2024年高考復(fù)習(xí)：圓錐曲線技巧總結(jié)

【高考總復(fù)習(xí)】圓錐曲線概念方法技巧總結(jié)

圓錐曲線的定義：

定義中要重視“括號(hào)”內(nèi)的限制條件:

橢圓中，與兩個(gè)定點(diǎn)F],F2的距離的和等于常數(shù)2。，且此常數(shù)2?？隙ㄒ笥阝蹰偅?dāng)常數(shù)等于因用

時(shí)，軌跡是線段FIF2,當(dāng)常數(shù)小于恒乙|時(shí)，無軌跡；

雙曲線中，與兩定點(diǎn)FrF2的距離的差的肯定值等于常數(shù)2a,且此常數(shù)2a肯定要小于IFF?1,定義

中的“肯定值”與2aV|FF2I不行忽視。若2a=RF21，則軌跡是以F「F?為端點(diǎn)的兩條射線，若2a

>恒才21，則軌跡不存在。若去掉定義中的肯定值則軌跡僅表示雙曲線的一支。

練習(xí)：

:L已知定點(diǎn)尸（1-3,0）,尸2（3,0），在滿意下列條件的平面上動(dòng)點(diǎn)P的軌跡中是橢圓的是（答：C）；

A.|P^|+|P^|=4B.\PF}\+\PF2\=6C.|P^|+|P^|=10D.\PFf+\PF^=12

?方程"（x-6尸+V一+6尸+。=8表示的曲線是（答：雙曲線的左支）

_2

3.己知點(diǎn)。（20,0）及拋物線了=二上一動(dòng)點(diǎn)P（x,y），則y+|PQ|的最小值是（答：2）

4

二.圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程（標(biāo)準(zhǔn)方程是指中心（頂點(diǎn)）在原點(diǎn)，坐標(biāo)軸為對稱軸時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)位置的方程）：

⑴橢圓：焦點(diǎn)在X軸上時(shí):+、=1孩邸’（參數(shù)方程，其中0為參數(shù)）,

22

焦點(diǎn)在y軸上時(shí)々+二=1（a>Z?>0）o方程于2+3y2=c表示橢圓的充要條件是什么？（ABCWO,

ab

且A,B,C同號(hào)，AWB）。

2222

（2）雙曲線：焦點(diǎn)在x軸上：※一樂=1，焦點(diǎn)在y軸上：亍—芯=1（。>。力>0）。方程

4：2+為2=。表示雙曲線的充要條件是什么？（ABCWO,且A,B異號(hào)）。

（3）拋物線：開口向右時(shí)V=2px（p〉0）,開口向左時(shí)V=一2px（p〉0）,開口向上時(shí)

X2=2py（p>0）,開口向下時(shí)x?=_2py（p>0）。

練習(xí)：

2211

1.已知方程=匚+上一=1表示橢圓，則左的取值范圍為一（答：（-3,——）U（—―,2））；

3+k2-k22

2.若羽yeR,且送+2/=6,則x+y的最大值是一，/+/的最小值是_（答：75,2）

1

3.雙曲線的離心率等于Yi,且與橢圓工+￡=1有公共焦點(diǎn)，則該雙曲線的方程

294—

4.設(shè)中心在坐標(biāo)原點(diǎn)。，焦點(diǎn)K、工在坐標(biāo)軸上，離心率e=后的雙曲線C過點(diǎn)尸（4,-師），則C的方程

為（答：x2-y2=6）

22

5.已知方程^—+=1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則m的取值范圍是_______

|m|-12-m

三.圓錐曲線焦點(diǎn)位置的推斷（首先化成標(biāo)準(zhǔn)方程，然后再推斷）：

（1）橢圓：由X2,y2分母的大小確定，焦點(diǎn)在分母大的坐標(biāo)軸上。

（2）雙曲線：由X2,y2項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)確定，焦點(diǎn)在系數(shù)為正的坐標(biāo)軸上；

（3）拋物線：焦點(diǎn)在一次項(xiàng)的坐標(biāo)軸上，一次項(xiàng)的符號(hào)確定開口方向。

特殊提示：（1）在求解橢圓、雙曲線問題時(shí)，首先要推斷焦點(diǎn)位置，焦點(diǎn)F-F?的位置，是橢圓、雙

曲線的定位條件，它確定橢圓、雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的類型，而方程中的兩個(gè)參數(shù)。為，確定橢圓、雙曲線的形

態(tài)和大小，是橢圓、雙曲線的定形條件；在求解拋物線問題時(shí)，首先要推斷開口方向；（2）在橢圓中，。最

大，a2=b2+c2,在雙曲線中，c最大，c2=a2+b2o

四.圓錐曲線的幾何性質(zhì)：

橢圓的圖像和性質(zhì)

焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在光軸上焦點(diǎn)在y軸上

V

圖形￡2

2222

標(biāo)準(zhǔn)方程”=S>o)

范圍yeXEye

頂點(diǎn)

軸長長軸的長=,短軸的長=

焦點(diǎn)

焦距

對稱性

準(zhǔn)線方程

焦半徑|PF||￡=|PFh=|PF||i-=|PFI|T=

離心率：焦準(zhǔn)距：通徑長：

雙曲線的圖像和性質(zhì)

焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在X軸上焦點(diǎn)在y軸上

2

y

圖形△4t

1V

2222

標(biāo)準(zhǔn)方程—z——1(〃>0，b>0)--7—1(〃>0?b>0)

abab

范圍xeyexeye

頂點(diǎn)

軸長實(shí)軸的長=,虛軸的長=

焦點(diǎn)

焦距

對稱性

準(zhǔn)線方程

焦半徑|PFi|s=|PFi|?=|PFi|±=|PF!|T=

漸近線方程

離心率：焦準(zhǔn)距：通徑長：

拋物線

標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2px,,y2=-2px,X2=2py,,X2=-2py,

寺

圖形a

頂點(diǎn)

對稱軸

焦點(diǎn)

準(zhǔn)線方程

范圍yeyeyeye

通徑離心率

焦半徑|PF|=|PF|=

拋物線的

@l^=sX?□_J_2

焦點(diǎn)弦性①M(fèi)目=X+X+p②X/2=7，%為~~P2+=

x2\AF\\BF\p

質(zhì)：

練習(xí):

1.若橢圓工+片=1的離心率0=叵，則加的值是—（答：3或生）;

5m53

2.以橢圓上一點(diǎn)和橢圓兩焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積最大值為1時(shí)，則橢圓長軸的最小值為——

3

洛叵或叵）;

3.雙曲線的漸近線方程是3x±2y=0,則該雙曲線的離心率等于.

23

4.雙曲線以2_勿2=1的離心率為石，則（答：4或L）；

4

5.設(shè)雙曲線二-二=1（a>0,b>0）中，離心率ee[、歷，2],則兩條漸近線夾角。的取值范圍是—（答:

ab

6.設(shè)aw0,。eR,則拋物線y=4ax2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（答：（0,—））；

16a

2222

五'點(diǎn)P（Xo，%）和橢圓j+==lCa>b>0）的關(guān)系：（1）點(diǎn)P（%,%）在橢圓外o烏+烏〉1；（2）

a"bab

點(diǎn)尸（X。,九）在橢圓上u>―+2}=1；（3）點(diǎn)尸（玉）,％）在橢圓內(nèi)U>+智■<1

ab'（Tb"

六.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系：

（1）相交：A〉0o直線與橢圓相交；A>00直線與雙曲線相交，但直線與雙曲線相交不肯定有

A>0,當(dāng)直線與雙曲線的漸近線平行時(shí)，直線與雙曲線相交且只有一個(gè)交點(diǎn)，故A>0是直線與雙曲線相

交的充分條件，但不是必要條件；A>0=直線與拋物線相交，但直線與拋物線相交不肯定有A>0,當(dāng)直

線與拋物線的對稱軸平行時(shí)，直線與拋物線相交且只有一個(gè)交點(diǎn)，故△>（）也僅是直線與拋物線相交的充分

條件，但不是必要條件。如

（2）相切：A=0o直線與橢圓相切；A=0o直線與雙曲線相切；A=0o直線與拋物線相切；

（3）相離：A<0o直線與橢圓相離；A<0o直線與雙曲線相離；A<0o直線與拋物線相離。

特殊提示：（1）直線與雙曲線、拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)的位置關(guān)系有兩種情形：相切和相交。假如直

線與雙曲線的漸近線平行時(shí)，直線與雙曲線相交，但只有一個(gè)交點(diǎn)；假如直線與拋物線的軸平行時(shí)，直線與拋物

22

線相交，也只有一個(gè)交點(diǎn)；（2）過雙曲線二-三=1外一點(diǎn)P（x°,%）的直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的狀

ab~

況如下：①P點(diǎn)在兩條漸近線之間且不含雙曲線的區(qū)域內(nèi)時(shí)，有兩條與漸近線平行的直線和分別與雙曲線兩

支相切的兩條切線，共四條；②P點(diǎn)在兩條漸近線之間且包含雙曲線的區(qū)域內(nèi)時(shí)，有兩條與漸近線平行的直

線和只與雙曲線一支相切的兩條切線，共四條；③P在兩條漸近線上但非原點(diǎn)，只有兩條：一條是與另一漸

近線平行的直線，一條是切線；④P為原點(diǎn)時(shí)不存在這樣的直線；（3）過拋物線外一點(diǎn)總有三條直線和拋物

線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)：兩條切線和一條平行于對稱軸的直線.

練習(xí)：

1.若直線尸kx+2與雙曲線x2-y2=6的右支有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則k的取值范圍是

4

2.直線y-kx-l=O與橢圓土+上=1恒有公共點(diǎn)，則m的取值范圍是

5m

22

3.過雙曲線^--t=1的右焦點(diǎn)直線交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，若|AB|=4,則這樣的直線有條

12

4.過點(diǎn)（2,4）作直線與拋物線/=8x只有一個(gè)公共點(diǎn)，這樣的直線有（答：2）；

22

5.過點(diǎn)Q2）與雙曲線上-二=1有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線的斜率的取值范圍為

916

2

6.過雙曲線％2一］=1的右焦點(diǎn)作直線/交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，若目=4,則滿意條件的直線/有一

7.對于拋物線C：/=4x,我們稱滿意為2<4%的點(diǎn)〃（%,%）在拋物線的內(nèi)部，若點(diǎn)在拋物線

的內(nèi)部，則直線/：%y=2（x+x0）與拋物線C的位置關(guān)系是（答:相離）；

8.過拋物線丁=心的焦點(diǎn)E作始終線交拋物線于p、Q兩點(diǎn)，若線段PF與FQ的長分別是八q,則

-+-=（答：1）;

pq

22

9.設(shè)雙曲線±-t=1的右焦點(diǎn)為/，右準(zhǔn)線為/,設(shè)某直線相交其左支、右支和右準(zhǔn)線分別于P,Q,R,

169

則NPm和NQ尸H的大小關(guān)系為（填大于、小于或等于）（答：等于）；

10.求橢圓7/+4產(chǎn)=28上的點(diǎn)到直線3x-2y-16=0的最短距離（答：/3）；

11.直線y=or+l與雙曲線3/-產(chǎn)=1交于A、B兩點(diǎn)。①當(dāng)a為何值時(shí)，A、5分別在雙曲線的兩支上？

②當(dāng)。為何值時(shí)，以AB為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn)？（答：①卜6,、療）；?tz=±l）；

七、焦半徑（圓錐曲線上的點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離）的計(jì)算方法：利用圓錐曲線的其次定義，轉(zhuǎn)化到相應(yīng)

準(zhǔn)線的距離，即焦半徑廠="?,其中d表示P到與F所對應(yīng)的準(zhǔn)線的距離。

練習(xí)：

2235

1.已知橢圓土+匕=1上一點(diǎn)P到橢圓左焦點(diǎn)的距離為3,則點(diǎn)P到右準(zhǔn)線的距離為—（答：一）；

25163

2.已知拋物線方程為V=8x,若拋物線上一點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離等于5,則它到拋物線的焦點(diǎn)的距離等于—；

3.若該拋物線上的點(diǎn)〃到焦點(diǎn)的距離是4,則點(diǎn)/的坐標(biāo)為（答：7,（2,土4））；

22

4.點(diǎn)P在橢圓二+二=1上，它到左焦點(diǎn)的距離是它到右焦點(diǎn)距離的兩倍，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為

259

5.拋物線上的兩點(diǎn)A、B到焦點(diǎn)的距離和是5,則線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為

5

6.橢圓3+餐=1內(nèi)有一點(diǎn)尸（1,-1）,F為右焦點(diǎn)，在橢圓上有一點(diǎn)M,使"研+2|孫之值最小，則點(diǎn)

M的坐標(biāo)為（答：（壁,T））；

3

八'焦點(diǎn)三角形（橢圓或雙曲線上的一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)所構(gòu)成的三角形）問題：常利用第肯定義和正弦、余

弦定理求解。設(shè)橢圓或雙曲線上的一點(diǎn)尸（%,%）到兩焦點(diǎn)耳,心的距離分別為？々，焦點(diǎn)"質(zhì)的面積為

入220

2

S,則在橢圓二+與=1中，S=btan-=c|y0|,當(dāng)|%|=6即尸為短軸端點(diǎn)時(shí)，的最大值為be；

ab2,,

221/□

對于雙曲線0-2r=1的焦點(diǎn)三角形有：S=一。弓sin8=Z?2cot—o

ab22

練習(xí)：

1.短軸長為石，離心率e=g的橢圓的兩焦點(diǎn)為工、F2,過工作直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，則AAB生的

周長為（答：6）；

2.設(shè)P是等軸雙曲線--V="2（”>0）右支上一點(diǎn)，F(xiàn)i、F2是左右焦點(diǎn)，若兩?不[=0,|PFi|=6,則該

雙曲線的方程為（答：X2-/=4）；

22

3.橢圓二+乙=1的焦點(diǎn)為Fi、F2,點(diǎn)P為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)市2?市1<0時(shí)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是

94

4.雙曲線的虛軸長為4,離心率e=——，F(xiàn)i、F2是它的左右焦點(diǎn)，若過Fi的直線與雙曲線的左支交于A、B

2

兩點(diǎn)，且|A4是|A閭與忸閭等差中項(xiàng)，則（答：80）；

5.己知雙曲線的離心率為2,Fi、F2是左右焦點(diǎn)，P為雙曲線上一點(diǎn)，且/月「工=60°,=12瓜求

22

該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程（答：—=1）;

412

九、拋物線中與焦點(diǎn)弦有關(guān)的一些幾何圖形的性質(zhì)：

（1）以過焦點(diǎn)的弦為直徑的圓和準(zhǔn)線相切；（2）設(shè)AB為焦點(diǎn)弦，M為準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，則/AMF=

ZBMF；（3）設(shè)AB為焦點(diǎn)弦，A、B在準(zhǔn)線上的射影分別為A],B1；若P為A[B]的中點(diǎn)，則PALPB；（4）若

A0的延長線交準(zhǔn)線于C,則BC平行于x軸，反之，若過B點(diǎn)平行于x軸的直線交準(zhǔn)線于C點(diǎn)，則A,0,C

三點(diǎn)共線。

6

十、弦長公式：若直線y=+b與圓錐曲線相交于兩點(diǎn)A、B,且為々分別為A、B的橫坐標(biāo)，則

=Vi+F|x1-x2|,若斗，為分別為A、B的縱坐標(biāo)，則|AB|=j+乃|，若弦AB所在直線方程

設(shè)為％=6+b，則|AB|=JI79E-%］。特殊地，焦點(diǎn)弦（過焦點(diǎn)的弦）：焦點(diǎn)弦的弦長的計(jì)算，一般

不用弦長公式計(jì)算，而是將焦點(diǎn)弦轉(zhuǎn)化為兩條焦半徑之和后，利用其次定義求解。

練習(xí)：

1.過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)作直線交拋物線于A（xi，y）B（x2,y2）兩點(diǎn)，若x1+x2=6,那么|AB|等于

2.過拋物線V=2%焦點(diǎn)的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，已知|AB|=10,O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則AABC重心的橫坐

標(biāo)為（答:3）；

22

十一、圓錐曲線的中點(diǎn)弦問題：遇到中點(diǎn)弦問題常用“韋達(dá)定理”或“點(diǎn)差法”求解。在橢圓=1

ab

r2y2

中，以「（%,%）為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率k=——b?X;在雙曲線一—與二1中，以尸（%,%）為中點(diǎn)的弦

ay0ab

所在直線的斜率k=”^；在拋物線y2=2px（p〉0）中，以「（毛,%）為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率k=￡。

ay0y0

練習(xí)：

22

1.假如橢圓上+乙=1弦被點(diǎn)A（4,2）平分，那么這條弦所在的直線方程是（答：x+2y-8=0）；

369

22

2.已知直線y=—x+l與橢圓=+2r=1（?！?〉0）相交于A、B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)在直線L：x-2y=0

a"b

拒

上，則此橢圓的離心率為（答：—）；

2

特殊提示：因?yàn)锳>0是直線與圓錐曲線相交于兩點(diǎn)的必要條件，故在求解有關(guān)弦長、對稱問題時(shí)，務(wù)

必別忘了檢驗(yàn)A〉0!

十二.你了解下列結(jié)論嗎？

（1）雙曲線三一21=1的漸近線方程為E_E=o；

a2b2a2b2

i2222

（2）以丁=±2%為漸近線（即與雙曲線二—2L=1共漸近線）的雙曲線方程為二—上=〃4為參數(shù)，

aa2b2a2b2

2WO）o

（3）中心在原點(diǎn)，坐標(biāo)軸為對稱軸的橢圓、雙曲線方程可設(shè)為陽2+町？=1；

2b2

（4）橢圓、雙曲線的通徑（過焦點(diǎn)且垂直于對稱軸的弦）為——，焦準(zhǔn)距（焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離）

a

b2

為一，拋物線的通徑為2p,焦準(zhǔn)距為p；

c

7

(5)通徑是全部焦點(diǎn)弦(過焦點(diǎn)的弦)中最短的弦；

若拋物線〉的焦點(diǎn)弦為則①|(zhì)占+々+

(6)=2px(p0)AB,A(x15_y1),B(x2,y2),48|=p；

2

②=一。2

(7)若OA、0B是過拋物線y=2Px(P〉0)頂點(diǎn)0的兩條相互垂直的弦，則直線AB恒經(jīng)過定點(diǎn)(2p,0)

13.動(dòng)點(diǎn)軌跡方程：

(1)求軌跡方程的步驟：建系、設(shè)點(diǎn)、列式、化簡、確定點(diǎn)的范圍；

(2)求軌跡方程的常用方法：

①干脆法：干脆利用條件建立x,y之間的關(guān)系F(x,y)=0；如已知?jiǎng)狱c(diǎn)P到定點(diǎn)F(l,0)和直線x=3的

距離之和等于4,求P的軌跡方程.(答：/=一12(%—4)(3<x<4)或丁=4x(0<x<3))；

②待定系數(shù)法：己知所求曲線的類型，求曲線方程一一先依據(jù)條件設(shè)出所求曲線的方程，再由條件確定

其待定系數(shù)。如線段AB過x軸正半軸上一點(diǎn)M(m,0)(m>0),端點(diǎn)A、B到x軸距離之積為2m,以x

軸為對稱軸，過A、O、B三點(diǎn)作拋物線，則此拋物線方程為(答：/=2x)；

③定義法：先依據(jù)條件得出動(dòng)點(diǎn)的軌跡是某種已知曲線，再由曲線的定義干脆寫出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；如

(1)由動(dòng)點(diǎn)P向圓好+；/=1作兩條切線PA、PB,切點(diǎn)分別為A、B,ZAPB=60°,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為_

(答：x2+y2=4)；(2)點(diǎn)M與點(diǎn)F(4,0)的距離比它到直線/：x+5=0的距離小于1,則點(diǎn)M的

軌跡方程是(答：y2—16x)；(3)一■動(dòng)圓與兩圓。M：X1+y2=1^0?N：x1+y2—8x+12=0

都外切，則動(dòng)圓圓心的軌跡為(答：雙曲線的一支)；

④代入轉(zhuǎn)移法：動(dòng)點(diǎn)P(x,y)依靠于另一動(dòng)點(diǎn)。(%,為)的改變而改變，并且。(小,>0)又在某已知曲線

上，則可先用工y的代數(shù)式表示毛,先，再將毛，先代入已知曲線得要求的軌跡方程；如動(dòng)點(diǎn)P是拋物線

y=2/+l上任一點(diǎn)，定點(diǎn)為A(0,—1),點(diǎn)M分工所成的比為2,則M的軌跡方程為(答：

y=6x2--);

3

⑤參數(shù)法：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P(x,y)坐標(biāo)之間的關(guān)系不易干脆找到，也沒有相關(guān)動(dòng)點(diǎn)可用時(shí)，可考慮將九,y均用

一中間變量(參數(shù))表示，得參數(shù)方程，再消去參數(shù)得一般方程)。如(1)AB是圓。的直徑，且|AB|=2a,

M為圓上一動(dòng)點(diǎn)，作岷，人8,垂足為2在加上取點(diǎn)尸，使|0尸|=|政7|,求點(diǎn)尸的軌跡。(答：x2+y2=?|y|)；

(2)若點(diǎn)P(%],%)在圓/+丁=1上運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)。。]%,玉+%)的軌跡方程是(答：

y2=2x+l(|x|〈g))；(3)過拋物線/=4y的焦點(diǎn)F作直線/交拋物線于A、B兩點(diǎn)，則弦AB的中點(diǎn)M

的軌跡方程是(答：/=2丁—2)；

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②曲線與曲線方程、軌跡與軌跡方程是兩個(gè)不同的概念，尋求軌跡或軌跡方程時(shí)應(yīng)留意軌跡上特殊點(diǎn)對

軌跡的“完備性與純粹性”的影響.

③在與圓錐曲線相關(guān)的綜合題中，常借助于“平面幾何性質(zhì)”數(shù)形結(jié)合（如角平分線的雙重身份一一對

稱性、利用到角公式）、”方程與函數(shù)性質(zhì)”化解析幾何問題為代數(shù)問題、“分類探討思想”化整為零分化處

理、“求值構(gòu)造等式、求變量范圍構(gòu)造不等關(guān)系”等等.

④假如在一條直線上出現(xiàn)“三個(gè)或三個(gè)以上的點(diǎn)”，那么可選擇應(yīng)用“斜率或向量”為橋梁轉(zhuǎn)化.

圓錐曲線常見題型及解題思路方法。

1.求圓碓曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

先推斷焦點(diǎn)的位置，設(shè)出相應(yīng)圓錐曲線的方程，再依據(jù)已知條件和圓錐曲線的性質(zhì)列方程（組）

（如求橢圓方程，就是依據(jù)條件和性質(zhì)列出關(guān)于a、6c的方程組），求出待定參數(shù)。

2.求橢圓（或雙曲線）的離心率或離心率的取值范圍

C

求離心率就是依據(jù)條件和圓錐曲線的性質(zhì)，找尋a、b.c之間的等量關(guān)系，求出一的值。在橢

a

c[~c[_（b^\b

圓中，有：e=—=-J1-—；在雙曲線中，有：e=—==J1+—o能求出一，也就求得了

aY\a）a丫\a）a

離心率。在雙曲線中，還要留意漸近線與離心率的關(guān)系。

求離心率的取值范圍就是依據(jù)條件和圓錐曲線的性質(zhì)找尋a、b,c之間的不等關(guān)系。關(guān)于不等

式的來源，通常是依據(jù)已知不等式，同時(shí)還要留意圓錐曲線中幾個(gè)常用的不等關(guān)系：①圓錐曲線上點(diǎn)

的坐標(biāo)的范圍；②在橢圓中，有N石由馬ZN石尸與，（其中B為短軸的端點(diǎn)，P為橢圓上任一

點(diǎn)）a-c<\PFi\<a+c（/=1,2）；③在雙曲線中，有（其中F為焦點(diǎn)，

p為雙曲線上任一點(diǎn)，4是同一支雙曲線的頂點(diǎn)）。

解這類問題時(shí)，要盡可能地結(jié)合圖形，依據(jù)定義，多從幾何角度思索問題。假如涉及直線與圓錐

曲線位置關(guān)系問題，還要聯(lián)立方程，用坐標(biāo)法找關(guān)系。

3.在圓錐曲線中推斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

除常規(guī)方法外（比較點(diǎn)到圓心的距離與半徑的大小），通常用向量法。例如，已知直線與圓錐曲

線交于力、B兩點(diǎn)，要推斷點(diǎn)P與以力B為直徑的圓的位置關(guān)系，只需確定NAPB的大小，通過計(jì)

算PAPB,確定其符號(hào)。

4.證明定點(diǎn)，定值，定直戰(zhàn)問題

可先取參數(shù)的特殊值（或圖形的特殊位置），對定點(diǎn)，定值，定直線進(jìn)行探求，然后證明當(dāng)參數(shù)

改變時(shí)，結(jié)論成立。

證明直線過定點(diǎn)，有兩種思路：①求出滿意條件的動(dòng)直線方程（只含一個(gè)參數(shù)），再依據(jù)方程求

出定點(diǎn)；②先探求定點(diǎn)，再設(shè)出要證明的定點(diǎn)的坐標(biāo)（如設(shè)動(dòng)直線與x軸交于點(diǎn)（加，0））,把坐

標(biāo)表示出來，表示式中，往往會(huì)含有％j+%2，%i%2（或丁1+丁2，X%），用所求得的結(jié)果代入,

就可得出坐標(biāo)為定值。

證明定點(diǎn)、定值、定直線問題，還可利用圓錐曲線中定點(diǎn)、定值、定直線的性質(zhì)，將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)

化。

5.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題

這類問題是平面解析幾何中的重點(diǎn)問題，常涉及直線和圓錐曲線交點(diǎn)的推斷，弦長，面積，對稱，

共線等問題

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處理問題的基本方法有兩種：

（1）聯(lián)立方程法：解題步驟是：先設(shè)交點(diǎn)4（%,%）,B（X2,y2）,再設(shè)直線方程，聯(lián)立直線

方程與圓錐曲線方程構(gòu)成方程組，消元，求％1+%2，%1%2，（或%+%，%%），令A(yù)>0（假

如直線經(jīng)過曲線內(nèi)的點(diǎn)，可以省去這一步），再依據(jù)問題的要求或求距離，或求弦長，或求點(diǎn)的坐標(biāo)，

或求面積等。

（2）點(diǎn)差法：設(shè)交點(diǎn)為AQp%）,B（x2,%）及4B的中點(diǎn)M（%O，%）,將A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)

代人圓錐曲線方程，作差變形，可得：上二適=/（%,%）,即勺B=/（/，%）,再由題設(shè)條件，求

xl-x2

中點(diǎn)坐標(biāo)M（%0，%）,依據(jù)問題的條件和要求列式。

值得留意的是，用聯(lián)立方程法，設(shè)直線方程時(shí)，為簡化運(yùn)算，可采納這種的策略，若直線過X軸

上的定點(diǎn)P（Q,0）,則直線方程可設(shè)為@=%一。（此直線不包括入軸），聯(lián)立方程，消去％,

得到關(guān)于y的方程，求出%+%,%%備用。有時(shí)，還要依據(jù)y+%，％%，求出

%+%2，%1%2。若直線過y軸上的定點(diǎn)Q（0,b）,則直線方程可設(shè)為y=丘+b（此直線不包

括y軸），聯(lián)立方程，消去y。

對于直線y=Ax+機(jī)，無特殊交代時(shí)，通常留意分兩種狀況：①直線的斜率存在，消元后，留

意A>0；②直線的斜率不存在，即直線為％=/?GR）。

在涉及到弦的中點(diǎn)及斜率時(shí)，求參數(shù)（如直線的斜率k）的取值范圍，通常采納點(diǎn)差法。

6.最值問題

這類問題是從動(dòng)態(tài)角度探討解析幾何中的有關(guān)問題，往往涉及求弦長（或距離）、面積、坐標(biāo)（或

截距）、向量的模（或數(shù)量積）、參數(shù)等的最大（?。┲?。

其解法是：設(shè)變量，建立目標(biāo)函數(shù)。處理的方法有：

（1）利用基本不等式；

（2）考察函數(shù)的單調(diào)性；

（3）利用判別式法。

在目標(biāo)函數(shù)的變形上有肯定的技巧，關(guān)于弦長，面積表達(dá)式的變形，常用到移入根號(hào)，分別常數(shù)，

換元等方法，把目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為雙勾函數(shù)的形式，或用基本不等式，或利用函數(shù)的單調(diào)性求最值。求

坐標(biāo)的最值時(shí)，可構(gòu)造一個(gè)一元二次方程，利用A20。

7.求參數(shù)的取值范圍問題

這類問題主要是依據(jù)條件建立關(guān)于參變量的不等式，或者把所求參數(shù)轉(zhuǎn)化關(guān)于某個(gè)變量的函數(shù)，

通過解不等式或求函數(shù)的值域來求參數(shù)的取值范圍。

詳細(xì)解法如下：

（1）結(jié)合定義利用圖形中幾何量之間的大小關(guān)系。

（2）不等式（組）求解法：利用題意結(jié)合圖形列出所探討的參數(shù)適合的不等式（組），通過解不

等式組得出參數(shù)的改變范圍。不等式的來源常有以下途徑：①已知不等式（含基本不等式）；②直線

與圓錐曲線相交時(shí)，有A>0；③點(diǎn)與圓錐曲線（以橢圓最為多見）的位置關(guān)系；④圓錐曲線（特

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殊是橢圓)上點(diǎn)的坐標(biāo)的范圍。

(3)函數(shù)值域求解法：把所探討的參數(shù)作為一個(gè)函數(shù)，用一個(gè)適當(dāng)?shù)膮?shù)作為自變量來表示這個(gè)

函數(shù)，通過探討函數(shù)的值域來求參數(shù)的改變范圍。

(4)利用基本不等式：基本不等式的應(yīng)用，往往須要?jiǎng)?chuàng)建條件，并進(jìn)行奇妙的構(gòu)思。

(5)結(jié)合參數(shù)方程，利用三角函數(shù)的有界性。圓、橢圓的參數(shù)方程，它們的一個(gè)共同特點(diǎn)是均含

有三角式。因此，它們的應(yīng)用價(jià)值在于：①通過參數(shù)。簡明地表示曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)；②利用三角函

數(shù)的有界性及其變形公式來幫助求解諸如最值、范圍等問題。

(6)構(gòu)造一個(gè)二次方程，利用判別式A20。

8,求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程

求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是解析幾何中兩類基本問題之一，即依據(jù)動(dòng)點(diǎn)所滿意的條件，求動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)之

間的關(guān)系式。最基本的方法是干脆法，步驟是：建系設(shè)點(diǎn)一條件立式—坐標(biāo)代換一化簡方程一查

漏除雜。此外還有定義法(主要是利用圓錐曲線的定義)，相關(guān)點(diǎn)法，參數(shù)法，幾何法等。在涉及直線、

圓的軌跡問題時(shí)，常從幾何角度去探求動(dòng)點(diǎn)滿意的關(guān)系，選用幾何法；假如題目沒有干脆給出動(dòng)點(diǎn)所

滿意的條件，而是給出了與動(dòng)點(diǎn)相關(guān)的點(diǎn)所滿意的條件，先設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為(％,y),再把相關(guān)點(diǎn)的坐

標(biāo)用動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)來表示，依據(jù)相關(guān)點(diǎn)的條件列式，此即為相關(guān)點(diǎn)法；參數(shù)法是求軌跡方程常用的方法，

合理引入?yún)?shù)(通常是相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo))列式，消去參數(shù)得到關(guān)于九,y的方程，要求所列方程的數(shù)目

要比引入的參數(shù)多一個(gè)，才能消去全部參數(shù)。

三.圓錐曲線問題中的條件及要求與韋達(dá)定理之間的聯(lián)系舉例：

解決圓錐曲線問題的基本方法是坐標(biāo)法，這就須要把問題的條件轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)之間的關(guān)系，而把問

題的條件和要求用坐標(biāo)表示，特殊是用工1+%2，%%2或X+%，%%來表示，往往又是打通問

題思路的關(guān)鍵。以下是問題中一些條件的坐標(biāo)表示：

設(shè)斜率為左的直線/與圓錐曲線。交于兩點(diǎn)石，%),y),聯(lián)立方程，可求出

4(B(X2,2

%+%2，以及M+%，乂%。

(1)弦的中點(diǎn):

可產(chǎn)+%2M+

弦AB的中點(diǎn)坐標(biāo)可表示為

2'2

(2)弦的垂直平分線過定點(diǎn)或|/>A|=|「歸|：

弦A8的垂直平分線方程為：y

2左I2J

弦AB的垂直平分線過定點(diǎn)尸(a,b),則有:

+々

(3)點(diǎn)”(％0，%)與以為直徑的圓的核置關(guān)系，

推斷的符號(hào):

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MAMB>0nNAMB為銳角n點(diǎn)在圓外

MAMB^QnZAMB為直角n點(diǎn)在圓上，

MAMB<0nNAMB為鈍角二點(diǎn)在圓內(nèi)。

其中Mi?癡=(為一％0)(%2—%)+(%—%)(%一%)

=—％0(%+%2)++%%一%(%+%)+Jo2

(4)垂直問題：

如則有：=%0)(%2%