2023-2024學年人教版七年級數(shù)學上冊重難點題型突破訓練：有理數(shù)中規(guī)律和新定義綜合應用（六大題型）

專題1.5有理數(shù)中規(guī)律和新定義綜合應用(六大題型)

_Um靠氫如他獨____________________________________

【題型1數(shù)列型規(guī)律】

【題型2裂差型規(guī)律】

【題型3新定義型規(guī)律】

【題型4含n2型規(guī)律】

【題型5定義兩個數(shù)的運算】

【題型6定義多個數(shù)的運算】

一___連紀變霰____________________________

【題型1數(shù)列型規(guī)律】

【典例1】動腦筋、找規(guī)律，李老師給小明出了下面的一道題，請根據數(shù)字排列

的規(guī)律，探索下列問題：

?11141>-511---------->-191A1???

2-------->-36----------->-710------->???C—>D

(1)在A處的數(shù)是正數(shù)還是負數(shù)；

(2)負數(shù)排在A,B,C,D中的位置？

(3)第2017個數(shù)是正數(shù)還是負數(shù),排在對應于A,B,C,D中的—

位置？

【變式1-1］從圖①中找出規(guī)律，并按規(guī)律從圖②中找出a,b,c的值,

【變式1-2】找出下列各圖形中數(shù)的規(guī)律，依此規(guī)律，那么a的值是

【典例3】觀察下列各數(shù)的個位數(shù)字的變化規(guī)律:2』2,22=4,23=8,24=16,

25=32,……通過觀察，你認為22。21的個位數(shù)字應該是（）

A.2B.4C.6D.8

【變式2-1】觀察下列算式：3i=332=933=2734=8135=24336=729...

通過觀察，用你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律得出32。16的末位數(shù)是（）

A.1B.3C.7D.9

【變式2-2］觀察下列等式：2、2,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64,根據

這個規(guī)律,21+22+23+24+-+22020的末尾數(shù)字是()

A.6B.4C.2D.0

【題型2裂差型規(guī)律】

111111

【典例3】觀察下列計算:2=1-511

2x3233x4344x54

1,從計算結果中找規(guī)律，利用規(guī)律計算

5

⑴打！+W+/+烹+……+1

9900

(2)5+昌上+士+……+1

31535639999

【變式3】認真觀察，尋找規(guī)律

11_2

第1個算式:1x22x36，

11_2

第2個算式:

2x33x424

第個算式:11_2

33x44x560'

11_2

第4個算式:

4x55x6120

用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解答問題:

(1)第n個算式為：_____________________________________________

計算：—+—+—；

(2)IH3123060

3

()右1*2X3+2X3X4+3x4x5++n(n+l)(n+2)=而，求n的值，

【題型3新定義型規(guī)律】

【典例4】符號表示一種運算，它對一些數(shù)的運算如下：/(D=1+2,f

(2)=1+2,f(3)=1+2,f(4)=1+2…

234

(1)利用以上運算的規(guī)律寫出/(〃)=；(〃為正整數(shù))

(2)計算：/(I)?/(2)?/(3)-/(100)的值.

【變式4】閱讀材料，解答問題.

符號“廣表示一種運算，它對一些數(shù)的運算結果如下：

(1)/(1)=0,f(2)=1,f(3)=2,f(4)=3,…

(2)/(A)=2,f(1)=3,/(A)=4,/(I)=5,…

2345

利用以上的規(guī)律計算：/(2015).

2015

【題型4含n2型規(guī)律】

【典例5】某種細胞開始有1個，1小時后分裂成2個，2小時分裂成4個，3小

時后分裂成8個，按此規(guī)律，n小時后細胞的個數(shù)超過1000個，n的最小值是

()

A.9B.10C.500D.501

【變式5-1］某種細胞開始有2個，1小時后分裂成4個并死去1個，2小時后分

裂成6個并死去1個，3小時后分裂成10個并死去1個，…，按此規(guī)律，5小時

后，細胞存活的個數(shù)是()

A.31B.33C.35D.37

【變式5-2】某種細胞開始分裂時有兩個，1小時后分裂成4個并死去一個，2小

時后分裂成6個并死去一個，3小時后分裂成10并死去一個，按此規(guī)律，10小

時后細胞存活的個數(shù)是()

A.1023B.1024C.1025D.1026

【題型5定義兩個數(shù)的運算】

【典例6】現(xiàn)定義一種新運算“*”，規(guī)定a*b=Z/—a,如3*1=3=—2,則

(—2)*(-3)等于()

A.11B.-11C.7D.-7

【變式6-1］定義一種新運算：a十b=b2-2ab.如103=32

-2X1X3=3,則(-1)十2=.

【變式6-2】定義新運算“*”，規(guī)定a*b=axb-(b-l)xb,則2*(—3)=.

【變式6-3】如果定義一種新的運算為，那么＜*(-3)=.

【題型6定義多個數(shù)的運算】

【典例7】現(xiàn)定義一種新運算“*”，規(guī)定a*b=ab+a—b,如1*3=卜3+1—3,則

(2*5)*4等()

A.28B.-28C.-31D.31

【變式7-1】如果定義新運算：a*b=^1(a去b),那么(1X2)派3的值

為.

【變式7-2】a,b為有理數(shù)，若規(guī)定一種新的運算“*"，定義a*b=a2—b2—ab+

1,請根據“*”的定義計算：

(1)-3*4；

(2)(-1*1)*(-2).

【變式7-3］用※”定義一種新運算：規(guī)定a=ab2+2ab—b，如：1M=1X

32+2X1X3-3=12.

(1)求(-2)^4的值；

(2)若(x-l)^3=12，求x的值.

專題1.5有理數(shù)中規(guī)律和新定義綜合應用(六大題型)

一名丸臣女蚣獨_______________________________

【題型1數(shù)列型規(guī)律】

【題型2裂差型規(guī)律】

【題型3新定義型規(guī)律】

【題型4含n'型規(guī)律】

【題型5定義兩個數(shù)的運算】

【題型6定義多個數(shù)的運算】

___連紀變聚___________________________

【題型1數(shù)列型規(guī)律】

【典例1】動腦筋、找規(guī)律，李老師給小明出了下面的一道題，請根據數(shù)字排列

的規(guī)律，探索下列問題：

(1)在A處的數(shù)是正數(shù)還是負數(shù)；

(2)負數(shù)排在A,B,C,D中的位置？

(3)第2017個數(shù)是正數(shù)還是負數(shù),排在對應于A,B,C,D中的.

位置？

【答案】(1)正數(shù)

(2)B,D

(3)負數(shù)；B

【解答】解：(1)A是向上箭頭的上方對應的數(shù)，與4的符號相同，在4處

的數(shù)是正數(shù)；

故答案是：正數(shù)；

(2)觀察不難發(fā)現(xiàn)，向下箭頭的上邊的數(shù)是負數(shù)，下方是正數(shù)，向上箭頭的下

方是負數(shù)，上方是正數(shù)，

所以，B和。的位置是負數(shù)，

故答案是：B,D；

(3)v20174-4=504...1,

???第2017個數(shù)排在B的位置，是負數(shù)，

故答案是：負數(shù)，B.

【變式1；】從圖①中找出規(guī)律，并按規(guī)律從圖②中找出a，b，c的值,

【答案】14

【解答】解：由題意得：a=—4+11=7,c=—15+ll=-4,

b—a+c—7+(—4)=3,

:.a+b—c—7+3—(—4)—14,

故答案為：14.

【變式1-2】找出下列各圖形中數(shù)的規(guī)律，依此規(guī)律，那么a的值是.

【答案】226

【解答】解：V0xl+2=2,2x3+4=10,4*5+6=26,6*7+8=50,…，

，a=14x15+16=226.

故答案為：226.

【典例3】觀察下列各數(shù)的個位數(shù)字的變化規(guī)律：21=2,22=4,23=8,2『16,

25=32,……通過觀察，你認為22。21的個位數(shù)字應該是()

A.2B.4C.6D.8

【答案】A

【解答】解：?：2i=2,22=4,23=8,24=16,25=32,

...以2為底的幕的末位數(shù)字是2,4,8,6…依次循環(huán)的，

2021-4=505...1,

.?.22021的個位數(shù)字是2.

故答案為：A.

【變式2-1】觀察下列算式：31=332=933=2734=8135=24336=729...

通過觀察，用你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律得出32。16的末位數(shù)是（）

A.1B.3C.7D.9

【答案】A

【解答】解：因為歲=3,32=9,33=27,34=81,35=243,36=729,

所以3n的個位數(shù)字分別為3、9、7、1,每4個數(shù)為一個循環(huán)組依次循環(huán)，

因為2016+4=504,

所以32。16的個位數(shù)字與循環(huán)組的第4個數(shù)的個位數(shù)字相同，是1.

故答案為：A.

【變式2-2］觀察下列等式：21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64,根據

這個規(guī)律，21+22+23+24+--+22020的末尾數(shù)字是（）

A.6B.4C.2D.0

【答案】D

【解答】解：'：21=2,22=4,23=8,24=16,25=32；26=64,

...個位數(shù)的規(guī)律是2,4,8,6循環(huán)

/.2020-4=505,

.*.505x(2+4+8+6)=10100,

二21+2423+24+25+......+2202。的末尾數(shù)字為0,

故答案為：D.

【題型2裂差型規(guī)律】

1_1_11_1_11_1

【典例3】觀察下列計算:-------±—一

1x2---------22x3-2~3x4~~3-44x5-4

,從計算結果中找規(guī)律，利用規(guī)律計算

(1)烹+……+1

9900

(2)±+±+……+1

31535639999

【解答】解：1+1+^+^+^+……+嬴

-----H-------1-------1-------1-------F......H---------

1x22x33x44x55x699x100

=1-11-11-11-11-1…+工--L

2+23+34+45+56+99100

=1一-—

100

99

—100；

（2）-+—+—+—+……

^31535639999

解.工+J-+J-+J-+_|---!_

用牛.3十15十35十63十?????,十9999

=—+—+—+—+……+--—

1x33x55x77x999x101

=Ix（1-}+lx+lx（衿）+lx（沁……+lx塌一加

=3X+（沁）.?????+（+-加］

=3X（1-1+1-|++?…“+殺-壺

=ix（1—）

2I1017

1100

——X-----

2101

50

—ToT?

（1）解.工+工+工+-?_+工+_|5_

腫.2十6十12十20十30十,…”十9900

111111

-----1-------1-------1-------1F......H

1x22X33x44x55x6---------99x100

1-1++14+14+14+……+擊-焉

1—需

99

100

（）l±J-J_+，

2,3十+15十+35十+63十+,十9999

=—+—+—+—+……+--—

1x33x55x77x999x101

=Ix（1-}+lx（?§+lx*）+fx（沁……+lx塌一加

=lx［a*）+GT）+（S）+（沁）……+（急-加］

-1X(1+++1

24HHI9

1(■)

=-1X-1-00

2101

50

101

【變式3】認真觀察，尋找規(guī)律

第1個算式:112

1X22x36,

第2個算式:112

2x33x424

第3個算式:112

3x44x560,

第4個算式:112

4x55x6120

用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解答問題:

(1)第n個算式為:

計算：^W+總+專;

1111

(3)若?“+n(n+l)(n+2)=S，求n的值.

1x2x32x3x43x4x545

112

【解答】（1）nx(n+l)(n+l)x(n+2)nx(n+l)x(n+2)

（2）解：原式欄+1+9+磊

------+11

1X22x32x33x4+白-羨+1亳

_11

1x25x6

1i

530

7

15

222222

（3）解:++n(n+l)(n+2)

1x2x3+2x3x4+3x4x545

1111111

----------------------------------1-------------------------------------1-------------------------------------1-J-----------------------------------------------------------------

1x22x32x33x43x44X5n(n+1)(n+l)(n+2)

221122

451x2。1+1)(幾+2)45

122111

(n+l)(n+2)451X2(n+l)(n+2)90

???n為正整數(shù),所以n+l=9,n+2=10,則n=8.

【題型3新定義型規(guī)律】

【典例4】符號“廣表示一種運算，它對一些數(shù)的運算如下：/(I)=1+2,f

(2)=1+2,f(3)=1+2,f(4)=1+,“

234

(1)利用以上運算的規(guī)律寫出/(〃)=;(〃為正整數(shù))

(2)計算：/(1)?/(2)?/(3)-/(100)的值.

【解答】解：(1)'：f(1)=1+2,/(2)=1+2,/(3)=1+2,/(4)=

123

1+.2—

4

."(〃)=1+2.

n

(2)/⑴?/⑵*/(3)---/(100)

=(1+2)(1+2)(i+2)(1+.2)…(1+_2_)

1234100

=.3xAx^xAx-X-122

1234100

^101X102

1X2

=5151

故答案為：5151.

【變式4】閱讀材料，解答問題.

符號“廣表示一種運算，它對一些數(shù)的運算結果如下：

(1)/(1)=0,f(2)=1,f(3)=2,f(4)=3,…

(2)/(A)=2,f(1)=3,/(I)=4,/(I)=5,…

2345

利用以上的規(guī)律計算：/(2015)

2015

【解答】解：由題意可知：f(/7)=〃-1,f(―)=11,

n

f(2015)-f(—1—)=2014-2015=-1.

2015

【題型4含口:型規(guī)律】

【典例5］某種細胞開始有1個，1小時后分裂成2個，2小時分裂成4個，3小

時后分裂成8個，按此規(guī)律，n小時后細胞的個數(shù)超過1000個，n的最小值是

（）

A.9B.10C.500D.501

【答案】B

【解答】由題意得，2n>1000,

V29=512,21°=1024,

，n的最小值是：10,

故答案為：B.

【變式5-1］某種細胞開始有2個，1小時后分裂成4個并死去1個，2小時后分

裂成6個并死去1個，3小時后分裂成10個并死去1個，…，按此規(guī)律，5小時

后，細胞存活的個數(shù)是（）

A.31B.33C.35D.37

【答案】B

【解答】根據題意可知，1小時后分裂成4個并死去1個，剩3個，3=2+1；

2小時后分裂成6個并死去1個，剩5個，5=22+1；

3小時后分裂成10個并死去1個，剩9個，9=23+1；

故5小時后細胞存活的個數(shù)是25+1=33個.

故答案為：B

【變式5-2】某種細胞開始分裂時有兩個，1小時后分裂成4個并死去一個，2小

時后分裂成6個并死去一個，3小時后分裂成10并死去一個，按此規(guī)律，10小

時后細胞存活的個數(shù)是（）

A.1023B.1024C.1025D.1026

【答案】C

【解答】1小時后存活的個數(shù)是3=2+1,2小時后存活的個數(shù)是：

5=22+1,按此規(guī)律，10小時后存活的個數(shù)是：21°

+1=1025,故答案為：C.

【題型5定義兩個數(shù)的運算】

【典例6】現(xiàn)定義一種新運算“*”，規(guī)定a*b=/>2—0如3*1=3=—2,則

(—2)*(—3)等于()

A.11B.-11C.7D.-7

【答案】A

【解答】'.'a*b=b2-a,

???(―2)*(―3)=(—3)2—(—2)=94-2=11；

故答案為：A.

【變式6-1］定義一種新運算：a十b=7―2ab.如1十3=3?

-2X1X3=3,貝U(-1)