江蘇省宿遷市沭陽(yáng)縣2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題含解析

PAGE16-江蘇省宿遷市沭陽(yáng)縣2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題（含解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.數(shù)列的通項(xiàng)公式是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)數(shù)列前幾項(xiàng)，歸納猜想出數(shù)列的通項(xiàng)公式.【詳解】依題意，數(shù)列的前幾項(xiàng)為：；；；……則其通項(xiàng)公式.故選：C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查歸納推理，考查數(shù)列通項(xiàng)公式的猜想，屬于基礎(chǔ)題.2.已知數(shù)據(jù)的均值為2，那么數(shù)據(jù)的均值為（）A.2 B.5 C.7 D.4【答案】C【解析】【分析】依據(jù)均值線性變換公式，求得新數(shù)據(jù)的均值.【詳解】由數(shù)據(jù)的均值為，則數(shù)據(jù)的均值為.故選：C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查數(shù)據(jù)均值的線性運(yùn)算：若（）的均值為，則（）的均值為.屬于基礎(chǔ)題.3.已知，那么下列不等式中肯定成立的是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)a，b的符號(hào)和范圍，結(jié)合不等式的關(guān)系進(jìn)行推斷即可．詳解】若，，則，則，故A不成立；不肯定成立，如a=-5,b=6,故B不成立；∵，，∴,故C不成立，，，則，成立，故D正確，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式性質(zhì)的應(yīng)用，依據(jù)不等式的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵比較基礎(chǔ)．4.某市的A，B，C三個(gè)學(xué)校共有學(xué)生3000名，且這三個(gè)學(xué)校學(xué)生人數(shù)之比為3:3:4.假如用分層抽樣的方法從全部學(xué)生中抽取1個(gè)容量為200的樣本，那么學(xué)校C應(yīng)抽取的學(xué)生數(shù)為（）A.60 B.70 C.80 D.30【答案】C【解析】【分析】先求得學(xué)校學(xué)生占的比例，由此求得學(xué)校應(yīng)抽取的學(xué)生數(shù).【詳解】學(xué)校C中的學(xué)生占的比例為，故學(xué)校C應(yīng)抽取的人數(shù)為，故選：C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查分層抽樣有關(guān)計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.5.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則的值為（）A.-4 B.-2 C.-6 D.-8【答案】A【解析】【分析】依據(jù)遞推關(guān)系依次求得和的值.【詳解】依題意，數(shù)列的前項(xiàng)和為，當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，解得，故選：A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查依據(jù)數(shù)列遞推關(guān)系式求某一項(xiàng)，屬于基礎(chǔ)題.6.已知各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列中，，，則公比q＝A.4 B.3 C.2 D.【答案】C【解析】【分析】由，利用等比數(shù)列性質(zhì)，結(jié)合各項(xiàng)為正數(shù)求出，從而可得結(jié)果.【詳解】，，，，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)，以及等比數(shù)列基本量運(yùn)算，意在考查敏捷運(yùn)用所學(xué)學(xué)問(wèn)解決問(wèn)題的實(shí)力，屬于簡(jiǎn)潔題.7.不等式的解集是，則的值為（）A.14 B.-14 C.10 D.-10【答案】D【解析】【分析】依據(jù)一元二次不等式的解集與一元二次不等式對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根的對(duì)應(yīng)關(guān)系，求得的值，進(jìn)而求得的值.【詳解】不等式的解集是，可得是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，解得，，故選：D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查一元二次不等式的解集與一元二次不等式對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根的對(duì)應(yīng)關(guān)系，考查根與系數(shù)關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.8.設(shè)是等比數(shù)列，有下列四個(gè)命題：①是等比數(shù)列；②是等比數(shù)列；③是等比數(shù)列；④是等比數(shù)列.其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】依據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)對(duì)四個(gè)命題逐一分析，由此確定正確命題的個(gè)數(shù).【詳解】是等比數(shù)列可得（為定值）①為常數(shù)，故①正確②，故②正確③為常數(shù)，故③正確④不肯定為常數(shù)，故④錯(cuò)誤故選：C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.9.已知數(shù)列滿意，若，則（）A.-1 B.2 C.3 D.2024【答案】C【解析】【分析】依據(jù)遞推關(guān)系式推斷出數(shù)列是周期為周期數(shù)列，由此求得的值.【詳解】依題意，，則；；；所以數(shù)列以3為周期的數(shù)列，所以，所以.故選：C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查數(shù)列的周期性，屬于基礎(chǔ)題.10.若，則時(shí)，與的大小關(guān)系為（）A.B.C.D.隨值改變而改變【答案】A【解析】【分析】利用作差比較法，計(jì)算得，由此得出正確選項(xiàng).【詳解】，，，且，，.故選：A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查差比較法比較大小，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.11.放射性物質(zhì)的半衰期定義為每經(jīng)過(guò)時(shí)間，該物質(zhì)的質(zhì)量會(huì)衰退原來(lái)的一半，鉛制容器中有兩種放射性物質(zhì)，，起先記錄時(shí)容器中物質(zhì)的質(zhì)量是物質(zhì)的質(zhì)量的2倍，而120小時(shí)后兩種物質(zhì)的質(zhì)量相等，已知物質(zhì)的半衰期為7.5小時(shí)，則物質(zhì)的半衰期為（）A.10小時(shí) B.8小時(shí) C.12小時(shí) D.15小時(shí)【答案】B【解析】【分析】由16．設(shè)mB＝1．則mA＝2．設(shè)物質(zhì)B的半衰期為t．由題意可得：2，解得t．【詳解】由題意得16．又不妨設(shè)mB＝1．則mA＝2．設(shè)物質(zhì)B的半衰期為t．由題意可得：2，解得t＝8．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，考查了推理實(shí)力與計(jì)算實(shí)力，屬于中檔題．12.正數(shù)滿意,且恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是A. B. C. D.【答案】B【解析】略二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.200輛汽車通過(guò)某一段馬路時(shí)的時(shí)速的頻率分布直方圖如圖所示，則時(shí)速在的汽車大約有________輛.【答案】60【解析】【分析】先求得區(qū)間的頻率，由此求得時(shí)速在的汽車的數(shù)量.【詳解】由已知可得樣本容量為200，又?jǐn)?shù)據(jù)落在區(qū)間的頻率為時(shí)速在的汽車大約有故答案為：60【點(diǎn)睛】本小題主要考查依據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算頻數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.14.已知數(shù)列滿意，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為_(kāi)_______.【答案】【解析】【分析】利用累乘法求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.【詳解】數(shù)列滿意，則當(dāng)時(shí)，，全部的式子相乘得，整理得（首項(xiàng)符合通項(xiàng)）.故.故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查累乘法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題.15.已知函數(shù)，則不等式的解集是___________．【答案】【解析】試題分析：函數(shù)，，由解得，由解得，故不等式的解集為.考點(diǎn)：分段函數(shù)解不等式.16.設(shè)正實(shí)數(shù)滿意，則的最小值為_(kāi)_______.【答案】【解析】【分析】設(shè)，得到，代入，利用一元二次方程有解，判別式為非負(fù)數(shù)列不等式，解不等式求得的可能取值范圍，利用基本不等式確定的取值范圍.【詳解】設(shè)，所以，代入，得，化簡(jiǎn)得，方程有根，化簡(jiǎn)，解得或者由，所以，所以，所以.即的最小值為.故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查表達(dá)式最小值的求法，考查一元二次方程有實(shí)數(shù)根的條件，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.三、解答題：本大題共6小題，共計(jì)70分，請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明或演算步驟.17.甲、乙兩個(gè)同學(xué)分別拋擲1枚質(zhì)地勻稱的骰子.（1）求他們拋擲點(diǎn)數(shù)相同的概率；（2）求他們拋擲骰子的點(diǎn)數(shù)之和是3的倍數(shù)的概率.【答案】(1),(2)【解析】【分析】（1）列舉出全部的基本領(lǐng)件，確定拋擲點(diǎn)數(shù)相同的事務(wù)數(shù)，依據(jù)古典概型概率計(jì)算公式，計(jì)算出所求概率.（2）依據(jù)（1）中列舉出的基本領(lǐng)件，確定拋擲骰子的點(diǎn)數(shù)之和是的倍數(shù)的事務(wù)數(shù)，依據(jù)古典概型概率計(jì)算公式，計(jì)算出所求概率.【詳解】（1）甲、乙兩個(gè)同學(xué)分別拋擲1枚質(zhì)地勻稱的骰子，基本領(lǐng)件：共有36個(gè)，用來(lái)表示兩枚骰子向上的點(diǎn)數(shù)記“他們拋擲點(diǎn)數(shù)相同”為事務(wù)A，則A包含基本領(lǐng)件：（；，共6種，故.（2）記“他們拋擲骰子的點(diǎn)數(shù)之和是3的倍數(shù)”為事務(wù)B，則B包含基本領(lǐng)件有：，共12種.故.【點(diǎn)睛】本小題主要考查列舉法計(jì)算古典概型概率問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.18.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知.（1）求；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1),(2)【解析】【分析】（1）將已知條件轉(zhuǎn)化為的形式列方程組，解方程組求得的值，進(jìn)而求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）依據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式計(jì)算出.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，由，得，解得，；（2）由，得.【點(diǎn)睛】本小題主要考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算，考查等差數(shù)列前項(xiàng)和公式，屬于基礎(chǔ)題.19.近年來(lái)大氣污染防治工作得到各級(jí)部門的重視，某企業(yè)現(xiàn)有設(shè)備下每日生產(chǎn)總成本（單位：萬(wàn)元）與日產(chǎn)量（單位：噸）之間的函數(shù)關(guān)系式為，現(xiàn)為了協(xié)作環(huán)境衛(wèi)生綜合整治，該企業(yè)引進(jìn)了除塵設(shè)備，每噸產(chǎn)品除塵費(fèi)用為萬(wàn)元，除塵后當(dāng)日產(chǎn)量時(shí)，總成本.（1）求的值；（2）若每噸產(chǎn)品出廠價(jià)為59萬(wàn)元，試求除塵后日產(chǎn)量為多少時(shí)，每噸產(chǎn)品的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為多少？【答案】(1)2,(2)除塵后日產(chǎn)量為11噸時(shí)，每噸產(chǎn)品的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為6萬(wàn)元.【解析】【分析】（1）利用原來(lái)的成本加上衛(wèi)生綜合整治后增加的成本，求得除塵后總成本的表達(dá)式，利用，，求得的值.（2）由（1）求得除塵后總成本的表達(dá)式，進(jìn)而求得總利潤(rùn)的表達(dá)式，由此求得每噸產(chǎn)品利潤(rùn)的表達(dá)式，利用基本不等式求得每噸產(chǎn)品的利潤(rùn)的最大值，以及此時(shí)對(duì)應(yīng)的日產(chǎn)量.【詳解】（1）由題意，除塵后，當(dāng)日產(chǎn)量時(shí)，總成本，故，解得.（2）由（1），總利潤(rùn)，每噸產(chǎn)品的利潤(rùn)，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，除塵后日產(chǎn)量為11噸時(shí)，每噸產(chǎn)品的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為6萬(wàn)元.【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，考查利用基本不等式求最值，屬于基礎(chǔ)題.20.數(shù)列中，.（1）求；（2）求數(shù)列前項(xiàng)和；（3）設(shè)，存在數(shù)列使得，試求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）,（2）,（3）【解析】【分析】（1）依據(jù)，求得的值.（2）利用，化簡(jiǎn)后證得是等比數(shù)列，由此求得的通項(xiàng)公式.（3）由（2）求得的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求得的通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)求和法求得數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】（1），，.（2），是首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列..（3），，.【點(diǎn)睛】本小題主要考查依據(jù)遞推關(guān)系證明等比數(shù)列，考查裂項(xiàng)求和法，考查對(duì)數(shù)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.21.一般來(lái)說(shuō)，一個(gè)人腳掌越長(zhǎng)，他的身高就越高，現(xiàn)對(duì)10名成年人的腳掌與身高進(jìn)行測(cè)量，得到數(shù)據(jù)（單位：cm）作為樣本如表所示：腳掌長(zhǎng)（）20212223242526272829身高（）141146154160169176181188197203（1）在上表數(shù)據(jù)中，以“腳掌長(zhǎng)”為橫坐標(biāo)，“身高”為縱坐標(biāo)，作出散點(diǎn)圖后，發(fā)覺(jué)散點(diǎn)在一條直線旁邊，試求“身高”與“腳掌長(zhǎng)”之間的線性回來(lái)方程；（2）若某人的腳掌長(zhǎng)為26.5cm，試估計(jì)此人的身高；（3）在樣本中，從身高180cm以上的4人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行進(jìn)一步的分析，求所抽取的2人中至少有1人身高在190cm以上的概率.（參考數(shù)據(jù)：，，，，）【答案】（1）,（2）腳長(zhǎng)為26.5cm的人，身高約為185.5cm；（3）【解析】【分析】（1）依據(jù)回來(lái)直線方程計(jì)算公式，計(jì)算出回來(lái)直線方程.（2）將代入（1）中求得的回來(lái)直線方程，求得身高的估計(jì)值.（3）利用列舉法，結(jié)合古典概型概率計(jì)算公式，計(jì)算出所求概率.【詳解】（1）由題意知，，，關(guān)于的線性回來(lái)方程為；（2）當(dāng)時(shí)，，即腳長(zhǎng)為26.5cm的人，身高約為185.5cm；（3）記身高在180cm以上的4人為A，B，C，D，其中C，D為身高190cm，從這4人中隨機(jī)抽取2人的情形有：AB，AC，AD，BC，BD，CD共6種，其中有C或D的有5種，所求概率為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查回來(lái)直線方程的計(jì)算，考查利用回來(lái)直線方程進(jìn)行預(yù)料，考查古典概型概率計(jì)算問(wèn)題的求解，考查運(yùn)算求解實(shí)力，屬于中檔題.22.已知函數(shù)的值域?yàn)?，記函?shù).（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）存在使得不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若關(guān)于的方程有5個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）1,(2),(3)【解析】【分析】（1）利用配方法，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求得的值.（2）將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“存在成立”，利用換元法，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，求得的取值范圍.（3）首先推斷不是方程的根.當(dāng)時(shí)，利用換元法，將原方程轉(zhuǎn)化為.通過(guò)探討的單調(diào)性和值域，結(jié)合方程根的個(gè)數(shù)，求得的取值范圍，由此求得的取值范圍.【詳解】（