2023-2024學(xué)年上海市浦東新區(qū)華東師大二附中高一（上）月考數(shù)學(xué)試卷（12月份）（含解析）

2023-2024學(xué)年上海市浦東新區(qū)華東師大二附中高一（上）月考數(shù)學(xué)試卷（12月份）一、填空題（第1-6題每題4分，第7-12題每題5分，滿分54分）1．（4分）用有理指數(shù)冪的形式表示：．2．（4分）“”是“”的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．3．（4分）已知，，則1（填“”或“”．4．（4分）函數(shù)，，的值域?yàn)椋?．（4分）集合，則的子集的個(gè)數(shù)是．6．（4分）已知函數(shù)，且，那么（2）．7．（5分）已知為常數(shù)，，，則的最小值是．8．（5分）若，則．9．（5分）2008年我國(guó)人口總數(shù)為14億，如果人口的自然年增長(zhǎng)率控制在，則年我國(guó)人口將超過(guò)20億．，，10．（5分）設(shè)，表示不大于的最大整數(shù)，如，則使成立的的取值范圍．11．（5分）已知函數(shù)，，若關(guān)于的方程恰有兩個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．12．（5分）當(dāng)實(shí)數(shù)、滿足時(shí)，的取值與、均無(wú)關(guān)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．二、選擇題（本大題共4題.滿分20分）13．（5分）用二分法求函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)的近似值（精確度為時(shí)，依次計(jì)算得到如下數(shù)據(jù)：（1），，，，則下列說(shuō)法正確的是A．函數(shù)在上有零點(diǎn) B．已經(jīng)達(dá)到精確度，可以取1.375作為近似值 C．沒(méi)有達(dá)到精確度，應(yīng)該接著計(jì)算 D．沒(méi)有達(dá)到精確度，應(yīng)該接著計(jì)算14．（5分）已知是定義在，上的函數(shù)，根據(jù)下列條件，可以斷定是增函數(shù)的是A．對(duì)任意，都有 B．對(duì)任意，都有 C．對(duì)任意，，，且，都有 D．對(duì)任意，，，且，都有15．（5分）已知函數(shù)，若函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為A． B．，， C． D．，，16．（5分）定義域?yàn)?，且同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件：（1）對(duì)任意的，，恒有；（2）若，，則有成立，這樣的函數(shù)，我們稱(chēng)為“函數(shù)”，下列判斷：①若為“函數(shù)”，則；②若為“函數(shù)”，則在，上為嚴(yán)格增函數(shù)；③函數(shù)在，上是“函數(shù)”；④函數(shù)在，上是“函數(shù)”．其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是A．0 B．1 C．2 D．3三、解答題（本大題共有5題，滿分76分）17．（15分）（1）已知正數(shù)滿足，，求的值；（2）已知、、均為正數(shù)，且，求的值．18．（15分）已知函數(shù)是定義在，上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．（1）求函數(shù)的解析式；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．19．（15分）如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，軸在地平面上，軸垂直于地平面，單位長(zhǎng)度為1千米，某炮位于坐標(biāo)原點(diǎn)，已知炮彈發(fā)射后的軌跡在方程表示的曲線上，其中與發(fā)射方向有關(guān)，炮的射程是指炮彈落地點(diǎn)的橫坐標(biāo)．（1）求炮的最大射程；（2）設(shè)在第一象限有一飛行物（忽略其大?。滹w行高度為3.2千米，若炮彈可以擊中它，求的取值范圍．20．（15分）已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的零點(diǎn)；（2）根據(jù)的不同取值，判斷函數(shù)的奇偶性，并說(shuō)明理由；（3）若函數(shù)在，上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)的取值范圍，證明函數(shù)在上有且僅有1個(gè)零點(diǎn)．21．（16分）對(duì)于在某個(gè)區(qū)間，上有意義的函數(shù)，如果存在一次函數(shù)使得對(duì)于任意的，，有恒成立，則稱(chēng)函數(shù)是函數(shù)在區(qū)間，上的弱漸近函數(shù)．（1）判斷是否是函數(shù)在區(qū)間，上的弱漸近函數(shù)，并說(shuō)明理由．（2）若函數(shù)是函數(shù)在區(qū)間，上的弱漸近函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）是否存在函數(shù)，使得是函數(shù)在區(qū)間，上的弱漸近函數(shù)？若存在，求出實(shí)數(shù)的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由．

參考答案一、填空題（第1-6題每題4分，第7-12題每題5分，滿分54分）1．（4分）用有理指數(shù)冪的形式表示：．解：，故答案為：．2．（4分）“”是“”的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．解：若“”是“”的充分不必要條件，則，故答案為：．3．（4分）已知，，則1（填“”或“”．解：因?yàn)?，所以指?shù)函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，所以．故答案為：．4．（4分）函數(shù)，，的值域?yàn)椋猓汉瘮?shù)，，，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)，時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值（1）．又（2），函數(shù)的值域?yàn)椋海蚀鸢笧椋海?．（4分）集合，則的子集的個(gè)數(shù)是8．解：根據(jù)，其中，，，則，0，，中含有3個(gè)元素，則子集的個(gè)數(shù)是．故答案為：8．6．（4分）已知函數(shù)，且，那么（2）．解：由題意，，即，故，故答案為：．7．（5分）已知為常數(shù)，，，則的最小值是．解：，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最小值，故答案為：．8．（5分）若，則．解：，、則．故答案為：．9．（5分）2008年我國(guó)人口總數(shù)為14億，如果人口的自然年增長(zhǎng)率控制在，則2037年我國(guó)人口將超過(guò)20億．，，解：設(shè)年我國(guó)人口將超過(guò)20億，則，，解得，又，故．故答案為：2037．10．（5分）設(shè)，表示不大于的最大整數(shù)，如，則使成立的的取值范圍，，．解：由題意，則或解得或所以使成立的的取值范圍是，，故答案為，，11．（5分）已知函數(shù)，，若關(guān)于的方程恰有兩個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．解：因?yàn)椋钥苫癁?，設(shè)，易知對(duì)勾函數(shù)在區(qū)間為減函數(shù)，在區(qū)間為增函數(shù)，其值域?yàn)?，，故上述方程可轉(zhuǎn)化為，因?yàn)榍∮袃蓚€(gè)不同的實(shí)根，所以在上只有一個(gè)解，即在上只有一個(gè)解，令，則與的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，（3），作出與的大致圖象，如圖，結(jié)合圖象可知或．故答案為：．12．（5分）當(dāng)實(shí)數(shù)、滿足時(shí)，的取值與、均無(wú)關(guān)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．解：因?yàn)閷?shí)數(shù)，滿足，設(shè)，，則，其中，所以，因?yàn)榈娜≈蹬c、均無(wú)關(guān)，所以，即此時(shí)，所以，則，故答案為：二、選擇題（本大題共4題.滿分20分）13．（5分）用二分法求函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)的近似值（精確度為時(shí)，依次計(jì)算得到如下數(shù)據(jù)：（1），，，，則下列說(shuō)法正確的是A．函數(shù)在上有零點(diǎn) B．已經(jīng)達(dá)到精確度，可以取1.375作為近似值 C．沒(méi)有達(dá)到精確度，應(yīng)該接著計(jì)算 D．沒(méi)有達(dá)到精確度，應(yīng)該接著計(jì)算解：，由函數(shù)零點(diǎn)存在定理知，方程在區(qū)間有實(shí)根，而，沒(méi)有達(dá)到精確度的要求，應(yīng)該接著計(jì)算．故選：．14．（5分）已知是定義在，上的函數(shù)，根據(jù)下列條件，可以斷定是增函數(shù)的是A．對(duì)任意，都有 B．對(duì)任意，都有 C．對(duì)任意，，，且，都有 D．對(duì)任意，，，且，都有解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對(duì)于，有函數(shù)，對(duì)任意，都有，但函數(shù)不是增函數(shù)，不符合題意；對(duì)于，對(duì)任意，都有，不滿足函數(shù)單調(diào)性的定義，不符合題意，對(duì)于，當(dāng)為常數(shù)函數(shù)時(shí)，對(duì)任意，，，都有，不是增函數(shù)，不符合題意；對(duì)于，對(duì)任意，，，設(shè)，若，必有，則函數(shù)在，上為增函數(shù)，符合題意；故選：．15．（5分）已知函數(shù)，若函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為A． B．，， C． D．，，解：令，即有，則，而，作函數(shù)與函數(shù)的圖象如右，當(dāng)時(shí)，與的圖象恒有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，當(dāng)?shù)膱D象過(guò)點(diǎn)，可得，由圖象可得時(shí)，與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)．綜上可得，實(shí)數(shù)的取值范圍是，，，故選：．16．（5分）定義域?yàn)?，且同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件：（1）對(duì)任意的，，恒有；（2）若，，則有成立，這樣的函數(shù)，我們稱(chēng)為“函數(shù)”，下列判斷：①若為“函數(shù)”，則；②若為“函數(shù)”，則在，上為嚴(yán)格增函數(shù)；③函數(shù)在，上是“函數(shù)”；④函數(shù)在，上是“函數(shù)”．其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是A．0 B．1 C．2 D．3解：①若為“函數(shù)”，則滿足對(duì)，，則有成立，即當(dāng)時(shí)，，成立，故①正確；②若為“函數(shù)”，則（1）對(duì)任意的，，恒有；（2）若，，則有成立，即；取任意的，，，不妨取△，△，即，則有（1）△；（2）△△；△，由函數(shù)的單調(diào)性定義知：在，上為增函數(shù)，但非嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)，故②錯(cuò)誤；③若函數(shù)，，為“函數(shù)”，令，時(shí)，則，，矛盾，故③錯(cuò)誤；④當(dāng)函數(shù)，，，條件（1）成立；條件（2）因在，時(shí)為增函數(shù)也成立；函數(shù)在，上是“函數(shù)”．故④正確．故選：．三、解答題（本大題共有5題，滿分76分）17．（15分）（1）已知正數(shù)滿足，，求的值；（2）已知、、均為正數(shù)，且，求的值．解：（1）因?yàn)?，所以．所以；?）因?yàn)椤?、均為正?shù)，設(shè)，則，所以，，，，所以，，，所以．18．（15分）已知函數(shù)是定義在，上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．（1）求函數(shù)的解析式；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，設(shè)，則，，由為奇函數(shù)有，又時(shí)滿足，故，（2）當(dāng)時(shí)，為單調(diào)遞增函數(shù)，由奇函數(shù)可知是定義在，上的增函數(shù)，又因?yàn)?，所以，故有，即，故，即的取值范圍是，?9．（15分）如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，軸在地平面上，軸垂直于地平面，單位長(zhǎng)度為1千米，某炮位于坐標(biāo)原點(diǎn)，已知炮彈發(fā)射后的軌跡在方程表示的曲線上，其中與發(fā)射方向有關(guān)，炮的射程是指炮彈落地點(diǎn)的橫坐標(biāo)．（1）求炮的最大射程；（2）設(shè)在第一象限有一飛行物（忽略其大?。滹w行高度為3.2千米，若炮彈可以擊中它，求的取值范圍．解：（1）令，則或，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．故當(dāng)時(shí)，炮的射程最大，為10千米．（2）炮彈可以擊中目標(biāo)等價(jià)于存在，使得成立，即關(guān)于的方程有正根，由韋達(dá)定理知，滿足兩根之和大于0，兩根之積大于0，只需△，解得或．，．故若炮彈可以擊中它，的取值范圍為．20．（15分）已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的零點(diǎn)；（2）根據(jù)的不同取值，判斷函數(shù)的奇偶性，并說(shuō)明理由；（3）若函數(shù)在，上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)的取值范圍，證明函數(shù)在上有且僅有1個(gè)零點(diǎn)．解：（1）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，由得，則無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，由得，則的零點(diǎn)為；（2）因?yàn)榈亩x域?yàn)?，?dāng)時(shí)，對(duì)任意，有，因此是偶函數(shù)當(dāng)時(shí)，（1）且（1），因此是非奇非偶函數(shù)；（3）因?yàn)樵?，上單調(diào)遞減，在，上任取，有恒成立，即恒成立，而，所以，證明：當(dāng)時(shí)，，取，則，又，，，，所以，即，所以在上嚴(yán)格遞減，則在上至多1個(gè)零點(diǎn)，又，即所以由零點(diǎn)存在定理在區(qū)間上有且僅有1個(gè)零點(diǎn)．21．（16分）對(duì)于在某個(gè)區(qū)間，上有意義的函數(shù)，如果存在一次函數(shù)使得對(duì)于任意的，，有恒成立，則稱(chēng)函數(shù)是函數(shù)在區(qū)間，上的弱漸近函數(shù)．（1）判斷是否是函數(shù)在區(qū)間，上的弱漸近函數(shù)，并說(shuō)明理由．（2）若函數(shù)是函數(shù)在區(qū)間，上的弱漸近函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范