結(jié)構(gòu)力學(xué)優(yōu)化算法：靈敏度分析：結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)優(yōu)化與靈敏度分析

結(jié)構(gòu)力學(xué)優(yōu)化算法：靈敏度分析：結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)優(yōu)化與靈敏度分析1緒論1.1結(jié)構(gòu)力學(xué)優(yōu)化的重要性在工程設(shè)計(jì)領(lǐng)域，結(jié)構(gòu)力學(xué)優(yōu)化扮演著至關(guān)重要的角色。它不僅能夠幫助工程師設(shè)計(jì)出更安全、更經(jīng)濟(jì)的結(jié)構(gòu)，還能在滿足功能需求的同時(shí)，減少材料的使用，降低制造成本，提高結(jié)構(gòu)的性能。結(jié)構(gòu)力學(xué)優(yōu)化的核心在于尋找結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)參數(shù)的最佳組合，以達(dá)到特定的目標(biāo)，如最小化結(jié)構(gòu)的重量、最大化結(jié)構(gòu)的剛度或穩(wěn)定性，同時(shí)確保結(jié)構(gòu)在各種載荷條件下的安全性和可靠性。1.1.1動(dòng)力學(xué)優(yōu)化的基本概念動(dòng)力學(xué)優(yōu)化是結(jié)構(gòu)力學(xué)優(yōu)化的一個(gè)分支，專注于結(jié)構(gòu)在動(dòng)態(tài)載荷下的性能優(yōu)化。動(dòng)態(tài)載荷，如地震、風(fēng)力、爆炸沖擊等，對(duì)結(jié)構(gòu)的影響更為復(fù)雜，因?yàn)樗鼈儾粌H涉及到結(jié)構(gòu)的靜態(tài)響應(yīng)，還涉及到結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，如振動(dòng)、頻率響應(yīng)等。動(dòng)力學(xué)優(yōu)化的目標(biāo)通常包括：減振設(shè)計(jì)：通過優(yōu)化結(jié)構(gòu)的形狀、尺寸或材料，減少結(jié)構(gòu)在動(dòng)態(tài)載荷下的振動(dòng)幅度。頻率響應(yīng)優(yōu)化：調(diào)整結(jié)構(gòu)的自然頻率，避免與外部載荷的頻率產(chǎn)生共振，從而降低結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)應(yīng)力。動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性優(yōu)化：確保結(jié)構(gòu)在動(dòng)態(tài)載荷作用下保持穩(wěn)定，不會(huì)發(fā)生失穩(wěn)或破壞。1.1.2靈敏度分析在動(dòng)力學(xué)優(yōu)化中的應(yīng)用靈敏度分析是動(dòng)力學(xué)優(yōu)化的關(guān)鍵工具，它用于評(píng)估結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)性能的影響程度。通過靈敏度分析，工程師可以確定哪些參數(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)最為敏感，從而在優(yōu)化過程中優(yōu)先調(diào)整這些參數(shù)。例如，在進(jìn)行頻率響應(yīng)優(yōu)化時(shí)，工程師可能需要分析結(jié)構(gòu)的自然頻率對(duì)不同參數(shù)（如材料厚度、彈性模量等）的靈敏度，以找到最有效的優(yōu)化路徑。1.2示例：減振設(shè)計(jì)的靈敏度分析假設(shè)我們正在設(shè)計(jì)一個(gè)橋梁，需要優(yōu)化其在地震載荷下的振動(dòng)響應(yīng)。我們將使用有限元分析軟件進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析，并通過Python編程語言進(jìn)行靈敏度分析。1.2.1數(shù)據(jù)樣例橋梁的簡(jiǎn)化模型包含以下參數(shù)：-材料彈性模量E(GPa)-材料密度ρ(kg/m^3)-橋梁截面寬度w(m)-橋梁截面高度h(m)1.2.2代碼示例importnumpyasnp

fromscipy.optimizeimportminimize

fromfinite_element_analysisimportFEA#假設(shè)這是我們的有限元分析模塊

#定義橋梁模型的參數(shù)

params={

'E':210,#彈性模量，單位：GPa

'rho':7850,#密度，單位：kg/m^3

'w':1.5,#截面寬度，單位：m

'h':0.5#截面高度，單位：m

}

#定義目標(biāo)函數(shù)：最小化橋梁的最大位移

defobjective_function(x):

params['w']=x[0]

params['h']=x[1]

fea=FEA(params)#創(chuàng)建有限元分析對(duì)象

max_displacement=fea.run_simulation()#運(yùn)行模擬，獲取最大位移

returnmax_displacement

#定義約束條件：橋梁截面寬度和高度的范圍

bounds=[(1.0,2.0),(0.3,0.7)]

#進(jìn)行優(yōu)化

result=minimize(objective_function,[1.5,0.5],bounds=bounds)

#輸出優(yōu)化結(jié)果

print("Optimizedwidth:",result.x[0])

print("Optimizedheight:",result.x[1])1.2.3代碼講解導(dǎo)入必要的庫：我們使用numpy和scipy.optimize庫進(jìn)行數(shù)值計(jì)算和優(yōu)化，同時(shí)假設(shè)有一個(gè)名為finite_element_analysis的模塊，用于執(zhí)行有限元分析。定義橋梁模型參數(shù)：params字典包含了橋梁模型的基本參數(shù)，包括彈性模量、密度、截面寬度和高度。定義目標(biāo)函數(shù)：objective_function函數(shù)用于計(jì)算橋梁在給定參數(shù)下的最大位移。我們通過調(diào)整截面寬度和高度來優(yōu)化這個(gè)目標(biāo)。定義約束條件：bounds變量定義了截面寬度和高度的允許范圍，確保優(yōu)化過程中的參數(shù)值是合理的。執(zhí)行優(yōu)化：使用minimize函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，尋找使橋梁最大位移最小的截面寬度和高度。輸出優(yōu)化結(jié)果：最后，我們輸出優(yōu)化后的截面寬度和高度，這些參數(shù)值將用于設(shè)計(jì)更優(yōu)的橋梁結(jié)構(gòu)。通過上述代碼示例，我們可以看到，靈敏度分析和動(dòng)力學(xué)優(yōu)化是緊密相連的，它們共同幫助工程師在設(shè)計(jì)過程中做出更明智的決策，以提高結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)性能。2結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)2.1振動(dòng)系統(tǒng)的分類在結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)中，振動(dòng)系統(tǒng)根據(jù)其自由度、線性或非線性特性、以及是否受阻尼等因素，可以分為以下幾類：?jiǎn)巫杂啥认到y(tǒng)（SDOF）：系統(tǒng)只有一個(gè)獨(dú)立的運(yùn)動(dòng)方向，例如，一個(gè)彈簧-質(zhì)量-阻尼系統(tǒng)，其中質(zhì)量塊只能沿一條直線振動(dòng)。多自由度系統(tǒng)（MDOF）：系統(tǒng)有多個(gè)獨(dú)立的運(yùn)動(dòng)方向，每個(gè)方向上的運(yùn)動(dòng)都由一個(gè)自由度描述。例如，一個(gè)建筑物在地震作用下，可能在多個(gè)方向上振動(dòng)。線性系統(tǒng)：系統(tǒng)遵循線性原理，即疊加原理適用。系統(tǒng)參數(shù)（如剛度、質(zhì)量、阻尼）不隨時(shí)間或位移變化。非線性系統(tǒng)：系統(tǒng)參數(shù)隨時(shí)間或位移變化，不遵循線性原理。例如，當(dāng)彈簧的剛度隨位移變化時(shí)，系統(tǒng)是非線性的。無阻尼系統(tǒng)：系統(tǒng)中沒有能量耗散機(jī)制，振動(dòng)將永遠(yuǎn)持續(xù)下去，振幅保持不變。有阻尼系統(tǒng)：系統(tǒng)中存在能量耗散機(jī)制，如粘性阻尼，振動(dòng)將逐漸衰減。2.1.1示例：?jiǎn)巫杂啥认到y(tǒng)考慮一個(gè)簡(jiǎn)單的單自由度系統(tǒng)，由一個(gè)質(zhì)量塊、一個(gè)彈簧和一個(gè)阻尼器組成。假設(shè)質(zhì)量塊的質(zhì)量為m，彈簧的剛度為k，阻尼器的阻尼系數(shù)為c，外力為F(t)。動(dòng)力學(xué)方程根據(jù)牛頓第二定律，可以建立該系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程：#導(dǎo)入必要的庫

importsympyassp

#定義符號(hào)變量

m,k,c,F,t,x=sp.symbols('mkcFtx')

#動(dòng)力學(xué)方程

eq=m*sp.diff(x,t,2)+c*sp.diff(x,t)+k*x-F

#顯示方程

sp.pprint(eq)解析解對(duì)于特定的參數(shù)和外力，可以求解該方程的解析解。例如，假設(shè)m=1kg，k=4N/m，c=0.2Ns/m，F(xiàn)(t)=0，初始條件為x(0)=1m，x'(0)=0m/s。#定義參數(shù)

m_val=1

k_val=4

c_val=0.2

F_val=0

#定義初始條件

x0=1

v0=0

#求解方程

sol=sp.dsolve(eq.subs({m:m_val,k:k_val,c:c_val,F:F_val}),x)

#顯示解

sp.pprint(sol)2.2動(dòng)力學(xué)方程的建立動(dòng)力學(xué)方程是描述結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)的基本數(shù)學(xué)模型。對(duì)于一個(gè)結(jié)構(gòu)，動(dòng)力學(xué)方程通常表示為：M其中：-M是質(zhì)量矩陣，-C是阻尼矩陣，-K是剛度矩陣，-u是位移向量，-Ft2.2.1示例：多自由度系統(tǒng)考慮一個(gè)由兩個(gè)質(zhì)量塊、三個(gè)彈簧和兩個(gè)阻尼器組成的多自由度系統(tǒng)。假設(shè)質(zhì)量塊的質(zhì)量分別為m1和m2，彈簧的剛度分別為k1、k2和k3，阻尼器的阻尼系數(shù)分別為c1和c2。質(zhì)量矩陣質(zhì)量矩陣M是一個(gè)對(duì)角矩陣，其中對(duì)角線元素是各自由度的質(zhì)量。#定義質(zhì)量矩陣

M=sp.Matrix([[m1,0],[0,m2]])剛度矩陣剛度矩陣K描述了結(jié)構(gòu)的彈性特性，通常是一個(gè)非對(duì)角矩陣。#定義剛度矩陣

K=sp.Matrix([[k1+k2,-k2],[-k2,k2+k3]])阻尼矩陣阻尼矩陣C描述了結(jié)構(gòu)的能量耗散特性，也通常是一個(gè)非對(duì)角矩陣。#定義阻尼矩陣

C=sp.Matrix([[c1,0],[0,c2]])動(dòng)力學(xué)方程將質(zhì)量矩陣、剛度矩陣和阻尼矩陣代入動(dòng)力學(xué)方程中，可以得到該多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程。#定義位移向量和外力向量

u=sp.Matrix([u1,u2])

F=sp.Matrix([F1(t),F2(t)])

#動(dòng)力學(xué)方程

eqs=M*u.diff(t,2)+C*u.diff(t)+K*u-F

#顯示方程

sp.pprint(eqs)2.2.2求解動(dòng)力學(xué)方程對(duì)于給定的參數(shù)和外力，可以使用數(shù)值方法求解動(dòng)力學(xué)方程，例如，使用egrate.solve_ivp函數(shù)。importnumpyasnp

fromegrateimportsolve_ivp

#定義參數(shù)

m1_val=2

m2_val=1

k1_val=4

k2_val=3

k3_val=2

c1_val=0.1

c2_val=0.2

#定義外力函數(shù)

defF(t):

returnnp.array([np.sin(t),np.cos(t)])

#定義動(dòng)力學(xué)方程的函數(shù)形式

defdynamics(t,y):

u1,u1_dot,u2,u2_dot=y

u=np.array([u1,u2])

u_dot=np.array([u1_dot,u2_dot])

M=np.array([[m1_val,0],[0,m2_val]])

C=np.array([[c1_val,0],[0,c2_val]])

K=np.array([[k1_val+k2_val,-k2_val],[-k2_val,k2_val+k3_val]])

F_t=F(t)

eqs=np.dot(M,u_dot)+np.dot(C,u)+np.dot(K,u)-F_t

returnnp.concatenate((u_dot,eqs))

#定義初始條件

y0=[1,0,0,0]#[u1(0),u1'(0),u2(0),u2'(0)]

#求解動(dòng)力學(xué)方程

sol=solve_ivp(dynamics,[0,10],y0,t_eval=np.linspace(0,10,100))

#顯示解

importmatplotlib.pyplotasplt

plt.plot(sol.t,sol.y[0],label='u1(t)')

plt.plot(sol.t,sol.y[2],label='u2(t)')

plt.legend()

plt.show()以上代碼示例展示了如何建立和求解單自由度和多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程，包括質(zhì)量矩陣、剛度矩陣和阻尼矩陣的定義，以及使用數(shù)值方法求解動(dòng)力學(xué)方程的過程。3優(yōu)化算法概覽3.1經(jīng)典優(yōu)化方法3.1.1維搜索方法在結(jié)構(gòu)力學(xué)優(yōu)化中，一維搜索方法是尋找最佳設(shè)計(jì)參數(shù)的初步步驟。這類方法包括黃金分割法、斐波那契法和牛頓法等。以牛頓法為例，它利用函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)信息來加速收斂。假設(shè)我們有函數(shù)fxx3.1.2線性規(guī)劃線性規(guī)劃是解決結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中線性約束問題的有效方法。它通過最大化或最小化線性目標(biāo)函數(shù)，同時(shí)滿足一系列線性約束條件，來找到最優(yōu)解。例如，考慮以下線性規(guī)劃問題：其中，c是成本向量，A是約束矩陣，b是約束向量，x是決策變量向量。3.1.3非線性規(guī)劃非線性規(guī)劃處理的是目標(biāo)函數(shù)或約束條件為非線性的情況。序列二次規(guī)劃（SQP）是一種常用的非線性規(guī)劃算法，它將非線性問題轉(zhuǎn)化為一系列二次規(guī)劃問題來求解。SQP算法在每一步迭代中，都會(huì)構(gòu)建一個(gè)二次近似模型，并求解該模型來更新設(shè)計(jì)變量。3.2現(xiàn)代啟發(fā)式算法3.2.1遺傳算法遺傳算法（GA）模仿自然選擇和遺傳學(xué)原理，通過種群進(jìn)化來尋找最優(yōu)解。GA的基本步驟包括初始化種群、評(píng)估適應(yīng)度、選擇、交叉和變異。例如，對(duì)于一個(gè)結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題，GA可以隨機(jī)生成一組結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)作為初始種群，然后通過評(píng)估結(jié)構(gòu)的性能（如重量、剛度等），選擇性能較好的設(shè)計(jì)進(jìn)行交叉和變異，生成下一代種群，直到找到最優(yōu)設(shè)計(jì)。3.2.2粒子群優(yōu)化粒子群優(yōu)化（PSO）算法是另一種基于群體智能的優(yōu)化方法。在PSO中，每個(gè)粒子代表一個(gè)可能的解，粒子在解空間中飛行，通過跟蹤自身和群體的最佳位置來更新自己的速度和位置。PSO算法適用于解決連續(xù)變量的優(yōu)化問題，如結(jié)構(gòu)尺寸優(yōu)化。3.2.3蟻群優(yōu)化蟻群優(yōu)化（ACO）算法受到螞蟻尋找食物路徑的啟發(fā)，通過模擬螞蟻釋放和跟隨信息素來尋找最優(yōu)路徑。在結(jié)構(gòu)優(yōu)化中，ACO可以用于離散變量的優(yōu)化，如材料選擇或結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化。3.3示例：使用Python實(shí)現(xiàn)遺傳算法進(jìn)行結(jié)構(gòu)尺寸優(yōu)化假設(shè)我們有一個(gè)簡(jiǎn)單的梁結(jié)構(gòu)，需要優(yōu)化其截面尺寸以最小化重量，同時(shí)滿足剛度要求。importnumpyasnp

fromscipy.optimizeimportminimize

#定義目標(biāo)函數(shù)：梁的重量

defweight(x):

returnx[0]*x[1]*10#假設(shè)材料密度為10

#定義約束函數(shù)：梁的剛度

defstiffness(x):

return1000-(x[0]*x[1]*100)#假設(shè)外力為1000，彈性模量為100

#定義遺傳算法的適應(yīng)度函數(shù)

deffitness(x):

returnweight(x)ifstiffness(x)<0elseweight(x)+abs(stiffness(x))

#遺傳算法參數(shù)

pop_size=50

num_generations=100

mutation_rate=0.1

#初始化種群

pop=np.random.rand(pop_size,2)*10

#遺傳算法主循環(huán)

forgeninrange(num_generations):

#計(jì)算適應(yīng)度

fitnesses=np.array([fitness(ind)forindinpop])

#選擇

selected=np.random.choice(pop_size,size=pop_size,replace=True,p=fitnesses/fitnesses.sum())

pop=pop[selected]

#交叉

foriinrange(pop_size//2):

ifnp.random.rand()<0.5:

pop[2*i],pop[2*i+1]=np.mean(pop[[2*i,2*i+1]],axis=0),np.mean(pop[[2*i,2*i+1]],axis=0)

#變異

foriinrange(pop_size):

ifnp.random.rand()<mutation_rate:

pop[i]=np.random.rand(2)*10

#找到最優(yōu)解

best_ind=pop[np.argmin([fitness(ind)forindinpop])]

print("最優(yōu)解：",best_ind)

print("最優(yōu)重量：",weight(best_ind))在這個(gè)例子中，我們定義了一個(gè)簡(jiǎn)單的梁結(jié)構(gòu)，其目標(biāo)是最小化重量，同時(shí)滿足剛度要求。我們使用遺傳算法來搜索最優(yōu)的截面尺寸。通過初始化種群、評(píng)估適應(yīng)度、選擇、交叉和變異等步驟，遺傳算法最終找到了滿足約束條件的最小重量設(shè)計(jì)。3.4結(jié)論結(jié)構(gòu)力學(xué)優(yōu)化算法涵蓋了從經(jīng)典的一維搜索、線性規(guī)劃和非線性規(guī)劃，到現(xiàn)代的啟發(fā)式算法如遺傳算法、粒子群優(yōu)化和蟻群優(yōu)化。每種算法都有其適用場(chǎng)景和特點(diǎn)，選擇合適的算法對(duì)于解決特定的結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題至關(guān)重要。通過上述示例，我們可以看到遺傳算法在解決結(jié)構(gòu)尺寸優(yōu)化問題中的應(yīng)用，它能夠有效地處理復(fù)雜的約束條件，找到滿足要求的最優(yōu)設(shè)計(jì)。4靈敏度分析原理4.1參數(shù)變化對(duì)結(jié)構(gòu)響應(yīng)的影響在結(jié)構(gòu)力學(xué)優(yōu)化中，靈敏度分析是評(píng)估結(jié)構(gòu)參數(shù)微小變化對(duì)結(jié)構(gòu)響應(yīng)（如位移、應(yīng)力、頻率等）影響的關(guān)鍵步驟。這種分析有助于理解設(shè)計(jì)變量對(duì)結(jié)構(gòu)性能的敏感程度，從而指導(dǎo)優(yōu)化過程，確保設(shè)計(jì)的高效性和可靠性。4.1.1數(shù)學(xué)模型考慮一個(gè)結(jié)構(gòu)力學(xué)問題，其響應(yīng)y可以表示為設(shè)計(jì)變量x的函數(shù)：y設(shè)計(jì)變量x可能包括材料屬性、幾何尺寸、載荷分布等。靈敏度分析的目標(biāo)是計(jì)算響應(yīng)y對(duì)設(shè)計(jì)變量x的導(dǎo)數(shù)，即：?4.1.2靈敏度分析的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)靈敏度分析通?；谖⒎謱W(xué)原理。對(duì)于線性問題，響應(yīng)對(duì)設(shè)計(jì)變量的靈敏度可以通過直接求解線性系統(tǒng)方程的導(dǎo)數(shù)來獲得。然而，對(duì)于非線性問題，需要采用更復(fù)雜的方法，如有限差分法、直接法或解析法。有限差分法有限差分法是最直觀的方法，通過在設(shè)計(jì)變量上施加微小的擾動(dòng)來近似計(jì)算靈敏度。對(duì)于設(shè)計(jì)變量xi?其中，Δxi是施加在直接法直接法涉及求解附加的線性化方程，這些方程描述了設(shè)計(jì)變量變化對(duì)結(jié)構(gòu)響應(yīng)的影響。這種方法在計(jì)算效率上優(yōu)于有限差分法，尤其是在處理大型結(jié)構(gòu)時(shí)。解析法解析法基于結(jié)構(gòu)力學(xué)的理論，直接從問題的數(shù)學(xué)模型中推導(dǎo)出靈敏度表達(dá)式。這種方法提供了最準(zhǔn)確的結(jié)果，但需要對(duì)問題有深入的理解和數(shù)學(xué)處理能力。4.1.3示例：使用Python進(jìn)行靈敏度分析假設(shè)我們有一個(gè)簡(jiǎn)單的彈簧-質(zhì)量系統(tǒng)，其動(dòng)力學(xué)方程為：m其中，m是質(zhì)量，k是彈簧剛度，x是位移，F(xiàn)t是隨時(shí)間變化的外力。我們想分析彈簧剛度kPython代碼示例importnumpyasnp

fromegrateimportsolve_ivp

#定義系統(tǒng)參數(shù)

m=1.0#質(zhì)量

k=10.0#彈簧剛度

F=lambdat:np.sin(2*np.pi*t)#外力函數(shù)

#定義動(dòng)力學(xué)方程

defspring_mass(t,y,m,k,F):

x,v=y#位移和速度

dxdt=v#位移對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)

dvdt=(F(t)-k*x)/m#速度對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)

return[dxdt,dvdt]

#定義初始條件

y0=[0,0]#初始位移和速度

#定義時(shí)間范圍

t_span=(0,10)

#求解動(dòng)力學(xué)方程

sol=solve_ivp(spring_mass,t_span,y0,args=(m,k,F),t_eval=np.linspace(0,10,100))

#計(jì)算k變化對(duì)頻率響應(yīng)的靈敏度

#假設(shè)我們對(duì)k進(jìn)行微小擾動(dòng)

k_perturbed=k+0.1

#求解擾動(dòng)后的動(dòng)力學(xué)方程

sol_perturbed=solve_ivp(spring_mass,t_span,y0,args=(m,k_perturbed,F),t_eval=np.linspace(0,10,100))

#計(jì)算靈敏度

sensitivity=(sol_perturbed.y[0]-sol.y[0])/0.1

#輸出結(jié)果

print("位移對(duì)彈簧剛度的靈敏度：")

print(sensitivity)代碼解釋導(dǎo)入庫：使用numpy進(jìn)行數(shù)學(xué)計(jì)算，egrate.solve_ivp求解微分方程。定義系統(tǒng)參數(shù)：設(shè)定質(zhì)量m、彈簧剛度k和外力函數(shù)Ft定義動(dòng)力學(xué)方程：spring_mass函數(shù)描述了系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為。求解動(dòng)力學(xué)方程：使用solve_ivp求解系統(tǒng)在給定時(shí)間范圍內(nèi)的響應(yīng)。計(jì)算靈敏度：通過比較擾動(dòng)前后系統(tǒng)的響應(yīng)，計(jì)算出彈簧剛度變化對(duì)位移的靈敏度。4.2結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)優(yōu)化與靈敏度分析結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)優(yōu)化旨在尋找結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)參數(shù)，以最小化或最大化特定的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)，如振動(dòng)頻率、位移或應(yīng)力。靈敏度分析在這一過程中扮演著核心角色，它幫助確定設(shè)計(jì)參數(shù)的微小變化如何影響目標(biāo)響應(yīng)，從而指導(dǎo)優(yōu)化算法的搜索方向。4.2.1優(yōu)化算法常見的優(yōu)化算法包括梯度下降法、遺傳算法、粒子群優(yōu)化等。這些算法利用靈敏度信息來調(diào)整設(shè)計(jì)參數(shù)，以逐步改進(jìn)結(jié)構(gòu)性能。4.2.2示例：使用遺傳算法優(yōu)化彈簧-質(zhì)量系統(tǒng)的頻率響應(yīng)假設(shè)我們希望優(yōu)化彈簧-質(zhì)量系統(tǒng)的彈簧剛度k，以達(dá)到特定的頻率響應(yīng)目標(biāo)。Python代碼示例importnumpyasnp

fromegrateimportsolve_ivp

fromdeapimportbase,creator,tools,algorithms

#定義系統(tǒng)參數(shù)

m=1.0#質(zhì)量

F=lambdat:np.sin(2*np.pi*t)#外力函數(shù)

#定義動(dòng)力學(xué)方程

defspring_mass(t,y,m,k,F):

x,v=y

dxdt=v

dvdt=(F(t)-k*x)/m

return[dxdt,dvdt]

#定義優(yōu)化目標(biāo)

defevaluate(k):

sol=solve_ivp(spring_mass,(0,10),[0,0],args=(m,k,F),t_eval=np.linspace(0,10,100))

#假設(shè)目標(biāo)是最小化最大位移

returnnp.max(np.abs(sol.y[0])),

#遺傳算法設(shè)置

creator.create("FitnessMin",base.Fitness,weights=(-1.0,))

creator.create("Individual",list,fitness=creator.FitnessMin)

toolbox=base.Toolbox()

toolbox.register("attr_k",np.random.uniform,5.0,15.0)

toolbox.register("individual",tools.initIterate,creator.Individual,toolbox.attr_k)

toolbox.register("population",tools.initRepeat,list,toolbox.individual)

toolbox.register("evaluate",evaluate)

toolbox.register("mate",tools.cxTwoPoint)

toolbox.register("mutate",tools.mutGaussian,mu=0,sigma=1,indpb=0.2)

toolbox.register("select",tools.selTournament,tournsize=3)

#運(yùn)行遺傳算法

pop=toolbox.population(n=50)

hof=tools.HallOfFame(1)

stats=tools.Statistics(lambdaind:ind.fitness.values)

stats.register("avg",np.mean)

stats.register("std",np.std)

stats.register("min",np.min)

stats.register("max",np.max)

pop,logbook=algorithms.eaSimple(pop,toolbox,cxpb=0.5,mutpb=0.2,ngen=100,stats=stats,halloffame=hof,verbose=True)

#輸出最優(yōu)解

print("最優(yōu)彈簧剛度：")

print(hof[0])代碼解釋導(dǎo)入庫：使用numpy進(jìn)行數(shù)學(xué)計(jì)算，egrate.solve_ivp求解微分方程，deap庫用于實(shí)現(xiàn)遺傳算法。定義動(dòng)力學(xué)方程和優(yōu)化目標(biāo)：spring_mass函數(shù)描述系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)，evaluate函數(shù)定義了優(yōu)化目標(biāo)，即最小化最大位移。遺傳算法設(shè)置：使用deap庫創(chuàng)建個(gè)體和種群，定義交叉、變異和選擇操作。運(yùn)行遺傳算法：通過algorithms.eaSimple函數(shù)執(zhí)行遺傳算法，尋找最優(yōu)的彈簧剛度。輸出最優(yōu)解：打印出遺傳算法找到的最優(yōu)彈簧剛度值。通過上述示例，我們可以看到，靈敏度分析不僅在理解結(jié)構(gòu)行為中至關(guān)重要，而且在指導(dǎo)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)優(yōu)化過程中也發(fā)揮著核心作用。5結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)優(yōu)化5.1目標(biāo)函數(shù)的定義在結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)優(yōu)化中，目標(biāo)函數(shù)的定義是優(yōu)化過程的核心。目標(biāo)函數(shù)通常反映了設(shè)計(jì)者希望最小化或最大化的性能指標(biāo)，如結(jié)構(gòu)的重量、成本、振動(dòng)響應(yīng)或應(yīng)力水平。對(duì)于動(dòng)力學(xué)優(yōu)化，常見的目標(biāo)函數(shù)包括：最小化結(jié)構(gòu)重量：在滿足所有約束條件的前提下，尋找最輕的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)。最小化振動(dòng)響應(yīng)：減少結(jié)構(gòu)在特定載荷下的振動(dòng)，如位移、速度或加速度。最小化應(yīng)力：確保結(jié)構(gòu)在動(dòng)態(tài)載荷下不會(huì)超過材料的應(yīng)力極限。5.1.1示例：最小化結(jié)構(gòu)重量假設(shè)我們有一個(gè)由多個(gè)梁組成的結(jié)構(gòu)，每個(gè)梁的長(zhǎng)度和材料已知，但截面尺寸（寬度和高度）可以調(diào)整。我們的目標(biāo)是最小化結(jié)構(gòu)的總重量，同時(shí)確保結(jié)構(gòu)的剛度滿足特定要求。importnumpyasnp

#定義結(jié)構(gòu)參數(shù)

lengths=np.array([10,15,20])#梁的長(zhǎng)度

materials=np.array([7850,7850,7850])#梁的材料密度

widths=np.array([1,1,1])#梁的初始寬度

heights=np.array([1,1,1])#梁的初始高度

#定義目標(biāo)函數(shù)

defobjective_function(x):

"""

計(jì)算結(jié)構(gòu)的總重量。

x:包含寬度和高度的向量，形狀為(6,)

"""

widths=x[:3]

heights=x[3:]

volumes=lengths*widths*heights

weights=volumes*materials

returnnp.sum(weights)

#示例輸入

x=np.array([1.2,1.3,1.4,1.1,1.2,1.3])

#計(jì)算目標(biāo)函數(shù)值

weight=objective_function(x)

print(f"結(jié)構(gòu)的總重量為:{weight}kg")5.2約束條件的處理結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)優(yōu)化中的約束條件確保設(shè)計(jì)滿足特定的安全、性能或制造要求。這些約束可以是等式約束（如體積保持不變）或不等式約束（如應(yīng)力不超過材料極限）。5.2.1示例：應(yīng)力約束考慮上述結(jié)構(gòu)，我們希望確保每個(gè)梁的最大應(yīng)力不超過材料的許用應(yīng)力。假設(shè)材料的許用應(yīng)力為100MPa，我們可以定義一個(gè)約束函數(shù)來檢查這一點(diǎn)。#定義約束函數(shù)

defstress_constraint(x):

"""

計(jì)算每個(gè)梁的最大應(yīng)力是否超過許用應(yīng)力。

x:包含寬度和高度的向量，形狀為(6,)

"""

widths=x[:3]

heights=x[3:]

#假設(shè)梁的截面為矩形，使用簡(jiǎn)單的公式計(jì)算應(yīng)力

max_stresses=10000*lengths/(widths*heights)#簡(jiǎn)化公式，僅用于示例

returnmax_stresses-100#許用應(yīng)力為100MPa

#檢查約束

max_stresses=stress_constraint(x)

print(f"每個(gè)梁的最大應(yīng)力為:{max_stresses}MPa")

print(f"是否滿足約束條件:{np.all(max_stresses<=0)}")在實(shí)際應(yīng)用中，約束條件可能涉及復(fù)雜的物理模型和計(jì)算，需要使用數(shù)值方法來求解。例如，有限元分析（FEA）可以用來準(zhǔn)確計(jì)算結(jié)構(gòu)在動(dòng)態(tài)載荷下的應(yīng)力分布。5.2.2結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)優(yōu)化流程初始化設(shè)計(jì)參數(shù)：選擇初始的結(jié)構(gòu)尺寸和材料屬性。定義目標(biāo)函數(shù)：根據(jù)設(shè)計(jì)目標(biāo)，如最小化重量或振動(dòng)，定義目標(biāo)函數(shù)。定義約束條件：列出所有必須滿足的物理和工程約束。選擇優(yōu)化算法：基于問題的性質(zhì)，選擇合適的優(yōu)化算法，如梯度下降、遺傳算法或粒子群優(yōu)化。執(zhí)行優(yōu)化：運(yùn)行優(yōu)化算法，迭代調(diào)整設(shè)計(jì)參數(shù)，直到找到最優(yōu)解。驗(yàn)證設(shè)計(jì)：使用有限元分析或其他方法驗(yàn)證優(yōu)化后的設(shè)計(jì)是否滿足所有約束條件。通過上述步驟，結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)優(yōu)化能夠幫助工程師在設(shè)計(jì)過程中平衡性能、成本和制造可行性，從而創(chuàng)造出更高效、更安全的結(jié)構(gòu)。6靈敏度分析在動(dòng)力學(xué)優(yōu)化中的應(yīng)用6.1靈敏度分析的計(jì)算方法6.1.1理論基礎(chǔ)靈敏度分析是結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)優(yōu)化中的關(guān)鍵步驟，它用于評(píng)估結(jié)構(gòu)參數(shù)變化對(duì)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的影響。在動(dòng)力學(xué)優(yōu)化中，靈敏度分析幫助我們理解設(shè)計(jì)變量（如材料屬性、幾何尺寸）如何影響結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性（如固有頻率、模態(tài)形狀）。計(jì)算方法主要包括有限差分法、直接微分法和復(fù)合微分法。6.1.2有限差分法有限差分法是最直觀的靈敏度計(jì)算方法，通過在設(shè)計(jì)變量上施加微小的擾動(dòng)，計(jì)算響應(yīng)的變化，從而得到靈敏度。這種方法簡(jiǎn)單易行，但計(jì)算成本較高，因?yàn)槊坑?jì)算一個(gè)設(shè)計(jì)變量的靈敏度，都需要重新求解一次動(dòng)力學(xué)方程。示例代碼#假設(shè)我們有一個(gè)簡(jiǎn)單的單自由度系統(tǒng)，其動(dòng)力學(xué)方程為：m*u''+c*u'+k*u=F(t)

#其中m是質(zhì)量，c是阻尼，k是剛度，u是位移，F(xiàn)(t)是外力

#我們想要計(jì)算剛度k對(duì)固有頻率的靈敏度

importnumpyasnp

defsolve_dynamics(m,c,k):

#解動(dòng)力學(xué)方程，這里簡(jiǎn)化為計(jì)算固有頻率

omega=np.sqrt(k/m)

returnomega

defsensitivity_FD(k,delta_k):

#使用有限差分法計(jì)算k對(duì)固有頻率的靈敏度

omega=solve_dynamics(1,0,k)#假設(shè)m=1,c=0

omega_k_plus=solve_dynamics(1,0,k+delta_k)

sensitivity=(omega_k_plus-omega)/delta_k

returnsensitivity

#設(shè)定參數(shù)

k=100#初始剛度

delta_k=0.01#擾動(dòng)量

#計(jì)算靈敏度

sensitivity=sensitivity_FD(k,delta_k)

print(f"剛度k對(duì)固有頻率的靈敏度為：{sensitivity}")6.1.3直接微分法直接微分法是在求解動(dòng)力學(xué)方程的同時(shí)，直接計(jì)算響應(yīng)對(duì)設(shè)計(jì)變量的導(dǎo)數(shù)。這種方法比有限差分法更高效，因?yàn)樗恍枰淮吻蠼膺^程就能得到所有設(shè)計(jì)變量的靈敏度。示例代碼#繼續(xù)使用單自由度系統(tǒng)作為示例

#直接微分法需要求解附加的微分方程，這里簡(jiǎn)化為直接計(jì)算導(dǎo)數(shù)

defsensitivity_DD(k):

#使用直接微分法計(jì)算k對(duì)固有頻率的靈敏度

m=1#質(zhì)量

omega=np.sqrt(k/m)

sensitivity=0.5*omega/k

returnsensitivity

#設(shè)定參數(shù)

k=100#初始剛度

#計(jì)算靈敏度

sensitivity=sensitivity_DD(k)

print(f"剛度k對(duì)固有頻率的靈敏度為：{sensitivity}")6.1.4復(fù)合微分法復(fù)合微分法結(jié)合了有限差分法和直接微分法的優(yōu)點(diǎn)，通過在直接微分法中使用有限差分法來近似計(jì)算某些難以直接求導(dǎo)的項(xiàng)。這種方法在復(fù)雜結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)優(yōu)化中非常有效。6.2靈敏度信息的利用6.2.1優(yōu)化算法在結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)優(yōu)化中，靈敏度信息被用于指導(dǎo)優(yōu)化算法的搜索方向。常見的優(yōu)化算法包括梯度下降法、共軛梯度法和牛頓法。這些算法利用靈敏度信息來調(diào)整設(shè)計(jì)變量，以最小化或最大化目標(biāo)函數(shù)（如結(jié)構(gòu)的固有頻率、模態(tài)形狀）。6.2.2示例代碼#使用梯度下降法進(jìn)行結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)優(yōu)化

#假設(shè)目標(biāo)是最大化固有頻率

defobjective_function(k):

#目標(biāo)函數(shù)，這里簡(jiǎn)化為計(jì)算固有頻率

omega=np.sqrt(k/1)#假設(shè)m=1

returnomega

defgradient(k):

#計(jì)算目標(biāo)函數(shù)對(duì)k的梯度

sensitivity=sensitivity_DD(k)

returnsensitivity

defoptimize(k_initial,learning_rate,num_iterations):

#梯度下降法優(yōu)化

k=k_initial

foriinrange(num_iterations):

grad=gradient(k)

k-=learning_rate*grad#注意：因?yàn)槲覀円畲蠡逃蓄l率，所以梯度下降法中的步長(zhǎng)方向需要取反

print(f"迭代{i+1}：剛度k={k}，固有頻率={objective_function(k)}")

returnk

#設(shè)定參數(shù)

k_initial=100#初始剛度

learning_rate=0.01#學(xué)習(xí)率

num_iterations=10#迭代次數(shù)

#進(jìn)行優(yōu)化

optimized_k=optimize(k_initial,learning_rate,num_iterations)

print(f"優(yōu)化后的剛度k為：{optimized_k}")6.2.3結(jié)果解釋在上述示例中，我們使用梯度下降法（取反方向）來最大化固有頻率。通過迭代調(diào)整剛度k，我們可以觀察到固有頻率的增加，直到達(dá)到一個(gè)局部最優(yōu)解。靈敏度信息在這里起到了關(guān)鍵作用，指導(dǎo)了優(yōu)化算法的搜索方向。6.2.4注意事項(xiàng)靈敏度分析的準(zhǔn)確性直接影響優(yōu)化結(jié)果，因此在實(shí)際應(yīng)用中需要確保計(jì)算方法的精度。優(yōu)化算法的選擇應(yīng)基于問題的特性，如目標(biāo)函數(shù)的性質(zhì)、設(shè)計(jì)變量的數(shù)量等。在復(fù)雜結(jié)構(gòu)的優(yōu)化中，可能需要考慮多目標(biāo)優(yōu)化問題，這時(shí)靈敏度分析將更加復(fù)雜，可能需要使用更高級(jí)的優(yōu)化算法和靈敏度計(jì)算方法。7案例研究與實(shí)踐7.1實(shí)際工程中的動(dòng)力學(xué)優(yōu)化案例在實(shí)際工程中，結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)優(yōu)化是一個(gè)關(guān)鍵領(lǐng)域，旨在提高結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)性能，如減少振動(dòng)、提高穩(wěn)定性或優(yōu)化頻率響應(yīng)。靈敏度分析在此過程中扮演著核心角色，它幫助工程師理解設(shè)計(jì)參數(shù)變化對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)特性的影響，從而指導(dǎo)優(yōu)化方向。7.1.1案例：橋梁結(jié)構(gòu)優(yōu)化假設(shè)我們正在設(shè)計(jì)一座橋梁，目標(biāo)是最小化其在特定風(fēng)速下的振動(dòng)幅度。橋梁的模型包括多個(gè)參數(shù)，如梁的厚度、材料的彈性模量、支撐的剛度等。使用有限元分析（FEA），我們可以建立橋梁的動(dòng)態(tài)模型，并計(jì)算其在不同風(fēng)速下的響應(yīng)。靈敏度分析我們首先進(jìn)行靈敏度分析，以確定哪些參數(shù)對(duì)振動(dòng)幅度有最大影響。這通常通過計(jì)算響應(yīng)對(duì)參數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)來實(shí)現(xiàn)，即響應(yīng)的靈敏度。優(yōu)化設(shè)計(jì)基于靈敏度分析的結(jié)果，我們調(diào)整參數(shù)以減少振動(dòng)。例如，增加梁的厚度或改變支撐的布局。優(yōu)化過程可能涉及迭代計(jì)算，直到達(dá)到預(yù)定的性能目標(biāo)。7.2使用靈敏度分析進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)靈敏度分析不僅用于理解參數(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)性能的影響，還直接用于優(yōu)化設(shè)計(jì)過程。通過將靈敏度信息集成到優(yōu)化算法中，可以更高效地找到最優(yōu)設(shè)計(jì)。7.2.1算法：梯度下降法梯度下降法是一種常用的優(yōu)化算法，它利用目標(biāo)函數(shù)的梯度（即靈敏度）來指導(dǎo)參數(shù)的更新方向。下面是一個(gè)使用Python和SciPy庫實(shí)現(xiàn)的梯度下降法示例，用于優(yōu)化橋梁的梁厚度以減少振動(dòng)幅度。importnumpyasnp

fromscipy.optimizeimportminimize

#定義目標(biāo)函數(shù)：計(jì)算振動(dòng)幅度

defvibration_amplitude(thickness):

#這里使用FEA計(jì)算振動(dòng)幅度，假設(shè)我們已經(jīng)有了一個(gè)FEA模型

#例如，使用一個(gè)簡(jiǎn)單的公式代替FEA計(jì)算

amplitude=100/(thickness+1)**2

returnamplitude

#定義目標(biāo)函數(shù)的梯度（靈敏度）

defgradient(thickness):

#振動(dòng)幅度對(duì)梁厚度的偏導(dǎo)數(shù)

grad=-200/(thickness+1)**3

returngrad

#初始梁厚度

initial_thickness=1.0

#使用梯度下降法進(jìn)行優(yōu)化

result=minimize(vibration_amplitude,initial_thickness,method='BFGS',jac=gradient)

#輸出最優(yōu)梁厚度

optimal_thickness=result.x

print(f"Optimalthickness:{optimal_thickness}")解釋在這個(gè)例子中，我們定義了一個(gè)簡(jiǎn)化的目標(biāo)函數(shù)vibration_amplitude，它模擬了橋梁梁厚度對(duì)振動(dòng)幅度的影響。gradient函數(shù)計(jì)算了振動(dòng)幅度對(duì)梁厚度的靈敏度。通過調(diào)用scipy.optimize.minimize函數(shù)并指定method='BFGS'，我們使用了梯度信息來優(yōu)化梁的厚度，以達(dá)到最小振動(dòng)幅度的目標(biāo)。7.2.2結(jié)論通過將靈敏度分析與優(yōu)化算法結(jié)合，工程師可以更精確地控制結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)性能，實(shí)現(xiàn)更高效、更安全的設(shè)計(jì)。在實(shí)際應(yīng)用中，這可能涉及復(fù)雜的多參數(shù)優(yōu)化，以及與實(shí)際工程約束的結(jié)合，如成本、材料限制等。8結(jié)論與未來方向8.1結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)優(yōu)化的挑戰(zhàn)在結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)優(yōu)化領(lǐng)域，面對(duì)的挑戰(zhàn)多種多樣，這些挑戰(zhàn)不僅來源于理論層面的復(fù)雜性，也包括實(shí)際應(yīng)用中的技術(shù)難題。以下幾點(diǎn)概述了結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)優(yōu)化中常見的挑戰(zhàn)：多目標(biāo)優(yōu)化問題：在結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)優(yōu)化中，往往需要同時(shí)考慮多個(gè)目標(biāo)，如結(jié)構(gòu)的重量、成本、剛度、穩(wěn)定性以及動(dòng)態(tài)響應(yīng)等。這些目標(biāo)之間通常存在沖突，找到一個(gè)平衡點(diǎn)是優(yōu)化設(shè)計(jì)的關(guān)鍵。非線性動(dòng)力學(xué)分析：結(jié)構(gòu)在大變形或高速運(yùn)動(dòng)時(shí)，其動(dòng)力學(xué)行為會(huì)變得非線性，這增加了分析和優(yōu)化的難度。非線性問題的求解往往需要更復(fù)雜的算法和更長(zhǎng)的計(jì)算時(shí)間。不確定性分析：實(shí)際結(jié)構(gòu)中存在材料屬性、幾何尺寸、載荷等的不確定性，這些不確定性對(duì)結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)性能有顯著影響。如何在優(yōu)化過程中考慮這些不確定性，以提高結(jié)構(gòu)的魯棒性，是一個(gè)重要挑戰(zhàn)。大規(guī)模系統(tǒng)優(yōu)化：對(duì)于復(fù)雜結(jié)構(gòu)，如飛機(jī)、橋梁等，其動(dòng)力學(xué)模型可能包含成千上萬個(gè)自由度，這使得優(yōu)化問題成為大規(guī)模系統(tǒng)優(yōu)化問題，對(duì)計(jì)算資源和算法效率提出了極高要求。實(shí)時(shí)優(yōu)化需求：在某些應(yīng)用中，如航空航天、汽車工業(yè)，可能需要在設(shè)計(jì)過程中進(jìn)行實(shí)時(shí)優(yōu)化，以快速響應(yīng)設(shè)計(jì)變更。這要求優(yōu)化算法具有快速收斂性和良好的適應(yīng)性。8.1.1示例：多目標(biāo)優(yōu)化問題的處理假設(shè)我們正在設(shè)計(jì)一個(gè)橋梁結(jié)構(gòu)，目標(biāo)是同時(shí)最小化結(jié)構(gòu)的重量和成本，同時(shí)保持結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性。我們可以使用多目標(biāo)遺傳算法（MOGA）來解決這個(gè)問題。下面是一個(gè)使用Python和DEAP庫實(shí)現(xiàn)的簡(jiǎn)單示例：importrandom

fromdeapimportbase,creator,tools,algorithms

#定義問題的類型

creator.create("FitnessMin",base.Fitness,weights=(-1.0,-1.0))

creator.create("Individual",list,fitness=creator.FitnessMin)

#定義參數(shù)范圍

IND_SIZE=5

MIN_WEIGHT=100

MAX_WEIGHT=500

MIN_COST=1000

MAX_COST=5000

#生成個(gè)體

toolbox=base.Toolbox()

toolbox.register("attr_weight",random.randint,MIN_WEIGHT,MAX_WEIGHT)

toolbox.register("attr_cost",random.randint,MIN_COST,MAX_COST)

toolbox.register("individual",tools.initCycle,creator.Individual,

(toolbox.attr_weight,toolbox.attr_cost),n=IND_SIZE)

#定義評(píng)估函數(shù)

defevalBridge(individual):

weight=sum(individual[i][0]foriinrange(IND_SIZE))

cost=sum(individual[i][1]foriinrange(IND_SIZE))

returnweight,cost

#注冊(cè)評(píng)估函數(shù)

toolbox.register("evaluate",evalBridge)

#定義交叉和變異操作

toolbox.register("mate",tools.cxTwoPoint)

toolbox.register("mutate",tools.mutGaussian,mu=0,sigma=1,indpb=0.2)

toolbox.register("select",tools.selNSGA2)

#運(yùn)行優(yōu)化

POP_SIZE=100

NGEN=100

population=toolbox.population(n=POP_SIZE)

hof=tools.ParetoFront()

stats=tools.Statistics(lambdaind:ind.fitness.