(第22講)向量的數(shù)量積與向量積

3.3向量的數(shù)量積與向量積（第22講）1．向量的數(shù)量積2．兩向量的向量積3、向量的混合積sF解:由物理知,與位移平行的分力作功,與位移垂直的分力不作功.于是1、向量的數(shù)量積例如:設(shè)力F作用于某物體上,物體有一段位移S,求功的表示式.

定義1兩個(gè)向量和的模與它們夾角余弦的乘積叫做向量和的數(shù)量積（也稱“內(nèi)積”或“點(diǎn)積”）。結(jié)論兩向量的數(shù)量積等于其中一個(gè)向量的模和另一個(gè)向量在這向量的方向上的投影的乘積.定義2設(shè)兩個(gè)向量和，且為非零向量，稱為向量在向量上的投影（或射影）。ODAB數(shù)量積具有下列性質(zhì)：（1）當(dāng)和中有一個(gè)為零向量時(shí)，。（2）（可記為，稱為的數(shù)量平方）。（3）兩向量和互相垂直的充分必要條件是

，即。（5）；

數(shù)量積運(yùn)算規(guī)律：（1）交換律：（3）分配律：（2）若為數(shù)：（結(jié)合律）7數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式：于是即由此可得若，均為非零向量，則有兩向量夾角的余弦公式[例3-5]已知，求，

，，。

解：

因?yàn)樗訹例3-6]已知三點(diǎn)，和，求向量與的夾角。

解：因此即單位向量。

[例3-7]在平面上求與已知向量垂直的所以有

解：設(shè)所求單位向量為，因?yàn)樗谄矫嫔希裕挥忠驗(yàn)樗桥c向量垂直的單位向量，單位向量?jī)?nèi)積為0解此方程組得和于是，所求向量為與。[例3-8]如圖所示，設(shè)液體流過(guò)平面上面積為的一個(gè)區(qū)域，液體在區(qū)域上各點(diǎn)處的流速均為(常向量)，設(shè)為垂直于的單位向量，計(jì)算單位時(shí)間內(nèi)經(jīng)過(guò)這區(qū)域流向所指一方的液體的質(zhì)量。（液體密度為）。ASA解：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)流過(guò)這區(qū)域的液體組成一個(gè)底面積為A，斜高為的斜柱體，這柱體的斜高與底面的垂線的夾角就是與的夾角，所以這柱體的高為，體積為

。從而，單位時(shí)間內(nèi)這區(qū)域流向所指一方的液體的質(zhì)量為。2、兩向量的向量積定義3

兩個(gè)向量與的向量積（也稱外積或叉積）是一個(gè)向量，記作,它的模為=sin(

,)，它的方向垂直于與所決定的平面（即，），且按，，的順序構(gòu)成右手系。向量積的性質(zhì)：

向量積符合下列運(yùn)算規(guī)律：（1）反交換律：（3）分配律：（2）結(jié)合律：加例基本單位向量的向量積即或解：

解：由向量積的幾何意義，可知的面積又

于是3、向量的混合積*定義三個(gè)向量的混合積有如下重要性質(zhì)：（1）（2）等于以為棱的平行六面體的體積。

（2）進(jìn)一步說(shuō)明：[例3-11]判斷下列各向量組是否共面？若不共面，求以它們?yōu)槔獾钠叫辛骟w的體積。解：(1)，（2）解：因此有向量的數(shù)量積向量的向量積向量的混合積（結(jié)果是一個(gè)數(shù)量）（結(jié)果是一個(gè)向量）（結(jié)果是一個(gè)數(shù)量）（注意共線、共面的條件）課堂小結(jié)作業(yè)：練習(xí)3.3

2（2）（4）（6）