高考數(shù)學一輪題型歸納與解題策略考點30等比數(shù)列及其前n項和10種常見考法歸類(原卷版+解析)

考點30等比數(shù)列及其前n項和10種常見考法歸類考點一利用等比數(shù)列的定義求通項考點二等比數(shù)列中an與Sn的關系考點三等比數(shù)列基本量的運算考點四等比數(shù)列的證明考點五等比數(shù)列的性質及其應用（一）等比中項的應用（二）利用等比數(shù)列的性質計算考點六等比數(shù)列前n項和性質的應用（一）等比數(shù)列的片段和性質的應用（二）等比數(shù)列奇偶項和的性質考點七等比數(shù)列的單調性與最值問題考點八等比數(shù)列的實際應用考點九等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合問題考點十等比數(shù)列與其他知識的交匯1.等比數(shù)列的概念(1)等比數(shù)列的定義：一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)，即eq\f(an＋1,an)＝q(n∈N*)，或eq\f(an,an－1)＝q(n∈N*，n≥2).注：(1)定義的符號表示：eq\f(an,an－1)＝q(n∈N*且n≥2)或eq\f(an＋1,an)＝q(n∈N*)；(2)定義強調“從第2項起”，因為第一項沒有前一項；(3)比必須是同一個常數(shù)；(4)等比數(shù)列中任意一項都不能為0；(5)公比可以為正數(shù)、負數(shù)，但不能為0.等比中項：如果在a與b中間插入一個數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項，此時，G2＝ab.注：兩個同號的實數(shù)a，b才有等比中項，而且它們的等比中項有兩個(±eq\r(ab))，而不是一個(eq\r(ab))，這是容易忽視的地方.2.等比中項與等差中項的異同對比項等差中項等比中項定義若a，A，b成等差數(shù)列，則A叫做a與b的等差中項若a，G，b成等比數(shù)列，則G叫做a與b的等比中項定義式A－a＝b－Aeq\f(G,a)＝eq\f(b,G)公式A＝eq\f(a＋b,2)G＝±eq\r(ab)個數(shù)a與b的等差中項唯一a與b的等比中項有兩個，且互為相反數(shù)備注任意兩個數(shù)a與b都有等差中項只有當ab＞0時，a與b才有等比中項3.等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式(1)通項公式：an＝a1qn－1.該式又可以寫成an＝eq\f(a1,q)·qn，這表明q≠1時，an是常數(shù)與指數(shù)函數(shù)(關于n)的乘積.(2)等比數(shù)列的通項公式與指數(shù)型函數(shù)的關系①當q>0且q≠1時，等比數(shù)列{an}的第n項an是指數(shù)型函數(shù)f(x)＝eq\f(a1,q)·qx(x∈R)當x＝n時的函數(shù)值，即an＝f(n)．②任意指數(shù)型函數(shù)f(x)＝kax(k，a是常數(shù)，k≠0，a>0且a≠1)，則f(1)＝ka，f(2)＝ka2，…，f(n)＝kan，…構成一個等比數(shù)列{kan}，其首項為ka，公比為a.注意點：(1)a1>0，q>1時，數(shù)列{an}為正項的遞增等比數(shù)列；(2)a1>0,0<q<1時，數(shù)列{an}為正項的遞減等比數(shù)列；(3)a1<0，q>1時，數(shù)列{an}為負項的遞減等比數(shù)列；(4)a1<0,0<q<1時，數(shù)列{an}為負項的遞增等比數(shù)列；(5)q＝1時，數(shù)列{an}為常數(shù)列；(6)q<0時，數(shù)列{an}為擺動數(shù)列；奇數(shù)項符號相同，偶數(shù)項符號相同．(3)前n項和公式：Sn＝當q≠1時，該式又可以寫成Sn＝eq\f(a1,1－q)－eq\f(a1,1－q)·qn，這表明q≠1時，Sn的圖象是指數(shù)型函數(shù)y＝－Aqx＋Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＝\f(a1,1－q)))圖象上一群孤立的點.注：①等比數(shù)列的前項和公式有兩種形式，在求等比數(shù)列的前項和時，首先要判斷公比是否為1，再由的情況選擇相應的求和公式，當不能判斷公比是否為1時，要分與兩種情況討論求解．②已知（項數(shù)），則利用求解；已知，則利用求解．(4)等比數(shù)列前n項和公式的函數(shù)特征當公比q≠1時，設A＝eq\f(a1,q－1)，等比數(shù)列的前n項和公式是Sn＝A(qn－1).即Sn是n的指數(shù)型函數(shù).（Sn＝eq\f(a1－a1qn,1－q)＝－eq\f(a1,1－q)qn＋eq\f(a1,1－q)，設A＝－eq\f(a1,1－q)，則Sn＝Aqn－A.且系數(shù)與常數(shù)互為相反數(shù)．）當公比q＝1時，因為a1≠0，所以Sn＝na1，Sn是n的正比例函數(shù).4.等比數(shù)列基本量運算的解題策略（1）等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式共涉及五個量，已知其中三個就能求另外兩個(簡稱“知三求二”)，通過列方程(組)便可迎刃而解；（2）運用方程思想解答等比數(shù)列的基本運算問題是高考常見題型，要抓住基本量、，掌握好設未知數(shù)、列出方程、解方程三個環(huán)節(jié)，常通過“設而不求，整體代入”來簡化運算．(3)對于基本量的計算，列方程組求解是基本方法，通常用約分或兩式相除的方法進行消元，有時會用到整體代換，如qn，eq\f(a1,1－q)都可看作一個整體．(4)等比數(shù)列的前n項和公式涉及對公比q的分類討論，首先要對公比q＝1或q≠1進行判斷，若兩種情況都有可能，則要分類討論．當q＝1時，{an}的前n項和Sn＝na1；當q≠1時，{an}的前n項和Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)＝eq\f(a1－anq,1－q)，當q>1時，用公式Sn＝eq\f(a1,q－1)(qn－1)代入計算，當q<1時，用公式Sn＝eq\f(a1,1－q)(1－qn)代入計算，可避免出現(xiàn)符號錯誤．（5）特殊設法:三個數(shù)成等比數(shù)列，一般設為；四個數(shù)成等比數(shù)列，一般設為.這對已知幾數(shù)之積,求數(shù)列各項,運算很方便.5.由Sn求通項公式an的步驟(1)令n＝1，則a1＝S1，求得a1.(2)令n≥2，則an＝Sn－Sn－1.(3)驗證a1與an的關系：①若a1適合an，則an＝Sn－Sn－1，②若a1不適合an，則an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))6.等比數(shù)列的證明方法定義法若eq\f(an＋1,an)＝q(q為非零常數(shù)，n∈N*)或eq\f(an,an－1)＝q(q為非零常數(shù)且n≥2，n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列中項公式法若數(shù)列{an}中，an≠0且aeq\o\al(2,n＋1)＝an·an＋2(n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列通項公式法若數(shù)列{an}的通項公式可寫成an＝c·qn－1(c，q均為非零常數(shù)，n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列前n項和公式法若數(shù)列{an}的前n項和Sn＝k·qn－k(k為非零常數(shù)，q≠0,1)，則{an}是等比數(shù)列7.等比數(shù)列的性質(1)與項有關的性質①在等比數(shù)列{an}中，an＝amqn－m(n，m∈N*).②在等比數(shù)列{an}中，若m＋n＝p＋q＝2k，m，n，p，q，k∈N*，則aman＝apaq＝aeq\o\al(2,k).③在公比為q的等比數(shù)列{an}中，取出項數(shù)成等差數(shù)列的項ak，ak＋d，ak＋2d，…，仍可組成一個等比數(shù)列，公比是qd.注：若m，p，n成等差數(shù)列，則am，ap，an成等比數(shù)列．④m個等比數(shù)列，由它們的各對應項之積組成一個新數(shù)列，仍然是等比數(shù)列，公比是原來每個等比數(shù)列對應的公比之積.⑤若{an}，{bn}均為等比數(shù)列，公比分別為q1，q2，則{kan}(k≠0)仍為等比數(shù)列，且公比為q1；{anbn}仍為等比數(shù)列，且公比為q1q2；eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,bn)))仍為等比數(shù)列，且公比為eq\f(q1,q2).注：若{an}，{bn}(項數(shù)相同)是等比數(shù)列，則{λan}(λ≠0)，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))，，{aeq\o\al(2,n)}，{an·bn}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,bn)))仍是等比數(shù)列．⑥當{an}是公比為q(q>0)的正項等比數(shù)列時，數(shù)列{lgan}是等差數(shù)列，首項為lga1，公差為lgq.⑦公比不為1的等比數(shù)列，其相鄰兩項的差也依次成等比數(shù)列，且公比不變，即，，，…成等比數(shù)列，且公比為(2)與和有關的性質①等比數(shù)列連續(xù)k項的和仍為等比數(shù)列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…，仍為等比數(shù)列，且公比為qk(q≠－1，或q＝－1且k為奇數(shù)).注：等比數(shù)列片段和性質的成立是有條件的，即Sn≠0.②{an}為等比數(shù)列，若a1·a2·…·an＝Tn，則Tn，eq\f(T2n,Tn)，eq\f(T3n,T2n)，…成等比數(shù)列．③若{an}是公比為q的等比數(shù)列，S偶，S奇分別是數(shù)列的偶數(shù)項和與奇數(shù)項和，則：ⅰ在其前2n項中，eq\f(S偶,S奇)＝q；ⅱ在其前2n＋1項中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝eq\f(a1＋a2n＋1q,1－－q)＝eq\f(a1＋a2n＋2,1＋q)(q≠－1).S奇＝a1＋qS偶．④在等比數(shù)列中，當qm≠1時，eq\f(Sn,Sm)＝eq\f(1－qn,1－qm)，n，m∈N*.⑤在等比數(shù)列中，Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N*)?qn＝eq\f(Sn＋m－Sn,Sm)(q為公比)8.其他衍生等比數(shù)列若已知等比數(shù)列，公比為，前項和為，則：①等間距抽取為等比數(shù)列，公比為．②等長度截取為等比數(shù)列，公比為（當時，不為偶數(shù)）．9.等比數(shù)列項的性質應用（1）等比數(shù)列的性質多與其下標有關，故應用等比數(shù)列的性質解答問題的關鍵是尋找項的序號之間的關系．（2）應用等比數(shù)列的性質要注意結合其通項公式、前項和公式．（3）在解決等比數(shù)列的有關問題時，要注意挖掘隱含條件，利用性質，特別是性質“若m＋n＝p＋q，則am·an＝ap·aq”，可以減少運算量，提高解題速度．(4)在應用相應性質解題時，要注意性質成立的前提條件，有時需要進行適當變形．此外，解題時注意設而不求思想的運用．10.處理等比數(shù)列前n項和有關問題的常用方法(1)充分利用Sm＋n＝Sm＋qmSn和Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…(n為偶數(shù)且q＝－1除外)仍成等比數(shù)列這一重要性質，能有效減少運算．(2)運用等比數(shù)列的前n項和公式，要注意公比q＝1和q≠1兩種情形，在解有關的方程(組)時，通常用約分或兩式相除的方法進行消元．11.處理等比數(shù)列奇偶項和有關問題的常用方法等比數(shù)列{an}共有2n項，要抓住eq\f(S偶,S奇)＝q和S偶＋S奇＝S2n這一隱含特點；若等比數(shù)列{an}共有2n＋1項，要抓住S奇＝a1＋qS偶和S偶＋S奇＝S2n＋1這一隱含特點．要注意公比q＝1和q≠1兩種情形，在解有關的方程(組)時，通常用約分或兩式相除的方法進行消元．12.判斷等比數(shù)列的單調性的方法(1)當a1>0，q>1或a1＜0，0<q<1時，等比數(shù)列{an}是遞增數(shù)列；(2)當a1>0，0<q<1或a1＜0，q>1時，等比數(shù)列{an}是遞減數(shù)列；(3)當q＝1時，它是一個常數(shù)列；(4)當q<0時，它是一個擺動數(shù)列.注：在運用函數(shù)判斷數(shù)列的單調性時，要注意函數(shù)的自變量為連續(xù)的，數(shù)列的自變量為不連續(xù)的，所以函數(shù)性質不能夠完全等同于數(shù)列的性質．有些數(shù)列會出現(xiàn)前后幾項的大小不一，從某一項開始才符合遞增或遞減的特征，這時前幾項中每一項都必須研究．13.等比數(shù)列最值有關問題的解題思路求解此類問題的常用思路是根據(jù)題目所給條件建立關于變量n的函數(shù)關系進行求解．有時也注意基本不等式的應用．14.等比數(shù)列的實際應用(1)解應用問題的核心是建立數(shù)學模型．(2)一般步驟：審題、抓住數(shù)量關系、建立數(shù)學模型．(3)注意問題是求什么(n，an，Sn)．注：(1)解答數(shù)列應用題要注意步驟的規(guī)范性：設數(shù)列，判斷數(shù)列，解題完畢要作答．(2)在歸納或求通項公式時，一定要將項數(shù)n計算準確．(3)在數(shù)列類型不易分辨時，要注意歸納遞推關系．(4)在近似計算時，要注意應用對數(shù)方法，且要看清題中對近似程度的要求．15.等差數(shù)列與等比數(shù)列的區(qū)分與聯(lián)系(1)如果數(shù)列成等差數(shù)列，那么數(shù)列(總有意義)必成等比數(shù)列．(2)如果數(shù)列成等比數(shù)列，且，那么數(shù)列(，且)必成等差數(shù)列．(3)如果數(shù)列既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列，那么數(shù)列是非零常數(shù)數(shù)列．數(shù)列是常數(shù)數(shù)列僅是數(shù)列既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列的必要非充分條件．(4)如果由一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列的公共項順次組成新數(shù)列，那么常選用“由特殊到一般”的方法進行討論，且以等比數(shù)列的項為主，探求等比數(shù)列中哪些項是它們的公共項，構成什么樣的新數(shù)列．16.等差數(shù)列和等比數(shù)列比較等差數(shù)列等比數(shù)列定義＝常數(shù)＝常數(shù)通項公式判定方法(1)定義法；(2)中項公式法：?為等差數(shù)列；(3)通項公式法：(為常數(shù),)?為等差數(shù)列；(4)前n項和公式法：(為常數(shù),)?為等差數(shù)列；(5)為等比數(shù)列，且，那么數(shù)列(，且)為等差數(shù)列(1)定義法(2)中項公式法：()?為等比數(shù)列(3)通項公式法：(均是不為0的常數(shù)，)?為等比數(shù)列(4)為等差數(shù)列?(總有意義)為等比數(shù)列性質(1)若，，，，且，則(2)(3)SKIPIF1<0，…仍成等差數(shù)列(1)若，，，，且，則(2)(3)等比數(shù)列依次每項和()，即SKIPIF1<0，…仍成等比數(shù)列前n項和時，；當時，或.17.等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問題解決等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問題，關鍵是理清兩個數(shù)列的關系．如果同一數(shù)列中部分項成等差數(shù)列，部分項成等比數(shù)列，要把成等差數(shù)列或等比數(shù)列的項抽出來單獨研究；如果兩個數(shù)列通過運算綜合在一起，要從分析運算入手，把兩個數(shù)列分割開，弄清兩個數(shù)列各自的特征，再進行求解．考點一利用等比數(shù)列的定義求通項1．（2023·北京·高三專題練習）已知數(shù)列中，，，為其前項和，則（

）A． B． C． D．2．（2023·貴州貴陽·統(tǒng)考模擬預測）已知數(shù)列的首項，且數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列，則________．3．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列中，且，則數(shù)列的通項公式為_____________.4．（2023·全國·模擬預測）已知是各項均為正數(shù)的數(shù)列的前n項和，，.(1)求；(2)若，數(shù)列的前n項和為，求證：.5．（2023·全國·高三對口高考）已知數(shù)列滿足，且對任意的正整數(shù)，，都有，若數(shù)列的前n項和為，則等于（

）A． B．C． D．考點二等比數(shù)列中an與Sn的關系6．（2023·江西贛州·統(tǒng)考二模）已知數(shù)列的前項和為，滿足，，則（

）A．1 B．2 C．4 D．87．（2023·新疆喀什·統(tǒng)考模擬預測）已知等比數(shù)列的前n項和為，且，則（

）A．54 B．93 C．153 D．1628．（2023·全國·高三專題練習）已知正項數(shù)列的前項和為，且，則（

）A． B． C． D．9．（2023·河南開封·開封高中校考模擬預測）已知數(shù)列的前項和，記的前項和為，則數(shù)列中的最大項的值為（

）A． B． C． D．考點三等比數(shù)列基本量的運算10．（2023·廣東珠?！ぶ楹Ｊ械谝恢袑W?？寄M預測）已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，公比，且，則（

）A． B． C． D．11．（2023·重慶沙坪壩·重慶南開中學?？寄M預測）已知等比數(shù)列各項均為正數(shù)，，的前項和為，則（

）A．3 B． C． D．1312．（2023·江西·校聯(lián)考模擬預測）已知等比數(shù)列的前4項和為，，則（

）A． B． C．1 D．213．（2023·河北唐山·開灤第二中學?？寄M預測）已知數(shù)列為等比數(shù)列，且，，則（

）A．30 B． C．40 D．14．（2023·陜西安康·陜西省安康中學校考模擬預測）在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，，則使得成立的n的最小值為（

）A．7 B．8 C．9 D．1015．（2023·浙江·校聯(lián)考二模）設數(shù)列滿足：是的等比中項.(1)求的值；(2)求數(shù)列的前20項的和.16．（2023·陜西安康·陜西省安康中學?？寄M預測）中國古代著作《張丘建算經》有這樣一個問題：“今有馬行轉遲，次日減半疾，七日行七百里”，意思是說有一匹馬行走的速度逐漸減慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了里路，則該馬第五天走的里程數(shù)約為（

）A． B． C． D．17．【多選】（2023·山西大同·統(tǒng)考模擬預測）《莊子·天下》中有：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，其大意為：一根一尺長的木棰每天截取一半，永遠都取不完，設第一天這根木棰截取一半后剩下尺，第二天截取剩下的一半后剩下尺，…，第五天截取剩下的一半后剩下尺，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．18．（2023·全國·模擬預測）山西大同的遼金時代建筑華嚴寺的大雄寶殿共有9間，左右對稱分布，最中間的是明間，寬度最大，然后向兩邊均依次是次間?次間?梢間?盡間.每間寬度從明間開始向左右兩邊均按相同的比例逐步遞減，且明間與相鄰的次間的寬度比為.若設明間的寬度為，則該大殿9間的總寬度為（

）A． B．C． D．考點四等比數(shù)列的證明19．【多選】（2023·遼寧·朝陽市第一高級中學校聯(lián)考三模）已知數(shù)列的前n項和是，則下列說法正確的是（

）A．若，則是等差數(shù)列B．若，，則是等比數(shù)列C．若是等差數(shù)列，則，，成等差數(shù)列D．若是等比數(shù)列，則，，成等比數(shù)列20．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，且（，且），為何值時，數(shù)列是等比數(shù)列.21．（2023·寧夏石嘴山·石嘴山市第三中學?？寄M預測）已知數(shù)列滿足，（）.記(1)求證：是等比數(shù)列；(2)設，求數(shù)列的前項和.22．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，，．證明：數(shù)列是等比數(shù)列；23．（2023·河北·模擬預測）在數(shù)列中，，.(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)記數(shù)列的前項和為，若關于的不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.24．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第六中學校校考三模）已知正項數(shù)列滿足，.(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；(2)設，求數(shù)列的前項和.25．（2023·安徽合肥·合肥一中?？寄M預測）設數(shù)列的前n項和為，已知，，．(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)記，為數(shù)列的前n項和，求．考點五等比數(shù)列的性質及其應用（一）等比中項的應用26．（2023秋·廣東·高三統(tǒng)考學業(yè)考試）在等比數(shù)列中，，則和的等比中項為________．27．（2023·全國·高三專題練習）在等比數(shù)列中，，則與的等比中項是（

）A． B．1 C．2 D．28．（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預測）已知的內角A，B，C所對的邊a，b，c成等比數(shù)列.(1)若，的面積為2，求的周長；(2)求的取值范圍.（二）利用等比數(shù)列的性質計算29．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預測）若數(shù)列為等比數(shù)列，，，則______．30．（2023·安徽安慶·安慶一中?？既＃┰诘缺葦?shù)列中，，則（

）A．4 B．8 C．32 D．6431．（2023·山東聊城·統(tǒng)考三模）若為等比數(shù)列，則“，是方程的兩根”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件32．（2023·江西·校聯(lián)考二模）在正項等比數(shù)列中，與是方程的兩個根，則_________.33．（2023·全國·高三專題練習）在由正數(shù)組成的等比數(shù)列中，若，的為A． B． C． D．34．（2023·全國·高三專題練習）35．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考一模）在等比數(shù)列中，公比，且，則（

）A．3 B．12 C．18 D．2436．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列、均為正項等比數(shù)列，、分別為數(shù)列、的前項積，且，則的值為___________.考點六等比數(shù)列前n項和性質的應用（一）等比數(shù)列的片段和性質的應用37．（2023·貴州畢節(jié)·統(tǒng)考模擬預測）已知等比數(shù)列的前n項和為，若，，，則（

）A．16 B．18 C．21 D．2738．（2023·全國·高三專題練習）設等比數(shù)列的前n項和為，若，，則A．144 B．81 C．45 D．6339．（2023·河北滄州·統(tǒng)考模擬預測）已知等比數(shù)列的前項和為，若，，則______.40．（2023·全國·高三專題練習）等比數(shù)列前n項和為，若，則______.41．（2023·全國·模擬預測）已知正項等比數(shù)列的前n項和為，若，則的最小值為（

）A．6 B． C． D．942．（2023·高三課時練習）已知是正項等比數(shù)列的前n項和，，則的最小值為______．43．（2023·全國·高三專題練習）設正項等比數(shù)列的前項和為，且，則公比__________.（二）等比數(shù)列奇偶項和的性質44．（2023·全國·高三專題練習）已知一個等比數(shù)列首項為，項數(shù)是偶數(shù)，其奇數(shù)項之和為，偶數(shù)項之和為，則這個數(shù)列的項數(shù)為（

）A． B． C． D．45．（2023·全國·高三專題練習）等比數(shù)列的首項為1，項數(shù)是偶數(shù)，所有得奇數(shù)項之和為85，所有的偶數(shù)項之和為170，則這個等比數(shù)列的項數(shù)為（

）A．4 B．6 C．8 D．1046．（2023·全國·高三專題練習）已知等比數(shù)列的公比，且，則___________.47．（2023·全國·高三專題練習）已知等比數(shù)列中，，，，則（

）A．2 B．3 C．4 D．548．（2023·全國·高三專題練習）已知正項等比數(shù)列共有項，它的所有項的和是奇數(shù)項的和的倍，則公比______.49．（2023·全國·高三專題練習）已知等比數(shù)列共有2n項，其和為－240，且奇數(shù)項的和比偶數(shù)項的和大80，則公比________.考點七等比數(shù)列的單調性與最值問題50．（2023·上海閔行·上海市七寶中學?？级＃┮阎獢?shù)列為等比數(shù)列，首項，公比，則下列敘述不正確的是（

）A．數(shù)列的最大項為 B．數(shù)列的最小項為C．數(shù)列為嚴格遞增數(shù)列 D．數(shù)列為嚴格遞增數(shù)列51．（2023·四川自貢·統(tǒng)考三模）等比數(shù)列公比為，若，則“數(shù)列為遞增數(shù)列”是“且”的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分又不必要條件52．（2023·全國·高三專題練習）若等比數(shù)列的公比為，其前項和為，前項積為，并且，則下列正確的是（

）A． B．C．的最大值為 D．的最大值為53．【多選】（2023·江蘇揚州·揚州中學?？寄M預測）設等比數(shù)列的公比為，其前項和為，前項積為，并且滿足條件，則下列結論正確的是（）A． B．C．的最大值為 D．的最大值為54．（2023·全國·高三專題練習）設等比數(shù)列的公比為q，前n項和為，前n項積為，并滿足條件，，則下列結論中不正確的有（

）A．q>1B．C．D．是數(shù)列中的最大項55．（2023·全國·高三專題練習）已知為等比數(shù)列的前n項和，，（c為實數(shù)）．若，則當取最小值時，n＝______．56．（2023·北京海淀·校考三模）已知等比數(shù)列，對任意，，是數(shù)列的前項和，若存在一個常數(shù)，使得，；下列結論中正確的是（

）A．是遞減數(shù)列 B．是遞增數(shù)列C． D．一定存在，當時，考點八等比數(shù)列的實際應用57．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考模擬預測）小明的父母在他入讀初中一年級起的9月1日向銀行教育儲蓄賬戶存入1000元，并且每年在9月1日當天都存入一筆錢，每年比上年多存1000元，即第二年存入2000元，第三年存入3000元，……，連續(xù)存6年，每年到期利息連同本金自動轉存，在小明高中畢業(yè)的當年9月1日當天一次性取出，假設教育儲蓄存款的年利率為p，不考慮利率的變化．在小明高中畢業(yè)的當年9月1日當天，一次性取出的金額總數(shù)（單位：千元）為（

）．A． B．C． D．58．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考模擬預測）某牧場今年初牛的存欄數(shù)為1200，預計以后每年存欄數(shù)的增長率為，且在每年年底賣出100頭牛.設牧場從今年起每年年初的計劃存欄數(shù)依次為數(shù)列，且滿足遞推公式：為數(shù)列的前項和，則__________（答案精確到1）.59．（2023·陜西西安·統(tǒng)考一模）我們可以用下面的方法在線段上構造出一個特殊的點集：如圖，取一條長度為1的線段，第1次操作，將該線段三等分，去掉中間一段，留下兩段；第2次操作，將留下的兩段分別三等分，各去掉中間一段，留下四段；按照這種規(guī)律一直操作下去.若經過次這樣的操作后，去掉的所有線段的長度總和大于，則的最小值為__________.（參考數(shù)據(jù)：）60．（2023春·上海楊浦·高三同濟大學第一附屬中學?？茧A段練習）某地區(qū)森林原有木材存量為，且每年增長率為，因生產建設的需要每年年底要砍伐的木材量為，設為年后該地區(qū)森林木材的存量．(1)求的表達式；(2)如果，為保護生態(tài)環(huán)境，大約經過多少年后，木材存儲量能翻一番？（）61．（2023·全國·高三專題練習）數(shù)學的發(fā)展推動著科技的進步，正是基于線性代數(shù)、群論等數(shù)學知識的極化碼原理的應用，華為的5G技術領先世界．目前某區(qū)域市場中5G智能終端產品的制造由A公司及B公司提供技術支持．據(jù)市場調研預測，5G商用初期，該區(qū)域市場中采用A公司與B公司技術的智能終端產品分別占比及，假設兩家公司的技術更新周期一致，且隨著技術優(yōu)勢的體現(xiàn)每次技術更新后，上一周期采用B公司技術的產品中有20%轉而采用A公司技術，采用A公司技術的僅有5%轉而采用B公司技術，設第n次技術更新后，該區(qū)域市場中采用A公司與B公司技術的智能終端產品占比分別為及，不考慮其它因素的影響．(1)用表示，并求實數(shù)，使是等比數(shù)列；(2)經過若干次技術更新后，該區(qū)域市場采用A公司技術的智能終端產品占比能否達到75%以上？若能，至少需要經過幾次技術更新；若不能，說明理由？（參考數(shù)據(jù)：）考點九等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合問題62．（2023·北京·人大附中校考三模）已知是公比為)的等比數(shù)列，且成等差數(shù)列，則__________．63．（2023·寧夏石嘴山·石嘴山市第三中學?？寄M預測）在遞增等比數(shù)列中，其前項和為，且是和的等差中項，則（

）A．28 B．20 C．18 D．1264．（2023·重慶·校聯(lián)考三模）已知是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，若，，則（

）A． B． C． D．65．（2023·重慶·重慶南開中學?？寄M預測）是公差不為零的等差數(shù)列，前項和為，若，，，成等比數(shù)列，則______.66．（2023·全國·高三專題練習）已知等差數(shù)列的公差為，且，且、、成等比數(shù)列，若，為數(shù)列的前項和．則的最小值為（

）A． B． C． D．67．（2023·河北·校聯(lián)考一模）已知是公差不為0的等差數(shù)列的前n項和，是，的等比中項，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)已知，求數(shù)列的前n項和.68．（2023·全國·高三對口高考）已知數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列，其公比，且，若，，則（

）A． B．C． D．或考點十等比數(shù)列與其他知識的交匯69．（2023·海南·統(tǒng)考模擬預測）在等比數(shù)列中，，函數(shù)，則__________．70．（2023·遼寧丹東·統(tǒng)考二模）等比數(shù)列{an}前6項中的兩項分別為1，2，記事件A：a3<0，事件B：{an}既不是遞增數(shù)列也不是遞減數(shù)列，則____________．71．（2023·全國·高三專題練習）已知雙曲線的焦點為，過的直線與雙曲線的右支交于兩點．若是公比為2的等比數(shù)列，則__________．的離心率為__________．72．（2023·遼寧撫順·校聯(lián)考二模）英國物理學家牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)的零點時，給出的“牛頓數(shù)列”在航空航天中應用廣泛．若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為牛頓數(shù)列．若，數(shù)列為牛頓數(shù)列，且，，數(shù)列的前n項和為，則滿足的最大正整數(shù)n的值為________．考點30等比數(shù)列及其前n項和10種常見考法歸類考點一利用等比數(shù)列的定義求通項考點二等比數(shù)列中an與Sn的關系考點三等比數(shù)列基本量的運算考點四等比數(shù)列的證明考點五等比數(shù)列的性質及其應用（一）等比中項的應用（二）利用等比數(shù)列的性質計算考點六等比數(shù)列前n項和性質的應用（一）等比數(shù)列的片段和性質的應用（二）等比數(shù)列奇偶項和的性質考點七等比數(shù)列的單調性與最值問題考點八等比數(shù)列的實際應用考點九等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合問題考點十等比數(shù)列與其他知識的交匯1.等比數(shù)列的概念(1)等比數(shù)列的定義：一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)，即eq\f(an＋1,an)＝q(n∈N*)，或eq\f(an,an－1)＝q(n∈N*，n≥2).注：(1)定義的符號表示：eq\f(an,an－1)＝q(n∈N*且n≥2)或eq\f(an＋1,an)＝q(n∈N*)；(2)定義強調“從第2項起”，因為第一項沒有前一項；(3)比必須是同一個常數(shù)；(4)等比數(shù)列中任意一項都不能為0；(5)公比可以為正數(shù)、負數(shù)，但不能為0.等比中項：如果在a與b中間插入一個數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項，此時，G2＝ab.注：兩個同號的實數(shù)a，b才有等比中項，而且它們的等比中項有兩個(±eq\r(ab))，而不是一個(eq\r(ab))，這是容易忽視的地方.2.等比中項與等差中項的異同對比項等差中項等比中項定義若a，A，b成等差數(shù)列，則A叫做a與b的等差中項若a，G，b成等比數(shù)列，則G叫做a與b的等比中項定義式A－a＝b－Aeq\f(G,a)＝eq\f(b,G)公式A＝eq\f(a＋b,2)G＝±eq\r(ab)個數(shù)a與b的等差中項唯一a與b的等比中項有兩個，且互為相反數(shù)備注任意兩個數(shù)a與b都有等差中項只有當ab＞0時，a與b才有等比中項3.等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式(1)通項公式：an＝a1qn－1.該式又可以寫成an＝eq\f(a1,q)·qn，這表明q≠1時，an是常數(shù)與指數(shù)函數(shù)(關于n)的乘積.(2)等比數(shù)列的通項公式與指數(shù)型函數(shù)的關系①當q>0且q≠1時，等比數(shù)列{an}的第n項an是指數(shù)型函數(shù)f(x)＝eq\f(a1,q)·qx(x∈R)當x＝n時的函數(shù)值，即an＝f(n)．②任意指數(shù)型函數(shù)f(x)＝kax(k，a是常數(shù)，k≠0，a>0且a≠1)，則f(1)＝ka，f(2)＝ka2，…，f(n)＝kan，…構成一個等比數(shù)列{kan}，其首項為ka，公比為a.注意點：(1)a1>0，q>1時，數(shù)列{an}為正項的遞增等比數(shù)列；(2)a1>0,0<q<1時，數(shù)列{an}為正項的遞減等比數(shù)列；(3)a1<0，q>1時，數(shù)列{an}為負項的遞減等比數(shù)列；(4)a1<0,0<q<1時，數(shù)列{an}為負項的遞增等比數(shù)列；(5)q＝1時，數(shù)列{an}為常數(shù)列；(6)q<0時，數(shù)列{an}為擺動數(shù)列；奇數(shù)項符號相同，偶數(shù)項符號相同．(3)前n項和公式：Sn＝當q≠1時，該式又可以寫成Sn＝eq\f(a1,1－q)－eq\f(a1,1－q)·qn，這表明q≠1時，Sn的圖象是指數(shù)型函數(shù)y＝－Aqx＋Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＝\f(a1,1－q)))圖象上一群孤立的點.注：①等比數(shù)列的前項和公式有兩種形式，在求等比數(shù)列的前項和時，首先要判斷公比是否為1，再由的情況選擇相應的求和公式，當不能判斷公比是否為1時，要分與兩種情況討論求解．②已知（項數(shù)），則利用求解；已知，則利用求解．(4)等比數(shù)列前n項和公式的函數(shù)特征當公比q≠1時，設A＝eq\f(a1,q－1)，等比數(shù)列的前n項和公式是Sn＝A(qn－1).即Sn是n的指數(shù)型函數(shù).（Sn＝eq\f(a1－a1qn,1－q)＝－eq\f(a1,1－q)qn＋eq\f(a1,1－q)，設A＝－eq\f(a1,1－q)，則Sn＝Aqn－A.且系數(shù)與常數(shù)互為相反數(shù)．）當公比q＝1時，因為a1≠0，所以Sn＝na1，Sn是n的正比例函數(shù).4.等比數(shù)列基本量運算的解題策略（1）等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式共涉及五個量，已知其中三個就能求另外兩個(簡稱“知三求二”)，通過列方程(組)便可迎刃而解；（2）運用方程思想解答等比數(shù)列的基本運算問題是高考常見題型，要抓住基本量、，掌握好設未知數(shù)、列出方程、解方程三個環(huán)節(jié)，常通過“設而不求，整體代入”來簡化運算．(3)對于基本量的計算，列方程組求解是基本方法，通常用約分或兩式相除的方法進行消元，有時會用到整體代換，如qn，eq\f(a1,1－q)都可看作一個整體．(4)等比數(shù)列的前n項和公式涉及對公比q的分類討論，首先要對公比q＝1或q≠1進行判斷，若兩種情況都有可能，則要分類討論．當q＝1時，{an}的前n項和Sn＝na1；當q≠1時，{an}的前n項和Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)＝eq\f(a1－anq,1－q)，當q>1時，用公式Sn＝eq\f(a1,q－1)(qn－1)代入計算，當q<1時，用公式Sn＝eq\f(a1,1－q)(1－qn)代入計算，可避免出現(xiàn)符號錯誤．（5）特殊設法:三個數(shù)成等比數(shù)列，一般設為；四個數(shù)成等比數(shù)列，一般設為.這對已知幾數(shù)之積,求數(shù)列各項,運算很方便.5.由Sn求通項公式an的步驟(1)令n＝1，則a1＝S1，求得a1.(2)令n≥2，則an＝Sn－Sn－1.(3)驗證a1與an的關系：①若a1適合an，則an＝Sn－Sn－1，②若a1不適合an，則an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))6.等比數(shù)列的證明方法定義法若eq\f(an＋1,an)＝q(q為非零常數(shù)，n∈N*)或eq\f(an,an－1)＝q(q為非零常數(shù)且n≥2，n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列中項公式法若數(shù)列{an}中，an≠0且aeq\o\al(2,n＋1)＝an·an＋2(n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列通項公式法若數(shù)列{an}的通項公式可寫成an＝c·qn－1(c，q均為非零常數(shù)，n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列前n項和公式法若數(shù)列{an}的前n項和Sn＝k·qn－k(k為非零常數(shù)，q≠0,1)，則{an}是等比數(shù)列7.等比數(shù)列的性質(1)與項有關的性質①在等比數(shù)列{an}中，an＝amqn－m(n，m∈N*).②在等比數(shù)列{an}中，若m＋n＝p＋q＝2k，m，n，p，q，k∈N*，則aman＝apaq＝aeq\o\al(2,k).③在公比為q的等比數(shù)列{an}中，取出項數(shù)成等差數(shù)列的項ak，ak＋d，ak＋2d，…，仍可組成一個等比數(shù)列，公比是qd.注：若m，p，n成等差數(shù)列，則am，ap，an成等比數(shù)列．④m個等比數(shù)列，由它們的各對應項之積組成一個新數(shù)列，仍然是等比數(shù)列，公比是原來每個等比數(shù)列對應的公比之積.⑤若{an}，{bn}均為等比數(shù)列，公比分別為q1，q2，則{kan}(k≠0)仍為等比數(shù)列，且公比為q1；{anbn}仍為等比數(shù)列，且公比為q1q2；eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,bn)))仍為等比數(shù)列，且公比為eq\f(q1,q2).注：若{an}，{bn}(項數(shù)相同)是等比數(shù)列，則{λan}(λ≠0)，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))，，{aeq\o\al(2,n)}，{an·bn}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,bn)))仍是等比數(shù)列．⑥當{an}是公比為q(q>0)的正項等比數(shù)列時，數(shù)列{lgan}是等差數(shù)列，首項為lga1，公差為lgq.⑦公比不為1的等比數(shù)列，其相鄰兩項的差也依次成等比數(shù)列，且公比不變，即，，，…成等比數(shù)列，且公比為(2)與和有關的性質①等比數(shù)列連續(xù)k項的和仍為等比數(shù)列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…，仍為等比數(shù)列，且公比為qk(q≠－1，或q＝－1且k為奇數(shù)).注：等比數(shù)列片段和性質的成立是有條件的，即Sn≠0.②{an}為等比數(shù)列，若a1·a2·…·an＝Tn，則Tn，eq\f(T2n,Tn)，eq\f(T3n,T2n)，…成等比數(shù)列．③若{an}是公比為q的等比數(shù)列，S偶，S奇分別是數(shù)列的偶數(shù)項和與奇數(shù)項和，則：ⅰ在其前2n項中，eq\f(S偶,S奇)＝q；ⅱ在其前2n＋1項中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝eq\f(a1＋a2n＋1q,1－－q)＝eq\f(a1＋a2n＋2,1＋q)(q≠－1).S奇＝a1＋qS偶．④在等比數(shù)列中，當qm≠1時，eq\f(Sn,Sm)＝eq\f(1－qn,1－qm)，n，m∈N*.⑤在等比數(shù)列中，Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N*)?qn＝eq\f(Sn＋m－Sn,Sm)(q為公比)8.其他衍生等比數(shù)列若已知等比數(shù)列，公比為，前項和為，則：①等間距抽取為等比數(shù)列，公比為．②等長度截取為等比數(shù)列，公比為（當時，不為偶數(shù)）．9.等比數(shù)列項的性質應用（1）等比數(shù)列的性質多與其下標有關，故應用等比數(shù)列的性質解答問題的關鍵是尋找項的序號之間的關系．（2）應用等比數(shù)列的性質要注意結合其通項公式、前項和公式．（3）在解決等比數(shù)列的有關問題時，要注意挖掘隱含條件，利用性質，特別是性質“若m＋n＝p＋q，則am·an＝ap·aq”，可以減少運算量，提高解題速度．(4)在應用相應性質解題時，要注意性質成立的前提條件，有時需要進行適當變形．此外，解題時注意設而不求思想的運用．10.處理等比數(shù)列前n項和有關問題的常用方法(1)充分利用Sm＋n＝Sm＋qmSn和Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…(n為偶數(shù)且q＝－1除外)仍成等比數(shù)列這一重要性質，能有效減少運算．(2)運用等比數(shù)列的前n項和公式，要注意公比q＝1和q≠1兩種情形，在解有關的方程(組)時，通常用約分或兩式相除的方法進行消元．11.處理等比數(shù)列奇偶項和有關問題的常用方法等比數(shù)列{an}共有2n項，要抓住eq\f(S偶,S奇)＝q和S偶＋S奇＝S2n這一隱含特點；若等比數(shù)列{an}共有2n＋1項，要抓住S奇＝a1＋qS偶和S偶＋S奇＝S2n＋1這一隱含特點．要注意公比q＝1和q≠1兩種情形，在解有關的方程(組)時，通常用約分或兩式相除的方法進行消元．12.判斷等比數(shù)列的單調性的方法(1)當a1>0，q>1或a1＜0，0<q<1時，等比數(shù)列{an}是遞增數(shù)列；(2)當a1>0，0<q<1或a1＜0，q>1時，等比數(shù)列{an}是遞減數(shù)列；(3)當q＝1時，它是一個常數(shù)列；(4)當q<0時，它是一個擺動數(shù)列.注：在運用函數(shù)判斷數(shù)列的單調性時，要注意函數(shù)的自變量為連續(xù)的，數(shù)列的自變量為不連續(xù)的，所以函數(shù)性質不能夠完全等同于數(shù)列的性質．有些數(shù)列會出現(xiàn)前后幾項的大小不一，從某一項開始才符合遞增或遞減的特征，這時前幾項中每一項都必須研究．13.等比數(shù)列最值有關問題的解題思路求解此類問題的常用思路是根據(jù)題目所給條件建立關于變量n的函數(shù)關系進行求解．有時也注意基本不等式的應用．14.等比數(shù)列的實際應用(1)解應用問題的核心是建立數(shù)學模型．(2)一般步驟：審題、抓住數(shù)量關系、建立數(shù)學模型．(3)注意問題是求什么(n，an，Sn)．注：(1)解答數(shù)列應用題要注意步驟的規(guī)范性：設數(shù)列，判斷數(shù)列，解題完畢要作答．(2)在歸納或求通項公式時，一定要將項數(shù)n計算準確．(3)在數(shù)列類型不易分辨時，要注意歸納遞推關系．(4)在近似計算時，要注意應用對數(shù)方法，且要看清題中對近似程度的要求．15.等差數(shù)列與等比數(shù)列的區(qū)分與聯(lián)系(1)如果數(shù)列成等差數(shù)列，那么數(shù)列(總有意義)必成等比數(shù)列．(2)如果數(shù)列成等比數(shù)列，且，那么數(shù)列(，且)必成等差數(shù)列．(3)如果數(shù)列既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列，那么數(shù)列是非零常數(shù)數(shù)列．數(shù)列是常數(shù)數(shù)列僅是數(shù)列既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列的必要非充分條件．(4)如果由一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列的公共項順次組成新數(shù)列，那么常選用“由特殊到一般”的方法進行討論，且以等比數(shù)列的項為主，探求等比數(shù)列中哪些項是它們的公共項，構成什么樣的新數(shù)列．16.等差數(shù)列和等比數(shù)列比較等差數(shù)列等比數(shù)列定義＝常數(shù)＝常數(shù)通項公式判定方法(1)定義法；(2)中項公式法：?為等差數(shù)列；(3)通項公式法：(為常數(shù),)?為等差數(shù)列；(4)前n項和公式法：(為常數(shù),)?為等差數(shù)列；(5)為等比數(shù)列，且，那么數(shù)列(，且)為等差數(shù)列(1)定義法(2)中項公式法：()?為等比數(shù)列(3)通項公式法：(均是不為0的常數(shù)，)?為等比數(shù)列(4)為等差數(shù)列?(總有意義)為等比數(shù)列性質(1)若，，，，且，則(2)(3)SKIPIF1<0，…仍成等差數(shù)列(1)若，，，，且，則(2)(3)等比數(shù)列依次每項和()，即SKIPIF1<0，…仍成等比數(shù)列前n項和時，；當時，或.17.等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問題解決等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問題，關鍵是理清兩個數(shù)列的關系．如果同一數(shù)列中部分項成等差數(shù)列，部分項成等比數(shù)列，要把成等差數(shù)列或等比數(shù)列的項抽出來單獨研究；如果兩個數(shù)列通過運算綜合在一起，要從分析運算入手，把兩個數(shù)列分割開，弄清兩個數(shù)列各自的特征，再進行求解．考點一利用等比數(shù)列的定義求通項1．（2023·北京·高三專題練習）已知數(shù)列中，，，為其前項和，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知得到，判定該數(shù)列為等比數(shù)列，進而利用求和公式計算.【詳解】由得，又∵，∴數(shù)列為首項為1，公比為的等比數(shù)列，∴，故選：B.2．（2023·貴州貴陽·統(tǒng)考模擬預測）已知數(shù)列的首項，且數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列，則________．【答案】【分析】分析可知數(shù)列是等比數(shù)列，確定該數(shù)列的首項和公比，即可得出的值.【詳解】因為數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列，則，所以，，所以，數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，因此，.故答案為：.3．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列中，且，則數(shù)列的通項公式為_____________.【答案】【分析】根據(jù)題意,可得，令，則，再結合等比數(shù)列的定義求解即可.【詳解】∵，等式兩側同除，可得，令，則，∴，又，∴是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，∴，即，∴，即.故答案為：.4．（2023·全國·模擬預測）已知是各項均為正數(shù)的數(shù)列的前n項和，，.(1)求；(2)若，數(shù)列的前n項和為，求證：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意分析可得，結合等比數(shù)列分析運算即可；（2）由（1）可得，利用裂項相消法分析運算.【詳解】（1）∵，則，且，即，可得，即，∴數(shù)列是公比為5的等比數(shù)列，又∵，解得，故.（2）由（1）可得：，則，∴.5．（2023·全國·高三對口高考）已知數(shù)列滿足，且對任意的正整數(shù)，，都有，若數(shù)列的前n項和為，則等于（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由，令得出遞推關系，判斷出數(shù)列為等比數(shù)列，再根據(jù)等比數(shù)列前項和的公式，代入計算即可．【詳解】令，則，所以數(shù)列是以公比，首項為的等比數(shù)列，所以，故選：C．考點二等比數(shù)列中an與Sn的關系6．（2023·江西贛州·統(tǒng)考二模）已知數(shù)列的前項和為，滿足，，則（

）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】C【分析】根據(jù)前n項和與通項之間的關系分析可得數(shù)列是以首項，公比的等比數(shù)列，結合等比數(shù)列運算求解.【詳解】因為，則，整理得，且，所以數(shù)列是以首項，公比的等比數(shù)列，則，所以.故選：C.7．（2023·新疆喀什·統(tǒng)考模擬預測）已知等比數(shù)列的前n項和為，且，則（

）A．54 B．93 C．153 D．162【答案】D【分析】先求出，根據(jù)與的關系得出當時，．又根據(jù)等比數(shù)列，可知.列出方程，即可求出的值，再利用通項公式求.【詳解】當時，則.當時，．又因為是等比數(shù)列，所以，所以，解得：，所以，所以．故選：D.8．（2023·全國·高三專題練習）已知正項數(shù)列的前項和為，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】將化簡為，再利用和與項的關系可得，從而確定數(shù)列從第二項起，構成以為首項，公比的等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的前項和公式即可求解.【詳解】因為，所以，即，所以，因為數(shù)列的各項都是正項，即，所以，即，所以當時，，所以數(shù)列從第二項起，構成以為首項，公比的等比數(shù)列.所以.故選：C9．（2023·河南開封·開封高中校考模擬預測）已知數(shù)列的前項和，記的前項和為，則數(shù)列中的最大項的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題知數(shù)列為等比數(shù)列，公比為，首項為，進而得，再分為奇數(shù)與偶數(shù)討論最值即可得答案.【詳解】解：因為數(shù)列的前項和所以，當時，，解得，當時，，即，所以，數(shù)列為等比數(shù)列，公比為，首項為，所以，，所以，由等比數(shù)列性質，也為等比數(shù)列，公比為，首項為，所以，的前項和，所以，當為奇數(shù)時，隨著的增大而增大，故，因為函數(shù)在上單調遞增，為增數(shù)列，所以，當為偶數(shù)時，隨著的增大而增小，故，因為函數(shù)在上單調遞增，為增數(shù)列，所以，綜上，對于，，即數(shù)列中的最大項的值為.故選：A考點三等比數(shù)列基本量的運算10．（2023·廣東珠?！ぶ楹Ｊ械谝恢袑W校考模擬預測）已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，公比，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意列出方程求得，結合等比數(shù)列的通項公式，即可求解.【詳解】由，可得，解得，又由，所以，所以.故選：B.11．（2023·重慶沙坪壩·重慶南開中學?？寄M預測）已知等比數(shù)列各項均為正數(shù)，，的前項和為，則（

）A．3 B． C． D．13【答案】B【分析】根據(jù)題意，由條件列出方程求得等比數(shù)列的公比，然后將化為，然后代入計算，即可得到結果.【詳解】設等比數(shù)列的公比為，且數(shù)列的各項為正數(shù)，則，因為，即，所以，解得或（舍），則.故選：B12．（2023·江西·校聯(lián)考模擬預測）已知等比數(shù)列的前4項和為，，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】A【分析】設等比數(shù)列的公比為，討論不成立，時，由等比數(shù)列的通項公式和前項和公式列方程求解即可得出答案.【詳解】設等比數(shù)列的公比為，若，則，與題意矛盾；所以，則，解得，所以．故選：A．13．（2023·河北唐山·開灤第二中學?？寄M預測）已知數(shù)列為等比數(shù)列，且，，則（

）A．30 B． C．40 D．【答案】C【分析】利用條件，求出數(shù)列的第4項和第8項，進而可求出數(shù)列的公比，從而求出，再利用即可求出結果.【詳解】令，設數(shù)列的公比為，因為，，所以，，又，所以，得到，所以，所以.故選：C.14．（2023·陜西安康·陜西省安康中學?？寄M預測）在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，，則使得成立的n的最小值為（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項公式，列方程求解.【詳解】由得，所以，或（舍去），由，得，所以，由，得，所以，即n的最小值為9；故選：C.15．（2023·浙江·校聯(lián)考二模）設數(shù)列滿足：是的等比中項.(1)求的值；(2)求數(shù)列的前20項的和.【答案】(1)1；(2)6108.【分析】（1）由已知求得，然后由等比中項定義求解；（2）由已知式得出奇數(shù)項加2后成等比數(shù)列，而偶數(shù)項等于它前面的奇數(shù)項加1，因此結合分組求和法、等比數(shù)列的前項和公式求解．【詳解】（1）由已知，，又是的比例中項，所以，即，顯然且，故解得；（2）是奇數(shù)時，，，，而，所以數(shù)列是等比數(shù)列，．16．（2023·陜西安康·陜西省安康中學?？寄M預測）中國古代著作《張丘建算經》有這樣一個問題：“今有馬行轉遲，次日減半疾，七日行七百里”，意思是說有一匹馬行走的速度逐漸減慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了里路，則該馬第五天走的里程數(shù)約為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設該馬第天行走的里程數(shù)為，分析可知，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的求和公式求出的值，即可求得的值.【詳解】設該馬第天行走的里程數(shù)為，由題意可知，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，所以，該馬七天所走的里程為，解得.故該馬第五天行走的里程數(shù)為.故選：D.17．【多選】（2023·山西大同·統(tǒng)考模擬預測）《莊子·天下》中有：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，其大意為：一根一尺長的木棰每天截取一半，永遠都取不完，設第一天這根木棰截取一半后剩下尺，第二天截取剩下的一半后剩下尺，…，第五天截取剩下的一半后剩下尺，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】由已知可得，逐個驗證選項即可.【詳解】根據(jù)題意可得是首項為，公比為的等差數(shù)列，則，，故A錯誤；，故B正確；，，則，故C正確；，故D正確．故選：BCD．18．（2023·全國·模擬預測）山西大同的遼金時代建筑華嚴寺的大雄寶殿共有9間，左右對稱分布，最中間的是明間，寬度最大，然后向兩邊均依次是次間?次間?梢間?盡間.每間寬度從明間開始向左右兩邊均按相同的比例逐步遞減，且明間與相鄰的次間的寬度比為.若設明間的寬度為，則該大殿9間的總寬度為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由題意把9間的寬度轉化為兩個等比數(shù)列的和,應用等比數(shù)列前項和公式計算即可.【詳解】由題意,設明間的寬度為等比數(shù)列的首項,從明間向右共5間,寬度成等比數(shù)列,公比為,同理從明間向左共5間,寬度成等比數(shù)列,公比為,則由可得所以總寬度為故選:考點四等比數(shù)列的證明19．【多選】（2023·遼寧·朝陽市第一高級中學校聯(lián)考三模）已知數(shù)列的前n項和是，則下列說法正確的是（

）A．若，則是等差數(shù)列B．若，，則是等比數(shù)列C．若是等差數(shù)列，則，，成等差數(shù)列D．若是等比數(shù)列，則，，成等比數(shù)列【答案】ABC【分析】求出通項公式判斷AB；利用數(shù)列前n項和的意義、結合等差數(shù)列推理判斷C；舉例說明判斷D作答.【詳解】對于A，，時，，解得，因此，，是等差數(shù)列，A正確；對于B，，，則，而，是等比數(shù)列，B正確；對于C，設等差數(shù)列的公差為，首項是，，，因此，則，成等差數(shù)列，C正確；對于D，若等比數(shù)列的公比，則不成等比數(shù)列，D錯誤.故選：ABC20．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，且（，且），為何值時，數(shù)列是等比數(shù)列.【答案】【分析】由等比數(shù)列的定義可得出（為非零常數(shù)），根據(jù)已知條件可得出關于、的方程組，即可解得的值.【詳解】解：若數(shù)列是等比數(shù)列，則（為非零常數(shù)），且，即，對于任意恒成立，則，解得，故當時，數(shù)列是等比數(shù)列.21．（2023·寧夏石嘴山·石嘴山市第三中學?？寄M預測）已知數(shù)列滿足，（）.記(1)求證：是等比數(shù)列；(2)設，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由等比數(shù)列定義證明即可；（2）使用錯位相減法求和即可.【詳解】（1）由已知，∵，∴，∵，∴，又∵，∴，∴易知數(shù)列中任意一項不為，∴，∴數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列.（2）由第（1）問，，∴，∴設數(shù)列的前項和為，則①，①得，②，①②得，，∴，∴.∴數(shù)列的前項和為.22．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，，．證明：數(shù)列是等比數(shù)列；【答案】證明見解析【分析】由可得，即可證明結論.【詳解】由得：，又，數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列.23．（2023·河北·模擬預測）在數(shù)列中，，.(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)記數(shù)列的前項和為，若關于的不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)證明見詳解(2)【分析】（1）根據(jù)題意結合等比數(shù)列定義分析證明；（2）由（1）可得，利用錯位相減法可得，進而根據(jù)恒成立問題結合數(shù)列單調性分析運算.【詳解】（1）由題意可得：，當時，可得，則，所以數(shù)列是以首項為，公比為的等比數(shù)列.（2）由（1）可得：，則，可得，則，兩式相減得：，所以，因為，則，原題意等價于關于的不等式恒成立，可得，構建，令，則，解得或3，則，即當或時，取到最大值，可得，所以實數(shù)的取值范圍.24．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第六中學校校考三模）已知正項數(shù)列滿足，.(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；(2)設，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)證明見解析；(2)【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的定義可證等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的通項公式可得;（2）根據(jù)裂項求和法可求出結果.【詳解】（1）因為，，所以，，所以，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，所以.（2）,所以.25．（2023·安徽合肥·合肥一中校考模擬預測）設數(shù)列的前n項和為，已知，，．(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)記，為數(shù)列的前n項和，求．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由得出，再計算，將代入，即可證明；（2）由（1）得，得出為公比為的等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的通項公式得出，代入，再裂項得，即可求得數(shù)列的前n項和．【詳解】（1）因為，所以，即所以（為常數(shù)），所以數(shù)列是等差數(shù)列．（2）由（1）知，即.所以，所以為公比為的等比數(shù)列，又，所以，因為，所以，所以數(shù)列的前項和為：．考點五等比數(shù)列的性質及其應用（一）等比中項的應用26．（2023秋·廣東·高三統(tǒng)考學業(yè)考試）在等比數(shù)列中，，則和的等比中項為________．【答案】【分析】根據(jù)等比中項的知識求得正確答案.【詳解】設與的等比中項為，因為，所以，所以.故答案為：27．（2023·全國·高三專題練習）在等比數(shù)列中，，則與的等比中項是（

）A． B．1 C．2 D．【答案】D【分析】通過等比數(shù)列的通項公式計算，進而可得答案.【詳解】因為，所以與的等比中項是，故選：D.28．（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預測）已知的內角A，B，C所對的邊a，b，c成等比數(shù)列.(1)若，的面積為2，求的周長；(2)求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用等比中項公式與三角形面積公式求得，再利用余弦定理與完全平方公式求得，從而得解；（2）結合題意，先化簡所求得求公式q的取值范圍即可，利用三角形兩邊之和大于第三邊得到關于q的不等式組，從而得解.【詳解】（1）因為a，b，c成等比數(shù)列，則，又，，所以，所以的面積為，故，則，由余弦定理，即，則，所以，故的周長為.（2）設a，b，c的公比為q，則，，而，因此，只需求的取值范圍即可.因a，b，c成等比數(shù)列，最大邊只能是a或c，因此a，b，c要構成三角形的三邊，必需且只需且.故有不等式組，即，解得，從而，因此所求范圍為.（二）利用等比數(shù)列的性質計算29．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預測）若數(shù)列為等比數(shù)列，，，則______．【答案】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質,得，再通過分析可得.【詳解】解:根據(jù)等比數(shù)列的性質得，，所以，又，所以，所以所以,故答案為：.30．（2023·安徽安慶·安慶一中?？既＃┰诘缺葦?shù)列中，，則（

）A．4 B．8 C．32 D．64【答案】D【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質求解即可.【詳解】由可得，又，故，則，解得，即.故選：D31．（2023·山東聊城·統(tǒng)考三模）若為等比數(shù)列，則“，是方程的兩根”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)題意，由等比數(shù)列的性質，分別驗證充分性以及必要性即可得到結果.【詳解】設等比數(shù)列的公比為，因為，是方程的兩根，所以，，所以，又因為，則，又因為，所以，即充分性成立；反之，當時，不成立，則，不是方程的兩根，即必要性不成立；所以“，是方程的兩根”是“”的充分不必要條件.故選：A32．（2023·江西·校聯(lián)考二模）在正項等比數(shù)列中，與是方程的兩個根，則_________.【答案】5【分析】利用韋達定理，可得，再根據(jù)對數(shù)的運算法則和等比數(shù)列性質求解即可.【詳解】因為與是方程的兩個根，所以，因為為正項等比數(shù)列，所以，所以，故答案為：5.33．（2023·全國·高三專題練習）在由正數(shù)組成的等比數(shù)列中，若，的為A． B． C． D．【答案】A【詳解】在等比數(shù)列{an}中，由，得則故選A.34．（2023·全國·高三專題練習）已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的前n項和為，，，則的值為（

）A．30 B．10 C．9 D．6【答案】B【分析】根據(jù)等比中項可得，對根據(jù)等比數(shù)列的定義和通項公式可得，運算求解即可得答案.【詳解】為正數(shù)的等比數(shù)列，則，可得，∵，∴，又∵，則，可得，∴，解得，故.故選：B.35．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考一模）在等比數(shù)列中，公比，且，則（

）A．3 B．12 C．18 D．24【答案】B【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質即可求解.【詳解】，.故選:B.36．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列、均為正項等比數(shù)列，、分別為數(shù)列、的前項積，且，則的值為___________.【答案】【解析】推導出數(shù)列、為等差數(shù)列，由此可得出，即可得解.【詳解】設等比數(shù)列的公比為，則（常數(shù)），所以，數(shù)列為等差數(shù)列，同理可知，數(shù)列也為等差數(shù)列，因為，同理可得，因此，.故答案為：.【點睛】結論點睛：已知等差數(shù)列、的前項和分別為、，則.考點六等比數(shù)列前n項和性質的應用（一）等比數(shù)列的片段和性質的應用37．（2023·貴州畢節(jié)·統(tǒng)考模擬預測）已知等比數(shù)列的前n項和為，若，，，則（

）A．16 B．18 C．21 D．27【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，結合數(shù)列前n項和的意義及等比數(shù)列通項公式求出即可求解作答.【詳解】令等比數(shù)列的公比為，，即有，解得，所以.故選：C38．（2023·全國·高三專題練習）設等比數(shù)列的前n項和為，若，，則A．144 B．81 C．45 D．63【答案】B【分析】根據(jù)等比數(shù)列性質，得到關于，，的新等比數(shù)列，求解出公比后，求出的值即可．【詳解】由等比數(shù)列性質可知：，，，……成等比數(shù)列，設公比為由題意得：

本題正確選項：【點睛】解決本題的關鍵在于根據(jù)等比數(shù)列的性質得到：依然成等比數(shù)列，從而快速求解此題．本題也可以利用等比數(shù)列的基本項和來進行求解，但計算量較大．39．（2023·河北滄州·統(tǒng)考模擬預測）已知等比數(shù)列的前項和為，若，，則______.【答案】510【分析】利用等比數(shù)列的性質：，，，…構成等比數(shù)列，再利用條件即可求出結果.【詳解】因為數(shù)列為等比數(shù)列，由等比數(shù)列的性質知，，，，…，，…構成首項為，公比為的等比數(shù)列，且是該等比數(shù)列的前8項和，所以.故答案為：510.40．（2023·全國·高三專題練習）等比數(shù)列前n項和為，若，則______.【答案】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質得到成等比，從而列出關系式，又，接著用表示，代入到關系式中，可求出的值.【詳解】因為等比數(shù)列的前n項和為，則成等比，且，所以，又因為，即，所以，整理得.故答案為：.【點睛】本題考查學生靈活運用等比數(shù)列的性質化簡求值，是一道基礎題。解決本題的關鍵是根據(jù)等比數(shù)列的性質得到成等比.41．（2023·全國·模擬預測）已知正項等比數(shù)列的前n項和為，若，則的最小值為（

）A．6 B． C． D．9【答案】B【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質得到，之間的關系，利用基本不等式求最小值.【詳解】設數(shù)列的公比為，若，則由題意知，，成等比數(shù)列，則，又，所以，所以，當且僅當，即時取等號，即，時等號成立，則的最小值為.當時，由，可得，所以，故的最小值為.故選：B.42．（2023·高三課時練習）已知是正項等比數(shù)列的前n項和，，則的最小值為______．【答案】【分析】當時，；當時，可推出，，代入整理可得.即可得出答案.【詳解】解：設公比為.當時，，則，此時有；當時，因為，，，所以，，所以，，所以，當時，有最小值為.綜上所述，的最小值為.故答案為：.43．（2023·全國·高三專題練習）設正項等比數(shù)列的前項和為，且，則公比__________.【答案】/【分析】利用變形求得，利用等比數(shù)列的性質可以得到，結合等比數(shù)列{an}為正項數(shù)列，進而求出公比?！驹斀狻坑桑?又正項等比數(shù)列的前項和為，故，∴，∵數(shù)列{an}是等比數(shù)列，∴故，解得：因為等比數(shù)列{an}為正項數(shù)列，所以，故故答案為：（二）等比數(shù)列奇偶項和的性質44．（2023·全國·高三專題練習）已知一個等比數(shù)列首項為，項數(shù)是偶數(shù)，其奇數(shù)項之和為，偶數(shù)項之和為，則這個數(shù)列的項數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設這個等比數(shù)列共有項，公比為，利用偶數(shù)項之和與奇數(shù)項之和的比值求得的值，再利用等比數(shù)列的求和公式可求得的值，由此可得出該數(shù)列的項數(shù).【詳解】設這個等比數(shù)列共有項，公比為，則奇數(shù)項之和為，偶數(shù)項之和為，，等比數(shù)列的所有項之和為，則，解得，因此，這個等比數(shù)列的項數(shù)為.故選：C.【點睛】本題考查等比數(shù)列的求和公式求項數(shù)，同時也涉及了等比數(shù)列奇數(shù)項和偶數(shù)項之和的性質的應用，考查計算能力，屬于中等題.45．（2023·全國·高三專題練習）等比數(shù)列的首項為1，項數(shù)是偶數(shù)，所有得奇數(shù)項之和為85，所有的偶數(shù)項之和為170，則這個等比數(shù)列的項數(shù)為（

）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【詳解】設等比數(shù)列項數(shù)為2n項,所有奇數(shù)項之和為,所有偶數(shù)項之和為，則,所以，結合等比數(shù)列求和公式有：，解得n=4，即這個等比數(shù)列的項數(shù)為8.本題選擇C選項.46．（2023·全國·高三專題練習）已知等比數(shù)列的公比，且，則___________.【答案】120【分析】在等比數(shù)列中，若項數(shù)為，則，結合所求，化簡計算，即可得答案.【詳解】因為在等比數(shù)列中，若項數(shù)為，則，所以.故答案為：12047．（2023·全國·高三專題練習）已知等比數(shù)列中，，，，則（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】本題首先可設公比為，然后根據(jù)得出，再然后根據(jù)求出，最后根據(jù)等比數(shù)列前項和公式即可得出結果.【詳解】設等比數(shù)列的公比為，則，即，因為，所以，則，即，解得，故選：B.【點睛】關鍵點點睛：本題考查根據(jù)等比數(shù)列前項和求參數(shù)，能否根據(jù)等比數(shù)列項與項之間的關系求出公比是解決本題的關鍵，考查計算能力，是中檔題.48．（2023·全國·高三專題練習）已知正項等比數(shù)列共有項，它的所有項的和是奇數(shù)項的和的倍，則公比______.【答案】【分析】利用以及已知條件可求得的值.【詳解】設等比數(shù)列的奇數(shù)項之和為，偶數(shù)項之和為，則，由，得，因為，所以，所以，.故答案為：.49．（2023·全國·高三專題練習）已知等比數(shù)列共有2n項，其和為－240，且奇數(shù)項的和比偶數(shù)項的和大80，則公比________.【答案】2【分析】設奇數(shù)項的和為,偶數(shù)項的和為,再根據(jù)題意利用等比數(shù)列性質求解即可.【詳解】由題意,設奇數(shù)項的和為,偶數(shù)項的和為,得故公比故答案為2【點睛】本題主要考查等比數(shù)列的性質,利用前2n項的和中,偶數(shù)項的和除以奇數(shù)項的和等于公比進行計算即可.屬于基礎題型.考點七等比數(shù)列的單調性與最值問題50．（2023·上海閔行·上海市七寶中學?？级＃┮阎獢?shù)列為等比數(shù)列，首項，公比，則下列敘述不正確的是（

）A．數(shù)列的最大項為 B．數(shù)列的最小項為C．數(shù)列為嚴格遞增數(shù)列 D．數(shù)列為嚴格遞增數(shù)列【答案】D【分析】分別在為偶數(shù)和為奇數(shù)的情況下，根據(jù)項的正負和的正負得到最大項和最小項，知AB正誤；利用和可知CD正誤.【詳解】對于A，由題意知：當為偶數(shù)時，；當為奇數(shù)時，，，最大；綜上所述：數(shù)列的最大項為，A正確；對于B，當為偶數(shù)時，，，最??；當為奇數(shù)時，；綜上所述：數(shù)列的最小項為，B正確；對于C，，，，，，，數(shù)列為遞增數(shù)列，C正確；對于D，，，；，，，又，，數(shù)列為遞減數(shù)列，D錯誤.故選：D.51．（2023·四川自貢·統(tǒng)考三模）等比數(shù)列公比為，若，則“數(shù)列為遞增數(shù)列”是“且”的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分又不必要條件【答案】B【分析】由等比數(shù)列及已知，要為遞增數(shù)列只需在上恒成立，討論、、，結合的符號，再根據(jù)充分必要性的定義即可得答案.【詳解】由題設且，要為遞增數(shù)列，只需在上恒成立，當，不論取何值，總存在，不滿足要求；當，，則，不滿足要求；，總存在，不滿足要求；當，，則，不滿足；，若，，顯然，即，不滿足；，則在上恒成立，滿足.所以為遞增數(shù)列有且.所以，“數(shù)列為遞增數(shù)列”是“且”的充分不必要條件.故選：B.52．（2023·全國·高三專題練習）若等比數(shù)列的公比為，其前項和為，前項積為，并且，則下列正確的是（

）A． B．C．的最大值為 D．的最大值為【答案】D【分析】根據(jù)等比數(shù)列定義以及可得且，即AB均錯誤，再由等比數(shù)列前項和的函數(shù)性質可知無最大值，由前項積定義解不等式可知的最大值為.【詳解】由可知公比，所以A錯誤；又，且可得，即B錯誤；由等比數(shù)列前項和公式可知，由指數(shù)函數(shù)性質可得為單調遞增，即無最大值，所以C錯誤；設為數(shù)列前項積的最大值，則需滿足，可得，又可得，即的最大值為，所以D正確.故選：D53．【多選】（2023·江蘇揚州·揚州中學?？寄M預測）設等比數(shù)列的公比為，其前項和為，前項積為，并且滿足條件，則下列結論正確的是（）A． B．C．的最大值為 D．的最大值為【答案】BD【分析】根據(jù)給定的條件分析公比q的符號和大小，再逐項分析.【詳解】由題意，同號，即與同號，，又有…①或…②