北京師范大學(xué)附屬杭州中學(xué)2025屆高三2月線上第一周周測數(shù)學(xué)試題含解析

北京師范大學(xué)附屬杭州中學(xué)2025屆高三2月線上第一周周測數(shù)學(xué)試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知拋物線的焦點為，過點的直線與拋物線交于，兩點（設(shè)點位于第一象限），過點，分別作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為點，，拋物線的準(zhǔn)線交軸于點，若，則直線的斜率為A．1 B． C． D．2．函數(shù)（），當(dāng)時，的值域為，則的范圍為（）A． B． C． D．3．已知，，，若，則（）A． B． C． D．4．已知數(shù)列的首項，且，其中，，，下列敘述正確的是（）A．若是等差數(shù)列，則一定有 B．若是等比數(shù)列，則一定有C．若不是等差數(shù)列，則一定有 D．若不是等比數(shù)列，則一定有5．如圖所示的程序框圖，當(dāng)其運行結(jié)果為31時，則圖中判斷框①處應(yīng)填入的是（）A． B． C． D．6．已知正項等比數(shù)列中，存在兩項，使得，，則的最小值是（）A． B． C． D．7．已知命題：“關(guān)于的方程有實根”，若為真命題的充分不必要條件為，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．8．已知，滿足，且的最大值是最小值的4倍，則的值是（）A．4 B． C． D．9．為雙曲線的左焦點，過點的直線與圓交于、兩點，（在、之間）與雙曲線在第一象限的交點為，為坐標(biāo)原點，若，且，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．10．設(shè)全集為R，集合，，則A． B． C． D．11．已知函數(shù)的圖像向右平移個單位長度后，得到的圖像關(guān)于軸對稱，，當(dāng)取得最小值時，函數(shù)的解析式為（）A． B．C． D．12．已知等差數(shù)列的前13項和為52，則（）A．256 B．-256 C．32 D．-32二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．記為數(shù)列的前項和，若，則__________.14．已知為雙曲線：的左焦點，直線經(jīng)過點，若點，關(guān)于直線對稱，則雙曲線的離心率為__________．15．過圓的圓心且與直線垂直的直線方程為__________.16．已知數(shù)列的首項，函數(shù)在上有唯一零點，則數(shù)列|的前項和__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）己知點，分別是橢圓的上頂點和左焦點，若與圓相切于點，且點是線段靠近點的三等分點.求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；直線與橢圓只有一個公共點，且點在第二象限，過坐標(biāo)原點且與垂直的直線與圓相交于，兩點，求面積的取值范圍.18．（12分）已知函數(shù).（Ⅰ）當(dāng)時，求不等式的解集；（Ⅱ）若存在滿足不等式，求實數(shù)的取值范圍.19．（12分）已知f(x)=|x+3|-|x-2|（1）求函數(shù)f(x)的最大值m；（2）正數(shù)a，b，c滿足a+2b+3c=m，求證：20．（12分）設(shè)橢圓的右焦點為，過的直線與交于兩點，點的坐標(biāo)為．（1）當(dāng)直線的傾斜角為時，求線段AB的中點的橫坐標(biāo)；（2）設(shè)點A關(guān)于軸的對稱點為C，求證：M，B，C三點共線；（3）設(shè)過點M的直線交橢圓于兩點，若橢圓上存在點P，使得（其中O為坐標(biāo)原點），求實數(shù)的取值范圍．21．（12分）健身館某項目收費標(biāo)準(zhǔn)為每次60元，現(xiàn)推出會員優(yōu)惠活動：具體收費標(biāo)準(zhǔn)如下：現(xiàn)隨機(jī)抽取了100為會員統(tǒng)計它們的消費次數(shù)，得到數(shù)據(jù)如下：假設(shè)該項目的成本為每次30元，根據(jù)給出的數(shù)據(jù)回答下列問題：（1）估計1位會員至少消費兩次的概率（2）某會員消費4次，求這4次消費獲得的平均利潤；（3）假設(shè)每個會員每星期最多消費4次，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件的概率，從會員中隨機(jī)抽取兩位，記從這兩位會員的消費獲得的平均利潤之差的絕對值為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望22．（10分）如圖，⊙的直徑的延長線與弦的延長線相交于點，為⊙上一點，，交于點．求證：~．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．C【解析】

根據(jù)拋物線定義，可得，，又，所以，所以，設(shè)，則，則，所以，所以直線的斜率．故選C．2．B【解析】

首先由，可得的范圍，結(jié)合函數(shù)的值域和正弦函數(shù)的圖像，可求的關(guān)于實數(shù)的不等式，解不等式即可求得范圍.【詳解】因為，所以，若值域為，所以只需，∴.故選：B本題主要考查三角函數(shù)的值域，熟悉正弦函數(shù)的單調(diào)性和特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).3．B【解析】

由平行求出參數(shù)，再由數(shù)量積的坐標(biāo)運算計算．【詳解】由，得，則，，，所以．故選：B．本題考查向量平行的坐標(biāo)表示，考查數(shù)量積的坐標(biāo)運算，掌握向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算是解題關(guān)鍵．4．C【解析】

根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義進(jìn)行判斷即可.【詳解】A：當(dāng)時，，顯然符合是等差數(shù)列，但是此時不成立，故本說法不正確；B：當(dāng)時，，顯然符合是等比數(shù)列，但是此時不成立，故本說法不正確；C：當(dāng)時，因此有常數(shù)，因此是等差數(shù)列，因此當(dāng)不是等差數(shù)列時，一定有，故本說法正確；D：當(dāng)時，若時，顯然數(shù)列是等比數(shù)列，故本說法不正確.故選：C本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義，考查了推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題.5．C【解析】

根據(jù)程序框圖的運行，循環(huán)算出當(dāng)時，結(jié)束運行，總結(jié)分析即可得出答案.【詳解】由題可知，程序框圖的運行結(jié)果為31，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，.此時輸出.故選：C.本題考查根據(jù)程序框圖的循環(huán)結(jié)構(gòu)，已知輸出結(jié)果求條件框，屬于基礎(chǔ)題.6．C【解析】

由已知求出等比數(shù)列的公比，進(jìn)而求出，嘗試用基本不等式，但取不到等號，所以考慮直接取的值代入比較即可.【詳解】，，或（舍）.，，.當(dāng)，時；當(dāng)，時；當(dāng)，時，，所以最小值為.故選:C.本題考查等比數(shù)列通項公式基本量的計算及最小值，屬于基礎(chǔ)題.7．B【解析】命題p：，為，又為真命題的充分不必要條件為，故8．D【解析】試題分析：先畫出可行域如圖：由，得，由，得，當(dāng)直線過點時，目標(biāo)函數(shù)取得最大值，最大值為3；當(dāng)直線過點時，目標(biāo)函數(shù)取得最小值，最小值為3a；由條件得，所以，故選D.考點：線性規(guī)劃.9．D【解析】

過點作，可得出點為的中點，由可求得的值，可計算出的值，進(jìn)而可得出，結(jié)合可知點為的中點，可得出，利用勾股定理求得（為雙曲線的右焦點），再利用雙曲線的定義可求得該雙曲線的離心率的值.【詳解】如下圖所示，過點作，設(shè)該雙曲線的右焦點為，連接.，.，，，為的中點，，，，，由雙曲線的定義得，即，因此，該雙曲線的離心率為.故選：D.本題考查雙曲線離心率的求解，解題時要充分分析圖形的形狀，考查推理能力與計算能力，屬于中等題.10．B【解析】分析：由題意首先求得，然后進(jìn)行交集運算即可求得最終結(jié)果.詳解：由題意可得：，結(jié)合交集的定義可得：.本題選擇B選項.點睛：本題主要考查交集的運算法則，補(bǔ)集的運算法則等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.11．A【解析】

先求出平移后的函數(shù)解析式，結(jié)合圖像的對稱性和得到A和.【詳解】因為關(guān)于軸對稱，所以，所以，的最小值是.，則，所以.本題主要考查三角函數(shù)的圖像變換及性質(zhì).平移圖像時需注意x的系數(shù)和平移量之間的關(guān)系.12．A【解析】

利用等差數(shù)列的求和公式及等差數(shù)列的性質(zhì)可以求得結(jié)果.【詳解】由，，得.選A.本題主要考查等差數(shù)列的求和公式及等差數(shù)列的性質(zhì)，等差數(shù)列的等和性應(yīng)用能快速求得結(jié)果.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．-254【解析】

利用代入即可得到，即是等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的通項公式計算即可.【詳解】由已知，得，即，所以又，即，，所以是以-4為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以，即，所以。故答案為：本題考查已知與的關(guān)系求，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算求解能力，是一道中檔題.14．【解析】

由點，關(guān)于直線對稱，得到直線的斜率，再根據(jù)直線過點，可求出直線方程，又，中點在直線上，代入直線的方程，化簡整理，即可求出結(jié)果.【詳解】因為為雙曲線：的左焦點，所以，又點，關(guān)于直線對稱，，所以可得直線的方程為，又，中點在直線上，所以，整理得，又，所以，故，解得，因為，所以.故答案為本題主要考查雙曲線的簡單性質(zhì)，先由兩點對稱，求出直線斜率，再由焦點坐標(biāo)求出直線方程，根據(jù)中點在直線上，即可求出結(jié)果，屬于常考題型.15．【解析】

根據(jù)與已知直線垂直關(guān)系，設(shè)出所求直線方程，將已知圓圓心坐標(biāo)代入，即可求解.【詳解】圓心為，所求直線與直線垂直，設(shè)為，圓心代入，可得，所以所求的直線方程為.故答案為：.本題考查圓的方程、直線方程求法，注意直線垂直關(guān)系的靈活應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.16．【解析】

由函數(shù)為偶函數(shù)，可得唯一零點為，代入可得數(shù)列的遞推關(guān)系式，再進(jìn)行配湊轉(zhuǎn)換為等比數(shù)列，最后運用分部求和可得答案.【詳解】因為為偶函數(shù)，在上有唯一零點，所以，∴，∴，∴為首項為2，公比為2的等比數(shù)列.所以，.故答案為：本題主要考查了函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的零點,同時也考查了由遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項,考查了數(shù)列的分部求和，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．;.【解析】

連接，由三角形相似得，，進(jìn)而得出，，寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；由得，，因為直線與橢圓相切于點，，解得，，因為點在第二象限，所以，，所以，設(shè)直線與垂直交于點，則是點到直線的距離，設(shè)直線的方程為，則，求出面積的取值范圍.【詳解】解：連接，由可得，，，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；由得，，因為直線與橢圓相切于點，所以，即，解得，，即點的坐標(biāo)為，因為點在第二象限，所以，，所以，所以點的坐標(biāo)為，設(shè)直線與垂直交于點，則是點到直線的距離，設(shè)直線的方程為，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，有最大值，所以，即面積的取值范圍為.本題考查直線和橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，利用基本不等式，屬于難題.18．（Ⅰ）或.（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）分類討論解絕對值不等式得到答案.（Ⅱ）討論和兩種情況，得到函數(shù)單調(diào)性，得到只需，代入計算得到答案.【詳解】（Ⅰ）當(dāng)時，不等式為，變形為或或，解集為或.（Ⅱ）當(dāng)時，，由此可知在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，當(dāng)時，同樣得到在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，存在滿足不等式，只需，即，解得.本題考查了解絕對值不等式，不等式存在性問題，意在考查學(xué)生的計算能力和綜合應(yīng)用能力.19．（1）（2）見解析【解析】

（1）利用絕對值三角不等式求得的最大值.（2）由（1）得.方法一，利用柯西不等式證得不等式成立；方法二，利用“的代換”的方法，結(jié)合基本不等式證得不等式成立.【詳解】（1）由絕對值不等式性質(zhì)得當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，所以（2）由（1）得.法1：由柯西不等式得當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，即，所以.法2：由得，，當(dāng)且僅當(dāng)時“=”成立.本小題主要考查絕對值三角不等式，考查利用柯西不等式、基本不等式證明不等式，屬于中檔題.20．(1)AB的中點的橫坐標(biāo)為；（2）證明見解析；（3）【解析】

設(shè).（1）因為直線的傾斜角為，，所以直線AB的方程為，聯(lián)立方程組，消去并整理，得，則，故線段AB的中點的橫坐標(biāo)為．（2）根據(jù)題意得點，若直線AB的斜率為0，則直線AB的方程為，A、C兩點重合，顯然M，B，C三點共線；若直線AB的斜率不為0，設(shè)直線AB的方程為，聯(lián)立方程組，消去并整理得，則，設(shè)直線BM、CM的斜率分別為、，則，即=，即M，B，C三點共線．（3）根據(jù)題意，得直線GH的斜率存在，設(shè)該直線的方程為，設(shè)，聯(lián)立方程組，消去并整理，得，由，整理得，又，所以，結(jié)合，得，當(dāng)時，該直線為軸，即，此時橢圓上任意一點P都滿足，此時符合題意；當(dāng)時，由，得，代入橢圓C的方程，得，整理，得，再結(jié)合，得到，即，綜上，得到實數(shù)的取值范圍是．21．（1）（2）22.5（3）見解析，【解析】

（1）根據(jù)頻數(shù)計算頻率，得出概率；（2）根據(jù)優(yōu)惠標(biāo)準(zhǔn)計算平均利潤；（3）求出各種情況對應(yīng)的的值和概率，得出分布列，從而計算出數(shù)學(xué)期望．【詳解】解：（1）估計1位會員至少消費兩次的概率；（2）第1次消費利潤；第2次消費利潤；第3次消費利潤；第4次消費利潤；這4次消費獲得的平均利潤：（3）1次消費利潤是27，概率是；2次消費利潤是，概率是；3次消費利潤是，概率是；4次消費利潤是，概率是；由題意：故分布列為：0