廣東省廣州市廣東二師番禺附中2024-2025學(xué)年高三3月線上聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題含解析

廣東省廣州市廣東二師番禺附中2024-2025學(xué)年高三3月線上聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)，點(diǎn)，，，，設(shè)對(duì)一切都有不等式成立，則正整數(shù)的最小值為（）A． B． C． D．2．已知，且，則的值為（）A． B． C． D．3．設(shè)命題p:>1,n2>2n,則p為（）A． B．C． D．4．已知函數(shù)與的圖象有一個(gè)橫坐標(biāo)為的交點(diǎn)，若函數(shù)的圖象的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍后，得到的函數(shù)在有且僅有5個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是()A． B．C． D．5．天干地支，簡(jiǎn)稱為干支，源自中國(guó)遠(yuǎn)古時(shí)代對(duì)天象的觀測(cè).“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸”稱為十天干，“子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥”稱為十二地支.干支紀(jì)年法是天干和地支依次按固定的順序相互配合組成，以此往復(fù)，60年為一個(gè)輪回.現(xiàn)從農(nóng)歷2000年至2019年共20個(gè)年份中任取2個(gè)年份，則這2個(gè)年份的天干或地支相同的概率為（）A． B． C． D．6．記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和.若，，則（）A．5 B．3 C．－12 D．－137．已知是邊長(zhǎng)為的正三角形，若，則A． B．C． D．8．已知底面為邊長(zhǎng)為的正方形，側(cè)棱長(zhǎng)為的直四棱柱中，是上底面上的動(dòng)點(diǎn).給出以下四個(gè)結(jié)論中，正確的個(gè)數(shù)是（）①與點(diǎn)距離為的點(diǎn)形成一條曲線，則該曲線的長(zhǎng)度是；②若面，則與面所成角的正切值取值范圍是；③若，則在該四棱柱六個(gè)面上的正投影長(zhǎng)度之和的最大值為.A． B． C． D．9．從裝有除顏色外完全相同的3個(gè)白球和個(gè)黑球的布袋中隨機(jī)摸取一球，有放回的摸取5次，設(shè)摸得白球數(shù)為，已知，則A． B． C． D．10．已知a，b是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，且a?α，b?β，aβ，bα，則“ab“是“αβ”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件11．已知集合，則全集則下列結(jié)論正確的是()A． B． C． D．12．若復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則的共軛復(fù)數(shù)的模為（）A． B．4 C．2 D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)是公差不為0的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，則______.14．?dāng)?shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為_____．15．已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，，，，，E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，，則球O的體積為______.16．已知，則__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，，，且滿足（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；（2）過(guò)，作直線交軌跡于，兩點(diǎn)，若的面積是面積的2倍，求直線的方程．18．（12分）已知函數(shù).（1）若函數(shù)在上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若，求的最大值.19．（12分）已知函數(shù)．（1）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的值；（2）定義：若直線與曲線都相切，我們稱直線為曲線、的公切線，證明：曲線與總存在公切線．20．（12分）已知.（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，解不等式；（Ⅱ）若的最小值為1，求的最小值.21．（12分）分別為的內(nèi)角的對(duì)邊.已知.（1）若，求；（2）已知，當(dāng)?shù)拿娣e取得最大值時(shí)，求的周長(zhǎng).22．（10分）若函數(shù)在處有極值，且，則稱為函數(shù)的“F點(diǎn)”.（1）設(shè)函數(shù)（）.①當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；②若函數(shù)存在“F點(diǎn)”，求k的值；（2）已知函數(shù)（a，b，，）存在兩個(gè)不相等的“F點(diǎn)”，，且，求a的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．A【解析】

先求得，再求得左邊的范圍，只需，利用單調(diào)性解得t的范圍.【詳解】由題意知sin，∴，∴，隨n的增大而增大，∴,∴，即，又f(t)=在t上單增，f(2)=-1<0，f(3)=2>0，∴正整數(shù)的最小值為3.本題考查了數(shù)列的通項(xiàng)及求和問(wèn)題，考查了數(shù)列的單調(diào)性及不等式的解法，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.2．A【解析】

由及得到、，進(jìn)一步得到，再利用兩角差的正切公式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，所以，又，所以，，所?故選：A.本題考查三角函數(shù)誘導(dǎo)公式、二倍角公式以及兩角差的正切公式的應(yīng)用，考查學(xué)生的基本計(jì)算能力，是一道基礎(chǔ)題.3．C【解析】根據(jù)命題的否定，可以寫出：，所以選C.4．A【解析】

根據(jù)題意，，求出，所以，根據(jù)三角函數(shù)圖像平移伸縮，即可求出的取值范圍.【詳解】已知與的圖象有一個(gè)橫坐標(biāo)為的交點(diǎn)，則，，，，，若函數(shù)圖象的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍，則，所以當(dāng)時(shí)，，在有且僅有5個(gè)零點(diǎn)，，.故選：A.本題考查三角函數(shù)圖象的性質(zhì)、三角函數(shù)的平移伸縮以及零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，考查轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力.5．B【解析】

利用古典概型概率計(jì)算方法分析出符合題意的基本事件個(gè)數(shù),結(jié)合組合數(shù)的計(jì)算即可出求得概率.【詳解】20個(gè)年份中天干相同的有10組（每組2個(gè)），地支相同的年份有8組（每組2個(gè)），從這20個(gè)年份中任取2個(gè)年份，則這2個(gè)年份的天干或地支相同的概率.故選:B.本小題主要考查古典概型的計(jì)算,考查組合數(shù)的計(jì)算,考查學(xué)生分析問(wèn)題的能力,難度較易.6．B【解析】

由題得，，解得，，計(jì)算可得.【詳解】，，，，解得，，.故選：B本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，前項(xiàng)和公式，考查了學(xué)生運(yùn)算求解能力.7．A【解析】

由可得，因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為的正三角形，所以，故選A．8．C【解析】

①與點(diǎn)距離為的點(diǎn)形成以為圓心，半徑為的圓弧，利用弧長(zhǎng)公式，可得結(jié)論；②當(dāng)在（或時(shí)，與面所成角（或的正切值為最小，當(dāng)在時(shí)，與面所成角的正切值為最大，可得正切值取值范圍是；③設(shè)，，，則，即，可得在前后、左右、上下面上的正投影長(zhǎng)，即可求出六個(gè)面上的正投影長(zhǎng)度之和．【詳解】如圖：①錯(cuò)誤，因?yàn)?，與點(diǎn)距離為的點(diǎn)形成以為圓心，半徑為的圓弧，長(zhǎng)度為；②正確，因?yàn)槊婷妫渣c(diǎn)必須在面對(duì)角線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)在（或）時(shí)，與面所成角（或）的正切值為最小（為下底面面對(duì)角線的交點(diǎn)），當(dāng)在時(shí)，與面所成角的正切值為最大，所以正切值取值范圍是；③正確，設(shè)，則，即，在前后、左右、上下面上的正投影長(zhǎng)分別為，，，所以六個(gè)面上的正投影長(zhǎng)度之，當(dāng)且僅當(dāng)在時(shí)取等號(hào).故選：.本題以命題的真假判斷為載體，考查了軌跡問(wèn)題、線面角、正投影等知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，屬于難題．9．B【解析】

由題意知，，由，知，由此能求出．【詳解】由題意知，，，解得，，．故選：B．本題考查離散型隨機(jī)變量的方差的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意二項(xiàng)分布的靈活運(yùn)用．10．D【解析】

根據(jù)面面平行的判定及性質(zhì)求解即可．【詳解】解：a?α，b?β，a∥β，b∥α，由a∥b，不一定有α∥β，α與β可能相交；反之，由α∥β，可得a∥b或a與b異面，∴a，b是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，且a?α，b?β，a∥β，b∥α，則“a∥b“是“α∥β”的既不充分也不必要條件．故選：D.本題主要考查充分條件與必要條件的判斷，考查面面平行的判定與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．11．D【解析】

化簡(jiǎn)集合，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，化簡(jiǎn)集合，按照集合交集、并集、補(bǔ)集定義，逐項(xiàng)判斷，即可求出結(jié)論.【詳解】由，則，故，由知，，因此，，，，故選:D本題考查集合運(yùn)算以及集合間的關(guān)系，求解不等式是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.12．D【解析】

由復(fù)數(shù)的綜合運(yùn)算求出，再寫出其共軛復(fù)數(shù)，然后由模的定義計(jì)算模．【詳解】，．故選：D．本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，考查共軛復(fù)數(shù)與模的定義，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．18【解析】

將已知已知轉(zhuǎn)化為的形式，化簡(jiǎn)后求得，利用等差數(shù)列前公式化簡(jiǎn)，由此求得表達(dá)式的值.【詳解】因?yàn)椋?故填：.本題考查等差數(shù)列基本量的計(jì)算，考查等差數(shù)列的性質(zhì)以及求和，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.14．【解析】

先計(jì)算平均數(shù)再求解方差與標(biāo)準(zhǔn)差即可.【詳解】解：樣本的平均數(shù),這組數(shù)據(jù)的方差是標(biāo)準(zhǔn)差,故答案為：本題主要考查了標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算,屬于基礎(chǔ)題.15．【解析】

可證，則為的外心，又則平面即可求出，的值，再由勾股定理求出外接球的半徑，最后根據(jù)體積公式計(jì)算可得.【詳解】解：，，，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以為的外心，因?yàn)?，所以點(diǎn)在內(nèi)的投影為的外心，所以平面，平面，所以，所以，又球心在上，設(shè)，則，所以，所以球O體積，.故答案為：本題考查多面體外接球體積的求法，考查空間想象能力與思維能力，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．16．【解析】解：由題意可知：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（1）．（2）的方程為．【解析】

（1）令，則，由此能求出點(diǎn)C的軌跡方程．（2）令，令直線，聯(lián)立，得，由此利用根的判別式，韋達(dá)定理，三角形面積公式，結(jié)合已知條件能求出直線的方程?！驹斀狻拷猓海?）因?yàn)?，即直線的斜率分別為且，設(shè)點(diǎn)，則，整理得.（2）令，易知直線不與軸重合，令直線，與聯(lián)立得，所以有，由，故，即，從而，解得，即。所以直線的方程為。本題考查橢圓方程、直線方程的求法，考查橢圓方程、橢圓與直線的位置關(guān)系，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題。18．（1）（2）【解析】

（1）根據(jù)單調(diào)遞減可知導(dǎo)函數(shù)恒小于等于，采用參變分離的方法分離出，并將的部分構(gòu)造成新函數(shù)，分析與最值之間的關(guān)系；（2）通過(guò)對(duì)的導(dǎo)函數(shù)分析，確定有唯一零點(diǎn)，則就是的極大值點(diǎn)也是最大值點(diǎn)，計(jì)算的值并利用進(jìn)行化簡(jiǎn)，從而確定.【詳解】（1）由題意知，在上恒成立，所以在上恒成立.令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以.（2）當(dāng)時(shí)，.則，令，則，所以在上單調(diào)遞減.由于，，所以存在滿足，即.當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，.所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.所以，因?yàn)?，所以，所以，所?（1）求函數(shù)中字母的范圍時(shí)，常用的方法有兩種：參變分離法、分類討論法；（2）當(dāng)導(dǎo)函數(shù)不易求零點(diǎn)時(shí)，需要將導(dǎo)函數(shù)中某些部分拿出作單獨(dú)分析，以便先確定導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性從而確定導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間，再分析整個(gè)函數(shù)的單調(diào)性，最后確定出函數(shù)的最值.19．（1）；（2）見解析.【解析】

（1）求出導(dǎo)數(shù)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值即可求解；（2）分別設(shè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義寫出切線方程，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明兩直線重合，只需滿足有解即可，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及零點(diǎn)存在性定理即可證明存在.【詳解】（1），函數(shù)在上單調(diào)遞增等價(jià)于在上恒成立．令，得，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，則．因?yàn)椋瑒t在上恒成立等價(jià)于在上恒成立；又，所以，即．（2）設(shè)的切點(diǎn)橫坐標(biāo)為，則切線方程為……①設(shè)的切點(diǎn)橫坐標(biāo)為，則，切線方程為……②若存在，使①②成為同一條直線，則曲線與存在公切線，由①②得消去得即令，則所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，，使得時(shí)總有又時(shí)，在上總有解綜上，函數(shù)與總存在公切線．本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的恒成立問(wèn)題，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)證明方程有解，屬于難題.20．（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，令，作出的圖像，結(jié)合圖像即可求解；（Ⅱ）結(jié)合絕對(duì)值三角不等式可得，再由“1”的妙用可拼湊為，結(jié)合基本不等式即可求解；【詳解】（Ⅰ）令，作出它們的大致圖像如下：由或（舍），得點(diǎn)橫坐標(biāo)為2，由對(duì)稱性知，點(diǎn)橫坐標(biāo)為﹣2，因此不等式的解集為.（Ⅱ）..取等號(hào)的條件為，即，聯(lián)立得因此的最小值為.本題考查絕對(duì)值不等式、基本不等式，屬于中檔題21．（1）（2）【解析】

（1）根據(jù)正弦定理，將，化角為邊，即可求出，再利用正弦定理即可求出；（2）根據(jù)，選擇，所以當(dāng)?shù)拿娣e取得最大值時(shí)，最大，結(jié)合（1）中條件，即可求出最大時(shí)，對(duì)應(yīng)的的值，再根據(jù)余弦定理求出邊，進(jìn)而得到的周長(zhǎng)．【詳解】（1）由，得，即.因?yàn)?，所?由，得.（2）因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.因?yàn)榈拿娣e.所以當(dāng)時(shí)，的面積取得最大值，此時(shí)，則，所以的周長(zhǎng)為.本題主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，涉及到基本不等式的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力．22．（1）①極小值為1，無(wú)極大值.②實(shí)數(shù)k的值為1.（2）【解析】

（1）①將代入可得，求導(dǎo)討論函數(shù)單調(diào)性，即得極值；②設(shè)是函數(shù)的一個(gè)“F點(diǎn)”（），即是的零點(diǎn)，那么由導(dǎo)數(shù)可知，且，可得，根據(jù)可得，設(shè)，由的單調(diào)性可得，即得.（2）方法一：先求的導(dǎo)數(shù)，存在兩個(gè)不相等的“F點(diǎn)”，，可以由和韋達(dá)定理表示出，的關(guān)系，再由，可得的關(guān)系式，根據(jù)已知解即得.方法二：由函數(shù)存在不相等的兩個(gè)“F點(diǎn)”和，可知，是關(guān)于x的方程組的兩個(gè)相異實(shí)數(shù)根，由得，分兩種情況：是函數(shù)一個(gè)“F點(diǎn)”，不是函數(shù)一個(gè)“F點(diǎn)”，進(jìn)行討論即得.【詳解】解：（1）①當(dāng)時(shí)，（），則有（），令得，列表如下：x10極小值故函數(shù)在處取得極小值，極小值為1，無(wú)極大值.②設(shè)是函數(shù)的一個(gè)“F點(diǎn)”（）.（），是函數(shù)的零點(diǎn).，由，得，，由，得，即.設(shè)，則，所以函數(shù)在上單調(diào)增，注意到，所以方程存在唯一實(shí)根1，所以，得，根據(jù)①知，時(shí)，是函數(shù)的極小值點(diǎn)，所以1是函數(shù)的“F點(diǎn)”.綜上，得實(shí)數(shù)k的值為1.（2）由（a，b，，），可得（）.又函數(shù)存在不相等的兩個(gè)“F點(diǎn)”和，