2024-2025學(xué)年中考數(shù)學(xué)考前20天沖刺復(fù)習(xí)之新定義問(wèn)題（含答案）

2024~2025學(xué)年中考數(shù)學(xué)考前20天終極沖刺專題之新定義問(wèn)題

一、選擇題

1.定義一種新運(yùn)算a*b=-ab,那么（TH-九）*m的運(yùn)算結(jié)果為（）

A.m2—mnB.—m2+mnC.—m2—mnD.m2—n

2.定義新運(yùn)算：0*6=在單（。06且。+6>0），則6*（6*3）的值為（）

a—b、

A.1BC.V7D.1

3.定義一種新運(yùn)算：0&6=憂：；了；上小則（1&4）&（_1）的值為（）

A.3B.-3C.5D.-5

4.定義新運(yùn)算：zn十n。0）,則對(duì)于函數(shù)y=x十2,下列說(shuō)法正確的是（）

A.當(dāng)％<0時(shí)，y隨力曾大而增大B.該函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2,1）

C.該函數(shù)圖象位于第一、三象限D(zhuǎn).當(dāng)一2<%<—1時(shí)，一2<y<—1

（R（q>0）,

5.定義新運(yùn)算：P十q=4例如3十5=|,3十（-5）=|,則y=2十K。00）

-物<0）,55

V4

的圖像可能是（）

6.設(shè)a,b是實(shí)數(shù)，定義一種新運(yùn)算：a*b=（a-b）2,下面有四個(gè)推斷：

①a*b=b*a；

②（a*bp=a2*b2；

③（—a）*b=a*（—b）；

@a*（b+c）=a*b+a*c?

其中所有正確推斷的序號(hào)是（）

A.①②③④B.①③④C.①②D.①③

7.若定義一種新的運(yùn)算檢九=鬻?例如：計(jì)算（―5/2）嗎的結(jié)果為（）

A.|B.C.1D.

5577

8.定義一種新運(yùn)算：當(dāng)a>b時(shí)，a*b=ab+b；當(dāng)a<b時(shí)，a*b=ab—b.若3*（%+2）>0,則

x的取值范圍是（）

A.-1<%<1或％<—2B.x<—2或1<%<2

C.-2<%<1或%>1D.x<—2或久>2

9.對(duì)代數(shù)式Z定義新運(yùn)算：，府=|川.在代數(shù)式a+b+c中任意加新運(yùn)算，然后按給出的運(yùn)算順序重

新運(yùn)算，稱此為“新運(yùn)算操作”.實(shí)數(shù)處b,C在數(shù)軸上的位置如圖所示.例如：Q+，房+c=Q+網(wǎng)+c=

a—b+c,+c）2=\a\+\b+c\=a-b—下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是（）

+人+>o;

②q+J（b+c）2=a+Vb2+V?;

③至少存在一種“新運(yùn)算操作”，使運(yùn)算結(jié)果與原代數(shù)式之和為0；

④至少存在一種“新運(yùn)算操作”，使運(yùn)算結(jié)果為-a-b+c.

cba

-3-2-1012

A.4B.3C.2D.1

10.對(duì)于任意實(shí)數(shù)m,n,若定義新運(yùn)算m<8）71=[1號(hào)1'"）’，給出三個(gè)說(shuō)法：

[y[m+^Jn（m<n）

①1802=2V2;@i^2+2^3+3^4+，，，+990100=100③1;③（“兇b）?（b③a）=\a-b\.

以上說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)是（）

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

11.定義符號(hào)min{a,b}的含義為：當(dāng)aNb時(shí)，min{a,b}=b；當(dāng)a〈b時(shí)，min{a,b}=a.如：min{l,

-3}=-3,min{-4,-2}=-4.已知一種關(guān)于x的新函數(shù)y=min{x+l,-x+m},且m>-l,則關(guān)于y的函數(shù)下

面說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）.

A.若m=l,則當(dāng)y<-2時(shí),則x<-3或x>3

B.當(dāng)函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)（0,今時(shí)，該函數(shù)圖象的最高點(diǎn)的坐標(biāo)為（-右I）

C（號(hào)，yi）（嚶，y。是函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，則yif

D.當(dāng)l<x<2時(shí)，函數(shù)y的最大值為3,則m=3或5

12.在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于點(diǎn)P（%y）,把點(diǎn)Pi（y,自）叫做點(diǎn)P的友好點(diǎn).已知點(diǎn)久的友好點(diǎn)為點(diǎn)

慶，點(diǎn)兒的友好點(diǎn)為點(diǎn)&…這樣依次得到點(diǎn)兒，22,4344--4,若點(diǎn)&的坐標(biāo)為弓,2）,則根據(jù)友好點(diǎn)

的定義，點(diǎn)42023的坐標(biāo)為（）

11

A.（右2）B.（2,-1）C.（-1,-1）D.（一1;）

13.定義一種對(duì)正整數(shù)n的叩”運(yùn)算：①當(dāng)71為奇數(shù)時(shí)，/⑺=5n+3；②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，尸⑺=養(yǎng)

（其中，k是使F（n）為奇數(shù)的正整數(shù)），……，兩種運(yùn)算交替重復(fù)進(jìn)行，例如，取"=20,則運(yùn)算過(guò)程

如圖所示：若n=3,則第2023次叩”運(yùn)算的結(jié)果是（）

A.3B.9C.18D.48

14.定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于點(diǎn)尸（X1,力），當(dāng)點(diǎn)。（X2,為）滿足2（X1+X2）=了1+了2時(shí)，稱

點(diǎn)0（X2,y2）是點(diǎn)尸（XI,力）的“倍增點(diǎn)已知點(diǎn)尸1（1，0）,有下列結(jié)論：

①點(diǎn)。1（3,8）,Q（-2,-2）都是點(diǎn)尸1的“倍增點(diǎn)”；

②若直線y=x+2上的點(diǎn)”是點(diǎn)P的“倍增點(diǎn)”，則點(diǎn)”的坐標(biāo)為（2,4）；

③拋物線y=N-2x-3上存在兩個(gè)點(diǎn)是點(diǎn)Pi的“倍增點(diǎn)”；

④若點(diǎn)B是點(diǎn)Pi的“倍增點(diǎn)”，則PiB的最小值是等；

其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

15.定義：如果代數(shù)式4=a1/+b］久+。0,a1；b1；q是常數(shù)）與B=+與％+C2（02。

0,a2,b2,C2是常數(shù)），滿足的+。2=。，比=①，Q+C2=0，則稱這兩個(gè)代數(shù)式4與B互為“同心

式”，下列四個(gè)結(jié)論：

（1）代數(shù)式：—3%2+2工的“同心式”為3%2—2%；

（2）若8mx2+nx—5與6nx2—4%+5互為“同心式“，則（m+71）2023的值為1；

（3）當(dāng)加=勿=0時(shí)，無(wú)論支取何值時(shí)，“同心式”/與B的值始終互為相反數(shù)；

（4）若4B互為“同心式”，且國(guó)—36aiCi=0,則A—2B=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根.

其中，正確的結(jié)論有個(gè).（）

A.1B.2C.3D.4

16.定義：如果代數(shù)式4=+bjX+C1?100,。1，bi，Cl是常數(shù)）與B=+力2%+?2（。2片。，

a2,b2,。2是常數(shù)），滿足。1+。2=。，比+歷=0，Cl+c2=0,則稱這兩個(gè)代數(shù)式4與B互為"和諧

式”，對(duì)于上述“和諧式”4B,下列三個(gè)結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為（）

①若4=一/——2,B—x2—2nx+n,貝1+n）2°23的值為/；

②若k為常數(shù)，關(guān)于x的方程4=k與B=k的解相同，則k=0；

③若p,q為常數(shù)，p4+qB的最小值為p-%則4有最小值，且最小值為1.

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

二、填空題

17.如果一個(gè)兩位數(shù)a的個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字都不是零，且互不相同，我們稱這個(gè)兩位數(shù)為“英華數(shù)”,

定義新運(yùn)算：將一個(gè)“英華數(shù)”的個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字對(duì)調(diào)，把這個(gè)新兩位數(shù)與原兩位數(shù)的和與11的

商記”(a),例如：a=13,對(duì)調(diào)個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字得到新兩位數(shù)31,新兩位數(shù)與原兩位數(shù)的和，

31+13=44,和與11的商44+11=4,所以3(13)=4.根據(jù)以上定義，回答下列問(wèn)題：

(1)計(jì)算：3127).

(2)若m,n都是"英華數(shù)"，且m+n=100,貝必(鬼)+co(n)=.

18.對(duì)x,y定義一種新運(yùn)算F,規(guī)定：F(x,y)=(jnx+ny)(3%—y)(其中m,n均為非

零常數(shù)).例如：F(L1)=2m+2n,F(-1,0)=3zn.當(dāng)F(l,-1)=-8,F(L2)=13,

則F(x,y)=；當(dāng)/。V時(shí)，尸(%,y)=F(y,久)對(duì)任意有理數(shù)x,y都成

立，則m,n滿足的關(guān)系式是.

19.對(duì)實(shí)數(shù)a、6,定義運(yùn)算☆如下：a表b=(,

a~b(a<b,a。0),

例如2☆3=2-3=會(huì)計(jì)算[2阿-4)]x[(—4)☆(—2)]=

20.定義：(t>\a,b,c]是以a、b、c為系數(shù)的二次多項(xiàng)式，即。[a,b,c\=ax2+bx+c,其中a、b、

c均為實(shí)數(shù).例如O[1,2,3]=/+2%+3、0[2,0,-2]=lx1-2.

①當(dāng)久=2時(shí)，求①[1,1,1]x<Z>[-1,-1,-1]=；

②若中[p,q,—1]x(P\m,n,-2]=2x4+%3—10x2—x+2,求

(4p—2q—l)(2m—n—1)=.

三,解答題

21.對(duì)于特殊四邊形，通常從定義、性質(zhì)、判定、應(yīng)用等方面進(jìn)行研究，我們借助于這種研究的過(guò)程

與方法來(lái)研究一種新的四邊形—箏形.

定義：在四邊形4BCC中，若=BC=CD,我們把這樣四邊形4BCD稱為箏形.

性質(zhì)：按下列分類用文字語(yǔ)言填寫(xiě)相應(yīng)的性質(zhì)：

從對(duì)稱性看：箏形是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，它的對(duì)稱軸是;

從邊看：箏形有兩組鄰邊分別相等；

從角看：;

從對(duì)角線看：.

判定：按要求用文字語(yǔ)言填寫(xiě)相應(yīng)的判定方法，補(bǔ)全圖形，并完成方法2的證明.

方法1：從邊看：運(yùn)用箏形的定義；

方法2：從對(duì)角線看：；

如圖，四邊形4BCD中，.求證：四邊形4BCD是箏形.

應(yīng)用：如圖，探索箏形ZBCD的面積公式(直接寫(xiě)出結(jié)論).

22.已如有理數(shù)a(aHl),定義占為。的差倒數(shù)，如—1的差倒數(shù)為［二1)=年

(1)-3的差倒數(shù)為；

(2)如果由=-1,是由的差倒數(shù).&3是&2的差倒數(shù)...，依此類推.求方+a2+a3+…+02024

的值.

23.對(duì)于整數(shù)〃，定義［訴］為不大于小的最大整數(shù)，例如：［遮］=1,［迎］=2,［遮］=2.

(1)直接寫(xiě)出［6。的值；

(2)顯然,當(dāng)［赤］=1時(shí)，〃=1,2或3.

①當(dāng)［訴］=2時(shí)，直接寫(xiě)出滿足條件的n的值；

②當(dāng)［F］=10時(shí)，求滿足條件的n的個(gè)數(shù)；

(3)對(duì)72進(jìn)行如下操作：72+次［療刃=8%次［用=2第字＜②=1,即對(duì)72進(jìn)行3次操作后變

為1，類似地：①對(duì)25進(jìn)行▲次操作后變?yōu)?；

②對(duì)整數(shù)加進(jìn)行3次操作后變?yōu)?,直接寫(xiě)出加的最大值.

24.在數(shù)軸上，點(diǎn)O表示的數(shù)為0,點(diǎn)M表示的數(shù)為m(m#0).給出如下定義：對(duì)于該數(shù)軸上的一

點(diǎn)P與線段OM上一點(diǎn)Q,如果線段PQ的長(zhǎng)度有最大值，那么稱這個(gè)最大值為點(diǎn)P與線段OM的“閉

距離”.如圖1,若m=—1,點(diǎn)P表示的數(shù)為3,當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)M重合時(shí)，線段PQ的長(zhǎng)最大，值是4,

則點(diǎn)P與線段OM的“閉距離”為4.

oli

A

-2-10I23-2-1012345

圖l圖2

（1）如圖2,在該數(shù)軸上，點(diǎn)A表示的數(shù)為一1,點(diǎn)B表示的數(shù)為2.

①當(dāng)m=1時(shí)，點(diǎn)A與線段OM的“閉距離”為；

②若點(diǎn)B與線段OM的“閉距離”為3,求m的值；

（2）在該數(shù)軸上，點(diǎn)C表示的數(shù)為一m,點(diǎn)D表示的數(shù)為一m+3,若線段CD上存在點(diǎn)G,使得

點(diǎn)G與線段OM的“閉距離”為5,直接寫(xiě)出m的最大值與最小值.

25.新定義：若無(wú)理數(shù)VT的被開(kāi)方數(shù)T（T為正整數(shù)）滿足/<7<（九+1）2（其中n為正整數(shù)），則稱

無(wú)理數(shù)VT的“青一區(qū)間”為（n,n+1）;同理規(guī)定無(wú)理數(shù)一VT的“青一區(qū)間”為（一幾―1,一n）.例如：

因?yàn)?<2<22,所以1<魚(yú)<2,所以魚(yú)的“青一區(qū)間”為（1,2）,-金的“青一區(qū)間”

為（—2,-1）.請(qǐng)解答下列問(wèn)題：

（1）后的“青一區(qū)間”是；-V23的“青一區(qū)間”是;

（2）若無(wú)理數(shù)-返（a為正整數(shù)）的“青一區(qū)間”為（-3,-2）,后月的“青一區(qū)間”為（3,4）,

求對(duì)TT的值；

（3）實(shí)數(shù)x,y,m滿足關(guān)系式：y/2x+3y—m+J3久+4y—27n=Jx+y—2023+^/2023—x—y,

求m的算術(shù)平方根的“青一區(qū)間”.

26.對(duì)于正數(shù)久，用符號(hào)因表示%的整數(shù)部分,例如[0.1]=0,[2.5]=2,[3]=3.點(diǎn)4（a,b）在第一象

限內(nèi)，以A為對(duì)角線的交點(diǎn)畫(huà)一個(gè)矩形，使它的邊分別與兩坐標(biāo)軸垂直.其中垂直于y軸的邊長(zhǎng)為a,垂

直于無(wú)軸的邊長(zhǎng)為固+1,那么，把這個(gè)矩形覆蓋的區(qū)域叫做點(diǎn)4的矩形域.例如：點(diǎn)（3,楙）的矩形域

是一個(gè)以（3,當(dāng)為對(duì)角線交點(diǎn)，長(zhǎng)為3,寬為2的矩形所覆蓋的區(qū)域，如圖1所示，它的面積是6.

7-

6

5

4

3-3

22

11

-1O12345%-\o12345%

-1-1

圖1圖2

根據(jù)上面的定義，回答下列問(wèn)題:

(1)在圖2所示的坐標(biāo)系中畫(huà)出點(diǎn)(2,〈)的矩形域，該矩形域的面積是;

(2)點(diǎn)P(2,1),Q(a,?|)(a>0)的矩形域重疊部分面積為1,貝南的值

為.

27.定義：如果一個(gè)數(shù)的平方等于-1,記為理=-1,這個(gè)數(shù)i叫做虛數(shù)單位，那么和我們所學(xué)的實(shí)數(shù)

對(duì)應(yīng)起來(lái)就叫做復(fù)數(shù)，表示為a+bi(a,6為實(shí)數(shù))，。叫做這個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部，6叫做這個(gè)復(fù)數(shù)的虛部,

它的加、減、乘法運(yùn)算與整式的加、減、乘法運(yùn)算類似.例如計(jì)算：(2+0+(3-4i)=(2+3)+?！?/p>

4i)=5-3i.

(1)填空：產(chǎn)=；產(chǎn)=.

(2)填空：①(3+i)(3-i)=；②(5+i)2=.

(3)若兩個(gè)復(fù)數(shù)相等，則它們的實(shí)部和虛部必須分別相等，完成下題：已知％+4i=(2-乃-團(tuán)

(x,了為實(shí)數(shù))，求x、y的值.

28.我們知道，任意一個(gè)正整數(shù)n都可以進(jìn)行這樣的分解：n=pxq(p,q是正整數(shù)，且pWq),在n的

所有這種分解中，如果p,q兩因數(shù)之差的絕對(duì)值最小，我們就稱pxq是n的最佳分解.并規(guī)定：F

(n)=1-

例如12可以分解成1x12,2x6或3x4,因?yàn)?2-1>6-2>4-3,所以3x4是12的最佳分解，所

以F(12)=1.

(I)如果一個(gè)正整數(shù)m是另外一個(gè)正整數(shù)n的平方，我們稱正整數(shù)m是完全平方數(shù).

求證：對(duì)任意一個(gè)完全平方數(shù)m,總有F(m)=1；

(II)如果一個(gè)兩位正整數(shù)3t=10x+y(l<x<y<9,x,y為自然數(shù))，交換其個(gè)位上的數(shù)與十位上

的數(shù)得到的新數(shù)減去原來(lái)的兩位正整數(shù)所得的差為36,那么我們稱這個(gè)數(shù)t為“吉祥數(shù)”，求所有“吉

祥數(shù)”；

(III)在(2)所得“吉祥數(shù)”中，求F(t)的最大值.

答案解析部分

L【答案】B

2.【答案】B

3.【答案】D

4.【答案】A

5.【答案】D

6.【答案】D

7.【答案】A

8.【答案】C

9.【答案】B

10.【答案】D

U.【答案】D

12.【答案】A

13.【答案】C

14.【答案】C

15.【答案】B

16.【答案】C

17.【答案】(1)9

(2)19

18.【答案】9/+12xy-5y2；n=-3m

19.【答案】1

20.【答案】-59；-6

21.【答案】其中一條對(duì)角線所在直線；箏形只有一組對(duì)角相等；有且只有一條對(duì)角線被另一條對(duì)角線

垂直平分；有且只有一條對(duì)角線被另一條對(duì)角線垂直平分；4c垂直平分于。點(diǎn)，且4。AC。；箏形

面積為對(duì)角線乘積的一半.

22.【答案】(1)1

(2)解：=-1,

111Q4

由題思，得："2=]_(_])=于的一_2,“4=]—2=-1

?,?每3個(gè)數(shù)一循環(huán)，+02+。3=*+2-1="l，

?「2024+3=674...2,

:?+。2+。3-----H。2024

31

=674X—+(-1)+2-

1

=1011-1+2

1

=1010^.

23.【答案】(1)［V10］=3；

(2)解:①n=4,5,6,7,8；

②當(dāng)［四］=10時(shí)，可得“00W布<7121,

.\n=100,101,102,103,104,105,106,107,108,109,110,111,112,113,114,115,116,

117,118,119,120；.?.滿足條件的n的個(gè)數(shù)為21

(3)解：①2；②設(shè)第三次操作為：［口］=2,則，4Wa<9,

設(shè)第二次操作為：［迎］=8,則；.64Wb<81,

二設(shè)第一次操作為：［而］=80,則而〈而〈很西，，6400Wzn<6561,

...只需進(jìn)行3次操作后變?yōu)?的所有正整數(shù)中，最大的是6560,.?.m的最大值為6560.

24.【答案】(1)解:①2；

②：B點(diǎn)到OM的“閉距離”為3,

/.當(dāng)m<0時(shí)，m=2-3=-l,

當(dāng)m>0時(shí)，m-2=3,m=5,

??.m的值為-1或5.

(2)解：???點(diǎn)C表示的數(shù)為-m,點(diǎn)D表示的數(shù)為?m+3,在線段CD上存在點(diǎn)G,使得點(diǎn)G與線段

OM的“閉距離”為5,

???當(dāng)mVO時(shí)，可得不等式組

(—m—m<5

t—m+3—771>

解得：—^工根工―1,

當(dāng)m>0時(shí)，可得不等式組

(m—(―m)>5

1m-(+3—m)<5>

解得：|-<m<4,

綜上所述，—搟〈mW—1或搟WmW4；

最大值4,最小值是-2.5.

25.【答案】(1)(4,5);(—5,-4)

(2)解：???無(wú)理數(shù)一再的“青一區(qū)間”為(—3,-2),

2<<3,

■-22<a<32,即4<a<9,

???V^+3的“青一區(qū)間”為(3,4),

???3<A/Q+3<4,

?e-32<a+3<42,即9<a+3<16,

/.6<a<13,

/.6<a<9,

???a為正整數(shù)，

???a=7或a=8

當(dāng)a=7時(shí)，yja+1=\ll+1=V8=2,

當(dāng)a=8時(shí)，\la+1=V8+1=狗，

???正不T的值為2或也；

(3)解：???yj2x+3y—m+J3%+