3.1.1 橢圓（解析版）-2024-2025學年【暑假預習】高二數(shù)學（人教A版2019選擇性必修一）

.1.1橢圓知識點一橢圓的定義【例1-1】（2024·廣西南寧）已知分別是橢圓的左、右焦點，為上一點，若，則（

）A．2 B．3 C．5 D．6【答案】C【解析】由橢圓，可得，所以，因為分別是橢圓的左、右焦點，為上一點，所以，又，所以.故選：C.【例1-2】（23-24高二下·浙江·階段練習）設為橢圓的兩個焦點，點在上，若，則（

）A．1 B．2 C．4 D．5【答案】B【解析】因為橢圓，所以，又因為，所以，即，設，則①，且②，由①②得到，即，所以，故選：B.【例1-3】（2024湖北十堰·期末）已知曲線，則“”是“曲線C是橢圓”的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】若曲線是橢圓，則有：解得：，且故“”是“曲線C是橢圓”的必要不充分條件故選：C【變式】1．（2024·河北保定）已知是橢圓：上一點，，分別為的左、右焦點，則（

）A．8 B．6 C．4 D．3【答案】A【解析】由橢圓的定義可知，.故選：A.2．（23-24高二上·江蘇宿遷·期中）已知是橢圓的兩個焦點，點在上，若，則的值為（）A．8 B．6 C．20 D．10【答案】A【解析】因為橢圓方程為，所以，又因為，所以，故選：A.3．（23-24高二下·浙江·期中）若方程表示橢圓，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．且【答案】D【解析】方程表示橢圓，，得，得且．故選：D．4．（2024·河南·模擬預測）若方程表示焦點在軸上的橢圓，則（

）A． B．C． D．或【答案】C【解析】方程可化為：，因為方程表示焦點在軸上的橢圓，所以，解得.故選：C5．（22-23高二·江蘇·假期作業(yè)）橢圓的兩焦點分別為，點在橢圓上，若，則的大小為．【答案】【解析】由橢圓，可得，則，因為，可得，，在中，由余弦定理得，因為，所以.故答案為：知識點二焦點三角形的周長與面積【【解題思路】橢圓定義的解題思路(1)橢圓的定義能夠?qū)E圓上的點到焦點的距離進行轉(zhuǎn)化．(2)橢圓上一點P與橢圓的兩個焦點F1，F(xiàn)2構成的△PF1F2，稱為焦點三角形，可以利用橢圓的定義，結(jié)合正弦定理、余弦定理、三角形的面積公式等知識求解．3.橢圓的焦點三角形橢圓上的點P(x0，y0)與兩焦點構成的△PF1F2叫做焦點三角形，如圖所示，設∠F1PF2＝θ，(1)△PF1F2周長為2a＋2c；(2)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c；(3)S△F1PF2＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|sinθ＝b2taneq\f(θ,2)＝c|y0|，當|y0|＝b，即點P的位置為短軸端點時，S△F1PF2取最大值，最大值為bc.(4)|PF1|·|PF2|≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|PF1|＋|PF2|,2)))eq\s\up12(2)＝a2.(5)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cosθ.【例2-1】（23-24高二下·陜西漢中·期末）橢圓：的兩個焦點分別為，，橢圓上有一點，則的周長為.【答案】14【解析】因為，，所以，故的周長為.故答案為：14【例2-2】（2024·黑龍江哈爾濱）已知是橢圓的左焦點，直線與交于、兩點，則周長為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，故經(jīng)過橢圓的右焦點，故的周長.故選：D.【例2-3】（22-23高二上·云南昆明·期中）橢圓的左右焦點為，，P為橢圓上第一象限內(nèi)任意一點，關于P的對稱點為M，關于的對稱點為N，則的周長為（

）A．10 B．14 C．18 D．20【答案】D【解析】橢圓的長半軸軸，半焦距，依題意，分別是的中點，即，所以的周長為.故選：D【例2-4】（23-24高二下·天津·階段練習）設是橢圓的兩個焦點，是橢圓上的點，且，則的面積為（

）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】B【解析】由可得：，則橢圓得長軸長為，，可設，，由題意可知，，，，，△是直角三角形，其面積．故選：B．【例2-5】（23-24高二下·安徽蕪湖·期末）已知是橢圓的兩個焦點，點在上，且，則的面積為（

）A．3 B．4 C．6 D．10【答案】C【解析】由橢圓定義可得，故，又，則由余弦定理得，故，故.故選：C【變式】1．（23-24高二下·貴州六盤水·期中）設，分別為橢圓：的兩個焦點，過且不與坐標軸重合的直線橢圓C于A，B兩點，則的周長為（

）A．4 B．8 C．16 D．32【答案】C【解析】根據(jù)題意，橢圓中，根據(jù)橢圓定義，的周長為.故選：C2．（23-24高二上·浙江杭州·期中）過橢圓的右焦點作直線交橢圓于、兩點，為左焦點，則的周長為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】對于橢圓，，由題意可知，的周長為.故選：A.3（23-24高二上·湖北·期末）已知橢圓（）的兩焦點分別為、．若橢圓上有一點P，使，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖，不妨設，由點在橢圓上可得：①，由余弦定理可得：，化簡得：②，由①式兩邊平方再減去②式，得：，于是的面積為.故選：D.4．（23-24高二上·四川德陽·期末）設、是橢圓：的兩個焦點，點P在C上，若為直角三角形，則的面積為（

）A． B． C．或1 D．1或【答案】D【解析】由已知，若是直角三角形，則直角頂點可能是點P，;若是直角三角形，則直角頂點可能是焦點（或）為直角頂點，此時（或），.故選：D.5．（2024·重慶·模擬預測）已知是橢圓的左、右焦點，點P在C上，且線段的中點在以為直徑的圓上，則三角形的面積為（

）A．1 B． C． D．8【答案】C【解析】】設的中點為M，則，于是，又，則為等腰三角形，．故選：C．知識點三橢圓上的點到定點距離之和或差的最值【【解題思路】橢圓上的點到定點距離之和或差的最值利用橢圓的定義或者對稱性進行轉(zhuǎn)化，再利用三點共線求最值【例3-1】（23-24高二上·湖北·期中）點是橢圓上任一動點，定點，F(xiàn)為右焦點，則的最小值為（

）A．1 B．3 C． D．【答案】D【解析】依題意，設為橢圓的左焦點，因為橢圓，則，，所以，故選：D．【例3-2】（23-24高二下·湖北·期末）設為橢圓上一動點，分別為橢圓的左?右焦點，已知點，則的最小值為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】，所以，所以軸，因為，所以在橢圓內(nèi)部，且，所以，即求的最大值，由于，當三點共線時最大，此時，，所以.故選：B.【例3-3】（23-24高二上·黑龍江哈爾濱·期末）已知橢圓的左焦點為為上任意一點，則的最大值為（

）A．5 B．9 C．10 D．18【答案】B【解析】易知，設，則，可得，所以；由二次函數(shù)性質(zhì)可得當時，取得最大值為9.故選：B【變式】1．（23-24高二上·江蘇南京·期末）已知點在橢圓上，點，則的最大值為（

）A． B．4 C． D．5【答案】C【解析】作橢圓的左焦點，則，當且僅當點為線段的延長線與橢圓的交點時取得，由兩點間距離公式得，故，C正確，故選：C2．（22-23高二上·全國·期中）已知橢圓的左焦點為，為上的動點，點，則的最大值為（

）A． B． C．3 D．【答案】C【解析】由橢圓方程可知：，設右焦點為，則，，且，即，如圖所示，

可得：，當且僅當在線段上時，等號成立，所以的最大值為3.故選：C.3．（23-24高二上·四川綿陽·階段練習）已知橢圓C：的左、右焦點分別為，，M為C上任意一點，N為圓E：上任意一點，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖，M為橢圓C上任意一點，則，又因為N為圓E：上任意一點，，當且僅當M、N、E、共線且M、N在E、之間時等號成立．由題意知，，，則，所以的最小值為.故選：B．

4．（2023·湖南·二模）已知分別為橢圓的兩個焦點，為橢圓上一點，則的最大值為（

）A．64 B．16 C．8 D．4【答案】B【解析】，因為橢圓上的點滿足，當點為的延長線與的交點時，取得最大值，最大值為．所以的最大值為16．故選：B．知識點四橢圓的標準方程【【解題思路】確定橢圓標準方程的方法(1)“定位”是指確定與坐標系的相對位置，在中心為原點的前提下，確定焦點位于哪條坐標軸上，以判斷方程的形式．(2)“定量”是指確定a2，b2的具體數(shù)值，常根據(jù)條件列方程求解．【例4】（23-24高二上·天津·期中）寫出適合下列條件的橢圓的標準方程，(1)焦點在軸上，焦距為2，橢圓上的點到兩焦點的距離之和為4；(2)兩個焦點在坐標軸上，且經(jīng)過和兩點；(3)經(jīng)過點，焦點坐標分別為；(4)焦點在軸上，經(jīng)過點，焦距為．【答案】(1)；(2)；(3)；(4).【解析】（1）設橢圓焦距為，長軸長為，短軸長為，由題意可知；（2）不妨設橢圓方程為，將兩點代入得，即橢圓方程為；（3）設橢圓焦距為，長軸長為，短軸長為，由題意可設，則有，故橢圓方程；（4）設橢圓焦距為，長軸長為，短軸長為，則，由題意可設，則有，故橢圓方程.【變式】（23-24高二上·黑龍江雞西·期末）求適合下列條件的橢圓的標準方程：(1)兩個焦點的坐標分別是，橢圓上一點P到兩焦點距離的和是10；(2)焦點在y軸上，且經(jīng)過兩個點和；(3)經(jīng)過和點．(4)焦距為4，且經(jīng)過點；(5)求經(jīng)過點和點的橢圓方程.【答案】(1)1(2)(3)．(4)或(5)【解析】（1）由題意，橢圓焦點在軸上，且，則，∴橢圓方程為1；（2）根據(jù)題意，所求橢圓的焦點在y軸上，且經(jīng)過兩個點和，則，則橢圓的標準方程為；（3）根據(jù)題意，要求橢圓經(jīng)過（，）和點（，1）兩點，設其方程為，則有，解可得，則所求橢圓的方程為．（4）當焦點在軸上時，設橢圓的標準方程為，依題意得，，則，故橢圓的標準方程為.當焦點在軸上時，設橢圓的標準方程為，依題意得，，則，故橢圓的標準方程為.（5）方法一：①當焦點在軸上時，設橢圓的標準方程為（）.依題意有，解得，故所求橢圓的標準方程為.②當焦點在軸上時，設橢圓的標準方程為（）.依題意有，解得因為，所以無解.所以所求橢圓的標準方程為.方法二：設所求橢圓的方程為（，，）.依題意有解得所以所求橢圓的標準方程為.知識點五與橢圓有關的軌跡問題【【解題思路】求軌跡方程的常用方法(1)直接法設出曲線上動點的坐標為(x，y)后，可根據(jù)幾何條件直接轉(zhuǎn)換成x，y間的關系式；(2)定義法若動點運動的幾何條件滿足某種已知曲線的定義，可用待定系數(shù)法求出軌跡方程；(3)相關點法(代入法)有些問題中的動點軌跡是由另一動點按照某種規(guī)律運動而形成的，只要把所求動點的坐標“轉(zhuǎn)移”到另一個動點在運動中所遵循的條件中去．【例5-1】（2024·全國·高考真題）已知曲線C：（），從C上任意一點P向x軸作垂線段，為垂足，則線段的中點M的軌跡方程為（

）A．（） B．（）C．（） D．（）【答案】A【解析】設點，則，因為為的中點，所以，即，又在圓上，所以，即，即點的軌跡方程為.故選：A【例5-2】（23-24高三下·重慶·期中）長為2的線段的兩個端點和分別在軸和軸上滑動，則點關于點的對稱點的軌跡方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設、，，則有，，即，，由題意可得，即，即.故選：D.【變式】1．（23-24高二下·浙江·期中）在平面直角坐標系中，已知兩點，，點為動點，且直線與的斜率之積為，則點的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】設，，，，，由，得．即．動點的軌跡方程為．故選：B．2．（23-24高二下·上海靜安·階段練習）已知動圓M和圓：內(nèi)切，并和圓：外切，則動圓圓心M的軌跡是（

）A．直線 B．圓C．焦點在軸上的橢圓 D．焦點在軸上的橢圓【答案】C【解析】設動圓的圓心的坐標為，半徑為，因為動圓與圓：內(nèi)切，且與圓：外切，可得，所以,根據(jù)橢圓的定義知，動點的軌跡是以為焦點的橢圓，且，可得，則，所以動點的軌跡方程為.所以其軌跡為焦點在軸上的橢圓.故選：C.3．（23-24高二上·陜西榆林·期中）已知點，動點A在圓M：上運動，線段AN的垂直平分線交AM于P點，則P的軌跡方程為；若動點Q在圓上運動，則的最大值為.【答案】【解析】由題意，圓的圓心為，點，線段的垂直平分線交于點，所以是的垂直平分線上的一點，所以，又由，所以點滿足，根據(jù)橢圓的定義，可得點表示為焦點的橢圓，其中，可得，所以，所以橢圓的方程為.圓的方程為，圓心，半徑，設，則，，到圓心的距離，又當時，取得最大值，的最大值為：，故答案為：，.【題組一橢圓的定義】1．（23-24高二上·全國·課后作業(yè)）以下方程表示橢圓的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】A選項，方程，即，表示圓，不是橢圓，A選項錯誤.B選項，方程，即，方程中間是減號，不是橢圓，B選項錯誤.C選項，方程，即，表示焦點在軸上的橢圓，C選項正確.D選項，方程右邊不是，不是橢圓，D選項錯誤.故選：C2．（22-23高二下·廣東·階段練習）設，方程所表示的曲線是（

）A．焦點在x軸上的橢圓 B．焦點在x軸上的雙曲線C．焦點在y軸上的橢圓 D．焦點在y軸上的雙曲線【答案】C【解析】若，則，曲線,即，，表示焦點在軸上的橢圓．故選：3．（2023高二下·北京·期末）橢圓的焦距為4，則的值為（

）A．或 B．或 C． D．【答案】D【解析】由橢圓化為標準形式得：，且橢圓的焦距，當橢圓焦點在軸上時，，，則由，所以，此時方程為：不是橢圓，所以不滿足題意，當橢圓焦點在軸上時，，，，解得，此時方程為：，滿足題意綜上所述，的值為．故選：D．4．（23-24高二下·河南·階段練習）若曲線表示橢圓，則實數(shù)k的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為曲線表示橢圓，即表示橢圓則應滿足即．故選：D．5．（2024安徽蕪湖·期中）若方程表示焦點在x軸的橢圓，則t的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】命題等價于，解得.故選：C.6（23-24高二下·廣西·階段練習）已知方程表示焦點在y軸上的橢圓，則實數(shù)k的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)題意,要使方程表示焦點在軸上的橢圓,需滿足，解得.故選：B.7（23-24高二下·黑龍江哈爾濱·階段練習）若方程表示橢圓，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由題意知表示橢圓，則，解得.故選：A.8（23-24高二上·江西宜春·期末）“”是“方程表示的曲線為橢圓”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】方程表示橢圓，則，解得：，且，所以“”是“方程表示的曲線為橢圓”的必要不充分條件.故選：B9（23-24高二上·福建龍巖·期中）（多選）已知曲線，則（

）A．當時，是圓B．當時，是焦距為4的橢圓C．當是焦點在軸上的橢圓時，D．當是焦點在軸上的橢圓時，【答案】AB【解析】對于選項A，當時，曲線為，此時曲線表示圓，所以選項A正確；對于選項B，當時，曲線為，此時曲線為橢圓且橢圓的焦距為，所以選項B正確；對于選項C，若曲線是焦點在軸上的橢圓，則，解得，所以選項C錯誤；對于選項D，若曲線是焦點在軸上的橢圓，則，解得，所以選項D錯誤，故選：AB.10（24-25高二上·上?！るS堂練習）已知P是橢圓上的點，、是橢圓的兩個焦點．若，則．【答案】14【解析】因為所以又則故答案為：14.11（2024高二下·上海·專題練習）設、分別是橢圓的左、右焦點，點在橢圓上，且滿足，則．【答案】18【解析】如圖：

由題意，橢圓，可得，，則，根據(jù)橢圓的定義，可得.又由，可得，所以.因為，即，解得．故答案為：1812（23-24高二上·北京·期中）橢圓的焦點的坐標為，若為橢圓上任意一點，則.【答案】【解析】該橢圓的方程是，即，，故，所以焦點坐標為.根據(jù)橢圓的定義，有.故答案為：，.【題組二焦點三角形的周長與面積】1．（23-24高二下·四川雅安·開學考試）經(jīng)過橢圓的左焦點的直線交橢圓于兩點，是橢圓的右焦點，則的周長為（

）A．24 B．12 C．36 D．48【答案】A【解析】因為，所以的周長為24．故選：A.2．（23-24高二下·河北·開學考試）已知，為橢圓的兩個焦點，過的直線交橢圓于兩點，若，則（

）A．4 B．16 C．12 D．8【答案】B【解析】由，可得，根據(jù)橢圓的定義得，所以．故選：B．3（23-24高二上·福建漳州·期末）已知橢圓的上頂點為，兩個焦點為，，過且垂直于的直線與交于，兩點，則的周長是（

）A．6 B． C． D．8【答案】D【解析】設直線與相交于，

由題意，此時為等邊三角形，所以為線段的中點，進而可得為線段的垂直平分線，所以.因此，的周長等于.故的周長為.故選：D4．（23-24高二上·江西九江·期末）已知橢圓的左、右焦點分別為和，點在橢圓上且在軸的上方若線段的中點在以原點為圓心，為半徑的圓上，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為橢圓方程為，所以，，，又線段的中點在以原點為圓心，為半徑的圓上，所以垂直平分線段，所以，又因為，所以，，在直角三角形中，，于是的面積為．故選：C．5（23-24高二上·北京豐臺·期末）已知橢圓的左、右焦點分別為，，點在橢圓上.若，則的面積為（

）A．2 B．4 C．8 D．9【答案】B【解析】如圖所示，橢圓，可得，則，因為點在橢圓上，可得，又由，可得,聯(lián)立方程組，可得，所以的面積為.故選：B.

6．（23-24高二上·重慶·期末）若點在橢圓上，，分別是橢圓的兩焦點，且，則面積是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】首先我們需要確定橢圓的基本參數(shù)，對于橢圓故.根據(jù)橢圓的定義，對于橢圓上的任意一點有：……①，……②由題知……③在中使用余弦定理有：……④將①②③代入④式得到：……⑤現(xiàn)在我們可以計算三角形的面積：因此，的面積是.故選：B.7（23-24高三上·陜西西安·階段練習）設，是橢圓C：的兩個焦點，點P是C上的一點，且，則的面積為（

）A．3 B． C．9 D．【答案】B【解析】由題設，，可得，，由，，則，即，所以的面積.故選：B8（21-22高二上·新疆昌吉·期末）若點在橢圓上，、分別是橢圓的兩焦點，且，則的面積是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，得，，即，由橢圓的定義可知，，在中，由余弦定理得，可得，解得.所以的面積為.故選：C.9（2022·全國·模擬預測）已知是橢圓的左?右焦點，在上，是坐標原點，，則的面積為.【答案】【解析】由題意知橢圓方程為，故，即，設，則，故，故的面積為，故答案為：.10（23-24高二上·重慶九龍坡·期末）已知分別為橢圓的左、右焦點，點關于直線的對稱點Q在橢圓上，若P是橢圓上的一點，且，則．【答案】/【解析】由橢圓，知，∴，∴點關于直線的對稱點，由題意得：，∴，∵，，，∴，∴在中，，∵，∴，∴.故答案為：.【題組三橢圓上的點到定點距離之和或差的最值】1．（2024·新疆·二模）設分別是橢圓的左，右焦點，過的直線交橢圓于兩點，則的最大值為(

)A． B． C． D．6【答案】B【解析】由橢圓的定義知∴的周長為，∴當最小時，最大．當軸，即AB為通徑時，最小，此時，∴的最大值為．故選：B．2．（23-24高二上·河北·階段練習）已知橢圓：，的右焦點為F，P為橢圓上任意一點，點A的坐標為，則的最大值為（

）A． B．5 C． D．【答案】B【解析】如圖，

設橢圓C的左焦點為，由由橢圓定義可得，，所以.故選：B.3（2024·湖南衡陽·模擬預測）已知橢圓的左?右焦點為是橢圓上一動點，直線經(jīng)過的定點為，則的最大值為（

）A． B．2 C． D．6【答案】B【解析】由橢圓得，因為點為橢圓上的點，則，直線經(jīng)過定點，則，當且僅當在線段上時取等號，所以的最大值為2.故選：B.4（2024·江蘇泰州·模擬預測）已知F為橢圓的右焦點，P為C上一點，Q為圓上一點，則的最大值為（

）A．5 B． C． D．6【答案】B【解析】由題意知，，設橢圓的左焦點為，如圖，P為C上一點，Q為圓上一點，，半徑為1，，當且僅當三點共線時，等號成立，所以的最大值為.故選：B5．（23-24高二上·福建寧德·期末）已知是橢圓上一動點，是圓上一動點，點，則的最大值為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】如圖，由題意，橢圓的焦點為，，則圓的圓心是橢圓的左焦點，由橢圓定義得，所以，又，所以.故選：B.6．（23-24高二下·安徽·階段練習）已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點，M是橢圓上的動點，點A(1，1)，則的最大值是.【答案】5【解析】設橢圓的半焦距為，則，，所以，，，所以．如圖，因為（當M在的延長線上時取等號），，所以．所以的最大值為5，故答案為：57．（23-24高二上·全國·期末）已知橢圓的左?右焦點分別為，，為橢圓上任意一點，為圓上任意一點，則的最小值為.【答案】/【解析】由為橢圓上任意一點，則又為圓上任意一點，則（當且僅當M、N、E共線時取等號），∴，當且僅當M、N、E、共線時等號成立.∵，，則，∴的最小值為．故答案為：．8．（23-24山東臨沂·期末）已知F是橢圓C：的左焦點，點P為該橢圓上一動點，若在橢圓內(nèi)部，則的最大值為．【答案】11【解析】由條件可知，，，則，設橢圓的右焦點為，且，所以，當點（點在第四象限）三點共線時，等號成立，且,所以的最大值為.故答案為：119．（2024高二上·全國·專題練習）已知P是橢圓上一點，點P在直線l：上的射影為Q，F(xiàn)是橢圓C的右焦點，則的最小值為.【答案】【解析】由橢圓，可得左焦點為，則，于是，當且僅當三點共線，且P在線段上時，取得最小值，又由的最小值為點到直線的距離，所以的最小值為.故答案為：.【題組四橢圓的標準方程】1.（23-24高二上·陜西寶雞·期中）已知橢圓過點，且橢圓的短軸長為，則橢圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由題意可得，解得，故橢圓的方程為.故選：B2（24-25高二上·全國·假期作業(yè)）若橢圓焦點在軸上且經(jīng)過點，焦距為6，則該橢圓的標準方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意得橢圓焦點在軸上且經(jīng)過點，焦距為6，所以，則，所以橢圓的標準方程為.故選：B.3（24-25高二·上海·隨堂練習）已知橢圓的中心在原點且過點，焦點在坐標軸上，長軸長是短軸長的3倍，求該橢圓的方程．【答案】或【解析】若焦點在軸上，設，則由題意，解得，∴．若焦點在軸上，設，則由題意，解得，∴．故答案為：或.5．（24-25高二上·上?！るS堂練習）已知橢圓的兩個焦點為，，M是橢圓上一點，若，且