2024學(xué)年江蘇省南京市高二上學(xué)期期中考數(shù)學(xué)試題及答案

南京市2023－2024學(xué)年度第一學(xué)期期中調(diào)研測試高二數(shù)學(xué)2023.11注意事項(xiàng)：16(第1題~第8題)(第9題~第12題)(第13題~第16題)(第17題~第22題)150120分鐘．2．答卷前，考生務(wù)必將自己的學(xué)校、姓名、考生號填涂在答題卡上指定的位置．32B改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上指定位置，在其他位置作答一律無效．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．某工廠生產(chǎn)A，B，C三種不同型號的產(chǎn)品，它們的產(chǎn)量之比為2：3：5，用分層抽樣的方法抽取一個(gè)容量為n的樣本．若樣本中A型號的產(chǎn)品有20件，則樣本容量n為A．50B．80C．100D．2002．已知復(fù)數(shù)z＝3＋i，其中i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足zz＝3z＋z，則z＝000A．1－3iB．1＋3iC．3＋iD．3－i3．已知圓C：x2＋y2－x－ay＝0與圓C：x2＋y2－2x－4y＋2＝0的公共弦所在直線與x軸垂12直，則實(shí)數(shù)a的值為A．－4B．－2C．2D．44器形不同，則受雨多少亦異，未可以所測，便為平地得雨之?dāng)?shù)，即平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積．假令器形為圓臺(tái)，盆口徑(直徑)一尺四寸，底徑(直徑)六寸、深一尺二寸，接雨水深六寸(一尺等于十寸)，則平地降雨量為A．1B．2sin2xC．3D．425．已知cosx＋sinx＝，則＝3cos(x－\f(π,4))7727673A．－B．－C．－D．－166x2y26xOyC：－＝1(a＞0b＞0)F，1a2b2FAAF交y軸于點(diǎn)BABF212C的離心率為32332A．23B．C．3D．→7．在平面直角坐標(biāo)系xOyP為直線3x＋4y＋1＝0上一點(diǎn)．若向量a＝(34)，則向量OP在向量a上的投影向量為153434A．－B．(－，－)C．(－，－25)D．無法確定5525π8．已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)．若x∈R，f(x)≤f()，且f(x)在(0，π)上恰有1個(gè)零點(diǎn)，3則實(shí)數(shù)ω的取值范圍為3333939A．(0，]B．(，]C．(，]D．(，]2424424二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．某研究小組依次記錄下10天的觀測值：26，28，22，24，22，78，32，26，20，22，則A．眾數(shù)是22B．80百分位數(shù)是28C．平均數(shù)是30D．前4個(gè)數(shù)據(jù)的方差比最后4個(gè)數(shù)據(jù)的方差小10音的函數(shù)解析式為y＝Asinωx．設(shè)聲音的函數(shù)為φ(x)，音的響度與φ(x)的最大值有關(guān)，最φ(x)的最小正周期有關(guān)，最小正周期越大聲音越低沉．假設(shè)13復(fù)合音甲的函數(shù)解析式是f(x)＝sinx＋sin2xg(x)＝sinωx(ω＞0)，22則下列說法正確的有A．純音乙的響度與ω?zé)o關(guān)B．純音乙的音調(diào)與ω?zé)o關(guān)C．若復(fù)合音甲的音調(diào)比純音乙的音調(diào)低沉，則ω＞1D．復(fù)合音甲的響度與純音乙的響度一樣大11xOyCy2＝4x的焦點(diǎn)為FA(xy)B(xy)D(xy)112233→→→為拋物線C上的任意三點(diǎn)(異于O點(diǎn))，F(xiàn)A＋FB＋FD＝0，則下列說法正確的有A．設(shè)A，B到直線x＝－1的距離分別為d，d，則d＋d＜AB1212B．FA＋FB＋FD＝6C．若FA⊥FB，則FD＝AB111D．若直線AB，AD，BD的斜率分別為k，k，k，則＋＋＝0ABADBDkABkADkBD12ABCD?ABCDAB＝8AD＝6E是正方形BCCB內(nèi)部或邊界上異于111111點(diǎn)C的一點(diǎn)，則下列說法正確的有A．若DE∥平面ABBA，則ECC1111223B．設(shè)直線DE與平面BCCB所成角的最小值為θ，則tanθ＝111πC．存在EBB，使得∠DEC＞112πD．若∠DEC＝，則EB的最小值為35－312三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)M(2，3)和N(4，0)，點(diǎn)Q在x軸上．若直線MQ與直線MN的夾角為90°，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為________．14．在△ABC中，AB＝36，∠ABC＝45°，∠BAC＝75°，D是射線BC上一點(diǎn)，且CD＝10，則AD＝________．15個(gè)時(shí)段演出的概率分別如下：上午演出時(shí)段下午演出時(shí)段9：00－9：3010：00－10：3015：00－15：3011：00－11：3016：00－16：3014：00－14：30161213相應(yīng)的概率若某顧客打算第二天11：00抵達(dá)商場并逛3.5小時(shí)后離開，則他當(dāng)天能觀看到演出的概率為________．116．已知向量a＝(1，3)，b＝(1，0)，|a－c|＝，則向量b，c最大夾角的余弦值為2________．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．(本小題滿分10分)2已知函數(shù)f(x)＝sinxcosx－sin2x＋t(x∈R)的最大值為（1）求f(x)的解析式；．2ππ（2）若x∈[，]，f(x)－m≤0，求實(shí)數(shù)m的最小值．12218．(本小題滿分12分)在平面直角坐標(biāo)系xOyC的圓心在lx－2y＝0C與xl1：x－ay＝0(a∈R)，D(6，0)．（1）若直線l1與圓C相切，求a的值；（2l1與圓C相交于ABC分成的兩段弧的弧長之比為1∶3DA＝DB，求圓C的方程．19．(本小題滿分12分)0~9這10個(gè)數(shù)字(相對的兩個(gè)面上的數(shù)字相同)(與地面或桌面平行)A1為“拋兩次，兩次記錄的數(shù)字之和大于16”，記事件A2為“拋兩次，兩次記錄的數(shù)字之和為奇數(shù)”，事件A3為“拋兩次，第一次記錄的數(shù)字為奇數(shù)”．（1）求P(A)，P(A)；12（2）判斷事件AA與事件A是否相互獨(dú)立，并說明理由．123（第19題圖）20．(本小題滿分12分)在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C所對的邊，AB·AC＝b2－ab．→→12（1）求角C的大小；3→→→→→（2）若△ABC的面積為，且CM＝2MB，AN＝3NM，求|CN|的最小值．221．(本小題滿分12分)如圖，在所有棱長都等于1的三棱柱ABC－ABC中，∠ABB＝，∠BBC＝．ππ1111123（1）證明：AC⊥BC；111（2）求直線BC與平面ABBA所成角的大?。?1A1C1B1ACB（第21題圖）22．(本小題滿分12分)x2y2在平面直角坐標(biāo)系xOyC：＋＝1(a＞b＞0)FF，12a2b2→→且焦距為23，橢圓C的上頂點(diǎn)為B，且BF1·BF2＝－2．（1）求橢圓C的方程；（2l過點(diǎn)A(21)C交于MNBBM與直線BN分別交直線x＝4于P，Q兩點(diǎn)．判斷是否存在定點(diǎn)G，使得點(diǎn)P，Q關(guān)于點(diǎn)G對稱，并說明理由．南京市2023－2024學(xué)年度第一學(xué)期期中學(xué)情調(diào)研測試高二數(shù)學(xué)參考答案2023.11一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上．1．C2．A3．D4．B5．D6．C7．C8．B二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，請把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上．全部選對得5分，部分選對得2分，不選或有錯(cuò)選的得0分．9．ACD10．AC11．BCD12．ABD三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上．14915－313．(，0)14．1415．16．28四、解答題：本大題共6小題，共70分．請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟．1710分）11－cos2x1）f(x)＝sinxcosx－sin2x＋t＝sin2x－＋t????????????????????????????????????????????????????????????????2分221112π1＝sin2x＋cos2x－＋t＝sin(2x＋)－＋t．??????????????????????????????????????????????????????????4分22224222121因?yàn)閒(x)的最大值為，所以－＋t＝，解得t＝，222222π所以f(x)＝sin(2x＋)．???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????6分242π（2）由（1）可知f(x)＝sin(2x＋)，24ππ5ππ5π當(dāng)x∈[，]時(shí)，≤2x＋≤，1221244πππ2當(dāng)2x＋＝時(shí)，即x＝時(shí)，f(x)max＝．???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????8分42822因?yàn)閒(x)－m≤0恒成立，所以m≥f(x)max恒成立，即m≥恒成立，22因此m的最小值為．????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????10分21812分）1）因?yàn)閳A心C在直線l上，可設(shè)C(2m，m)，m≠0．因?yàn)閳AC與x軸相切，所以r＝|m|．???????????????????????????????????????????????????????????????????????????2分|2m－am|又因?yàn)橹本€l1與圓C相切，所以|m|＝．?????????????????????????????????????????????????????4分a2＋13因?yàn)閙≠0，解得a＝．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????5分4（2）因?yàn)锳，B把圓C分成的兩段弧長之比為1∶3，1π所以弦AB所對劣弧圓心角為2π×＝，?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????6分4222|2m－am|a2＋1所以圓心C到l1的距離d等于圓C半徑的倍，即|m|＝，22由（1）得m≠0，解得a＝1或a＝7．????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????8分又因?yàn)镈A＝DB，所以AB的垂直平分線經(jīng)過D(6，0)和圓心C(2m，m)，m所以＝－a，???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????10分2m－6所以，當(dāng)a＝1時(shí)，m＝2，圓C方程為(x－4)2＋(y－2)2＝4a＝7時(shí)，m＝，圓C方程為(x－)2＋(y－)2＝．????????????????????????????????????12分5551912分）(i，j)表示第一次拋擲骰子數(shù)字為i，用j表示第二次拋擲骰子數(shù)字為j，則樣本空間Ω＝{(i，j)|0≤i≤9，0≤j≤9，i，j∈Z}，共有100種等可能的樣本點(diǎn)．?????????????????1分（1）A1＝{(8，9)，(9，8)，(9，9)}，???????????????????????????????????????????????????????????????????????????2分3所以P(A1)＝．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????4分100因?yàn)锳2＝{(0，1)，(0，3)…(9，8)}共有50個(gè)樣本點(diǎn)，501所以P(A2)＝＝．???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????6分100221（2）因?yàn)锳A＝{(8，9)，(9，8)}，所以P(AA)＝＝10050因?yàn)锳3＝{(1，0)，(1，1)…(9，9)}，共有50個(gè)樣本點(diǎn)，．??????????????????????????????????????????????8分1212501所以P(A3)＝＝．???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????9分10021因?yàn)锳AA＝{(9，8)}，所以P(AAA)＝．?????????????????????????????????????????????????????????????????????10分12312310011因?yàn)镻(AA)P(A)＝×＝P(AAA)，123123502所以事件AA與事件A獨(dú)立．????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????12分1232012分）1）方法1→→11因?yàn)锳B·AC＝b2－ab，所以bccosA＝b2－ab．????????????????????????????????????????????????????????????????????2分22b2＋c2－a21b2＋a2－c22ab1＝，由余弦定理得bc×＝b2－ab，化簡得2bc221所以cosC＝．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????4分2π因?yàn)镃為△ABC內(nèi)角，所以C＝．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????5分3方法2→→11因?yàn)锳B·AC＝b2－ab，所以bccosA＝b2－ab．???????????????????????????????????????????????????????????????????2分221由正弦定理得sinBsinCcosA＝sin2B－sinAsinB．21因?yàn)锽為△ABC內(nèi)角，所以sinB≠0，所以sinCcosA＝sinB－sinA．21因?yàn)锳＋B＋C＝π，所以sinCcosA＝sin(A＋C)－sinA，21即sinCcosA＝sinAcosC＋cosAsinC－sinA，21化簡得sinAcosC＝sinA．21因?yàn)锳為△ABC內(nèi)角，所以sinA≠0，所以cosC＝．????????????????????????????????????????????4分2π因?yàn)镃為△ABC內(nèi)角，所以C＝．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????5分313（2）因?yàn)镾△ABC＝absinC＝，所以ab＝2．????????????????????????????????????????????????????????????????????????6分22→→→→因?yàn)镃M＝2MB，AN＝3NM，→→→→3→→3→→所以CN＝CA＋AN＝CA＋AM＝CA＋(CM－CA)441→3→1→1→＝CA＋CM＝CA＋CB，?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????8分4442→1→1→111→→從而|CN|2＝(CA＋CB)2＝b2＋a2＋CA·CB421644111＝b2＋a2＋????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????10分164413＋＝．11≥2b2×a24416411當(dāng)且僅當(dāng)b2＝a2，即a＝1，b＝2時(shí)取等號．164→3所以|CN|的最小值為．???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????12分22112分）（1）證明：連接AB，在△ABB中，∠ABB＝，AB＝BB＝1，所以AB＝2，π111112π在△BCB中，∠BBC＝，BC＝BB＝1，所以BC＝1，11113所以在△ACB中，AB＝2，BC＝1，AC＝1，所以AB2＝AC2＋BC2，11111所以AC⊥B1C．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????2分又因?yàn)樵谌庵鵄BC－ABC中，AC∥AC，11111所以AC⊥BC．???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????4分111（2）方法1解：連接AB，AB，交于點(diǎn)O，連接BC，連接CO．111在邊長都為1的正方形AABB中，O是AB的中點(diǎn)，111又因?yàn)锽1C＝AC＝1，所以CO⊥AB1．???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????6分因?yàn)樗倪呅蜝BCC邊長都為1，所以BC⊥BC．A1C11111由(1)知BC⊥AC．B1111又因?yàn)锳C∩BC＝C，AC，BC平面ABC，111111111O所以BC⊥平面ABC．111AC因?yàn)锳B平面ABC，所以BC⊥AB．11111B因?yàn)樵谶呴L都為1的四邊形AABB中，AB⊥AB．1111（第21題圖）又因?yàn)锳B∩BC＝B，AB，BC平面ABC，111111所以AB⊥平面ABC．11因?yàn)镃O平面ABC，所以CO⊥AB．????????????????????????????????????????????????????????????????????8分11又因?yàn)锳B∩AB＝O，AB，AB平面AABB，111111所以CO⊥平面AABB，11所以∠CBO即為直線BC與平面ABBA所成的角．????????????????????????????????????????????10分11π2在邊長都為1的四邊形AABB中，∠ABB＝，所以BO＝．111222π因?yàn)锽C＝1，所以cos∠CBO＝，所以∠CBO＝，24π所以直線BC與平面ABBA所成角的大小為．???????????????????????????????????????????????????12分114方法2解：取AB1中點(diǎn)O，連接BO，CO．在△ACB中，AC＝BC＝1，所以CO⊥AB，????????????????????????????????????????????????????????6分1112在邊長都為1的正方形AABB中，BO＝，A1B＝2．112A1OC1又因?yàn)锳C2＋BC2＝AB2，11B1C2所以△ACB1為直角三角形，所以CO＝．2在△ACB1中，CO2＋BO2＝BC2，A所以CO⊥BO．…………8分又因?yàn)锳B∩BO＝O，AB，BO平面AABB，B1111（第21題圖）所以CO⊥平面AABB，11所以∠CBO即為直線BC與平面ABBA所成的角．??????????????????????????????????????????????????????????10分11π2在邊長都為1的四邊形AABB中，∠ABB＝，所以BO＝．111222π因?yàn)锽C＝1，所以cos∠CBO＝，所以∠CBO＝，24π所以直線BC與平面ABBA所成角的大小為．?????????????????????????????????????