2023-2024學年九年級數(shù)學上冊單元速記·巧練（北師大版）第4章 圖形的相似（壓軸題專練）（解析版）（北師大版）

第4章圖形的相似（壓軸題專練）題型01：相似三角形的解答證明題1．在中，為邊上一點．

(1)如圖1，若，求證：．(2)若為的中點，，①如圖2，若，，求的長；②如圖3，若，，直接寫出的長．【答案】(1)見解析(2)①3；②【分析】（1）根據(jù)已知條件得出，又，即可得證；（2）①解法：延長到點，使，連結，設：，則，，，證明，根據(jù)相似三角形的性質列出方程，解方程，即可求解；①解法：取中點，連結，設：，則，證明，根據(jù)相似三角形的性質列出方程，解方程，即可求解；②解法：延長到點，使，連結，過點作于點，證明，得出，在中，，則，建立方程，解方程，即可求解；②解法：過點作于點，在上取點，使，在中，勾股定理求得，證明，得出，解方程，即可求解．【解析】（1）∵，即∵，∴；（2）

①解法：延長到點，使，連結設：，則，，為的中點，為的中點，是的中位線，，，，，，解得：，（不合題意舍去）

①解法：取中點，連結設：，則為的中點，為的中點是的中位線，且，，，，解得：，（不合題意舍去），②解法：延長到點，使，連結，過點作于點，

設：，中，，，中，，，，，為的中點，為的中點是的中位線，，，，，，，，，在中，，即解得：，（不合題意舍去）②解法：過點作于點，在上取點，使，

設：，中，，，中，，，，，，，，在中，，，為的中點，，，，，即，，，，解得：，（不合題意舍去）【點睛】本題主要考查三角形的綜合性題目，包括相似三角形的判定和性質，三角形中點的性質，三角形內角和定理等，熟練掌握運用這些知識點是解題關鍵．2．已知：在中，，點E是的中點，F(xiàn)是直線上一點，連接，將沿著折疊，點C的對應點為D，連接．

(1)如圖1，若點D在線段上，求證：；(2)如圖2，與交于點M，連接，若，求證：點M是的中點；(3)如圖3，點F在延長線上，與交于點M，交于點N，若，，求．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【分析】（1）連接，由折疊性質得到，，由中點性質得到，推出點A、D、C三點在以為直徑的圓上，，根據(jù)垂直同一直線的兩直線平行，即可得到結論；（2）根據(jù)平行線性質得到，根據(jù)，得到，推出，得到點A、F、C三點在以為直徑的圓上，，設，得到，推出，推出∠MAF＝∠MFA，據(jù)此即可證明結論；（3）連接、，設∠C＝α，根據(jù)，結合折疊與中點性質，得到，推出，根據(jù)三角形外角性質以及折疊性質，得到，根據(jù)等邊對等角，得到，根據(jù)，推出，得到，推出，得到，推出，得到，得到，推出，根據(jù)，得到，得到．【解析】（1）證明：連接，

由折疊可知，，，∵點E是的中點，∴，∴點A、D、C三點在以為直徑的圓上，∴，即，∴；（2）證明：由（1）知，∴，∵，∴，∴，∴點A、F、C三點在以為直徑的圓上，

∴，設，∴，∴，∴，即，∴，即點M是的中點；（3）解：連接、，

設，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，

∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，同理，∴，∴．【點睛】本題主要考查了等腰三角形，翻折，勾股定理，相似三角形，圓周角，熟練掌握等腰三角形的判定與性質，翻折的性質，勾股定理解直角三角形，相似三角形的判定與性質，圓周角定理推論，是解決問題的關鍵．3．在中，，在中，，且．

(1)如圖1，當時，連接，請直接寫出線段和線段的數(shù)量關系；(2)當時，繞點C逆時針旋轉到如圖2的位置，時，試猜想線段三條線段之間的數(shù)量關系，并證明你的猜想；(3)當時，繞點C逆時針旋轉到如圖3的位置，時，請直接寫出線段三條線段之間的數(shù)量關系．【答案】(1)(2)，證明見解析(3)【分析】（1）根據(jù)條件證明即可；（2）連接，根據(jù)第（1）問和，可得，根據(jù)勾股定理即可證明；（3）連接，根據(jù)條件證明，同（2）可證，利用相似三角形的性質即可求解．【解析】（1）解：，∵，，，∴都是等邊三角形，∴，∴，∴，∴；（2）解：，連接，如圖，

由（1）得，，∴，∵，∴，∵，，∴∴，∴，∵，∴；（3）解：，連接，如圖，

∵都是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，同第（2）問可證：，∴，∵，∴，∴；【點睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了等邊三角形的性質，等腰直角三角形的性質，勾股定理，全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形解決問題，屬于中考壓軸題．4．某校組織數(shù)學興趣探究活動，愛思考的小實同學在探究兩條直線的位置關系查閱資料時發(fā)現(xiàn)，兩條中線互相垂直的三角形稱為“中垂三角形”如圖、圖、圖中，、是的中線，于點，像這樣的三角形均稱為“中垂三角形”．

【特例探究】(1)如圖，當，時，______，______；如圖，當，時，______，______；【歸納證明】(2)請你觀察（）中的計算結果，猜想、、三者之間的關系，用等式表示出來，并利用圖證明你的結論．【拓展證明】(3)如圖，在中，，，、、分別是邊、、的中點，連結并延長至，使得，連結，當于點時，求的長．【答案】(1)，，，；(2)、、三者之間的關系是：，證明見解析；(3)【分析】（1）如圖，連接，證，得，，從而得，進而根據(jù)勾股定理即可求解、的長，同理可得當，時，、的長；（2）設，則，，由勾股定理得，，，從而即可得解；（3）如圖，連接，，過點作交于點，與交于點，證四邊形是平行四邊形，得是的中點，是中垂三角形，從而根據(jù)即可求解．【解析】（1）解：，，，，，如圖，連接，

，是的中線，是的中位線，且，∴，，∴，，，由勾股定理得：，，如圖，，，，，，、是的中線，∴同理可得：，，由勾股定理得：，，，，故答案為：，，，；（2）解：猜想：、、三者之間的關系是：，證明：如圖，設，則，，在中，，在中，，在中，，由得：，由得：，；（3）解：如圖，連接，，過點作交于點，與交于點，

，，，是的中點，是的中點，、分別是、的中點，，，，，，四邊形是平行四邊形，是的中點，是中垂三角形，，，，，由（）中結論可知：，即，【點睛】本題主要考查了勾股定理、平行四邊形的判定及性質，相似三角形的判定及性質以及中點定義，熟練掌握勾股定理及性質是解題的關鍵．題型02：相似三角形在特殊平行四邊形中的應用5．已知四邊形是菱形，，．

(1)如圖1，P是上一點，連接并延長，交的延長線于點E，交于點F，若，①求的長；②求的長；(2)如圖2，M是的中點，連接，過點M作交的延長線于點N，點Q在上，連接，分別過點B，N作直線的垂線，垂足分別為G，H，若，求的長；(3)如圖3，J為上一點，L為上一點，，分別過點J，L作，的平行線，兩條直線交于點K，將四邊形繞點B順時針旋轉，如圖4，直線交直線于點R，求的值及的度數(shù)．【答案】(1)①；②；(2)；(3)，【分析】（1）①利用菱形和相似三角形的性質求解即可；②作，利用勾股定理求得，，再利用相似三角形的性質求解即可；（2）作，，利用勾股定理以及相似三角形的性質求解即可；（3）連接、交于點，連接，交于點，利用勾股定理以及相似三角形的性質求解即可．【解析】（1）解：①四邊形是菱形∴，∴∴∵∴，解得；②作，如下圖：

∵∴，∴，∴由題意可得：∴，∴，∴，；（2）作，，如下圖：

則四邊形為矩形，則∴，∵為的中點，∴∴，∵∴∴∴∴∴，即，∵，∴∴，∴∴∴，即解得∴（3）連接、交于點，連接，交于點，設交于，

∵四邊形是菱形，∴四邊形是菱形，，，∴，，∴，，，∴，∴，∴∵，∴∴∴，在和中，，，∴【點睛】此題考查了菱形的判定與性質，含30度直角三角形的性質，勾股定理，相似三角形的判定與性質，旋轉的性質等，解題的關鍵是熟練掌握相關基礎性質，作出輔助線，構造出“手拉手”模型．6．（1）發(fā)現(xiàn)：如圖①所示，在正方形中，為邊上一點，將沿翻折到處，延長交邊于點，求證：；（2）探究：如圖②，在矩形中，為邊上一點，且，，將沿翻折到處，延長交邊于點，延長交邊于點，且，求的長．（3）拓展：如圖③，在菱形中，，為邊上的三等分點，．將沿翻折得到，直線交于點，求的長．

【答案】（1）見解析；（2）；（3）的長為或．【分析】（1）先證明，，結合公共邊從而可得結論；（2）延長，交于，如圖：設，則，由，可得，證明，再利用相似三角形的性質可得答案；（3）分兩種情況討論：當時，延長交于，過作于，如圖：設，，則，證明，可得，再證明，即①，由，可得②，聯(lián)立①②可解得，可得答案；當時，延長交延長線于，過作交延長線于，如圖：設，，則，同理可得：，即，由得：，可解得，從而可得答案．【解析】（1）證明：將沿翻折到處，四邊形是正方形，，，，，，；（2）解：延長，交于，如圖：

設，則，在中，，，解得，，，，，，即，，，（3）（Ⅰ）當時，延長交于，過作于，如圖：

設，，則，∵，，，，沿翻折得到，，，，是的角平分線，∴E到，的距離相等，設這個距離為，∴，，即①，，，，，在中，，②，聯(lián)立①②可解得，（不符合題意的根舍去）；（Ⅱ）當時，延長交延長線于，過作交延長線于，如圖：

設，，則，同理，同理可得：，即，由得：，可解得，（不符合題意的根舍去）同理可得：，，綜上所述，的長為或．【點睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質，勾股定理的應用，矩形，菱形，正方形的性質，角平分線的性質，相似三角形的判定與性質，一元二次方程的解法，清晰的分類討論是解本題的關鍵．7．綜合與實踐

(1)【操作發(fā)現(xiàn)】如圖，諸葛小組將正方形紙片沿過點的直線折疊，使點落在正方形內部的點處，折痕為，再將紙片沿過點的直線折疊，使與重合，折痕為，請寫出圖中的一個角；(2)【拓展探究】如圖，孔明小組繼續(xù)將正方形紙片沿繼續(xù)折疊，點的對應點恰好落在折痕上的點處，連接交于點．度；若，求線段的長；(3)【遷移應用】如圖，在矩形，點，分別在邊，上，將矩形沿，折疊，點落在點處，點落在點處，點，，恰好在同一直線上，若點為的三等分點，，，請直接寫出線段的長．【答案】(1)；(2)；；(3)或．【分析】（）由是正方形，得出，再根據(jù)折疊的性質得:，，即可求解；（）由是正方形，得，由折疊的性質得:，，，則，由()得:，所以是等腰直角三角形，則，，求出即可求解；由可知，，則有，又由角所對直角邊是斜邊的一半及勾股定理，線段和差即可求解；（）先添加輔助線，然后分兩種情形：當，當，分別求解即可．【解析】（1）結論:，

理由：∵四邊形是正方形，∴，由折疊的性質得:，，∴，∴（2）∵四邊形是正方形，∴，由折疊的性質得:，，，∴，由()得:，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴，∴，故答案為：；∵四邊形是正方形，∴，∵，∴，∵，∴，，，∴，在中，，∴，∴，（3）如圖中，在上取一點，使得，過點作于點，交于點，連接，

當時，，，∵，∴，∴，∴，∴，由()可知，設，則，，，在中，由勾股定理得：，即：，解得：，∴，當時,同法可得，綜上所述，滿足條件的的值為：或．【點睛】此題考查了正方形的性質、翻折變換的性質、全等三角形的判定與性質、等腰直角三角形的判定與性質、解直角三角形等知識，熟練掌握正方形的性質和翻折變換的性質，證出是解題的關鍵．8．在矩形中，點E是射線上一動點，連接，過點B作BF⊥AC于點G，交直線于點F．

(1)當矩形是正方形時，以點F為直角頂點在正方形的外部作等腰直角三角形，連接．如圖1，則線段與之間的數(shù)量關系是，位置關系是；(2)如圖2，若點E在線段上，以點F為直角頂點在矩形的外部作直角三角形，且，連接．判斷線段與之間的數(shù)量關系與位置關系，并證明；(3)如圖3，若點E在線段的延長線上，F(xiàn)在線段的延長線上，且，，M是中點，連接，，求的值．【答案】(1)，(2)，，理由見解析(3)【分析】（1）證明，從而得出，進而證得四邊形是平行四邊形，進一步得出結論；（2）證明，從而，進而證明，四邊形是平行四邊形，進一步得出結論；（3）取的中點N，作于T，證明，從而，從而得到，根據(jù)三角形中位線定理可得，進而證得，從而，可解得，進一步求得結果．【解析】（1）解：四邊形是正方形，，，，，，，，，是等腰直角三角形，，，，四邊形是平行四邊形，，，故答案為：，；（2）解：四邊形是矩形，，，，，，，，，是直角三角形，，，，，四邊形是平行四邊形，，；（3），，，取的中點N，作于T，四邊形是矩形，，，，，，，，，，，M是的中點，，，，，，，，，．

【點睛】本題考查了正方形，矩形的性質，相似三角形的判定和性質，解直角三角形，三角形中位線定理等知識，解決問題的關鍵是作輔助線，構造三角形的中位線．題型03：相似三角形與平面直角坐標系9．如圖1，在平面直角坐標系中，直線過點，，與軸交于點．點，分別為線段，上的一點（不含端點），且．

(1)求和的值；(2)當與中的一個角相等時，求線段的長；(3)如圖2，連接交于點，將點繞點逆時針旋轉至點，若點到軸的距離恰好等于的長，求的面積．【答案】(1)，(2)或(3)【分析】（1）將代入求出k的值，得出一次函數(shù)解析式，將代入求出a的值即可；（2）分三種情況：當時，當時，當時，分別畫出圖形，求出結果即可；（3）連接，，過點作于點N，于點M，證明，得出，證明四邊形為正方形，得出，證明為等腰直角三角形，得出，求出，得出，設，則，證明，得出，即，求出，根據(jù)三角形面積公式求出結果即可．【解析】（1）解：將代入，解得．將代入，得．（2）解：①當時，點與點重合，舍去②當時，此時，過點作于點，

∵，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，設，則，即，解得：，經(jīng)檢驗是原方程的解，∴；③當時，作于點

∵平分，，，∴，∵，∴；綜上分析可知，或；（3）解：連接，，過點作于點N，于點M，如圖所示：

由題意可得，，根據(jù)旋轉可知，且，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴四邊形為矩形，∵，∴四邊形為正方形，∴，∵，∴，∴，∴為等腰直角三角形，∴，把代入得：，∴，∴，設，則，∵，∴，∴，即，解得，∴．【點睛】本題主要考查了三角形全等的判定和性質，正方形的判定和性質，平行線分線段成比例，三角形相似的判定和性質，求一次函數(shù)的函數(shù)值，解題關鍵是數(shù)形結合，畫出相應的圖形，作出輔助線，注意進行分類討論．10．如圖1，已知直線交x軸于，交y軸于B．

(1)直接寫出k的值為_________；B點坐標為_________；(2)如圖2，過點的直線與交于點P，點Q為射線上一動點，若點Q到直線的距離為，求點Q的橫坐標t的值；(3)如圖3，已知點，點為直線右側一點，且滿足，求點N坐標．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）待定系數(shù)法求出的值，進而求出B點坐標即可；（2）待定系數(shù)法求出直線的解析式，進而求出點坐標，過點作軸于點，過點作于點，軸交于點，證明，得到，進行求解即可；（3）在軸上取一點，連接，過點作，交于點，過點作于點，先證明，進而得到，求出點坐標，進而求出直線的解析式，將點坐標代入求解即可．【解析】（1）解：∵直線交x軸于，∴，∴，∴，當時，，∴；故答案為：；（2）∵過點的直線與交于點P，∴，∴，∴，聯(lián)立，解得：，∴，過點作軸于點，則：，∵，∴，∴，∵點Q為射線上一動點，點Q到直線的距離為，Q的橫坐標為t，

則：，過點作于點，軸交于點，則：，，，，∴，，∵，∴，∴，即：，解得：．（3）在軸上取一點，連接，過點作，交于點，過點作于點，

則：，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，即：，∴，∴，又，，∴，∴，，∴，∴，設直線的解析式為：，則：，解得：，∴，∵在直線上，∴，∴，∴．【點睛】本題考查一次函數(shù)與幾何的綜合應用，同時考查了等腰三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，本題的綜合性強，難度較大，屬于壓軸題，解題的關鍵是利用數(shù)形結合的思想，通過添加輔助線證明三角形全等和相似．11．如圖1，在平面直角坐標系中，正方形的頂點在軸的正半軸上．如圖2，將正方形繞點逆時針旋轉，旋轉角為，交直線于點，交軸于點．

(1)當旋轉角為多少度時，；（直接寫出結果，不要求寫解答過程）(2)若點，①求的長；②連接對角線交直線于點，求的長；(3)如圖3，對角線交軸于點，交直線于點，連接．將與的面積分別記為與，設，，求關于的函數(shù)表達式．【答案】(1)(2)①

②(3)【分析】（1）在軸正半軸任取一點，根據(jù)題意可知，，可證得，結合即可求得答案．（2）如圖所示，過點作軸的垂線，交軸于點，過點作軸的垂線，交軸于點，過點作軸的垂線，交軸于點．①可證得，得到即可求得答案．②先證得，即可求得點的坐標，采用待定系數(shù)法，即可求得直線的函數(shù)解析式，進而可求得點的坐標，即可求得答案．（3）連接，，證得，得到，設正方形的邊長為，可得的表達式，證明，可得為等腰直角三角形，進而可得的表達式．【解析】（1）如圖所示，在軸正半軸任取一點．

根據(jù)題意可知，．在和中∴．∴．∴．∴．∴．（2）如圖所示，過點作軸的垂線，交軸于點，過點作軸的垂線，交軸于點，過點作軸的垂線，交軸于點．

①根據(jù)題意可知，，，∴．根據(jù)題意可知，，，，∴．∴．∴．②∵，∴．∴．根據(jù)題意可知，．∵，，∴．在和中∴．∴，．∴所以，點的坐標為．設直線的函數(shù)解析式為．因為的圖象經(jīng)過點，，所以．解得．所以，直線的函數(shù)解析式為．根據(jù)題意可知，的圖象與的圖象的交點即為點，所以．解得．∴點的坐標為．∴．∴．∴．（3）如圖所示，連接，．

∵，，∴．∴．∵，，∴．又，∴．∴．∴．設正方形的邊長為，則，∴．∵，∴．又，∴．∴．又，∴為等腰直角三角形．∴．∴．∴．∴．∴．∴．【點睛】本題主要考查平面直角坐標系、圖形的旋轉、一次函數(shù)、相似三角形的判定及性質、勾股定理、全等三角形的判定及性質，能根據(jù)題意構建輔助線是解題的關鍵．12．如圖所示，直線與軸相交于點，與y軸相交于點B，將沿著y軸折疊，使點A落在x軸上，點A的對應點為點C．

(1)求點C的坐標；(2)設點P為線段上的一個動點，點P與點A、C不重合，連接，以點P為端點作射線交于點M，使，①求證：；②是否存在點P使為直角三角形?若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)C(2)①見解析；②存在，點P有兩個P1?【分析】（1）根據(jù)A與C關于y軸對稱，據(jù)此即可確定C的坐標；（2）①根據(jù)點C與點A關于y軸對稱，即可得到BC=BA，則∠BCP=∠MAP，再根據(jù)三角形的外角的性質即可證得∠PMA=∠BPC，從而證得兩個三角形相似；②首先求得B的坐標，當∠PBM=90°時，則有△BPO∽△ABO，根據(jù)相似三角形的對應邊的比相等，即可求得PO的長，求得當∠PMB=90°時，則∠PMA=90°時，BP⊥AC，則此時點P與點O重合．則P的坐標可以求得．【解析】（1）解：∵A4,0，且點C與點A關于y∴C?4,0（2）①證明：∵∠BPM=∠BAC，且∠PMA=∠BPM+∠PBM，∠BPC=∠BAC+∠PBM，∴∠PMA=∠BPC，又∵點C與點A關于y軸對稱，且∠BPM=∠BAC，∴∠BCP=∠MAP，∴△PBC∽②解：存在．由題意：A4,0，B0,3，當∠PBM=90°時，則有△BPO∽∴POBO=BO∴PO=94，即：當∠PMB=90°時，則∠PMA=90°，∴∠PAM+∠MPA=90°，∵∠BPM=∠BAC，∴∠BPM+∠APM=90°，∴BP⊥AC，∵過點B只有一條直線與AC垂直，∴此時點P與點O重合，即：符合條件的點P2的坐標為：P∴使△PBM為直角三角形的點P有兩個P1?9【點睛】本題是屬于一次函數(shù)綜合題，考查了相似三角形的判定和性質、待定系數(shù)法、一次函數(shù)的應用等知識，解題的關鍵是學會用分類討論的思想思考問題是解題關鍵．題型04：動點問題13．探究式學習是新課程倡導的重要學習方式，某興趣小組擬做以下探究．在中，，D是邊上一點，且（n為正整數(shù)），E是邊上的動點，過點D作的垂線交直線于點F．

【初步感知】(1)如圖1，當時，興趣小組探究得出結論：，請寫出證明過程．【深入探究】(2)①如圖2，當，且點F在線段上時，試探究線段之間的數(shù)量關系，請寫出結論并證明；②請通過類比、歸納、猜想，探究出線段之間數(shù)量關系的一般結論（直接寫出結論，不必證明）【拓展運用】(3)如圖3，連接，設的中點為M．若，求點E從點A運動到點C的過程中，點M運動的路徑長（用含n的代數(shù)式表示）．【答案】(1)見解析(2)①AE+12BF=23AB，證明過程略；②當點F在射線BC上時，AE+(3)n【分析】（1）連接CD，當n=1時，ADBD=1，即AD=BD，證明AD=CD，從而得到（2）①過BD的中點G作BC的平行線，交DF于點J，交AC于點H，當n=2時，AD=DG，根據(jù)GH∥BC，可得△AHG是等腰直角三角形，JG=12FB，根據(jù)（1）中結論可得AE+JG=22②分類討論，即當點F在射線BC上時；當點F在CB延長線上時，畫出圖形，根據(jù)①中的原理即可解答；（3）如圖，當E1與A重合時，取E1F1的中點M1，當E2與C重合時，取E2F2的中點M2，可得【解析】（1）證明：如圖，連接CD，

當n=1時，ADBD=1，即∵∠C=90°,AC=BC，∴∠A=∠B=45°，CD⊥AB，∠FCD=1∴CD=AD，AB=2BC，即∵DE⊥FD，∴∠ADE+∠EDC=∠FDC+∠EDC=90°，∴∠ADE=∠CDF在△ADE與△CDF中，∠ADE=∠CDFDA=DC∴△ADE≌△CDFASA∴AE=CF，∴BC=CF+BF=AE+BF=2（2）①AE+證明：如圖，過BD的中點G作BC的平行線，交DF于點J，交AC于點H，

當n=2時，ADDB=1∵G是DB的中點，∴AD=DG，AG=2∵HG∥∴∠AHG=∠C=90°，∠HGA=∠B=45°，∵∠A=45°，∴△AHG是等腰直角三角形，且△DJG∽△DBF，∴JG根據(jù)（1）中的結論可得AE+JG=2∴AE+JG=AE+1故線段AE，BF，②解：當點F在射線BC上時，如圖，在DB上取一點G使得AD=DG，過G作BC的平行線，交DF于點J，交AC于點H，

同①，可得AE+JG=2∵ADBD=∴DGBD=同①可得JGFB∴AE+JG=AE+1即線段AE，BF，當點F在CB延長線上時，如圖，在DB上取一點G使得AD=DG，過G作BC的平行線，交DF于點J，交AC于點H，連接HD

同（1）中原理，可證明△DHE≌△DGJASA可得AE?GJ=2∵ADBD=∴DGBD=同①可得JGFB∴AE?JG=AE?即線段AE，BF，綜上所述，當點F在射線BC上時，AE+1nBF=2n+1AB；當點（3）解：如圖，當E1與A重合時，取E1F1的中點M1，當E2與C重合時，取E2

如圖，以點D為原點，DF1為y軸，DB為x軸建立平面直角坐標系，過點E2作AB的垂線段，交AB于點G，過點F2作AB的垂線段，交

∵AB=22∴AD=22n+1∴E∵∠F∴F∴F∵M1是∴M∵GB=GC=1∴DG=DB?BG=?∴E根據(jù)（2）中的結論AE∴BF∴BH=F∴DH=DB+BH=2∴F∴M∴M【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，全等三角形的判定及性質，相似三角形的判定及性質，平行線的性質，正確地畫出圖形，作出輔助線，找對邊之間的關系是解題的關鍵．14．某托管服務數(shù)學興趣小組針對如下問題進行探究，在等邊中，，點在射線上運動，連接，以為一邊在右側作等邊．

(1)【問題發(fā)現(xiàn)】如圖（1），當點在線段上運動時不與點重合,連接則線段與的數(shù)量關系是___________；直線與的位置關系是___________；(2)【拓展延伸】如圖（2），當點在線段的延長線上運動時，直線相交于點，請?zhí)骄康拿娣e與的面積之間的數(shù)量關系；(3)【問題解決】當點在射線上運動時點不與點重合，直線相交于點，若的面積是，請求出線段的長．【答案】(1)(2)(3)1或4【分析】（1）證，得，再證，則；（2）證，得，再證，即可解決問題；（3）由（1）（2）可知，，則，則，再證，得，設當點在線段上時則，求出，則，解方程即可；當點在線段的延長線上時，解法同上．【解析】（1）解：和是等邊三角形，，，即，，，，，故答案為：；（2）解：，理由如下：和是等邊三角形，，，即，，，，；（3）解：由（1）（2）可知，無論點在線段上還是在線段的延長線上，都有，，，，，的邊上的高的邊上的高，，，，，，設，當點在線段上時，如圖，

則，，，，，整理得：，解得：（不符合題意，舍去），；當點在線段的延長線上時，如圖，

則，，，，，整理得：，解得：（不符合題意，舍去），；綜上所述，線段的長為或．【點睛】本題是三角形綜合題目，考查了全等三角形的判定與性質、等邊三角形的性質、相似三角形的判定與性質、平行線的判定與性質、三角形面積、一元二次方程的解法以及分類討論等知識，本題綜合性強，熟練掌握等邊三角形的性質，證明三角形全等和三角形相似是解題的關鍵，屬于中考?？碱}型．15．綜合與實踐課上，老師讓同學們以“矩形與垂直”為主題開展數(shù)學活動．(1)操作判斷如圖1，正方形紙片，在邊上任意取一點，連接，過點作于點，與邊交于點．根據(jù)以上操作，請直接寫出圖1中線段與線段的關系．

(2)遷移探究小華將正方形紙片換成矩形紙片，繼續(xù)探究，過程如下：如圖2，在矩形紙片中，，在邊上任意取一點，連接，過點作于點，與邊交于點，請求出線段與的關系，并說明理由．

(3)拓展應用如圖3，已知正方形紙片的邊長為2，動點由點向終點做勻速運動，動點由點向終點做勻速運動，動點、同時開始運動，且速度相同，連接、，交于點，連接，則線段長度的最小值為______，點的運動軌跡的長為______．（直接寫出答案不必說明理由）

【答案】(1)(2)，理由見解析(3)；【分析】（1）由四邊形是正方形，得，進一步可得，所以，結論得證．（2）由四邊形是矩形，得，進一步可證，所以，于是，證得.（3）取的中點，連接，，由（1）可得，可證，；中，勾股定理求得；由得的最小值是；由，知、、三點共圓，所以點在以點為圓心，在以半徑為1的圓上運動，進而求得運動軌跡的長為．【解析】（1）∵四邊形是正方形，∴，又，∴，∴，∴，在和中，∵，，∴，∴．（2）∵四邊形是矩形，∴，，又，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴．（3）如圖，取的中點，連接，，

由題意知，，由（1）可得，∴∵∴，∴，∵是的中點，，∴，在中，；在中，∵，∴的最小值是，∵，∴、、三點共圓，∴點在以點為圓心，在以半徑為1的圓上運動，∴點的運動軌跡的長為：，故答案為：；【點睛】本題考查正方形的性質、全等三角形判定和性質、相似三角形的判定和性質，直角三角形斜邊中線性質，兩點之間線段最短；合理添設輔助線，借助圖中合適的定點運用兩點之間線段最短是解題的關鍵．題型05：動態(tài)幾何16．綜合與實踐綜合與實踐課上，數(shù)學老師讓同學們以“矩形的旋轉”為主題開展教學活動．【操作判斷】

如圖①，在矩形中，，點M，P分別在邊，上（均不與端點重合）且，以和為鄰邊作矩形，連接，．（1）如圖②，當時，與的數(shù)量關系為，與的數(shù)量關系為．【遷移探究】（2）如圖③，當時，天天先將矩形繞點A順時針旋轉，再連接，則CN與之間的數(shù)量關系是．【拓展應用】（3）在（2）的條件下，已知，，當矩形旋轉至C，N，M三點共線時，求線段的長．【答案】（1），；（2）；（3）線段的長為或【分析】（1）當時，，，則，所以，再證明，，三點在同一條直線上，由勾股定理得，，所以，于是得到問題的答案；（2）先證明，得，，則，，即可證明，再根據(jù)勾股定理求得，則，所以；（3）分兩種情況，一是，，三點共線，且點在線段上，由勾股定理求得，則；二是，，三點共線，且點在線段的延長線上，由勾股定理求得，則．【解析】解：（1）當時，，，，，四邊形和四邊形都是正方形，，，，，，，，，三點在同一條直線上，，，，，，故答案為：，；（2）發(fā)生變化，，理由：如圖3，連接，當時，則，，

，，，，，，，，，，，，；（3），，，，，，如圖4，，，三點共線，且點在線段上，

，，，如圖5，，，三點共線，且點在線段的延長線上，

，，綜上所述，線段的長是或．【點睛】本題重點考查矩形的性質、正方形的性質、旋轉的性質、相似三角形的判定與性質、勾股定理、數(shù)形結合與分類討論思想的運用等知識與方法，本題綜合性強，難度較大，正確地作出所需要的輔助線是解題關鍵．17．如圖，在平面直角坐標系中，正方形的兩直角邊分別在坐標軸的正半軸上，分別取的中點，連接，已知．

(1)求證：．(2)求的面積．(3)將沿翻折，使得落在點處，連接．若點在軸正半軸上（異于點），點在軸上，要使得以點，為頂點的三角形與相似，求點的坐標；若不存在，試說明理由．【答案】(1)見解析(2)6(3)存在，點的坐標為或或或【分析】（1）根據(jù)正方形的性質，得出，再根據(jù)中點的定義，得出，再根據(jù)“邊角邊”，得出，再根據(jù)全等三角形的性質，即可得出結論；（2）連接，根據(jù)（1）可知，再根據(jù)全等三角形的性質，得出，再根據(jù)面積之間的數(shù)量關系，計算即可得出答案；（3）分兩種情況：點在軸的上方時和點在軸的下方時，進行討論解答即可．【解析】（1）證明：四邊形是正方形，，分別是的中點，，，；（2）解：如圖，連接，

由（1）可知：，，又∵，∴，．（3）解：存在，理由如下：設交于，

垂直平分，垂直平分，，在的垂直平分線上，即在上且，，，，，①點在軸的上方，有圖2，圖3兩種情形：如圖2中，過點作于，過點作軸于，交于，設．

，，，，是的中位線，，，，，，，，，，，．如圖3中，過點作軸于，過點作軸交于，延長交于．

同法可證：，，設，，，是的中位線，，，，，，．②點在軸的下方時，有圖4，圖5兩種情形：如圖4中，，過點作于，過點作于．

是的中位線，，同法可得：，，，，設，則，，，，，點的坐標為．如圖5中，，過點作軸于交于，過點作于．

，同法可得：，，則，設，則，，，，．綜上所述，滿足條件的點的坐標為或或或．【點睛】本題考查了正方形的性質、全等三角形的判定與性質、垂直平分線的判定與性質、相似三角形的判定與性質、中位線的判定與性質，解本題的關鍵在熟練掌握相關的性質定理，并運用分類討論思想進行解答．18．如圖1，中，，，點在內部，連接，將線段繞點逆時針旋轉得到線段，連接．

(1)直接寫出線段與的關系為________；(2)如圖2，連接，當，，三點共線時，作于點交于點，求的值；(3)在（2）的條件下，設與交于點，若，直接寫出的值．（用含的式子表示）【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）利用證，得到，，結合，證，即可得；（2）過點作于點，證，，根據(jù)求值即可；（3）設，則，證，結合，，相似比為，用含、的代數(shù)式表示、，代入化簡整理即可．【解析】（1），線段繞點逆時針旋轉得到線段，，，，即，在和中，，，，，又，，即，，故答案為：，（2）如下圖，過點作于點，，三點共線，，由（1）得，，，，，，線段繞點逆時針旋轉得到線段，是等腰直角三角形，又，，，（3）如下圖，過點作于點

由（2）過程得，相似比為，，，設，則，，，，，，，，，【點睛】本題考查了全等三角形判定與性質、等腰直角三角形的性質、相似三角形的判定與性質，熟練掌握、靈活運用知識點證明是解題的關鍵．題型06：最值、定值問題19．在中，，將繞點B順時針旋轉得到，其中點A，C的對應點分別為點，．

(1)如圖1，當點落在的延長線上時，求的長；(2)如圖2，當點落在的延長線上時，連接，交于點M，求的長；(3)如圖3，連接，，直線交于點D，點E為的中點，連接．在旋轉過程中，是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)8(2)(3)存在，最小值為1【分析】（1）由勾股定理得，，由題意知，由旋轉可知，，則是等腰三角形，由點落在的延長線上，，可得；（2）如圖1，過C作交于E，過C作于D，由旋轉可知，，，由，可得，則，，由，求得，由勾股定理得，，則，，證明，則，即，計算求解即可；（3）如圖2，過A作交的延長線于P，連接，由旋轉可知，，則，由，，可得，由，可得，則，，證明，則，是的中位線，，可知最小時，最小，當、C、B共線，最小，值為，即．【解析】（1）解：∵，由勾股定理得，，由題意知，由旋轉可知，，∴是等腰三角形，∵點落在的延長線上，，∴，∴的長為8；（2）解：如圖1，過C作交于E，過C作于D，

由旋轉可知，，，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，解得，由勾股定理得，，∴，，∵，∴，∴，即，解得；（3）解：存在最小值1，理由如下：如圖2，過A作交的延長線于P，連接，

由旋轉可知，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，，∴，∴，即D是中點，∵點E為的中點，∴是的中位線，∴，∴最小時，最小，∴當、C、B共線，最小，值為，即，∴的最小值為1．【點睛】本題考查了旋轉的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理，相似三角形的判定與性質，中位線，等腰三角形的判定與性質．解題的關鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．20．（1）特殊發(fā)現(xiàn)：如圖1，正方形與正方形的頂B重合，、分別在、邊上，連接，則有：①______；②直線與直線所夾的銳角等于______度；（2）理解運用將圖1中的正方形繞點B逆時針旋轉，連接、，①如圖2，（1）中的結論是否仍然成立？請說明理由；②如圖3，若D、F、G三點在同一直線上，且過邊的中點O，，直接寫出的長等于______；（3）拓展延伸如圖4，點P是正方形的邊上一動點（不與A、B重合），連接，沿將翻折到位置，連接并延長，與的延長線交于點F，連接，若，則的值是否是定值？請說明