解"棱柱有兩個底面加上“個側(cè)面，共有(〃+2)

個面.

6.在正方體、長方體、圓柱、圓錐、球、六棱柱、六棱錐中屬于柱體有一個.

【答案】4

【分析】根據(jù)柱體、錐體、球體的概念進行判斷即可.

【詳解】解：屬于柱體的有：正方體、長方體、圓柱，六棱柱，共4個，圓錐、六棱錐屬于錐體，球?qū)儆?/p>

球體，

故答案為：4.

【點睛】本題考查認識立體圖形，掌握錐體、柱體、球體的特征是正確判斷的關(guān)鍵.

7.筆尖在紙上快速滑動寫出了一個又一個字，這說明了；直角三角形繞它的直角邊旋轉(zhuǎn)一周，形成

了一圓錐體，這說明了，"齊天大圣"孫悟空有一個寶貝-金箍棒，當他快速旋轉(zhuǎn)金箍棒時，展現(xiàn)在我

們眼前的是一個圓的形象，這說明.

【答案】點動成線面動成體線動成面

【分析】根據(jù)“點動成線，線動成面，面動成體”進行分析即可.

【詳解】解："筆尖”可近似看作"點"筆尖在紙上快速滑動，說明點動成線，直角三角形可以看作是"面"，旋

轉(zhuǎn)一周形成了一圓錐體，說明"面動成體"，"金箍棒”可近似看作“線段"，快速旋轉(zhuǎn)金箍棒，展現(xiàn)在我們眼前

的是一個圓的形象，實際上就是“線動成面”，

故答案為：點動成線，面動成體，線動成面.

【點睛】本題考查了點、線、面、體，理解"點動成線，線動成面，面動成體”是解題關(guān)鍵.

8.如圖是一個底面各邊都相等的六棱柱，它的底面邊長為2cm,高為5cm.這個棱柱共有條棱,

個面，側(cè)面積是cm2.

【答案】18860

【分析】根據(jù)圖形，分側(cè)面上的棱與底面上的棱計算即可得棱的數(shù)目，棱柱的面分側(cè)面與底面兩種，根據(jù)

側(cè)面是長方形，然后根據(jù)長方形的面積公式計算即可求得側(cè)面積.

【詳解】解：這個棱柱共有棱：6+6x2=18條；

有6個側(cè)面，2個底面，共有6+2=8個面，

它的側(cè)面積為：2x6x5=60cm2.

故答案為：18,8,60.

【點睛】本題考查了認識立體圖形，幾何體的側(cè)面積，掌握基本立體圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

三、解答題

9.將如圖幾何體分類，并說明理由.

【答案】柱體：①正方體，②長方體，③圓柱體，⑥四棱柱，⑦三棱柱；錐體：④圓錐；球體：⑤球；

見解析

【分析】根據(jù)立體圖形的分類：柱體，錐體，球體，可得答案.

【詳解】解：根據(jù)幾何體的概念可得，柱體：①正方體，②長方體，③圓柱體，⑥四棱柱，⑦三棱柱;

錐體：④圓錐；

球體：⑤球.

【點睛】本題考查了認識立體圖形，立體圖形分為三大類：柱體，錐體，球體.

10.下列是我們常見的幾何體，按要求將其分類(只填寫編號).

(1)(2)(3)(4)(5)(6)

⑴如果按"柱""錐球"來分，柱體有,椎體有,球有；

(2)如果按"有無曲面"來分，有曲面的有,無曲面的有.

【答案】⑴①②⑥；③④；⑤

⑵②③⑤；①④⑥

【分析】(1)根據(jù)立體圖形的特點從柱體的形狀特征考慮.

(2)根據(jù)面的形狀特征考慮.

【詳解】(1)解：國(1)是四棱柱，(2)是圓柱，(3)是圓錐，(4)是棱錐，(5)是球，(6)是三棱柱,

團柱體有(1),(2),(6),錐體有(3),(4),球有(5),

故答案為:⑴,(2),(6)；(3),(4)；(5)；

(2)0(2)(3)(5)有曲面，其它幾何體無曲面，

團按"有無曲面"來分，有曲面的有(2),(3),(5),無曲面的有：(1),(4),(6),

故答案為：(2),(3),(5)；(1),(4),(6).

【點睛】本題考查了認識立體圖形，解決本題的關(guān)鍵是認識柱體的形狀特征.

11.如圖1至圖3是將正方體截去一部分后得到的多面體.

⑴根據(jù)要求填寫表格:

面數(shù)(/)頂點數(shù)(V)棱數(shù)(e)

圖1

———

圖2

———

圖3———

⑵猜想了、v、e三個數(shù)量間有何關(guān)系；

⑶根據(jù)猜想計算，若一個多面體有頂點數(shù)2013個，棱數(shù)4023條，試求出它的面數(shù).

【答案】⑴7,9,14.6,8,12,7,10,15；

⑵/+"e=2；

(3)它的面數(shù)是2012

【分析】(1)根據(jù)圖形數(shù)出即可；

(2)根據(jù)(1)中結(jié)果得出了+v-e=2；

(3)代入/+v-e=2求出即可；

【詳解】(1)圖1,面數(shù)/=7,頂點數(shù)v=9,棱數(shù)e=14,

圖2,面數(shù)f=6,頂點數(shù)丫=8,棱數(shù)e=12,

圖3,面數(shù)了=7,頂點數(shù)-10,棱數(shù)e=15,

故答案為:7,9,14.6,8,12,7,10,15.

(2)由表格數(shù)據(jù)可得：f+v-e=2.

(3)0v=2O13,e=4023,f+v-e=2

a7+2013-4023=2,

/=2012,

即它的面數(shù)是2012.

【點睛】本題考查了截一個幾何體，圖形的變化類的應(yīng)用，關(guān)鍵是能根據(jù)(1)中的結(jié)果得出規(guī)律

12.綜合與實踐

新年晚會是我們最歡樂的時候，會場上，懸掛著五彩繽紛的小裝飾，其中有各種各樣的立體圖形.下面是

常見的一些多面體：

IZ

六面體八面體十二面體

操作探究:

⑴通過數(shù)上面圖形中每個多面體的頂點數(shù)（V）、面數(shù)（尸）和棱數(shù)（E）,填寫下表中空缺的部分:

多面體頂點數(shù)（V）面數(shù)（F）棱數(shù)（E）

四面體4

六面體86

八面體812

十二面體2030

通過填表發(fā)現(xiàn)：頂點數(shù)（V）、面數(shù)（/）和棱數(shù)（E）之間的數(shù)量關(guān)系是，這就是偉大的數(shù)學家歐拉

1707-1783）證明的這一個關(guān)系式.我們把它稱為歐拉公式;

探究應(yīng)用：

⑵己知一個棱柱只有七個面，則這個棱柱是棱柱；

（3）已知一個多面體只有8個頂點，并且過每個頂點都有3條棱，求這個多面體的面數(shù).

【答案】（1）表見解析，V+F-E=2

⑵五

（3）6

【分析】（1）通過觀察，發(fā)現(xiàn)棱數(shù)=頂點數(shù)+面數(shù)-2；

（2）根據(jù)棱柱的定義進行解答即可；

（3）由（1）得出的規(guī)律進行解答即可.

【詳解】⑴解:填表如下:

多面體頂點數(shù)（V）面數(shù)（F）棱數(shù)（E）

四面體446

六面體8612

八面體6812

十二面體201230

頂點數(shù)（V）、面數(shù)（/）和棱數(shù)（E）之間的數(shù)量關(guān)系是V+產(chǎn)-石=2,

故答案為：V+F-E=2-

（2）解：.?一個棱柱只有七個面，必有2個底面，

，有7-2=5個側(cè)面,

二這個棱柱是五棱柱，

故答案為：五；

（3）解：由題意得：棱的總條數(shù)為^=12（條），

由丫+/一石=2可得8+尸—12=2,

解得：F=6,

故該多面體的面數(shù)為6.

【點睛】本題考查了多面體與棱柱的認識，點線面體的相關(guān)概念，正確看出圖形中各量之間的關(guān)系是解題

的關(guān)鍵.

13.觀察下列多面體，并把下表補充完整.

名稱三棱柱四棱柱五棱柱六棱柱

圖形口回08

頂點數(shù)a6

棱數(shù)69

面數(shù)c5

（1）根據(jù)表中的規(guī)律判斷，十二棱柱有個面，共有個頂點，共有條棱；

（2）若某個棱柱由30個面構(gòu)成，則這個棱柱為棱柱；

（3）若一個棱柱的底面多邊形的邊數(shù)為"，則它有個側(cè)面，共