理論力學(xué)-課件第15章

第十五章動(dòng)力學(xué)普遍方程與拉格朗日方程01動(dòng)力學(xué)普遍方程02拉格朗日方程目錄第一節(jié)動(dòng)力學(xué)普遍方程慣性力利用理想約束條件

得到

或

（15-1）（15-2）動(dòng)力學(xué)普遍方程是用分析法求解質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的基礎(chǔ)，應(yīng)用該方程求解動(dòng)力學(xué)問(wèn)題是方便的，只要把加在質(zhì)點(diǎn)系上的慣性力視為主動(dòng)力，其他與應(yīng)用虛位移原理求解靜力學(xué)問(wèn)題的方法相同。例15-1圖15-1解（1）選研究對(duì)象，分析力。選整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象。作用于系統(tǒng)上的主動(dòng)力有三個(gè)，即三個(gè)重物的重力G,G1,G2。常數(shù)（a）對(duì)式（a）求時(shí)間t的二階導(dǎo)數(shù)，得（b）由此得到在各重物上分別加慣性力，其大小分別為（c）各慣性力的方向分別與各自加速度方向相反，如圖15-1所示。（3）給系統(tǒng)以虛位移。各重物的虛位移如圖15-1所示，它們之間的幾何關(guān)系可由對(duì)約束方程（a）求一階變分得到（d）（4）列動(dòng)力學(xué)普遍方程，求解未知量。由動(dòng)力學(xué)普遍方程，得

（e）或（f）將式（d）代入式（f）得到（g）（h）再將式（c）代入式（h），并整理可得（i）例15-2

圖15-2解（2）分析系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)，加慣性力。系統(tǒng)中各物體均做直線平動(dòng)。選坐標(biāo)系Oxy，可得到約束方程為（a）

（b）在A三角塊、BC桿上分別加慣性力，其大小各為各慣性力的方向分別與各自加速度方向相反，如圖15-2所示。（3）給系統(tǒng)以虛位移。沿運(yùn)動(dòng)方向給各重物虛位移，它們之間的幾何關(guān)系可由對(duì)約束方程（a）求一階變分得到（c）（4）列動(dòng)力學(xué)普遍方程，求解

。由動(dòng)力學(xué)普遍方程，得到（d）將式（c）代入式（d），得到（e）由于

為非零的獨(dú)立變量，所以（f）即可見(jiàn)，第二節(jié)拉格朗日方程拉格朗日方程從動(dòng)力學(xué)普遍方程（15-1）來(lái)推導(dǎo)廣義坐標(biāo)下完整系統(tǒng)的拉格朗日方程

（15-3）（13-5）式（13-5）表明，如果對(duì)質(zhì)點(diǎn)系中每個(gè)質(zhì)點(diǎn)都假想地加上各自的慣性力，則質(zhì)點(diǎn)系的所有外力和所有質(zhì)點(diǎn)的慣性力組成平均力系，這就是質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗貝爾原理。在應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗貝爾原理求解動(dòng)力學(xué)的問(wèn)題時(shí)，取投影形式的平衡方程。若取直角坐標(biāo)系，則對(duì)于平面任意力系有（13-6）由第十四章第六節(jié)已經(jīng)得到主動(dòng)力的虛功表達(dá)式為（15-4）式中

.（15-5）（15-6）所以式（15-7）可改寫成（15-8）（15-9）（15-10）另外，由同一式（15-9），又可得到（15-11）（15-12）這里引入了質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能表達(dá)式由動(dòng)力學(xué)普遍方程式（15-1），可得按式（15-4）和（15-6），上式又可寫成（15-13）（15-14）這些等式表明，質(zhì)點(diǎn)系的廣義力與廣義慣性力相互平衡，根據(jù)式（15-12），方程（15-14）可以寫成如下形式（15-15）方程（15-15）稱為拉格朗日方程。對(duì)于保守系統(tǒng)，即作用在質(zhì)點(diǎn)系的主動(dòng)力是有勢(shì)力，則由式（14-16）廣義力拉格朗日方程（15-15）可寫為（15-16）式（15-16）又可寫成或（15-17）用拉格朗日方程求解動(dòng)力學(xué)問(wèn)題時(shí)，可按如下步驟進(jìn)行。因?yàn)楸Ｊ叵到y(tǒng)質(zhì)點(diǎn)系的勢(shì)能僅是廣義坐標(biāo)的函數(shù)，與廣義速度無(wú)關(guān)，所以（1）分析題意，選擇研究對(duì)象。（6）代入拉格朗日方程，利用初始條件，求解k個(gè)二階常微分方程。（3）計(jì)算質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能，并用廣義坐標(biāo)和廣義速度表示。（2）分析質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng)，判斷其自由度數(shù)，選定合適的廣義坐標(biāo)。例15-3

解圖15-3（4）計(jì)算廣義力。其中計(jì)入了（5）代入拉格朗日方程。將上述各表達(dá)式代入拉格朗日方程，得則即故振動(dòng)的周期例15-4解

圖15-4（a）所以齒輪Ⅱ的角速度為（b）齒輪Ⅲ上D點(diǎn)速度為（c）所以齒輪Ⅲ的角速度為（d）系桿AB動(dòng)能為齒輪Ⅱ的動(dòng)能為齒輪Ⅲ的動(dòng)能為系統(tǒng)的動(dòng)能為（3）計(jì)算廣義力。又由（d），可得到所以（5）列拉格朗日方程將上述各項(xiàng)代入拉格朗日方程得到

所以系桿的角加速度為例15-5

長(zhǎng)為3r，質(zhì)量為m的均質(zhì)桿OA，以光滑銷釘連接在半徑為r、質(zhì)量為m的均質(zhì)圓盤中心O上，圓盤在水平軌道上做純滾動(dòng)，求此系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。機(jī)構(gòu)位置及幾何尺寸如圖15-5所示。解（2）分析系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)，計(jì)算系統(tǒng)的動(dòng)能。桿OA、輪O均做平面運(yùn)動(dòng)，輪O的動(dòng)能為（a）式中圖15-5所以（b）OA桿的動(dòng)能為（c）式中

（d）選坐標(biāo)系Oxy如圖15-5所示，則式（d）的投影方程為所以因微幅振動(dòng)，故有所以（e）將式（e）代入式（c），得到（f）系統(tǒng)的動(dòng)能為（3）計(jì)算系統(tǒng)的勢(shì)能V，