人教版高中數(shù)學選修部分知識點總結(理科)

高二數(shù)學選修2-1知識點

第一章常用邏輯用語

1、命題：用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的陳述句.

真命題：判斷為真的語句.

假命題：判斷為假的語句.

2、“若0,則q”形式的命題中的p稱為命題的條件，q稱為命題的結論.

3、對于兩個命題，如果一個命題的條件和結論分別是另一個命題的結論和條件,

則這兩個命題稱為互逆命題.其中一個命題稱為原命題，另一個稱為原命題的逆

命題.

若原命題為“若p,則它的逆命題為“若q,則p”.

4、對于兩個命題，如果一個命題的條件和結論恰好是另一個命題的條件的否定

和結論的否定，則這兩個命題稱為互否命題.中一個命題稱為原命題，另一個稱

為原命題的否命題.

若原命題為“若p,則“"，則它的否命題為“若力，則r”.

5、對于兩個命題，如果一個命題的條件和結論恰好是另一個命題的結論的否定

和條件的否定，則這兩個命題稱為互為逆否命題.其中一個命題稱為原命題，另

一個稱為原命題的逆否命題.

若原命題為“若p,則4"，則它的否命題為''若r，則力”.

6、四種命題的真假性：

原命題逆命題否命題逆否命題

真真真真

真假假?1(.

假真真真

假假假假

四種命題的真假性之間的關系：

⑴兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；

（2）兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關系.

7、若pnq,則p是q的充分條件，q是p的必要條件.

若poq,則p是q的充要條件（充分必要條件）.

8、用聯(lián)結詞“且”把命題p和命題q聯(lián)結起來，得到一個新命題，記作〃△外

當〃、（7都是真命題時，〃八47是真命題；當p、q兩個命題中有一個命題是假命

題時，是假命題.

用聯(lián)結詞“或”把命題〃和命題“聯(lián)結起來，得到一個新命題，記作“V小

當p、q兩個命題中有一個命題是真命題時，pvq是真命題；當〃、q兩個命

題都是假命題時，pvq是假命題.

對一個命題〃全盤否定，得到一個新命題，記作..

若p是真命題，則力必是假命題；若p是假命題，則力必是真命題.

9、短語“對所有的”、“對任意一個”在邏輯中通常稱為全稱量詞，用“V”表

示.

含有全稱量詞的命題稱為全稱命題.

全稱命題“對M中任意一個x,有p(x)成立"，記作“VxeM,p(x)”.

短語“存在一個”、“至少有一個”在邏輯中通常稱為存在量詞，用“三”表示.

含有存在量詞的命題稱為特稱命題.

特稱命題“存在M中的一個x,使p(x)成立"，記作“HXGM,p(x)”.

10、全稱命題p：VxeM,p(x),它的否定力：3xeM,?(x).全稱命題

的否定是特稱命題.

第二章圓錐曲線與方程

11、平面內(nèi)與兩個定點6，尸2的距離之和等于常數(shù)(大于I耳尼|)的點的軌跡

稱為橢圓.這兩個定點稱為橢圓的焦點，兩焦點的距離稱為橢圓的焦距.

12、橢圓的幾何「性質：

焦點的位置焦點在X軸上焦點在y軸上

r

小

圖形

1

2222

標準方程聲+3=3">。)

范圍-a<x<a^-h<y<h-b<x<bSL-a<y<a

A,(-a,O)>A2(6f,0)A"。,-a)、A2(O,6t)

頂點

B2(O^)(-瓦0)、B2(/7,O)

軸長短軸的長=2b長軸的長=2a

焦點耳(-c,0)、鳥(c,0)耳(0,—c)、6(0,c)

焦距忻閭=2c6=?2-Z?2)

對稱性關于X軸、y軸、原點對稱

6=2=J1

離心率

a\a

V=±

準線方程-f

13、設M是橢圓上任一點，點M到K對應準線的距離為4,點M到K對應準線

的距離為則粵

14、平面內(nèi)與兩個定點耳，戶2的距離之差的絕對值等于常數(shù)(小于|石石|)的

點的軌跡稱為雙曲線.這兩個定點稱為雙曲線的焦點，兩焦點的距離稱為雙曲線

的焦距.

15、雙曲線的幾何性質：

焦點的位置焦點在X軸上焦點在y軸上

圖形

TfV-?

/T\

22

Y22

標準方程V

范圍x<-a^x>ayy￡Ry<—a^y>a,XG7?

頂點A［（-a,O）、A2（6f,0）Aj（0,-a）>A2（0,a）

軸長虛軸的長=功實軸的長=2?

焦點耳(—c,0)、1(c,0)耳（0,—c）、6（O,c）

焦距恒閭=2C（C2=/+〃）

對稱性關于X軸、y軸對稱，關于原點中心對稱

離心率

a2a1

準線方程x=±—y=±-

C

,b,a

漸近線方程y=±-xy=±—x

ab

16、實軸和虛軸等長的雙曲線稱為等軸雙曲線.

17、設M是雙曲線上任一點，點M到耳對應準線的距離為&,點M到K對應準

線的距離為%,則幽l==

44

18、平面內(nèi)與一個定點戶和一條定直線/的距離相等的點的軌跡稱為拋物線.定

點尸稱為拋物線的焦點，定直線/稱為拋物線的準線.

19、過拋物線的焦點作垂直于對稱軸且交拋物線于A、B兩點的線段AB,稱為

拋物線的“通徑”，即網(wǎng)=2p.

20、焦半徑公式：

若點p(x0,yo)在拋物線y2=2“x(〃>())上，焦點為尸，則|PF|=Xo+5；

若點PG。,%)在拋物線V=-2px(p>0)上，焦點為F,則仔刊=-毛+個

若點P(Xo，%)在拋物線V=2刀(〃>0)上，焦點為尸，則|PF|=%+5；

若點PQo，%）在拋物線d=—2刀（p>0）上，焦點為F,則|PF|=—

21、拋物線的幾何性質：

y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx1=-2py

標準方程

(p>°)(p>°)(p>0)(A>0)

圖形J啾

jp]

頂點(0,0)

對稱軸x軸y軸

焦點9。)FT。L戶（。?。〧S3L

準線方程x=——x_p.T

________2_________2

離心率e=i

范圍x>0x<0>0y<0

第三章空間向量與立體幾何

22、空間向量的概念：

（1）在空間，具有大小和方向的量稱為空間向量.

（2）向量可用一條有向線段來表示.有向線段的長度表示向量的大小，箭頭所指

的方向表示向量的方向.

（3）向量AB的大小稱為向量的模（或長度），記作|AB].

（4）模（或長度）為0的向量稱為零向量；模為1的向量稱為單位向量.

（5）與向量a長度相等且方向相反的向量稱為a的相反向量，記作.

（6）方向相同且模相等的向量稱為相等向量.

23、空間向量的加法和減法：

⑴求兩個向量和的運算稱為向量的加法，它遵循平行四邊形法則.即：在空間

以同一點0為起點的兩個已知向量a、匕為鄰邊作平行四邊形OACB,則以0起

點的對角線0C就是。與b的和，這種求向量和的

方法，稱為向量加法的平行四邊形法則.B

(2)求兩個向量差的運算稱為向量的減法，它遵

循三角形法則.即：在空間任取一點0,作/

,。S、

0A-a,OB—h,則BA-a—b.

24、實數(shù)2與空間向量a的乘積4a是一個向量，稱為向量的數(shù)乘運算.當2>0

時，4a與。方向相同；當;1<0時，4a與。方向相反；當;1=0時，Xa為零向量,

記為0.而的長度是a的長度的風倍.

25、設X,〃為實數(shù)，a,。是空間任意兩個向量，則數(shù)乘運算滿足分配律及結

合律.

分配律：A^a+h^-Aa+Ab；結合律：=(〃/)..

26、如果表示空間的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量稱為共線

向量或平行向量，并規(guī)定零向量與任何向量都共線.

27、向量共線的充要條件：對于空間任意兩個向量a,〃僅。0),a//b的充要條

件是存在實數(shù)4,使。=勸.

28、平行于同一個平面的向量稱為共面向量.

29、向量共面定理:空間一點P位于平面ABC內(nèi)的充要條件是存在有序實數(shù)對x,

)，使AP=xAB+yAC；或對空間任一定點0,有OP=OA+xAB+)，相；或

若四點P,A,B,C共面，則OP=K)A+yOB+zOC(x+y+z=l).

30、已知兩個非零向量a和。，在空間任取一點0,作a,OB=。，則4?

稱為向量a，8的夾角，記作也涉〉.兩個向量夾角的取值范圍是：〈a,b〉?O,句.

31、對于兩個非零向量a和b,若〈a,力=5,則向量a,匕互相垂直，記作a，方.

32＞已知兩個非零向量。和。,則同|4b〉稱為。，b的數(shù)量積，記作。.即

。人=《間,也〉.零向量與任何向量的數(shù)量積為0.

33＞a-b等于。的長度同與〃在。的方向上的投影Wcos〈a,b〉的乘積.

34＞若a,。為非零向量，￡為單位向量，則有⑴e?a=a?e=|《cos〈a,e〉；

同與引司向）

2

（2）aLb<^>a-b=0；（3）a-h=<Q.Q=同\a\=\ja'a；

一同忖（a與反向）

笳；⑸I。?。卜同I陽

⑷cos〈〃,。〉

35、向量數(shù)乘積的運算律：⑴a/="a；（2）（/1〃）/=/1（42）=人（勸/

⑶（Q+〃）,C=Q.C+Z?.c.

36、若i,j,%是空間三個兩兩垂直的向量，則對空間任一向量p,存在有序

實數(shù)組{x,y,z},使得p=xi+力+zk,稱xi,yj,z%為向量p在i,j,k±

的分量.

37、空間向量基本定理：若三個向量a,b,c不共面，則對空間任一向量p,

存在實數(shù)組{x,y,z},p=xa+yh+zc.

38、若三個向量a,b,c不共面，則所有空間向量組成的集合是

=xa+yb+zc,x,y,z&.這個集合可看作是由向量a,b,c生成的，

{a,Ac}稱為空間的一個基底，a,b,c稱為基向量.空間任意三個不共面的向

量都可以構成空間的一個基底.

39、設“，4為有公共起點0的三個兩兩垂直的單位向量（稱它們?yōu)閱挝?/p>

正交基底），以4，4,63的公共起點0為原點，分別以耳，4,63的方向為x

軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系Oxyz.則對于空間任意一個向量p,

一定可以把它平移，使它的起點與原點0重合，得到向量0P=〃.存在有序實

數(shù)組{x,y,z},使得p=xej+ye2+263.把x,y,z稱作向量p在單位正交基底

6,%,名下的坐標，記作〃=（乂，2）.此時，向量P的坐標是點P在空間直角

坐標系Oxyz中的坐標（x,y,z）.

40、設a=（%，M，Z］）,b=（x2,y2,z2）,則⑴a+Z?=（石+程%+%，4+z2）?

（2）。一〃=（玉一孫y—必，4-22）?

（3）Aa=,/ly,/lZ］）.

（4）a-b=%%2+y%+平2?

（5）若。、b為非零向量，則。_LZ?oa-b=0oxix2+y［y2+ziz2=0.

⑹若。w0,貝IQ〃boa=勸ox】=Ax2,yl=Ay2,zt=Az2?

（7）\a\=\Ja-a=Jx；+y：+z；.

玉々+%%+展

⑻0=葡=春22

+y；+z；?&；+￡+

dAB

（9）A（%,y,zJ,B=（肛必，Z2），則AR=||=&2石|）%（y廠九七』一？）?

41、在空間中，取一定點0作為基點，那么空間中任意一點P的位置可以用向量

0P來表示.向量OP稱為點P的位置向量.

42、空間中任意一條直線/的位置可以由/上一個定點A以及一個定方向確定?點

A是直線/上一點，向量a表示直線/的方向向量，則對于直線/上的任意一點P,

有AP=S,這樣點A和向量。不僅可以確定直線/的位置，還可以具體表示出直

線/上的任意一點.

43、空間中平面a的位置可以由a內(nèi)的兩條相交直線來確定.設這兩條相交直線

相交于點0,它們的方向向量分別為a,b.P為平面a上任意一點，存在有序

實數(shù)對（x,y）,使得OP=xa+yb,這樣點0與向量a,b就確定了平面a的位置.

44、直線/垂直a,取直線/的方向向量a,則向量a稱為平面a的法向量.

45、若空間不重合兩條直線a,8的方向向量分別為a,b,則a〃匕oa//bo

a=AZ＞（4eR）,a_L〃oa_L6=0.

46、若直線a的方向向量為a,平面a的法向量為〃，月,則a/aoMa

oa_L〃oa-〃=0,a_LaoaJ_aoa〃〃oa=/l〃.

47、若空間不重合的兩個平面a,夕的法向量分別為a,b,則a〃夕bo

a=Ab9a_L力?》=().

48、設異面直線。，〃的夾角為e,方向向量為。，b,其夾角為0,則有

\a-b

COS0-1Icos691=--；—,

49、設直線/的方向向量為/，平面a的法向量為〃，/與a所成的角為6,/與〃

的夾角為°，則有sin<9=|cos同?~.

l\\n\

50、設々，的是二面角a-心尸的兩個面a，夕的法向量，則向量〃1，密的夾

角（或其補角）就是二面角的平面角的大小.若二面角a-/-月的平面角為。，

則|cose|=...

阿|〃2

51、點A與點B之間的距離可以轉化為兩點對應向量AB的模,B|計算.

52、在直線/上找一點P,過定點A且垂直于直線/的向量為〃，則定點A到直線

,?||?|PA-n|

/的距禺為d=IPAkosVPA,〃〉卜.

53、點P是平面。外一點，A是平面a內(nèi)的一定點，〃為平面。的一個法向量，

?I.?|PA-/?|

則點P到平面a的距離為d=PAcos<PA,〃〉=.

1111|川

數(shù)學選修2-2知識點總結

一、導數(shù)

1.函數(shù)的平均變化率為包="=/（止d=出上常二貼）

AxAxx2-x{Ax

注1：其中Ax是自變量的改變量，可正，可負，可零。

注2：函數(shù)的平均變化率可以看作是物體運動的堊均速度。

2、導函數(shù)的概念：函數(shù)y=/（x）在x=x0處的瞬時變化率是

］汕電=1即/0.。+斕-/（工。），則稱函數(shù)），=/（x）在點x。處可導，并把這個極限叫

做y=f(X)在X。處的導數(shù)，記作/,(x0)或，即

/(x°)=lim包=lim/(、。+8一/&。).

Ar-^OAVAv->0Ax

3.函數(shù)的平均變化率的幾何意義是割線的斜率；函數(shù)的導數(shù)的幾何意義是切線的

斜率。

4導數(shù)的背景(1)切線的斜率；(2)瞬時速度；(3)邊際成本。

5、常見的函數(shù)導數(shù)和積分公式

函數(shù)導函數(shù)不定積分

y=cy'=0—

rxn+[

[xndx=-----

y=x"￡N*)y'=nxn~]J〃+l

y=ax(〃>O,aw1)y'=axIna\axdx=—

JIna

y=exy'=exJeWx=e'

y=log.%

y'=^——

xlnci

(Q>0,Qwl,x〉0)

f1,1

y=\nxy'--1—ar=lnx

XJX

y=sinxy'=cosxJcosxdx-sinx

y=cosxy'=-sinxJsinx6tx=-cosx

6、常見的導數(shù)和定積分運算公式:若“X),g(x)均可導(可積)，則有:

和差的導數(shù)運算[/(x)±^(x)]=f(x)±g(x)

[/(x),g(x)]=/(x)g(x)±/(x)g'(x)

積的導數(shù)運算

特別地：[加切?。。)

W+0)

商的導數(shù)運算

特別地：「一

[g(x)」g-(x)

復合函數(shù)的導數(shù)

(其中

微積分基本定理

產(chǎn)(力=〃力)

f[fSx)+f(x)]cbc=\f^dx+\f(x)dx

Ja2JaJa2

和差的積分運算

日『4(外公=〃「/(%)公(人為常數(shù))

特別地：JaJa

積分的區(qū)間可加性ff(x)dx=ff(x)dx+f/(%)公(其中”<c<b)

JaJaJc

6.用導數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟:①求函數(shù)/U)的導數(shù)f(x)②令尸(幻>0,解不等

式，得x的范圍就是遞增區(qū)間.③令/'(x)<0,解不等式，得x的范圍，就是遞減區(qū)

間；［注］：求單調(diào)區(qū)間之前一定要先看原函數(shù)的定義域。

7.求可導函數(shù)凡r)的極值的步驟：(1)確定函數(shù)的定義域。(2)求函數(shù)./(X)的導數(shù)

f\x)(3)求方程/")=0的根(4)用函數(shù)的導數(shù)為0的點，順次將函數(shù)的定義區(qū)

間分成若干小開區(qū)間，并列成表格，檢查尸(處在方程根左右的值的符號，如果

左正右負，那么?x)在這個根處取得極大值；如果左負右正，那么/U)在這個根

處取得極小值；如果左右不改變符號，那么人x)在這個根處無極值

8.利用導數(shù)求函數(shù)的最值的步驟:求/(x)在以力］上的最大值與最小值的步驟如

下：⑴求在㈤上的極值；⑵將/(x)的各極值與/(a)"⑸比較，其中最

大的一個是最大值，最小的一個是最小值。［注］:實際問題的開區(qū)間唯一極值點

就是所求的最值點；

9.求曲邊梯形的思想和步驟:份畫近似代替If麗->|取極限(“以直代

曲”的思想)

10.定積分的性質

根據(jù)定積分的定義，不難得出定積分的如下性質：

性質1Jidx-b-a

性質5若7(x)20,xe[a,b],則//(X)公20

Ja

①推廣：土力(x)±±ffnM]dx=￡f1(x)dx±￡f2(x)dx±

②推廣：ff(x)dx=f'f(x)dx+['f{x}dx++[f(x)dx

JaJaJqJck

11定積分的取值情況:定積分的值可能取正值，也

可能取負值，還可能是0.

（1）當對應的曲邊梯形位于X軸上方時，定

積分的值取正值,且等于x軸上方的圖形面積;

（2）當對應的曲邊梯形位于x軸下方時，定

積分的值取負值,且等于x軸上方圖形面積的相

反數(shù);

（3）當位于x軸上方的曲邊梯形面積等于

位于x軸下方的曲邊梯形面積時，定積分的值為

Q,且等于x軸上方圖形的面積減去下方的圖形的

面積.

12.物理中常用的微積分知識（1）位移的導數(shù)為速

度，速度的導數(shù)為加速度。（2）力的積分為功。

推理與證明知識點

13.歸納推理的定義：從個別事實中推演出一般性的

結論，像這樣的推理通常稱為歸納推理。

歸納推理是由部分到雌，由個別到一段的推理。

14.歸納推理的思維過程

*砧加囪—實驗、觀察―------->概括、推廣一

猜測一般性結論

15.歸納推理的特點：①歸納推理的前提是幾個已知的特殊現(xiàn)象，歸納所得的結論

是尚屬未知的一般現(xiàn)象。②由歸納推理得到的結論具有猜測的性質，結論是否真

實，還需經(jīng)過邏輯證明和實驗檢驗，因此，它不能作為數(shù)學證明的工具。③歸納

推理是一種具有創(chuàng)造性的推理，通過歸納推理的猜想，可以作為進一步研究的起

點，幫助人們發(fā)現(xiàn)問題和提出問題。

16.類比推理的定義：根據(jù)兩個（或兩類）對象之間在某些方面的相似或相同，

推演出它們在其他方面也相似或相同，這樣的推理稱為類比推理。類比推理是由

特卷到特殊的推理。

17.類比推理的思維過程

觀察、比較聯(lián)想、類推推測新的結論

18.演繹推理的定義：演繹推理是根據(jù)已有的事實和正確的結論（包括定義'公

理'定理等）按照嚴格的邏輯法則得到新結論的推理過程。演繹推理是由一艘到

特然的推理。

19.演繹推理的主要形式：三段論

20.“三段論”可以表示為：①大前題：M是P②小前提：S是M③結論：S是P。

其中①是大前提，它提供了一個一般性的原理；②是小前提，它指出了一個

特殊對象；③是結論，它是根據(jù)一般性原理，對特殊情況做出的判斷。

21.直接證明是從命題的條件或結論出發(fā)，根據(jù)已知的定義、公理'定理，直接

推證結論的真實性。直接證明包括綜合法和分析法。

22.綜合法就是“由因導果”，從已知條件出發(fā)，不斷用必要條件代替前面的條件,

直至推出要證的結論。

23.分析法就是從所要證明的結論出發(fā)，不斷地用充分條件替換前面的條件或者

一定成立的式子，可稱為“由果索因”。要注意敘述的形式：要證A,只要證B,

8應是A成立的充分條件.分析法和綜合法常結合使用，不要將它們割裂開。

24反證法：是指從否定的結論出發(fā)，經(jīng)過邏輯推理，導出矛盾，證實結論的否

定是錯誤的，從而肯定原結論是正確的證明方法。

25.反證法的一般步驟(1)假設命題結論不成立，即假設結論的反面成立；(2)

從假設出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾；(3)從矛盾判定假設理理，即所求證

命題正確。

26常見的“結論詞”與“反義詞”

原結論詞反義詞原結論詞反義詞

至少有一個一個也沒有對所有的X都成立存在X使不成立

至多有一個至少有兩個對任意X不成立存在X使成立

至少有n個至多有n-1個p或q—且一q

至多有n個至少有n+1個p且q或—iC/

27.反證法的思維方法西舉則反

28.歸繆矛盾(1)與已知條件矛盾:(2)與已有公理、定理、定義矛盾;(3)

目相矛盾.

29.數(shù)學歸納法(只能證明與正擎《有關的數(shù)學命題)的步驟(1)證明：當n取

第一個值%(%eN,)時命題成立；(2)假設當n=k(攵GN*,且時命題成立，

證明當n=k+l時命題也成立.由(1),(2)可知，命題對于從〃o開始的所有正整數(shù)〃

都正確.［注］：常用于證明不完全歸納法推測所得命題的正確性的證明。

數(shù)系的擴充和復數(shù)的概念知識點

30.復數(shù)的概念：形如叫◎的數(shù)叫做復數(shù)，其中i叫虛數(shù)單位，“叫實部，〃叫

虛部,數(shù)集C={a+C|a,beR}叫做復數(shù)集。

規(guī)定：可且9=劣強調(diào)：兩復數(shù)不能比較大小，只有相等或不相

等。

實數(shù)S=o)

31.數(shù)集的關系：復數(shù)Z一般虛數(shù)(“。0)

虛數(shù)SwO)

純虛數(shù)(4=0)

32.復數(shù)的幾何意義：復數(shù)與平面內(nèi)的點或有序實數(shù)對一一對應。

33.復平面：根據(jù)復數(shù)相等的定義，任何一個復數(shù)z=a+〃，都可以由一個有序

實數(shù)對(。力)唯一確定。由于有序實數(shù)對(。力)與平面直角坐標系中的點對

應，因此復數(shù)集與平面直角坐標系中的點集之間可以建立一一對應。這個建立了

直角坐標系來表示復數(shù)的平面叫做復王面，X軸叫做實軸,V軸叫做虛軸。實軸

上的點都表示實數(shù)，除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數(shù)。

34.求復數(shù)的模(絕對值)與復數(shù)z對應的向量方的模r叫做復數(shù)2=。+次的模

(也叫絕對值)記作忖/a+M。由模的定義可知：\z\=\a+b^=yla2+b2

35.復數(shù)的加、減法運算及幾何意義①復數(shù)的加、減法法則：4=a+從與z?=c+山，

則Z]土Z2=4土c+S土d)i。注：復數(shù)的加、減法運算也可以按回量的加、減法來進

行。

②復數(shù)的乘法法則：(a+bi)(c+di)=(ac-。d)+(ad+bc)i。

③復數(shù)的除法法則：絲￥=胃辿二半==當+”半，?其中c-力叫做實數(shù)化

c+di(c+dt)(c-di)c+d-c+d

因子

36洪輾復數(shù)：兩復數(shù)a+打?與a-萬互為共拆復數(shù)，當府()時，它們叫做共拆虛數(shù)。

常見的運算規(guī)律

(l)|z|=|z|;(2)z+z-2a,z-z-2Z?z;

(3)Z-Z=|Z|2=|Z|2=a2+b2;(4)z=z;(5)z=5=zeR

,iJ.;i_;

(7)(1±z)*=±z;(8)-；=z,-；=-i,

1-f1+i

-1+V3z

(9)設。=i的立方虛根，則1+<y+(y2=0,3*"=。,=萬ty""'=1

高中數(shù)學選修2-3知識點總結

第一章計數(shù)原理

知識點:

1、分類加法計數(shù)原理：做一件事情，完成它有N類辦法，在第一類辦法中有Mi種不同的方法，在第二類

辦法中有M?種不同的方法，……，在第N類辦法中有MN種不同的方法，那么完成這件事情共有

Mi+M2+...+MN種不同的方法。

2、分步乘法計數(shù)原理：做一件事，完成它需要分成N個步驟，做第一步有ml種不同的方法，做第二步

有M?不同的方法，……，做第N步有MN不同的方法.那么完成這件事共有N=MIM2...MN種不同的方法。

3、排列：從"個不同的元素中任取"十脛”)個元素，按照一定順序排成一列，叫做從“個不同元素中取出

m個元素的一個排列

n!

n

4、排列數(shù):A'-n(n-1)…(〃一+1)=(m<n,n,m&N)

(n-m)!

5、組合：從〃個不同的元素中任取用EW7?)個元素并成一組，叫做從〃個不同元素中取出w個元素的一個

組合。

6、組合數(shù)：0嗔組=〃("D…(”…nl

"M加ml(n-in)!

Cw=C〃，

7、二項式定理:

8、二項式通項公

第二章隨機變量及其分布

知識點：

1、隨機變量：如果隨機試驗可能出現(xiàn)的結果可以用一個變量X來表示，并且X是隨著試驗的結果的不同而

變化，那么這樣的變量叫做隨機變量.隨機變量常用大寫字母X、Y等或希臘字母，、n等表示。

2、離散型隨機變量：在上面的射擊、產(chǎn)品檢驗等例子中，對于隨機變量X可能取的值，我們可以按一定次

序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量.

3、離散型隨機變量的分布列：一般的，設離散型隨機變量X可能取的值為"X2,......Xi,……,x?

X取每一個值Xi(i=l,2，……)的概率P(&=x。=Pi,則稱表為離散型隨機變量X的概率分布，簡稱分布列

XXiX2???Xi???Xn

ppiP2???Pi???Pn

4、分布列性質①pi>0,i=1,2,???；②pi+pi+—+pn=1.

5、二點分布：如果隨機變量X的分布列為：

X10

ppq

其中0<p<l,q=l-p,則稱離散型隨機變量X服從參數(shù)p的二點分布

6、超幾何分布：一般地，設總數(shù)為N件的兩類物品，其中一類有M件，從所有物品中任取n(n近N)件，這n

件中所含這類物品件數(shù)X是一個離散型隨機變量，

「k「〃一A

則它取值為時的概率為尸，⑼，

k(X=k)=~cT依=0,1,2,

其中m=min{,且"WN,MWN,n,M,NeN

1條件概率：對任意事件A和事件B,在已知事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率，叫做條件概率.

記作P(B|A),讀作A發(fā)生的條件下B的概率

2公式：

3相互獨立事件：事件A(或B)是否發(fā)生對事件B(或A)發(fā)生的概率沒有影響，這樣的兩個事件叫做相互

獨立事件。P(AB)=P(A)P(B)

4n次獨立重復事件：在同等條件下進行的，各次之間相互獨立的一種試驗

11、二項分布：設在n次獨立重復試驗中某個事件A發(fā)生的次數(shù)，A發(fā)生次數(shù)&是一個隨機變量.如果

在一次試驗中某事件發(fā)生的概率是P，事件A不發(fā)生的概率為q=l-p,那么在n次獨立重復試驗中

P(&=k)=C,,pq(其中k=Q1……R,q=1.p)

于是可得隨機變量4的概率分布如下：

01???k???n

kn-k

P???Qpq???Qpq

這樣的隨機變量&服從二項分布，記作自?B(n,p),其中n,p為參數(shù)

12、數(shù)學期望：一般地，若離散型隨機變量&的概率分布為

X1X2???Xi???

pP1P2???Pi???

則稱E4=xlpl+x2p2+-+xnpn+-為&的數(shù)學期望或平均數(shù)、均值，數(shù)學期望又簡稱為期望.是離散

型隨機變量。

13、方差:D(4)=(X|-E4)2-Pl+(X2-E4)2?P2+……+(Xn-E4)2?P“叫隨機變量&的均方差，簡稱方差。

14、集中分布的期望與方差一覽：

期望方差

兩點分布E€=pDC=pq,q=l-p

二項分布，€?B(n,p)E€=npDg=qEC=npq,(q=l-p)

15、正態(tài)分布：若概率密度曲線就是或近似地是函數(shù)

1

y(x)=——j_=_e2b,%w(—oo,+oo)

的圖像，其中解析式中的實數(shù)〃、b(b>0)是參數(shù)，分別表示總體的平均數(shù)與標準差.

則其分布叫正態(tài)分布t己作：N(〃,cr),f(x)的圖象稱為正態(tài)曲線。

16、基本性質：

①曲線在x軸的上方，與x軸不相交.

②曲線關于直線x=〃對稱，且在x=〃時位于最高點.

③當時X<4,曲線上升；當時*>",曲線下降.并且當曲線向左、右兩邊無限延伸時，以x軸為漸近

線，向它無限靠近.

④當〃一定時，曲線的形狀由°■確定.C越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散；b越小，曲線

越“瘦高”，表示總體的分布越集中.

⑤當。相同時.正態(tài)分布曲線的位置由期望值U來決定.

⑥正態(tài)曲線下的總面積等于1.

17、30"原則：

從上表看到，正態(tài)總體在(〃-2G〃+2b)以外取值的概率只有4.6%,在(〃-3b,〃+3b)以外

取值的概率只有0.3%由于這些概率很小,通常稱這些情況發(fā)生為小概率事件.也就是說，通常認為這些情況

在一次試驗中幾乎是不可能發(fā)生的.

第三章統(tǒng)計案例

知識點：

1、獨立性檢驗

假設有兩個分類變量X和Y,它們的值域分另為｛X1,X2｝和｛yi,y2｝,其樣本頻數(shù)列聯(lián)表為:

yiV2總計

Xiaba+b

X2cdc+d

總計a+cb+da+b+c+d

若要推斷的論述為Hi：“X與Y有關系”，可以利用獨立性檢驗來考察兩個變量是否有關系，并且能較精

確地給出這種判斷的可靠程度。具體的做法是，由表中的數(shù)據(jù)算出隨機變量K"2的值(即K的平方)K2

=n(ad-be)2/[(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)],其中n=a+b+c+d為樣本容量，K?的值越大，說明“X與Y有關系”成

立的可能性越大。

K2<3.841時，X與Y無關；K2>3.841時，X與Y有95%可能性有關；K2>6.635時X與Y有99%可能

性有關

2、回歸分析

1、回歸直線方程y=a+bx

X孫一:初尸刃

其中ba-y-bx

夕」（82）Zu-x）2

n

2、i?檢驗性質：(DIr|Wl,Ir|并且越接近于1,線性相關程度越強，

Ir|越接近于0,線性相關程度越弱；(2)Ir|>ro.05,表明有95%的把握認

為x與Y之間具有線性相關關系；Ir|Wro.o5,我們沒有理由拒絕原來的假設,

這是尋找回歸直線方程毫無意義！

高中數(shù)學選修4--5知識點

1、不等式的基本性質

①（對稱性）a>b<^>b>a

②（傳遞性）a>b.b>c^>a>c

③（可加性）a>ba+c>h+c

（同向可加性）a>b,c>d=>a+c>b+d

（異向可減性）a>b,c<d=>a—c>b—d

④（可積性）a>b,c>Q=>ac>be

a>b>c<。=ac<be

⑤（同向正數(shù)可乘性）a>b>0,c>d>0=>ac>bd

（異向正數(shù)可除性）a>b>QO<c<d=*

⑥（平方法則）a>b>0=>an>bn（nGA^,_0.n>1）

⑦（開方法則）a>b>0=>折>痣（〃eN,且〃>1）

⑧（倒數(shù)法則）6Z>/?>0=>—<—;?</?<0=>—>—

abab

2、幾個重要不等式

a

①。？+/7222aZ;（a,beR）,（當且僅當a=b時取"="號）.變形公式：ab《；’.

②（基本不等式）^^>4ab（a,Z?eR+）,（當且僅當。=〃時取到等號）.

變形公式：a+拓ab<-——.

用基本不等式求最值時（積定和最小，和定積最大）,要注意滿足三個條件“一正、二定、三相等”.

③（三個正數(shù)的算術一幾何平均不等式）"上;匯29赤（〃、鼠ceR+）（當且僅當。=人=。時

取到等號）.

④。2+人2+。2beR）

（當且僅當。=b=c時取到等號）.

⑤/+b，+c3>3abe（a>0,Z?>0,c>0）

（當且僅當。=6=。時取到等號）.

bQ

⑥若Q〃>0,則一+—22（當僅當a=b時取等號）

ab

若0,貝+—2（當僅當a=b時取等號）

ab

bb+m,a+na.八八、

⑦一v------<1<-------<—,（其中m>0,n>0）

aa+mb+nb

規(guī)律：小于1同加則變大，大于1同加則變小.

2

⑧當>a0x<一〃典:>〃；

|x|<tz<=>X2<6Z2<=>—6Z<X<a.

⑨絕對值三角不等式同一同<卜±q<問+網(wǎng).

3、幾個著名不等式

（1b

①平均不等式：~~r<y[ab<.--,（a,be/T,當且僅當。=人時取"="號）.

a'+/?-12V2

（即調(diào)和平均（幾何平均（算術平均4平方平均）.

變形公式：

22i2

a+b\,a+b2

ab<Ia+

22

②塞平均不等式：

Qj+...+?！▇N—（%+%+…+?！ǎ?.

n"

③二維形式的三角不等式：

收+y：+收+%2>J（內(nèi)一龍2）2+（%一月）2（內(nèi),yt,x2,y2eR）.

④二維形式的柯西不等式：

（a2+。2）（，+42）>（ac+M）2（a,b,c,de/?）.當且僅當加=歷時，等號成立.

⑤三維形式的柯西不等式：

（%2+4，+?2）Sj+42+b；）2+（1力）+613b3）2.

⑥一般形式的柯西不等式：

（。「++…+a/）（bj+b；+…+）2（6?|/?|+外包+…+a〃b〃）一,

⑦向量形式的柯西不等式：

設a,4是兩個向量，則卜?尸卜忖阿，當且僅當僅是零向量，或存在實數(shù)Z,使a=k/?時，等

號成立.

⑧排序不等式（排序原理）：

設q<a2<...<an,bxK打<…《勿為兩組實數(shù).。，。2-.,。“是々,打...,包的任一排列，則

哂+3"_]+A+a2c2+...+ancn<afy+a2b2+…+a,/“.（反序和W亂序和《順

序和），當且僅當q