廣東省廣州市廣東二師番禺附中2024-2025學(xué)年高三3月線上聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題含解析_第1頁
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文檔簡介

廣東省廣州市廣東二師番禺附中2024-2025學(xué)年高三3月線上聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.設(shè),點,,,,設(shè)對一切都有不等式成立,則正整數(shù)的最小值為()A. B. C. D.2.已知,且,則的值為()A. B. C. D.3.設(shè)命題p:>1,n2>2n,則p為()A. B.C. D.4.已知函數(shù)與的圖象有一個橫坐標(biāo)為的交點,若函數(shù)的圖象的縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋逗?,得到的函?shù)在有且僅有5個零點,則的取值范圍是()A. B.C. D.5.天干地支,簡稱為干支,源自中國遠古時代對天象的觀測.“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸”稱為十天干,“子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥”稱為十二地支.干支紀(jì)年法是天干和地支依次按固定的順序相互配合組成,以此往復(fù),60年為一個輪回.現(xiàn)從農(nóng)歷2000年至2019年共20個年份中任取2個年份,則這2個年份的天干或地支相同的概率為()A. B. C. D.6.記為等差數(shù)列的前項和.若,,則()A.5 B.3 C.-12 D.-137.已知是邊長為的正三角形,若,則A. B.C. D.8.已知底面為邊長為的正方形,側(cè)棱長為的直四棱柱中,是上底面上的動點.給出以下四個結(jié)論中,正確的個數(shù)是()①與點距離為的點形成一條曲線,則該曲線的長度是;②若面,則與面所成角的正切值取值范圍是;③若,則在該四棱柱六個面上的正投影長度之和的最大值為.A. B. C. D.9.從裝有除顏色外完全相同的3個白球和個黑球的布袋中隨機摸取一球,有放回的摸取5次,設(shè)摸得白球數(shù)為,已知,則A. B. C. D.10.已知a,b是兩條不同的直線,α,β是兩個不同的平面,且a?α,b?β,aβ,bα,則“ab“是“αβ”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件11.已知集合,則全集則下列結(jié)論正確的是()A. B. C. D.12.若復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位),則的共軛復(fù)數(shù)的模為()A. B.4 C.2 D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.設(shè)是公差不為0的等差數(shù)列的前n項和,且,則______.14.?dāng)?shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為_____.15.已知三棱錐的四個頂點都在球O的球面上,,,,,E,F(xiàn)分別為,的中點,,則球O的體積為______.16.已知,則__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,,,且滿足(1)求點的軌跡的方程;(2)過,作直線交軌跡于,兩點,若的面積是面積的2倍,求直線的方程.18.(12分)已知函數(shù).(1)若函數(shù)在上單調(diào)遞減,求實數(shù)的取值范圍;(2)若,求的最大值.19.(12分)已知函數(shù).(1)若函數(shù)在上單調(diào)遞增,求實數(shù)的值;(2)定義:若直線與曲線都相切,我們稱直線為曲線、的公切線,證明:曲線與總存在公切線.20.(12分)已知.(Ⅰ)當(dāng)時,解不等式;(Ⅱ)若的最小值為1,求的最小值.21.(12分)分別為的內(nèi)角的對邊.已知.(1)若,求;(2)已知,當(dāng)?shù)拿娣e取得最大值時,求的周長.22.(10分)若函數(shù)在處有極值,且,則稱為函數(shù)的“F點”.(1)設(shè)函數(shù)().①當(dāng)時,求函數(shù)的極值;②若函數(shù)存在“F點”,求k的值;(2)已知函數(shù)(a,b,,)存在兩個不相等的“F點”,,且,求a的取值范圍.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.A【解析】

先求得,再求得左邊的范圍,只需,利用單調(diào)性解得t的范圍.【詳解】由題意知sin,∴,∴,隨n的增大而增大,∴,∴,即,又f(t)=在t上單增,f(2)=-1<0,f(3)=2>0,∴正整數(shù)的最小值為3.本題考查了數(shù)列的通項及求和問題,考查了數(shù)列的單調(diào)性及不等式的解法,考查了轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.2.A【解析】

由及得到、,進一步得到,再利用兩角差的正切公式計算即可.【詳解】因為,所以,又,所以,,所以.故選:A.本題考查三角函數(shù)誘導(dǎo)公式、二倍角公式以及兩角差的正切公式的應(yīng)用,考查學(xué)生的基本計算能力,是一道基礎(chǔ)題.3.C【解析】根據(jù)命題的否定,可以寫出:,所以選C.4.A【解析】

根據(jù)題意,,求出,所以,根據(jù)三角函數(shù)圖像平移伸縮,即可求出的取值范圍.【詳解】已知與的圖象有一個橫坐標(biāo)為的交點,則,,,,,若函數(shù)圖象的縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?,則,所以當(dāng)時,,在有且僅有5個零點,,.故選:A.本題考查三角函數(shù)圖象的性質(zhì)、三角函數(shù)的平移伸縮以及零點個數(shù)問題,考查轉(zhuǎn)化思想和計算能力.5.B【解析】

利用古典概型概率計算方法分析出符合題意的基本事件個數(shù),結(jié)合組合數(shù)的計算即可出求得概率.【詳解】20個年份中天干相同的有10組(每組2個),地支相同的年份有8組(每組2個),從這20個年份中任取2個年份,則這2個年份的天干或地支相同的概率.故選:B.本小題主要考查古典概型的計算,考查組合數(shù)的計算,考查學(xué)生分析問題的能力,難度較易.6.B【解析】

由題得,,解得,,計算可得.【詳解】,,,,解得,,.故選:B本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式,前項和公式,考查了學(xué)生運算求解能力.7.A【解析】

由可得,因為是邊長為的正三角形,所以,故選A.8.C【解析】

①與點距離為的點形成以為圓心,半徑為的圓弧,利用弧長公式,可得結(jié)論;②當(dāng)在(或時,與面所成角(或的正切值為最小,當(dāng)在時,與面所成角的正切值為最大,可得正切值取值范圍是;③設(shè),,,則,即,可得在前后、左右、上下面上的正投影長,即可求出六個面上的正投影長度之和.【詳解】如圖:①錯誤,因為,與點距離為的點形成以為圓心,半徑為的圓弧,長度為;②正確,因為面面,所以點必須在面對角線上運動,當(dāng)在(或)時,與面所成角(或)的正切值為最?。橄碌酌婷鎸蔷€的交點),當(dāng)在時,與面所成角的正切值為最大,所以正切值取值范圍是;③正確,設(shè),則,即,在前后、左右、上下面上的正投影長分別為,,,所以六個面上的正投影長度之,當(dāng)且僅當(dāng)在時取等號.故選:.本題以命題的真假判斷為載體,考查了軌跡問題、線面角、正投影等知識點,綜合性強,屬于難題.9.B【解析】

由題意知,,由,知,由此能求出.【詳解】由題意知,,,解得,,.故選:B.本題考查離散型隨機變量的方差的求法,解題時要認真審題,仔細解答,注意二項分布的靈活運用.10.D【解析】

根據(jù)面面平行的判定及性質(zhì)求解即可.【詳解】解:a?α,b?β,a∥β,b∥α,由a∥b,不一定有α∥β,α與β可能相交;反之,由α∥β,可得a∥b或a與b異面,∴a,b是兩條不同的直線,α,β是兩個不同的平面,且a?α,b?β,a∥β,b∥α,則“a∥b“是“α∥β”的既不充分也不必要條件.故選:D.本題主要考查充分條件與必要條件的判斷,考查面面平行的判定與性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.11.D【解析】

化簡集合,根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì),化簡集合,按照集合交集、并集、補集定義,逐項判斷,即可求出結(jié)論.【詳解】由,則,故,由知,,因此,,,,故選:D本題考查集合運算以及集合間的關(guān)系,求解不等式是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.12.D【解析】

由復(fù)數(shù)的綜合運算求出,再寫出其共軛復(fù)數(shù),然后由模的定義計算模.【詳解】,.故選:D.本題考查復(fù)數(shù)的運算,考查共軛復(fù)數(shù)與模的定義,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.18【解析】

將已知已知轉(zhuǎn)化為的形式,化簡后求得,利用等差數(shù)列前公式化簡,由此求得表達式的值.【詳解】因為,所以.故填:.本題考查等差數(shù)列基本量的計算,考查等差數(shù)列的性質(zhì)以及求和,考查運算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.14.【解析】

先計算平均數(shù)再求解方差與標(biāo)準(zhǔn)差即可.【詳解】解:樣本的平均數(shù),這組數(shù)據(jù)的方差是標(biāo)準(zhǔn)差,故答案為:本題主要考查了標(biāo)準(zhǔn)差的計算,屬于基礎(chǔ)題.15.【解析】

可證,則為的外心,又則平面即可求出,的值,再由勾股定理求出外接球的半徑,最后根據(jù)體積公式計算可得.【詳解】解:,,,因為為的中點,所以為的外心,因為,所以點在內(nèi)的投影為的外心,所以平面,平面,所以,所以,又球心在上,設(shè),則,所以,所以球O體積,.故答案為:本題考查多面體外接球體積的求法,考查空間想象能力與思維能力,考查計算能力,屬于中檔題.16.【解析】解:由題意可知:.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1).(2)的方程為.【解析】

(1)令,則,由此能求出點C的軌跡方程.(2)令,令直線,聯(lián)立,得,由此利用根的判別式,韋達定理,三角形面積公式,結(jié)合已知條件能求出直線的方程?!驹斀狻拷猓海?)因為,即直線的斜率分別為且,設(shè)點,則,整理得.(2)令,易知直線不與軸重合,令直線,與聯(lián)立得,所以有,由,故,即,從而,解得,即。所以直線的方程為。本題考查橢圓方程、直線方程的求法,考查橢圓方程、橢圓與直線的位置關(guān)系,考查運算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想,是中檔題。18.(1)(2)【解析】

(1)根據(jù)單調(diào)遞減可知導(dǎo)函數(shù)恒小于等于,采用參變分離的方法分離出,并將的部分構(gòu)造成新函數(shù),分析與最值之間的關(guān)系;(2)通過對的導(dǎo)函數(shù)分析,確定有唯一零點,則就是的極大值點也是最大值點,計算的值并利用進行化簡,從而確定.【詳解】(1)由題意知,在上恒成立,所以在上恒成立.令,則,所以在上單調(diào)遞增,所以,所以.(2)當(dāng)時,.則,令,則,所以在上單調(diào)遞減.由于,,所以存在滿足,即.當(dāng)時,,;當(dāng)時,,.所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.所以,因為,所以,所以,所以.(1)求函數(shù)中字母的范圍時,常用的方法有兩種:參變分離法、分類討論法;(2)當(dāng)導(dǎo)函數(shù)不易求零點時,需要將導(dǎo)函數(shù)中某些部分拿出作單獨分析,以便先確定導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性從而確定導(dǎo)函數(shù)的零點所在區(qū)間,再分析整個函數(shù)的單調(diào)性,最后確定出函數(shù)的最值.19.(1);(2)見解析.【解析】

(1)求出導(dǎo)數(shù),問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立,利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值即可求解;(2)分別設(shè)切點橫坐標(biāo)為,利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義寫出切線方程,問題轉(zhuǎn)化為證明兩直線重合,只需滿足有解即可,利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及零點存在性定理即可證明存在.【詳解】(1),函數(shù)在上單調(diào)遞增等價于在上恒成立.令,得,所以在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,則.因為,則在上恒成立等價于在上恒成立;又,所以,即.(2)設(shè)的切點橫坐標(biāo)為,則切線方程為……①設(shè)的切點橫坐標(biāo)為,則,切線方程為……②若存在,使①②成為同一條直線,則曲線與存在公切線,由①②得消去得即令,則所以,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,,使得時總有又時,在上總有解綜上,函數(shù)與總存在公切線.本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的恒成立問題,導(dǎo)數(shù)的幾何意義,利用導(dǎo)數(shù)證明方程有解,屬于難題.20.(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】

(Ⅰ)當(dāng)時,令,作出的圖像,結(jié)合圖像即可求解;(Ⅱ)結(jié)合絕對值三角不等式可得,再由“1”的妙用可拼湊為,結(jié)合基本不等式即可求解;【詳解】(Ⅰ)令,作出它們的大致圖像如下:由或(舍),得點橫坐標(biāo)為2,由對稱性知,點橫坐標(biāo)為﹣2,因此不等式的解集為.(Ⅱ)..取等號的條件為,即,聯(lián)立得因此的最小值為.本題考查絕對值不等式、基本不等式,屬于中檔題21.(1)(2)【解析】

(1)根據(jù)正弦定理,將,化角為邊,即可求出,再利用正弦定理即可求出;(2)根據(jù),選擇,所以當(dāng)?shù)拿娣e取得最大值時,最大,結(jié)合(1)中條件,即可求出最大時,對應(yīng)的的值,再根據(jù)余弦定理求出邊,進而得到的周長.【詳解】(1)由,得,即.因為,所以.由,得.(2)因為,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立.因為的面積.所以當(dāng)時,的面積取得最大值,此時,則,所以的周長為.本題主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形,涉及到基本不等式的應(yīng)用,意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和數(shù)學(xué)運算能力.22.(1)①極小值為1,無極大值.②實數(shù)k的值為1.(2)【解析】

(1)①將代入可得,求導(dǎo)討論函數(shù)單調(diào)性,即得極值;②設(shè)是函數(shù)的一個“F點”(),即是的零點,那么由導(dǎo)數(shù)可知,且,可得,根據(jù)可得,設(shè),由的單調(diào)性可得,即得.(2)方法一:先求的導(dǎo)數(shù),存在兩個不相等的“F點”,,可以由和韋達定理表示出,的關(guān)系,再由,可得的關(guān)系式,根據(jù)已知解即得.方法二:由函數(shù)存在不相等的兩個“F點”和,可知,是關(guān)于x的方程組的兩個相異實數(shù)根,由得,分兩種情況:是函數(shù)一個“F點”,不是函數(shù)一個“F點”,進行討論即得.【詳解】解:(1)①當(dāng)時,(),則有(),令得,列表如下:x10極小值故函數(shù)在處取得極小值,極小值為1,無極大值.②設(shè)是函數(shù)的一個“F點”().(),是函數(shù)的零點.,由,得,,由,得,即.設(shè),則,所以函數(shù)在上單調(diào)增,注意到,所以方程存在唯一實根1,所以,得,根據(jù)①知,時,是函數(shù)的極小值點,所以1是函數(shù)的“F點”.綜上,得實數(shù)k的值為1.(2)由(a,b,,),可得().又函數(shù)存在不相等的兩個“F點”和,

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