空間向量與立體幾何綜合大題答案

在中，,則（0,0,0）,,C（2，0，0）,P（1，1，0）,（0，2，2）,（0，2，2）設(shè)平面的一個法向量則即可得xyxyz設(shè)平面的一個法向量則即可得二面角平面角的余弦值是（2）或在中，，AB=2,則BD=1可得D（，二面角平面角的余弦值是5．如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是等腰梯形，AB//CD，，F(xiàn)C平面ABCD，AEBD，CB=CD=-CF．(Ⅰ)求證：平面ABCD平面AED；(Ⅱ)直線AF與面BDF所成角的余弦值(Ⅰ)證明：∵四邊形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，∴∠ADC=∠BCD=120°，又CB=CD，∴∠CDB=30°，∴∠ADB=90°，AD⊥BD，又AE⊥BD，且AE∩AD=A，AE，AD?平面AED，∴BD⊥平面AED，∴平面ABCD⊥平面AED．(Ⅱ)解：連結(jié)AC，由(Ⅰ)知AD⊥BD，∴AC⊥BC，又FC⊥平面ABCD，∴CA，CB，CF兩兩垂直，以C為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)CB=1，則A（，0，0），B（0，1，0），D（，，0），F(xiàn)（0，0，1），∴=（，，0），=＝(0，?1，1)，=（-，0，1），設(shè)平面BDF的一個法向量為＝(x，y，z)，則，取z=1，則=（，1，1），所以=，∴直線AF與面BDF所成角的余弦值為6．已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD為矩形，側(cè)棱PA⊥平面ABCD，其中BC=2AB=2PA=6，M、N為側(cè)棱PC上的兩個三等分點PPMDCBAN（1）求證：AN∥平面MBD;（2）求異面直線AN與PD所成角的余弦值;（3）求二面角M-BD-C的余弦值.（1）證明：連結(jié)AC交BD于O，連結(jié)OM，∵底面ABCD為矩形，∴O為AC中點，∵M(jìn)、N為側(cè)棱PC的三等分點，∴CM=MN，∴OM∥AN,∵平面MBD，AN平面MBD∴AN∥平面MBD（2）如圖所示，以A為原點，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,則A（0,0,0），B（3，0,0）,C(3,6,0),D(0,6,0)P(0,0,3),M(2,4,1),N(1,2,2)∵∴異面直線AN與PD所成的角的余弦值為（3）∵側(cè)棱PA⊥底面ABCD∴平面BCD的一個法向量為設(shè)平面MBD的法向量為并且，令y=1,得x=2,z=-2∴平面MBD的一個法向量為由圖知二面角是銳角∴二面角的余弦值為.7．如圖1，直角梯形中，，，，點為線段上異于的點，且，沿將面折起，使平面平面，如圖2.（1）求證：平面；（2）當(dāng)三棱錐體積最大時，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.解：（1）證明：∵，面，面，∴面，2分同理面，3分又，∴面面，4分又面，∴面.5分（2）法一：∵面面，又，面面，∴面.以所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，∴當(dāng)時，三棱錐體積最大.9分∵，∴，設(shè)平面的法向量，，∴，令，得平面的一個法向量，又面的一個法向量為，∴，∴平面與平面所成銳二面角的余弦是.8．如圖，四棱錐中，底面是平行四邊形，，平面，，，是的中點.（1）求證：平面；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.解：(1)平面，平面，由已知條件得：，，所以平面（5分）由（1）結(jié)合已知條件以點為原點，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則：，，，，，所以7分設(shè)是平面的一個法向量，則，即：，取，則得：同理可求：平面的一個法向量10分設(shè)：平面和平面成角為，則12分9．如圖，在直三棱柱A1B1C1－ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1(1)求異面直線A1B與C1D所成角的余弦值；(2)求平面ADC1與平面ABA1夾角的正弦值．【解析】解：(1)以A為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz，則A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(1,1,0)，A1(0,0,4)，C1(0,2,4)，∴＝(2,0，－4)，＝(1，－1，－4)．∵cos〈，〉＝＝＝，∴異面直線A1B與C1D所成角的余弦值為.(2)設(shè)平面ADC1的法向量為n1＝(x，y，z)，∵＝(1,1,0)，＝(0,2,4)，∴n1·＝0，n1·＝0，即x＋y＝0且2y＋4z＝0，取z＝1，得x＝2，y＝－2，∴n1＝