等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和（9題型分類(lèi)）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（解析版）

專(zhuān)題28等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和9題型分類(lèi)

彩題如工總

題型1:等比數(shù)列基本量的運(yùn)算

彩先我寶庫(kù)

1.等比數(shù)列有關(guān)的概念

(1)定義：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比

數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q(#0)表示.

⑵等比中項(xiàng)：如果在a與。中間插入一個(gè)數(shù)G,使a,G,方成等比數(shù)列，那么G叫做。與b的等比中項(xiàng),

此時(shí)，G2=ab.

2.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式

(1)若等比數(shù)列｛金｝的首項(xiàng)為0，公比是必則其通項(xiàng)公式為a.=aiq"-i.

nm

(2)等比數(shù)列通項(xiàng)公式的推廣：an=amq-.

(3)等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式：當(dāng)q=l時(shí)，Sn=nau當(dāng)夕力時(shí)，$〃=筆/=竿箸.

3.等比數(shù)列性質(zhì)

(1)若機(jī)+〃=p+q,則。加其中機(jī)，n,p,q￡N*.特另U地，若2w=m+〃，則胡斯=忌，其中機(jī)，n,

w￡N*.

(2)以，四+叱四+2加，…仍是等比數(shù)歹！J，公比為小(左，

(3)若數(shù)列｛斯｝,｛兒｝是兩個(gè)項(xiàng)數(shù)相同的等比數(shù)列，則數(shù)列｛斯右｝,與｝和｛瑞｝也是等比數(shù)列(b,p,療0).

(4)等比數(shù)列｛&｝的前〃項(xiàng)和為&,則&,Sln-Sn，S3"一仍成等比數(shù)列，其公比為刃(〃為偶數(shù)且"=一1

除外)

⑸若久或則等比數(shù)列“｝遞胤

[ai>0,\ai<o,

若八，或，則等比數(shù)列｛斯｝遞減.

【常用結(jié)論

1.等比數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式可以寫(xiě)成斯=cq",這里厚0,甘0.

2.等比數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和S”可以寫(xiě)成S“=Aq"—A(A/)，^1,0).

3.數(shù)列｛斯｝是等比數(shù)列，S,是其前〃項(xiàng)和.

⑴若°1刈2?…◎=〃，則〃，景,驍，…成等比數(shù)列.

(2)若數(shù)列｛斯｝的項(xiàng)數(shù)為2〃，則蓑=4；若項(xiàng)數(shù)為2w+l,則受a=4,或這￡=%

彩”秘籍

(―)

等比數(shù)列基本量的運(yùn)算

等比數(shù)列基本量的運(yùn)算的解題策略

(1)等比數(shù)列中有五個(gè)量的，n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”，通過(guò)列方程(組)可迎刃而解.

(2)解方程組時(shí)常常利用“作商”消元法.

(3)運(yùn)用等比數(shù)列的前"項(xiàng)和公式時(shí)，一定要討論公比q=l的情形，否則會(huì)漏解或增解.

題型1：等比數(shù)列基本量的運(yùn)算

1-1.(2024高二下.全國(guó)?課后作業(yè))在等比數(shù)列｛4｝中，若g=4,a5=-32,則公比q應(yīng)為()

A.±-B.+2C.gD.-2

22

【答案】D

【分析】由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式直接求解即可.

【詳解】因?yàn)?=也貯="=手=-8,解得g=-2.

a2a】xq4

故選：D

1-2.(2024高三下.北京.階段練習(xí))在等比數(shù)列｛q｝中，q=3,q+/+生=9,則%+為+&等于()

A.9B.72C.9或70D.9或一72

【答案】D

【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)求出公比，即可求出4+%+4的值.

【詳解】由題意，neN*.

在等比數(shù)列｛%｝中，4=3,4+/+%=9,

設(shè)公比為4，

2

:.ax+axq+axq=9,即3+3g+3/=9,解得q=-2或q=],

33

a4+a5+a6=（q+a2+a3'）q=9q,

當(dāng)4=1時(shí)，+%+4=9,

當(dāng)9=2時(shí)，〃4+%+〃6=-72.

故選：D.

1-3.（2024高二下?湖北.階段練習(xí)）已知遞增的等比數(shù)列｛““｝中，前3項(xiàng)的和為7,前3項(xiàng)的積為8,則明的

值為（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】D

【分析】首先由前3項(xiàng)的和為7,得出生+44+q/=7,再由前3項(xiàng)的積為8,根據(jù)下標(biāo)和定理得出4=2,

則用=[代入求值，結(jié)合｛%｝為遞增的等比數(shù)列，得出4的值，根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式即可得出心.

【詳解】由前3項(xiàng)的和為7,得+=7

前3項(xiàng)的積為8,得的必=W=8,即％=2,

22221

貝!J〃i=—,代入q+qq+Qi/=7,得一+—p+—=7,gp2q2-5q+2=0,解得夕=2或q=

qqqq2

因?yàn)椋?｝為遞增的等比數(shù)列，

2

所以9=2,則q=—=1,

q

所以&=1x23=8,

故選：D.

1-4.（2024高三?全國(guó)?對(duì)口高考）已知數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列，％+%=2,%+6=128,則該數(shù)列的小以及4

依次為（）

222

A.682,-B.-682,-2C.682,1或一2D.-682,耳或—2

【答案】C

【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式列方程組，求出生和9,再由前”項(xiàng)和公式求解.

%+%q=2

【詳解】根據(jù)題意，得

%q6+4屋=128，

2

aq=-2

解方程得'-3,或

q=-2

q=2

q（—。）|02%

或&=

Sio==682,U「/°）=682.

i-q1-2

故選：C

1-5.（2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）已知等比數(shù)歹!]｛q,｝中，《=1,S”為｛叫前〃項(xiàng)和，=5$-4,貝I]S&=（）

A.7B.9C.15D.30

【答案】C

【分析】設(shè)公比為4,根據(jù)條件列出方程求解，再由求和公式得解.

【詳解】等比數(shù)列｛%｝中，設(shè)公比為4,

4=1,臬為｛.“｝前〃項(xiàng)和，S5=5S3-4,顯然#±1,

（如果4=1,可得5=15-4矛盾，如果4=-1,可得一1=-5-4矛盾）,

可得了=5?7-4,

1-q1-q

解得如=4,即限2或"-2,

1-/741-16

所以當(dāng)q=2時(shí)，s,=J=f=15.

1-q1-2

I-//41-16

當(dāng)4=一2時(shí)，=沒(méi)有選項(xiàng).

1-q1+2

故選：C.

彩傅題淞籍

等比數(shù)列的判定與證明

等比數(shù)列的三種常用判定方法

(1)定義法：若如::“⑨為非零常數(shù)，〃GN*)或」"=q(q為非零常數(shù)且稔2,"GN*),則｛詼｝是等比數(shù)列.

斯Cln—\

(2)等比中項(xiàng)法：若數(shù)列｛四｝中，斯邦且欣+i=a,&+2("eN*),則｛斯｝是等比數(shù)列.

(3)前w項(xiàng)和公式法：若數(shù)列｛&｝的前〃項(xiàng)和S“=kq〃一網(wǎng)上為常數(shù)且原0,療0,1),則｛斯｝是等比數(shù)列.

題型2:等比數(shù)列的判定與證明

2-1.(2024高三.全國(guó).專(zhuān)題練習(xí))甲、乙兩個(gè)容器中分別盛有濃度為10%,20%的某種溶液500ml,同時(shí)從

甲、乙兩個(gè)容器中取出100ml溶液，將其倒入對(duì)方的容器并攪勻，這稱(chēng)為一次調(diào)和.記4=10%,4=20%,

經(jīng)(〃-1)次調(diào)和后，甲、乙兩個(gè)容器的溶液濃度分別為bn.

(1)試用“〃一，1bn_i表示〃“，bn.

(2)證明：數(shù)列｛%-〃｝是等比數(shù)列，并求出％,么的通項(xiàng).

4141

【答案】⑴?！?^^_1+二2T,2=三。〃一1+;?！?1.

(2)證明見(jiàn)解析，氏=一||]x5%+15%,x5%+15%.

【分析】(1)根據(jù)題意，得到。”40°工京°°%，2=MO"；；。*,即可求解；

(2)由(1)得到可得得出數(shù)歹！]｛4-2｝是等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公

式，即可求解.

【詳解】(1)解：由題意，經(jīng)〃-1(〃22,〃€?^)次調(diào)和后甲、乙兩個(gè)容器中的溶液濃度分別為應(yīng),年，

一一」400。,+100Z?.41400萬(wàn),+lOOa,41

所以""="1665a--'+l7-l，b1=------------------旦=—b7.+-a.

"5005a5a

4141

bba

(2)解：由(1)知，=-??_1+-^-1，?=-n-l+-n-l>

333

可得g=,(%-%)(〃22),

所以數(shù)歹(J{%-2}是等比數(shù)列，

因?yàn)?=一1。％,所以Q,—2=—10%x[g]①,

又因?yàn)椤！?優(yōu)=%一1+2一1=L=4+4=30%②.

聯(lián)立①②得a'=一］x5%+15%,2=1|）><5%+15%.

2-2.（2024高三.全國(guó).專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列｛4｝滿(mǎn)足4邑-2%=2",女川，其中S,為｛%｝的前a項(xiàng)和.證

明：

⑴伊裔是等比數(shù)列.

1111

6%+36%-36%+3x（-l）〃

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

（2）證明見(jiàn)解析

【分析】（1）根據(jù)?！芭cS〃的關(guān)系，利用相減法結(jié)合等比數(shù)列的定義即可解決;

,13

（2）由（1）得2=2,利用放縮法得公7+4.<言，求和證明即可.

【詳解】（1）：4S“-2an=2",；.4S,T-2%=2^（?>2）,

t

兩式相減得：4（S?-S?_I）-2a?+2a,l_I=2"-2"-,即q+4_I=24（〃22）.

S--1-%+211

2"6_2"6

也」一%1

2'-162"-16

當(dāng)〃=1時(shí)，4S「2%=2\即4=1

又??小一底」是以《為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)歹山

26312OJ32

(2)由(1)得"-L=LxJ，所以?！?一gx（-l）”+：x2.

2"63I

6??+3(-1)--2;--(-I)-

,=_J_______14"*3

2/1—1+2〃22〃-1+]+22〃]Z，"-1+-1]<2，〃—122”

不等式左邊的前2w項(xiàng)和&＜；+*+...+,=4，

1----

4

又2＞0=&-＜心＜1，原不等式得證.

2-3.（2024.廣東東莞三模）已知數(shù)列也,｝和也｝,4=2,=1,%=2b..

an

⑴求證數(shù)列4-11是等比數(shù)列；

（2）求數(shù)列的前"項(xiàng)和人

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

n+2

(2)7；=/+”-2+

【分析】（i）通過(guò)題中關(guān)系，可得二--1=］上-1,進(jìn)而可得數(shù)列I，-4是以-《為首項(xiàng)，公比為;的

a2

n+x21%JJ2

等比數(shù)列.

2〃nnn

（2）由⑴可得,b=2n-,貝|二=2〃-9，可利用分組求和與錯(cuò)位相減求和解題.

2—1n2/

I112I?

【詳解】（I）由6=2,--------=1,%=2b“得-------=1,

%??an+1an

整理得,一i==

。用AanJ42

所以數(shù)列］是以為首項(xiàng)，公比為1的等比數(shù)列

J22

11/1Y1z

(2)由(1)矢口一一1=一一-=一一,???〃〃=」

an2⑶T〃T

n+1

12〃n2-l.幾

,,b=-ci———,—=n----------=2rl------,

xn+1

〃22-lbnXT

,幾。12n112n

設(shè)s“—泊則mil5$c“=*西'

1〃+2

兩式相減得gs,=g+*+nn----=]------

2〃+i2〃+i

從而S〃=2一等

n（2+2n）

2n+2

—2——=n+n-2+

彩他題,秘籍(二)

等比數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)

(1)等比數(shù)列的性質(zhì)可以分為三類(lèi)：一是通項(xiàng)公式的變形，二是等比中項(xiàng)的變形，三是前”項(xiàng)和公式的變形,

根據(jù)題目條件，認(rèn)真分析，發(fā)現(xiàn)具體的變化特征即可找出解決問(wèn)題的突破口.

(2)巧用性質(zhì)，減少運(yùn)算量，在解題中非常重要.

題型3:等比數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)

3-1.(2024.江西?二模)在正項(xiàng)等比數(shù)列｛%｝中，的與網(wǎng)是方程/-30x+10=0的兩個(gè)根，貝!I

lg%+lga2++lga10=.

【答案】5

【分析】

利用韋達(dá)定理，可得。3a8=1°，再根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則和等比數(shù)列性質(zhì)求解即可.

【詳解】因?yàn)榈呐c。8是方程/_30工+10=0的兩個(gè)根，所以％%=10，

因?yàn)椋桑秊檎?xiàng)等比數(shù)列，所以=。3。8=%%=。5。6=1°，

55

所以lgq+lga2+H-lg^o=lg(o1xa,x,-.xt?10)=lg(a3a8)=lglO=5,

故答案為：5.

3-2.(2024高三下.四川成者B?階段練習(xí))若數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列，且4%%=8,則%%=.

【答案】4

【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)求解即可.

(詳解］根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，有。自3=婿，

則1%為3=%=8,解得“7=2,

所以=婿=4.

故答案為:4.

3-3.（2024?河南新鄉(xiāng)?二模）已知等比數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)為1,且紜+4=2（%+4），則%=.

【答案】128

【分析】先由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得到如;色譽(yù)二？，進(jìn)而得到%=。//=2,再根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)得

到結(jié)果.

【詳解】設(shè)等比數(shù)列｛叫的公比為4,因?yàn)?+%=2（/+4）,根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的計(jì)算得到：

q'=」~=2,所以&=%?/=2.由等比數(shù)列的性質(zhì)得到：axa2a3%=&=2’=128.

。3-T-4]

故答案為128.

【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的寫(xiě)法，以及等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，題目比較基礎(chǔ).對(duì)于等

比等差數(shù)列的小題，常用到的方法，其一是化為基本量即首項(xiàng)和公比或者公差，其二是觀察各項(xiàng)間的腳碼

關(guān)系，即利用數(shù)列的基本性質(zhì).

彩健題祕(mì)籍

（四）

等比數(shù)列前“項(xiàng)和的性質(zhì)

（1）等比數(shù)列｛a"中，所有奇數(shù)項(xiàng)之和S奇與所有偶數(shù)項(xiàng)之和“具有的性質(zhì)，設(shè)公比為q.

①若共有2〃項(xiàng)，則生=4；②若共有2〃+1項(xiàng)，=

（2）等比數(shù)列｛%｝中，S*表示它的前七項(xiàng)和.當(dāng)#-1時(shí),有…也成等比數(shù)列，公比為

qk-

題型4:等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)

4-1.（2024?河北滄州?模擬預(yù)測(cè)）已知等比數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為%若邑=2,$6=6,貝US”=.

【答案】510

【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)：與，s2m-sm,s3nl-邑“，…構(gòu)成等比數(shù)列，再利用條件即可求出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)閿?shù)列｛%｝為等比數(shù)列，由等比數(shù)列的性質(zhì)知，

S.-S,6-2c

S3,S6-S3,S9-S6,$2「右,…構(gòu)成首項(xiàng)為邑=2,公比為4=y二=一r=2的等比數(shù)列，且邑,

是該等比數(shù)列的前8項(xiàng)和，

所以S?4=2（1-2）=510.

241-2

故答案為:510.

4-2.（2024高三.全國(guó)?對(duì)口高考）已知數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列，S,為其前”項(xiàng)和.若S3。=13%，%+%=140,

貝”2。的值為.

【答案】40

【分析】用等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和的性質(zhì)：當(dāng)公比qWT時(shí)H。，Sw-SlQ,S30-S20也是等比數(shù)列，即可求解.

【詳解】因?yàn)?=13幾，幾+解=140,所以九=10,%=130,

則等比數(shù)列｛““｝的公比q/T,

所以S?,S2n-Sn,SlJ也是等比數(shù)列，

所以小,S20-Sw,S30-S20也是等比數(shù)列，

2

所以IS2。一工。）2=S10（S30-S2fl）,gp（S20-10）=10（130-S20）,

解得$20=4?；騍?°=—30,

又邑0=工。（1+/°）＞0,所以$2。=40.

故答案為：40.

4-3.（2024高三?全國(guó)?課后作業(yè)）已知S“是正項(xiàng)等比數(shù)列｛叫的前見(jiàn)項(xiàng)和，510=20,貝I］風(fēng)。-2s為+幾的最

小值為.

【答案】-5

【分析】當(dāng)4=1時(shí),530-2520+510=0;當(dāng)#1時(shí)，可推出邑。-&=20q\邑。-叢。=20/,代入整理可

得S30-2s20+4。=20-一5.即可得出答案.

【詳解】解：設(shè)｛4｝公比為“

當(dāng)q=l時(shí)，Sio=lO%=2O,貝[J%=2,止匕時(shí)有S30—2820+Si。=30%—2x20〃]+10%=0；

當(dāng)4w1時(shí)，

因?yàn)镾30—S?。=%]+%2+L+。30，S20—Si。=4+%2++々20，5]0=%+%++〃10，

匚匚【、|§30_*^20_%1+〃22+L+〃30_「10§20-^io_41+〃12+L+出。_「10

所以%+弓2+1+電。一"'FT=q+az+L+q。-"'

w2020

所以邑0-工0=工0X，°=2Qq'°,S30-S20=(52O-S1O)Xq=Swxq=2Oq,

2010

所以S30—2S20+S]（）=530—520—（S20-510）=2Oq-20，°=2O^--j-5,

當(dāng)，°=；時(shí)，S3?！?s2。+S10有最小值為一5.

綜上所述，S3。-2邑。+&的最小值為-5.

故答案為：-5.

1010

4-4.（2024?江蘇南京?一模）設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，＞2S30-（2+1）5,0+Slo=O,則公比

q=.

【答案】1/o.5

【分析】利用變形求得?。右=焉,利用等比數(shù)列的性質(zhì)可以得到/=擊，結(jié)合等比數(shù)列｛。〃｝為正項(xiàng)

》20》10乙

數(shù)列，進(jìn)而求出公比。

Kl10

【詳解】由2s30-(*+1)520+510=0,^2(S30-S20)=520-S10.

又正項(xiàng)等比數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S,,故邑。-H。w0,

:數(shù)列｛?！ǎ堑缺葦?shù)列，

.S30_5*20_〃21+〃22+〃23+'+〃30_~10

??7廠(chǎng)一—q

?20—）10"11+"12+”13+'+”20

故/°=],解得：4=

因?yàn)榈缺葦?shù)列｛〃〃｝為正項(xiàng)數(shù)列，所以4＞。，故夕=；

故答案為：g

彩健題海籍.

（五）

由S〃求數(shù)列的通項(xiàng)氏

已知S“求是一種非常常見(jiàn)的題型，這些題都是由%,與前”項(xiàng)和S”的關(guān)系來(lái)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式，可由

數(shù)列叫的通項(xiàng)。,與前”項(xiàng)和S“的關(guān)系是%=｛1],:小，注意：當(dāng)〃=1時(shí)，%若適合S則〃=1

S"一S"T（W?2）

的情況可并入"22時(shí)的通項(xiàng)《；當(dāng)”=1時(shí)，%若不適合S“-S"T，則用分段函數(shù)的形式表示.

題型5:由S“求數(shù)列的通項(xiàng)。,

5-1.（2024高三全國(guó)?對(duì)口高考）已知等比數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S"=3"i-c,貝卜=.

【答案】|

【分析】根據(jù)等比數(shù)列的定義，結(jié)合前〃項(xiàng)和為S“=3"T-c,列出前三項(xiàng)計(jì)算即可求得J

1-1

［詳解］由題意可得H=3-c^\-c=ax,邑=327_(?=3_(?=4+%=%=2,

S3=33T—c=9—c=?3+S2=>?3=6,故有a；=%q=>4=6(1—c)=>c=-^.

故答案為：g

5-2.(2024?廣西玉林?三模)記數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，已知向量根=(4+i，S〃)，丸=(1,2),若％=2,且

m//n,則｛%｝通項(xiàng)為.

2,〃=1

【答案】4=

收42

【分析】由平面共線(xiàn)向量的坐標(biāo)表示可得S“=2a”+「利用S”與%的關(guān)系求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求解.

【詳解】m//n,：.Sn=2an+l,

當(dāng)九=1時(shí)，S[=alf得〃2=+=1,

當(dāng)〃22時(shí)，2a〃+i=Sn,2an=S%i,

30耳3

兩式作差得：冊(cè)，即1；=,，

所以｛%｝是以|■為公比，1為首項(xiàng)的等比數(shù)列,

則4=(1)5力2),

2,n—l

又q=2不符合上式，所以為=“丫-2

2,n=l

故答案為：見(jiàn)=(3丫一2.

匕42

5-3.(2024.全國(guó).模擬預(yù)測(cè))已知數(shù)列｛4｝的前”項(xiàng)和為S“且滿(mǎn)足耳+4=-2,則數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)

n—1

【答案】-I

【分析】先求得"=1時(shí)4=T;再由S"+“"=-2可得”)2時(shí)S"_i+a“_]=-2,兩式作差可得2°“-%=0,

進(jìn)而求解.

【詳解】當(dāng)〃=1時(shí)，，+q=2%=-2,解得q=-1；

由S,+4=-2,可知當(dāng)a22時(shí),Ei+an-i=-2,

兩式相減，得2?！?即%=：%_](〃..2),

所以數(shù)列｛%｝是首項(xiàng)為-1，公比為1?的等比數(shù)列，

故答案為:

【點(diǎn)睛】本題考查由S.與%的關(guān)系求通項(xiàng)公式，考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用.

彩他題祕(mì)籍

奇偶項(xiàng)求和問(wèn)題的討論

求解等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和S“，要準(zhǔn)確地記住求和公式，并合理選取公式，尤其是要注意其項(xiàng)數(shù)”的值；對(duì)于

奇偶項(xiàng)通項(xiàng)不統(tǒng)一問(wèn)題要注意分類(lèi)討論.主要是從“為奇數(shù)、偶數(shù)進(jìn)彳亍分類(lèi).

題型6:奇偶項(xiàng)求和問(wèn)題的討論

：為偶數(shù)

6-1.(2024高三.全國(guó).對(duì)口高考)設(shè)數(shù)列｛q｝的首項(xiàng)％=〃，且4+i=,

1,

,〃為奇數(shù)

4

1己%=2,3-..

(1)求出，“3；

(2)判斷數(shù)列抄/是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論；

(3)求l\+b2+L+bn.

［答案］⑴%=Q+了,%=彳a+7，

428

(2)若a色｝不是等比數(shù)列；若aw；色｝是以為首項(xiàng)，-（為公比的等比數(shù)列.

444

11L-i￥i-F）1

(3)若°=！，b+b+L+b?=0若aw,,〃+b,+L+6“=k_

t2;——-=2a--------.

44122"-1

11--

2

【分析】(1)直接代入已知條件計(jì)算即可；

(2)由已知及遞推公式可得再討論。的值即可判定；

(2)結(jié)合(2)的結(jié)論分情況由公式求和即可.

【詳解】(1)由題意可知：%=4+:==不。2=大。+小

44228

、“11111(1^11\(

(2)由2=__=a2n-2l_H=5%〃-3+1_W=］1%〃一3=lb

+2n-3--\=-n-l>

N711

而4=Oy――=9

若a=；,則4=0,顯然也｝不能是等比數(shù)列，

若分；，則抄/是以為首項(xiàng)，J為公比的等比數(shù)列.

44/

(3)由(2)可知，若〃=；,則｛2｝為常數(shù)列，各項(xiàng)均為0,故4+1

>2+L+bn=0.

若a《,則｛〃｝是以a-J為首項(xiàng)，J為公比的等比數(shù)列，

44z

［。力1-j1a-｛

則由等比數(shù)列的求和公式得：偽+4+L+”,△一4八2——

I122"一

1-----

2

2%,"是偶數(shù)，

6-2.(2024.湖南長(zhǎng)沙?模擬預(yù)測(cè))已知數(shù)列｛%｝滿(mǎn)足％=3,

a“T,"是奇數(shù)

⑴設(shè)勿=%+%“一，求數(shù)列｛2｝的通項(xiàng)公式;

(2)設(shè)數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和為Sn,求使得不等式S">2023成立的n的最小值.

【答案】(1也=2"+3

(2)20

【分析】⑴通過(guò)構(gòu)造得%-3=2色,-3),則可得到或的通項(xiàng)；

(2)利用等比數(shù)列求和公式得邑"=2""+3〃-2,通過(guò)作差得邑,+「邑”=2”+2>。，邑“+2-52?+1=2"+1>0,

則得到｛S,,｝是一個(gè)增數(shù)列，計(jì)算幾,邑。即可得到答案.

2a”,”為偶數(shù)，

【詳解】(1)因?yàn)?+1

%-1,〃是奇數(shù),

aaO+

所以。2”=。2”-1—1，2n+l=2az.，2n+2=fl2?+l->所以02M-1=2n1?

b-1

又因?yàn)榘?〃2“+。21，所以2=%,+%,+1=2%,+1，所以％.

因?yàn)?"+1=02n+2+a2n+l>所以2+1=。2"+1-1+“2”+1=2的“+1-1,

又因?yàn)?用=2%“，所以?xún)?yōu)+|=4%“-1,所以%,=，一，所以代一=三

即年―，

所以%-3=2包-3),

b-3

又因?yàn)?_3=%+氏_3=氏=%_1=270,所以a_3片0,所以^^=2,

所以數(shù)列他「3｝是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，

所以N-3=2X2"T=2",即么=2"+3.

(2)由(1)可知。2“-1+。2,=2"+3，所以52“=2,一；)+3〃=2向+3“_2,

所以邑,+2=2"2+3W+1,

又因?yàn)椤?“=T，所以?2?.1+/"=2a2,-1-1=2"+3,

即%T=2-+2,所以%1M=2"+2,

所以邑用=邑“+a2n+1=2向+3〃-2+2"+2=3.2"+3n,

因?yàn)橐赜?邑，=電用=2"+2>0,

n+2

S2n+2-S2n+l=2+3"+1-(3?2"+3")=2"+1>。，

所以｛S，M〃eN*)是一個(gè)增數(shù)列，

11

因?yàn)?19=3x29+3x9=1563,S20=2+3x10-2=2076>2023,

所以滿(mǎn)足題意的”的最小值是20.

為奇數(shù),

6-3.（2024?河北?模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列｛%｝滿(mǎn)足q=2,^+1=<

%+5，”為偶數(shù)

⑴記b?=*一*，證明：數(shù)列也｝為等比數(shù)列；

（2）記c?=出.一g，求數(shù)列｛“%｝的前”項(xiàng)和T?-

【答案】（1）證明見(jiàn)詳解

【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合等比數(shù)列的定義分析運(yùn)算；

（2）先根據(jù)等比數(shù)列結(jié)合累加法求%,再利用錯(cuò)位相減法求和.

=￡Z=a+=

【詳解】（1）由題意可得：?2^1=1^32~~'且。2"=W%I，%,+1=%0+5=5見(jiàn)1，

則bn+i_%〃+3-

b

n。2〃+1一〃2〃-1〃2〃+1-a2n+l~a2n-l2

所以數(shù)列也｝是以首項(xiàng)々=%-q=-g,公比4的等比數(shù)歹U.

⑵由(1)可知：2=一(xg)=一g)'即％〃+1一%〃-1

可得：=（々2“+1_々21）+（%〃-1_々2〃-3）+…+（々3-%）+%=_1g]—[J]-------g+2

12YL

可得看=2+21+'"+2^，

則'$+>,,+"

nnn+2

兩式相減得:-----=]1-?

2〃+i------2,2"+i--------2"+i

所以q=2一展

6-4.（2024?山東濟(jì)寧?二模）已知數(shù)列｛4｝的前w項(xiàng)和為S,,a〃T+a,+i=2a，eN2,“eN*）,且%=1,$5=15.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式;

⑵若〃=；：'「；倬粉，求數(shù)列也｝的前2n項(xiàng)和&.

[2-1,〃為偶數(shù)

【答案】⑴?！?〃

02〃+1Q

⑵篤“=〃2+^_Z±

【分析】(1)根據(jù)等差數(shù)列的基本量計(jì)算即可求解，

(2)由分組求和，結(jié)合等差等比數(shù)列的求和公式即可求解.

【詳解】(1)由a“_i+a“+i=2a“("22),得%，一％(心2)

所以數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列.所以55=5乂幺券=54=15,得。3=3.

所以公差1=與二?=1.所以%=〃.

3-1

(2)當(dāng)"為奇數(shù)時(shí)，bn=an=n.當(dāng)"為偶數(shù)時(shí)勿=2%=22.

所以或=3+4++邑-)+(4+%++邑)=。+3++2?-1)+(2+23++221)

222n+1-2

二〃+-------

3

彩僻題秘籍

(七i)

等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用

(1)等差數(shù)列與等比數(shù)列的相互轉(zhuǎn)化：等差數(shù)列通過(guò)指數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為正項(xiàng)等比數(shù)列，正項(xiàng)等比數(shù)列通過(guò)對(duì)

數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列.

(2)等差數(shù)列和等比數(shù)列的交匯，若一個(gè)數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，則該數(shù)列為非零常數(shù)數(shù)列.

題型7:等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用

7-1.(2024高二上.陜西渭南?期末)在等差數(shù)列｛4｝中，4+必=12,g+%=16.

(1)求等差數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)數(shù)列｛2%+2｝是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列，求數(shù)列｛2｝的前〃項(xiàng)和S”.

【答案】⑴4=2〃-1；

(2)2"-2n2-l.

【分析】(1)根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式列出方程組求解即可；

(2)設(shè)數(shù)列｛2%+%｝的通項(xiàng)公式為c“，由等比數(shù)列公式求出c“可得",

再由分組求和得解.

【詳解】(1)設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,

%+4=122%+5d=12%=1,

由題知,解得

a2+%=162q+7J=16d=2.

an=l+2(/j—l)=2n—1.

（2）設(shè)數(shù)列｛2%+2｝的通項(xiàng)公式為G，

則%=2。“+2=2"T,

x

.-.b,=cn-2an=T--2(2n-\),

貝l]S'=0+2+4++2"T）-2（l+3+5++2〃-1）

一1一2"?（1+2?-1）_

=-----2----------—L—Zn—1.

1-22

7-2.（2024.江蘇）已知｛%｝是等差數(shù)列，他,｝是公比為q的等比數(shù)列，01n4,出=瓦豐生,記S“為數(shù)列也｝

的前”項(xiàng)和.

（1）若a=4“Cm,左是大于2正整數(shù)），求證：Sy；

（2）若么=6（，?是某一正整數(shù)），求證：4是整數(shù)，且數(shù)列｛2｝中每一項(xiàng)都是數(shù)列｛%｝中的項(xiàng)；

（3）是否存在這樣的正數(shù)q,使等比數(shù)列也,｝中有三項(xiàng)成等差數(shù)列？若存在，寫(xiě)出一個(gè)q的值，并加以說(shuō)明;

若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；

⑵證明見(jiàn)解析；

（3）存在“=與1,理由見(jiàn)解析.

【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列，等差數(shù)列通項(xiàng)公式和前”項(xiàng)和的基本量，列出等量關(guān)系，求解即可證明；

（2）根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量，結(jié)合i為正整數(shù)，即可證明；

（3）假設(shè)存在三項(xiàng)滿(mǎn)足題意，根據(jù)等比數(shù)列和等差數(shù)列基本量的計(jì)算，列出方程，即可求得滿(mǎn)足題意的“

【詳解】（1）設(shè)數(shù)列｛%｝的公差為d,由%=4，的=打*%，可得dwO,4Wl,d=4（q—1）,（%彳0）；

因?yàn)?=冊(cè)，故％qJ=%(q—l),qk~'=l+(m-l)(^-l)=2-m+(/n-l)^,

q(l-qi)q[m

故心

1—q\—q

(2)2=4/4=4+?_1)4(9_1),由4=q可得d=1+?_])(夕_1),

解得4=1或4="2,但qwl,故4=z?-2,因?yàn)閕為正整數(shù)，故9是整數(shù);

設(shè)數(shù)列｛2｝中任意一項(xiàng)為2=以嚴(yán)，只要證明數(shù)列｛%｝中存在某一項(xiàng)4=%+(機(jī)一l)q(q-l),

使得￡=%即可，即方程％qi=%+(租-1)%(q-1)關(guān)于m有正整數(shù)解即可.

n—1-I

貝Ui=l+(m—1)(^—1),m-l=----=l+q+q2++qn~2,

也即m=q+/++q〃2,

若i=1,貝ljq=-1,那么b2tl_[=a=ax,b2n=b2=a2；

若i=2,則4=0(舍)；

若i=3,則4=1(舍)；

若江4,則4為正整數(shù)，又因?yàn)椋?配%=仇，故只要考慮"N3時(shí)的情況，此時(shí)機(jī)是正整數(shù).

數(shù)列｛2｝中任意一項(xiàng)與數(shù)列｛%｝中的第2+“+d++廣2項(xiàng)相等，故結(jié)論成立.

(3)設(shè)數(shù)列｛2｝中有三項(xiàng)%優(yōu)也(租</<P，m,",°eN*)成等差數(shù)列，

則有=%q'"T設(shè)〃一m=x,p—“=y,(x,ywN*),則2=±+?'，

q

令無(wú)=l,y=2,則“3-24+1=0,(^-1)(^2+^-1)=0,因?yàn)閝wl,故《=(舍去負(fù)根)，

故存在q=與1使得｛2｝中有三項(xiàng)耙，或…粼+3成等差數(shù)列.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查數(shù)列基本量的計(jì)算；處理問(wèn)題的關(guān)鍵是能夠熟練應(yīng)用等差數(shù)列和等比數(shù)列

通項(xiàng)公式和前w項(xiàng)和基本量的計(jì)算，屬綜合難題.

7-3.(2024高二上?福建龍巖?階段練習(xí))公差不為0的等差數(shù)列｛4｝中，%+%=2,且%，％，生成等比數(shù)

列.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)若S“為等差數(shù)列｛4｝的