北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)專(zhuān)題6.6反比例函數(shù)章末七大題型總結(jié)(拔尖篇)同步練習(xí)(學(xué)生版+解析)

專(zhuān)題6.6反比例函數(shù)章末七大題型總結(jié)（拔尖篇）【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1反比例函數(shù)中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題】 1【題型2反比例函數(shù)與x=a或y=a】 3【題型3反比例函數(shù)中的存在性問(wèn)題】 5【題型4反比例函數(shù)與勾股定理、全等三角形的綜合】 6【題型5反比例函數(shù)與圖形變換】 8【題型6反比例函數(shù)與定值、最值】 10【題型7反比例函數(shù)的應(yīng)用】 12【題型1反比例函數(shù)中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題】【例1】（2023春·四川成都·九年級(jí)四川省成都市石室聯(lián)合中學(xué)校考期中）如圖，已知直線y＝x＋2與雙曲線y=kx交于A、B兩點(diǎn)，且A點(diǎn)坐標(biāo)為（（1）求雙曲線解析式；（2）將直線y＝x＋2向下平移兩個(gè)單位得直線l，P是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，Q是l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求AP＋PQ的最小值，并求此時(shí)的Q點(diǎn)坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)M為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，N為平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以A、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是矩形時(shí)，請(qǐng)求出N點(diǎn)坐標(biāo)．【變式1-1】（2023春·遼寧沈陽(yáng)·九年級(jí)沈陽(yáng)市第七中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y1=kx+b的圖象與反比例函數(shù)y2=mx圖象交于點(diǎn)A?1,3(1)求一次函數(shù)y1=kx+b和反比例函數(shù)(2)觀察圖象，請(qǐng)直接寫(xiě)出使y1>y(3)M是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作MN⊥y軸，交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn)N，當(dāng)由點(diǎn)O，C，M，N構(gòu)成的四邊形面積為72時(shí)，直接寫(xiě)出點(diǎn)N【變式1-2】（2023春·河南周口·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形ABOD的頂點(diǎn)O與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，點(diǎn)B在y軸的正半軸上，點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=kx(x>0)的圖象上，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(8，6)．(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式；(2)E是x軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作x軸的垂線交線段OA于點(diǎn)M，交雙曲線于點(diǎn)P，在E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，M點(diǎn)正好是線段EP中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．【變式1-3】（2023春·四川樂(lè)山·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，A1，3，B3，1是反比例函數(shù)y=3x的圖象上的兩點(diǎn)，點(diǎn)P是反比例函數(shù)y=3x的圖象位于線段AB下方的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸于M，交線段AB于Q．設(shè)點(diǎn)M

【題型2反比例函數(shù)與x=a或y=a】【例2】（2023春·重慶沙坪壩·九年級(jí)重慶八中校考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l過(guò)點(diǎn)A1,0且與y軸平行，直線l2過(guò)點(diǎn)B0,2且與x軸平行，直線l1，與直線l2相交于點(diǎn)P，點(diǎn)E為直線l2上一點(diǎn)，反比例函數(shù)y=k（1）若點(diǎn)E與點(diǎn)P重合，求k的值；（2）連接OE、OF、EF，若△OEF的面積為△PEF的面積的3倍，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）當(dāng)k<2時(shí)，G是y軸上一點(diǎn)，直接寫(xiě)出所有使得△EFG是等腰直角三角形的點(diǎn)G的坐標(biāo)，并把求其中一個(gè)點(diǎn)G的坐標(biāo)的過(guò)程寫(xiě)出來(lái)．【變式2-1】（2023春·浙江寧波·九年級(jí)寧波市第十五中學(xué)?？计谥校┤鐖D，直線AC與反比例函數(shù)y=kxk>0的圖象相交于A、C兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥x軸交反比例函y=kxk>0的圖象于點(diǎn)E，連結(jié)CE，點(diǎn)B為y軸上一點(diǎn)，滿足【變式2-2】（2023春·浙江舟山·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知：一次函數(shù)y=ax+b與反比例函數(shù)y=kx的圖像在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)Am,2，B3,n兩點(diǎn)，且m，n滿足2m?3n2+n?1=0，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A且與y軸平行，點(diǎn)C是直線l上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)

(1)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的函數(shù)表達(dá)式．(2)如圖1，當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)A上方時(shí)，連接OC，OA，且OC平分∠AOD，求CDDE(3)如圖2，當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)A下方時(shí)，點(diǎn)H是DC的中點(diǎn)，點(diǎn)G在x軸上，若四邊形ABGH是平行四邊形．求出點(diǎn)G的坐標(biāo)．【變式2-3】（2023春·浙江·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖1，一次函數(shù)y=kx?2k≠0的圖像與y軸交于點(diǎn)A，與反比例函數(shù)y=?3xx<0的圖像交于點(diǎn)(1)b=___________，k=___________．(2)若點(diǎn)P在第三象限內(nèi)，是否存在點(diǎn)P使得△OBP是以O(shè)B為直角邊的等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)如圖2，C是線段AB上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），過(guò)點(diǎn)C且平行于y軸的直線l交該反比例函數(shù)的圖像于點(diǎn)D，連接OC，OD，BD．若四邊形OCBD的面積為3，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．【題型3反比例函數(shù)中的存在性問(wèn)題】【例3】（2023春·江蘇鹽城·九年級(jí)景山中學(xué)校考期末）我們定義：如果一個(gè)矩形A周長(zhǎng)和面積都是B矩形的N倍，那么我們就稱(chēng)矩形A是矩形B的完全N倍體．

(1)若矩形A為正方形，是否存在一個(gè)正方形B是正方形A的完全2倍體？______（填“存在”或“不存在”）．【深入探究】長(zhǎng)為3，寬為2的矩形C是否存在完全2倍體？小鳴和小棋分別有以下思路：【小鳴方程流】設(shè)新矩形長(zhǎng)和寬為x、y，則依題意x+y=10，xy=12，聯(lián)立x+y=10xy=12得x【小棋函數(shù)流】如圖，也可用反比例函數(shù)l2：y=12x與一次函數(shù)l1：(2)那么長(zhǎng)為4．寬為3的矩形C是否存在完全12(3)如果長(zhǎng)為4，寬為3的矩形C存在完全k倍體，請(qǐng)求出k的取值范圍．【變式3-1】（2023春·山西長(zhǎng)治·九年級(jí)統(tǒng)考期末）（綜合與探究）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知反比例函數(shù)y=kxx<0的圖象過(guò)點(diǎn)C?4,2，點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為4，直線CD與x軸，

(1)求直線CD的函數(shù)表達(dá)式；(2)若點(diǎn)P是Rt△AOB直角邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)S△PCD=(3)已知點(diǎn)D關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為M，點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為N,Q為y軸上的動(dòng)點(diǎn)．問(wèn)直線CD上是否存在點(diǎn)G，使得以點(diǎn)M,N,Q,G為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式3-2】（2023春·四川資陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，正比例函數(shù)y=kx的圖象與反比例函數(shù)y=mx的圖象交于點(diǎn)A（a，2a）（a＞0）和點(diǎn)B，且OA=5，點(diǎn)C是x軸正半軸上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作x軸的垂線，與正比例函數(shù)圖象交于點(diǎn)P，與反比例函數(shù)圖象交于點(diǎn)(1)求正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的表達(dá)式；(2)當(dāng)點(diǎn)Q是PC的中點(diǎn)時(shí)，求C點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)是否存在點(diǎn)C，使△ABC是直角三角形，若存在，求出此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由．【變式3-3】（2023春·遼寧沈陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知正比例函數(shù)y=3x的圖象與反比例函數(shù)y=kxk≠0(1)求反比例函數(shù)y=kx的解析式，并確定這兩個(gè)函數(shù)圖象的另一個(gè)交點(diǎn)(2)畫(huà)出草圖，并據(jù)此直接寫(xiě)出使反比例函數(shù)值小于正比例函數(shù)值的x的取值范圍；(3)在y=2的直線上是否存在一點(diǎn)P，使PB?PA的值最大，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【題型4反比例函數(shù)與勾股定理、全等三角形的綜合】【例4】（2023春·浙江寧波·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，正方形ABCD的頂點(diǎn)C、D在反比例函數(shù)y=4x(x>0)的圖像上，頂點(diǎn)A、B分別在x軸和y軸的正半軸上，再在其右側(cè)作一個(gè)正方形DFEG，頂點(diǎn)G在反比例函數(shù)y=4x(x>0)的圖像上，頂點(diǎn)E在x軸的正半軸上，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為

【變式4-1】（2023春·河南周口·九年級(jí)統(tǒng)考期末）正方形ABCD的頂點(diǎn)A，B分別在x軸和y軸上，點(diǎn)C在反比例函數(shù)y=2xx>0的圖象上，點(diǎn)D在第二象限內(nèi)，若AO=3BO，則正方形ABCD

A．10 B．3 C．7 D．5【變式4-2】（2023春·浙江衢州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）【思路點(diǎn)撥】：如圖1，點(diǎn)A'是點(diǎn)A關(guān)于直線y=x的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)A，A'作y軸，x軸的垂線，垂足為M，N，連結(jié)OA，OA'，AA'．可以利用軸對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)證明【應(yīng)用拓展】：如圖2，若點(diǎn)A橫坐標(biāo)為12，且在函數(shù)y=

(1)求點(diǎn)A關(guān)于直線y=x的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A'(2)若點(diǎn)B的坐標(biāo)為?1,1，點(diǎn)P是直線y=x．上的任意一點(diǎn)，連結(jié)AP，BP，求AP+BP的最小值．【變式4-3】（2023春·浙江寧波·九年級(jí)統(tǒng)考期末）定義：把能被一條對(duì)角線分成兩個(gè)全等直角三角形的四邊形叫做勾股四邊形．(1)矩形______勾股四邊形（填“是”或“不是”）．(2)如圖在直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=?x+1與雙曲線y=?6x相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P?3,0在x

①分別求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)．②當(dāng)四邊形APQB是平行四邊形時(shí)，如圖，請(qǐng)證明?APQB是勾股四邊形．(3)在（2）的條件下，當(dāng)以A、B、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是勾股四邊形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出Q點(diǎn)的坐標(biāo)．【題型5反比例函數(shù)與圖形變換】【例5】（2023春·江蘇淮安·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，將反比例函數(shù)y=5x(x>0)的圖象繞坐標(biāo)原點(diǎn)0，0順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，旋轉(zhuǎn)后的圖象與x軸相交于A點(diǎn)，若直線y=12

【變式5-1】（2023春·江蘇泰州·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)一點(diǎn)分別作坐標(biāo)軸的垂線，若兩垂線與坐標(biāo)軸圍成矩形的周長(zhǎng)C數(shù)值和面積S數(shù)值相等，則稱(chēng)這個(gè)點(diǎn)為“等值點(diǎn)”．例如：點(diǎn)A(3，6)，因?yàn)镃=(3+6)×2=18，S=3×6=18，所以A是“等值點(diǎn)”．(1)若點(diǎn)E為雙曲線y=4x(x>0)上任意一點(diǎn)，將點(diǎn)E向右平移2個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位得到點(diǎn)F，求證：點(diǎn)(2)在第一象限內(nèi)，若一次函數(shù)y=?x+b的圖象上有兩個(gè)“等值點(diǎn)”，求b的取值范圍．【變式5-2】（2023春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，Rt△ABC的直角邊AB在x軸上，∠ABC=90°．點(diǎn)A的坐標(biāo)為1，0，點(diǎn)C的坐標(biāo)為3，4，M是BC邊的中點(diǎn)，函數(shù)y=k（1）求k的值；（2）將△ABC繞某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后得到△DEF（點(diǎn)A，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)D，E，F(xiàn)），且EF在y軸上，點(diǎn)D在函數(shù)y=kx【變式5-3】（2023春·江蘇淮安·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1，正方形ABCD的頂點(diǎn)A1,1，點(diǎn)C3,3，反比例函數(shù)y=k

(1)試說(shuō)明反比例函數(shù)y=kx的圖象也經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2)如圖2，正方形ABCD向下平移得到正方形MNPQ，邊MN在x軸上，反比例函數(shù)y=kx的圖象分別交正方形MNPQ的邊PQ、PN于點(diǎn)E、①求△MEF的面積；②在x軸上是否存在一點(diǎn)G，使得△GEF是等腰三角形，若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)G的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【題型6反比例函數(shù)與定值、最值】【例6】（2023·山東濟(jì)寧·校考二模）如圖，直線y=2x+6與反比例函數(shù)y=kx(k>0)的圖像交于點(diǎn)Am,8，與x軸交于點(diǎn)B，平行于x軸的直線y=n(0<n<6)交反比例函數(shù)的圖像于點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)

(1)反比例函數(shù)的表達(dá)式；(2)觀察圖像，直接寫(xiě)出當(dāng)x>0時(shí)，不等式2x+6?k(3)直線y=n沿y軸方向平移，當(dāng)n為何值時(shí)，△BMN的面積最大？最大值是多少？【變式6-1】（2023·河北石家莊·統(tǒng)考一模）如圖，已知點(diǎn)A1,4,B7,1，點(diǎn)P在線段AB上，并且點(diǎn)P的橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1)當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，求L的表達(dá)式；(2)求線段AB所在直線的函數(shù)表達(dá)式；(3)直接寫(xiě)出k的最小值和最大值．【變式6-2】（2023春·江蘇無(wú)錫·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，動(dòng)點(diǎn)M在函數(shù)y1=4x（x＞0）的圖像上，過(guò)點(diǎn)M分別作x軸和y平行線，交函數(shù)y2=1x（x＞0）的圖像于點(diǎn)B、C，作直線BC，設(shè)直線(1)若點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，4）．①直線BC的函數(shù)表達(dá)式為_(kāi)_____；②當(dāng)y<y2時(shí)，③點(diǎn)D在x軸上，點(diǎn)E在y軸上，且以點(diǎn)B、C、D、E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)D、E的坐標(biāo)；(2)連接BO、CO．求證：△BOC的面積是個(gè)定值．【變式6-3】（2023春·江蘇·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾說(shuō)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事休”．?dāng)?shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要思想方法．閱讀下列材料，回答問(wèn)題：對(duì)任意的實(shí)數(shù)a、b而言，a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2≥0，即a2+b2≥2ab．易知當(dāng)a＝b時(shí)，（a﹣b）2＝0，即：a2﹣2ab+b2＝0，所以a2+b2＝2ab．若a≠b，則（a﹣b）2＞0，所以a2+b2＞2ab．[類(lèi)比論證]對(duì)于任意正實(shí)數(shù)a、b，∵(a?b)2≥0，∴a+[幾何驗(yàn)證]如圖（1），在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，CE為△ABC的中線，若AD＝a，BD=b，試根據(jù)圖形證明：a+b≥2ab．[結(jié)論應(yīng)用]若a＞0，則當(dāng)a＝時(shí)，代數(shù)式a+4a有最小值為[問(wèn)題解決]（1）某汽車(chē)零件生產(chǎn)公司為提高工作效率，購(gòu)進(jìn)了一批自動(dòng)化生產(chǎn)設(shè)備，已知每臺(tái)設(shè)備每天的運(yùn)營(yíng)成本包含以下三個(gè)部分：一是固定費(fèi)用，共3600元；二是材料損耗費(fèi)，每個(gè)零件損耗約為5元（元），三是設(shè)備折舊費(fèi)（元），它與生產(chǎn)的零件個(gè)數(shù)x的函數(shù)關(guān)系式為0.0001x2，設(shè)該設(shè)備每天生產(chǎn)汽車(chē)零件x個(gè)．當(dāng)x為多少時(shí)，該設(shè)備每生產(chǎn)一個(gè)零件的運(yùn)營(yíng)成本最低？最低是多少元？（2）如圖（2），在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝﹣43?4與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)M為反比例函數(shù)y＝12x（x＞0）上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MC⊥x軸于點(diǎn)C,MD⊥y軸于點(diǎn)D．則四邊形ABCD【題型7反比例函數(shù)的應(yīng)用】【例7】（2023春·江蘇蘇州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）學(xué)校舉行數(shù)學(xué)文化競(jìng)賽．圖中的四個(gè)點(diǎn)分別描述了八（1）、八（2）、八（3）、八（4）四個(gè)班級(jí)競(jìng)賽成績(jī)的優(yōu)秀率y（班級(jí)優(yōu)秀人數(shù)占班級(jí)參加競(jìng)賽人數(shù)的百分率）與該班參加競(jìng)賽人數(shù)x的情況，其中描述八（2）、八（4）兩個(gè)班級(jí)情況的點(diǎn)恰好在同一個(gè)反比例函數(shù)的圖像上，則成績(jī)優(yōu)秀人數(shù)最多的是（

）

A．八（1）班 B．八（2）班 C．八（3）班 D．八（4）班【變式7-2】（2023春·河北邢臺(tái)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）某經(jīng)銷(xiāo)商出售一種進(jìn)價(jià)為4元/升的液體原料，在市場(chǎng)營(yíng)銷(xiāo)中發(fā)現(xiàn)此商品日銷(xiāo)售價(jià)x元/升與日銷(xiāo)售量y（升）滿足反比例函數(shù)，部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：x（元/升）3456y（升）200150120100(1)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)已知如圖所示的長(zhǎng)方體容器中裝滿了液體原料，記日銷(xiāo)售后長(zhǎng)方體中剩余液體的高度為?(

①求h關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；②物價(jià)局規(guī)定此液體原料的日銷(xiāo)售價(jià)最高不能超過(guò)8元/升，若該液體原料按最大日銷(xiāo)售利潤(rùn)銷(xiāo)售20天，則長(zhǎng)方體容器中剩余液體原料多少升？【變式7-3】（2023春·河南南陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）建模：某班開(kāi)端午聯(lián)歡會(huì)，生活委員彤彤先購(gòu)買(mǎi)了2個(gè)裝飾掛件，共計(jì)3元，又購(gòu)買(mǎi)了單價(jià)為2元的粽形香囊x個(gè)，設(shè)所有裝飾掛件和粽形香囊的平均價(jià)格為y元，則y與x的關(guān)系式為_(kāi)______（不要求寫(xiě)x的范圍）【探究】根據(jù)函數(shù)的概念，彤彤發(fā)現(xiàn)：y是x的函數(shù)，結(jié)合自己學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，為了更好地研究這個(gè)函數(shù)，彤彤打算先脫離實(shí)際背景，對(duì)該函數(shù)的完整圖像與性質(zhì)展開(kāi)探究，請(qǐng)根據(jù)所給信息，將彤彤的探究過(guò)程補(bǔ)充完整．（1）列表：x…－4－3??－1012…y…5m4n1357…填空：m=______，n=______．（2）在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)、連線，畫(huà)出該函數(shù)的圖像．專(zhuān)題6.6反比例函數(shù)章末七大題型總結(jié)（拔尖篇）【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1反比例函數(shù)中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題】 1【題型2反比例函數(shù)與x=a或y=a】 10【題型3反比例函數(shù)中的存在性問(wèn)題】 20【題型4反比例函數(shù)與勾股定理、全等三角形的綜合】 31【題型5反比例函數(shù)與圖形變換】 42【題型6反比例函數(shù)與定值、最值】 49【題型7反比例函數(shù)的應(yīng)用】 57【題型1反比例函數(shù)中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題】【例1】（2023春·四川成都·九年級(jí)四川省成都市石室聯(lián)合中學(xué)?？计谥校┤鐖D，已知直線y＝x＋2與雙曲線y=kx交于A、B兩點(diǎn)，且A點(diǎn)坐標(biāo)為（（1）求雙曲線解析式；（2）將直線y＝x＋2向下平移兩個(gè)單位得直線l，P是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，Q是l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求AP＋PQ的最小值，并求此時(shí)的Q點(diǎn)坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)M為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，N為平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以A、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是矩形時(shí)，請(qǐng)求出N點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】（1）y=8x；（2）32，【分析】（1）把A的坐標(biāo)代入y=x+2求解a的值，再代入y=k（2）如圖，作A關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A'(?1,2)，過(guò)A'作A'Q⊥l于Q，AA'交y軸于K,則AP+AQ取得最小值,此時(shí)AP+PQ=A'P+PQ=A'Q,（3）分兩種情況討論，如圖，當(dāng)AB為邊時(shí)，當(dāng)AB為矩形的對(duì)角線時(shí)，再利用矩形的性質(zhì)及勾股定理與中點(diǎn)坐標(biāo)公式建立方程，解方程可得答案.【詳解】解：（1）把A點(diǎn)坐標(biāo)（a,4）代入y=x+2得：∴a+2=4,則a=1,∴A2,4.∴k=xy=4×2=8,∴雙曲線為y=（2）如圖，作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A'(?2,4)，過(guò)A'作A'Q⊥l于Q，則AP+AQ取得最小值,此時(shí)AP+PQ=A∴AK=A∵將直線y=x+2向下平移2個(gè)單位得直線l，∴l(xiāng)的解析式為：y=x,且l是第一，第三象限的角平分線，∴∠POQ=45°,∴∠OPQ=45°=∠A∴A∴OP=OK?PK=2,∵∠PQO=90°,∠POQ=45°=∠OPQ,∴PO=2,PQ=OQ,PQ∴PQ=2∴A所以最小值為32∵QO=2，Q在y=x∴y∴∴yQ=∴Q(1,1)（3）∵y=x+2與y=8x交于則y=x+2解得x∴B∴A如圖，當(dāng)AB為矩形的邊時(shí)，設(shè)M1∴BM1∵四邊形ABM∴∠ABM∴AB∴72+4∴y=?6,∴M∵B(?4,?2),A(2,4),從B平移的到點(diǎn)A是先向右平移6個(gè)單位，再向上平移6個(gè)單位，∴M10,?6同理可得：AB∴72+2∴y=6,則M2由平移的性質(zhì)可得：N2如圖，當(dāng)AB為矩形的對(duì)角線時(shí)，設(shè)M3由矩形的性質(zhì)：對(duì)角線相等且互相平分，再結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)可得，a=?4+2y+b=4?2解得：a=?2b=1±∴N綜上：N1【點(diǎn)睛】本題考查的是利用待定系數(shù)法求解反比例函數(shù)解析式，軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，垂線段最短，矩形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，一元二次方程的解法，做到清晰的分類(lèi)討論是解題的關(guān)鍵.【變式1-1】（2023春·遼寧沈陽(yáng)·九年級(jí)沈陽(yáng)市第七中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y1=kx+b的圖象與反比例函數(shù)y2=mx圖象交于點(diǎn)A?1,3(1)求一次函數(shù)y1=kx+b和反比例函數(shù)(2)觀察圖象，請(qǐng)直接寫(xiě)出使y1>y(3)M是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作MN⊥y軸，交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn)N，當(dāng)由點(diǎn)O，C，M，N構(gòu)成的四邊形面積為72時(shí)，直接寫(xiě)出點(diǎn)N【答案】(1)y1=?x+2(2)y1>y2的x取值范圍為：(3)N的坐標(biāo)為?32,2【分析】（1）把A?1,3代入y2=mx（2）根據(jù)函數(shù)圖象可得一次函數(shù)的圖象在反比例函數(shù)圖象上方時(shí)自變量x的取值范圍，從而可得答案；（3）令y=0，則x=2，求解C2,0，再分兩種情況討論，如圖，當(dāng)M在y軸的正半軸上時(shí)，設(shè)Nx,?3x，當(dāng)M在【詳解】（1）解：把A?1,3代入ym=?1×3=?3，∴反比例函數(shù)為：y2把B3,c代入y=?3x∴B3,?1把A?1,3，B3,?1代入?k+b=33k+b=?1，解得：k=?1∴一次函數(shù)的解析式為：y1（2）∵A?1,3，B3,?1，結(jié)合圖象可得：y1x<?1或0<x<3．（3）∵一次函數(shù)的解析式為：y1令y1=0，則x=2，即如圖，當(dāng)M在y軸的正半軸上時(shí)，設(shè)Nx,?∵M(jìn)N⊥y軸，∴MN=?x,OM=?3∴12解得：x=?3∴N?當(dāng)M在y軸的負(fù)半軸上時(shí)，設(shè)Nx,?3x∵M(jìn)N⊥y軸，∴MN=x,OM=3∴12解得x=3∴N3綜上：N的坐標(biāo)為?32,2【點(diǎn)睛】本題考查的是利用待定系數(shù)法求解反比例與一次函數(shù)的解析式，利用圖象法解不等式，坐標(biāo)與圖形面積，清晰的分類(lèi)討論是解本題的關(guān)鍵．【變式1-2】（2023春·河南周口·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形ABOD的頂點(diǎn)O與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，點(diǎn)B在y軸的正半軸上，點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=kx(x>0)的圖象上，點(diǎn)D(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式；(2)E是x軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作x軸的垂線交線段OA于點(diǎn)M，交雙曲線于點(diǎn)P，在E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，M點(diǎn)正好是線段EP中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．【答案】(1)y=128x(2)E(42，0)【分析】（1）過(guò)點(diǎn)D作x軸的垂線，垂足為F，由點(diǎn)D的坐標(biāo)為（8，6），得到OF=8，DF=6，求得點(diǎn)A坐標(biāo)為（8，16），于是得到結(jié)論；（2）求得OA的表達(dá)式為y=2x，設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為（m，0），則M點(diǎn)坐標(biāo)（m，2m），F(xiàn)點(diǎn)坐標(biāo)(m，128m)，得到P（m，4m【詳解】（1）解：過(guò)點(diǎn)D作x軸的垂線，垂足為F，∵四邊形ABOD是菱形，∴AD∥BO，∴A、D、O在同一直線上，∵點(diǎn)D的坐標(biāo)為（8，6），∴OF=8，DF=6，∴OD=10，∴AD=10，∴點(diǎn)A坐標(biāo)為（8，16），∴k=xy=8×16=128，∴反比例函數(shù)表達(dá)式為y=128x（2）解：∵點(diǎn)A坐標(biāo)為（8，16），∴OA的表達(dá)式為y=2x，設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為（m，0），則M點(diǎn)坐標(biāo)（m，2m），F(xiàn)點(diǎn)坐標(biāo)（8，0），∵M(jìn)點(diǎn)正好是線段EP中點(diǎn)，∴P（m，4m），∴128m解得：m=42或m=?42(不合題意，舍去)，∴E(42，0)．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，菱形的性質(zhì)，正確的作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．【變式1-3】（2023春·四川樂(lè)山·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，A1，3，B3，1是反比例函數(shù)y=3x的圖象上的兩點(diǎn)，點(diǎn)P是反比例函數(shù)y=3x的圖象位于線段AB下方的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸于M，交線段AB于Q．設(shè)點(diǎn)M

【答案】12【分析】設(shè)AB的解析式為y=kx+b，把A1，3，B3，1代入解得y=?x+4，根據(jù)題意，得Mx，0，P【詳解】解：設(shè)AB的解析式為y=kx+b，把A1，3，B3=k+b1=3k+b解得k=?1b=4即AB的解析式為y=?x+4，因?yàn)辄c(diǎn)P是反比例函數(shù)y=3x的圖象位于線段AB下方的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸于M，交線段AB于Q，設(shè)點(diǎn)M橫坐標(biāo)為則Mx，0，P那么S△OPQ即S△OPQ因?yàn)橐驗(yàn)辄c(diǎn)P是反比例函數(shù)y=3x的圖象位于線段所以1<x<3，因?yàn)閤?22所以?那么?1當(dāng)x=2時(shí)，式子有最大值，且為?1所以則△OPQ面積的最大值為12，此時(shí)x=2故答案為：12【點(diǎn)睛】本題主要考查的是三角形面積、反比例函數(shù)以及一次函數(shù)等知識(shí)內(nèi)容，對(duì)S△OPQ=?1【題型2反比例函數(shù)與x=a或y=a】【例2】（2023春·重慶沙坪壩·九年級(jí)重慶八中?？茧A段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l過(guò)點(diǎn)A1,0且與y軸平行，直線l2過(guò)點(diǎn)B0,2且與x軸平行，直線l1，與直線l2相交于點(diǎn)P，點(diǎn)E為直線l2上一點(diǎn)，反比例函數(shù)y=k（1）若點(diǎn)E與點(diǎn)P重合，求k的值；（2）連接OE、OF、EF，若△OEF的面積為△PEF的面積的3倍，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）當(dāng)k<2時(shí)，G是y軸上一點(diǎn)，直接寫(xiě)出所有使得△EFG是等腰直角三角形的點(diǎn)G的坐標(biāo)，并把求其中一個(gè)點(diǎn)G的坐標(biāo)的過(guò)程寫(xiě)出來(lái)．【答案】（1）2；（2）E2,2或(12,2)；（3）G0,【分析】（1）首先根據(jù)題意確定點(diǎn)P的坐標(biāo)，若點(diǎn)E與點(diǎn)P重合，即點(diǎn)E與點(diǎn)P的坐標(biāo)相同，因此直接代入解析式求解即可；（2）當(dāng)E在P右邊時(shí)，作EM⊥x軸于M，設(shè)Em,2，則F1,2m，然后分別表示出△OEF和△PEF的面積，根據(jù)題意建立方程求解即可；當(dāng)E在P左邊時(shí)，作EM⊥x軸于M，設(shè)Em,2，則F(1,2m)，分別表示出△OEF（3）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行分類(lèi)討論求解即可．【詳解】解：（1）如圖1中，由題意Р1,2∵點(diǎn)E與點(diǎn)P重合，∴把Р1,2代入y=kx∴k的值為2．（2）①如圖2中，當(dāng)E在P右邊時(shí)，作EM⊥x軸于M．設(shè)Em,2，則F∵S△OEF≡S∴S△OEF∵S△EOF∴2+2m2解得：m=1或m=2，∵E在P右邊，∴m=2，∴此時(shí)E2,2②如圖3中，當(dāng)E在P左邊時(shí)，作EM⊥x軸于M．設(shè)Em,2，則F(1,2m)同理可得2+2m2解得：m=1或m=1∵E在P左邊，∴m=1∴此時(shí)E(1綜上所述，當(dāng)E2,2或(12,2)時(shí)，（3）∵k<2，∴0<m<1，設(shè)Em,2，F(xiàn)①如圖，當(dāng)∠EFG=90°，EF=FG時(shí)，作GS⊥AP于S點(diǎn)，∴∠GSF=∠FPE=90°，∴∠SGF+∠SFG=90°，∵∠SFG+∠PFE=90°，∴∠SGF=∠PFE，∴△SGF≌△PFE（AAS），∴PF=GS，PE=SF，即：2-2m=1，解得：m=1∴PE=SF=12∴AS=PA?PF?SF=2?1?1∴OG=AS=1∴G0,②如圖，當(dāng)∠EGF=90°，EG=FG時(shí)，作FT⊥y軸于T點(diǎn)，則同①可證得△FTG≌△GBE，∴BG=FT=1，∴OG=OB-BG=2-1=1，∴G0,1③如圖6，當(dāng)點(diǎn)E在P點(diǎn)左邊時(shí)，∠FEG=90°，EG=EF，∵∠FEG=90°，∴∠BEG+∠PEF=90°，又∵∠BEG+∠BGE=90°，∴∠PEF=∠BEG，又∵EG=EF，∠GBE=∠EPF=90°，∴△EFP≌△GEB（ASA），∴EB=PF，BG=PE，∴m=2-2m，解得m=∴BG=PE=1?23∴此時(shí)G(0,綜上，G0,12或G【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)與幾何綜合運(yùn)用，理解反比例函數(shù)的基本性質(zhì)，以及反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)坐標(biāo)的特征是解題關(guān)鍵．【變式2-1】（2023春·浙江寧波·九年級(jí)寧波市第十五中學(xué)?？计谥校┤鐖D，直線AC與反比例函數(shù)y=kxk>0的圖象相交于A、C兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥x軸交反比例函y=kxk>0的圖象于點(diǎn)E，連結(jié)CE，點(diǎn)B為y軸上一點(diǎn)，滿足【答案】6【分析】由等腰三角形的性質(zhì)可得BF=FC，即點(diǎn)C的橫坐標(biāo)是點(diǎn)A橫坐標(biāo)的2倍，可設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)，進(jìn)而得出點(diǎn)C的坐標(biāo)，由點(diǎn)A、點(diǎn)C的縱坐標(biāo)得出AF=CN，進(jìn)而利用全等三角形得出點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為3a【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥x軸，交BC于點(diǎn)F，垂足為M，過(guò)點(diǎn)C作CN⊥∵AB=∴BF＝由于點(diǎn)A、點(diǎn)C在反比例函數(shù)y=可設(shè)點(diǎn)Aa,ka，即∴ON＝∴點(diǎn)C2a,∴AF=∴AF=在△AFC和△∠AFC∴△AFC≌∴FC=∴點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為3a又∵點(diǎn)E在反比例函數(shù)y=∴點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為k3即DE=∵S△DCE=1∴12∴k=6故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，以及一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，利用坐標(biāo)表示線段的長(zhǎng)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【變式2-2】（2023春·浙江舟山·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知：一次函數(shù)y=ax+b與反比例函數(shù)y=kx的圖像在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)Am,2，B3,n兩點(diǎn)，且m，n滿足2m?3n2+n?1=0，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A且與y軸平行，點(diǎn)C是直線l上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)

(1)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的函數(shù)表達(dá)式．(2)如圖1，當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)A上方時(shí)，連接OC，OA，且OC平分∠AOD，求CDDE(3)如圖2，當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)A下方時(shí)，點(diǎn)H是DC的中點(diǎn)，點(diǎn)G在x軸上，若四邊形ABGH是平行四邊形．求出點(diǎn)G的坐標(biāo)．【答案】(1)反比例函數(shù)解析式為：y=3x，一次函數(shù)為(2)CD(3)G【分析】（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)先求解m=3（2）證明AO=AC，求解AC=AO=322+2（3）由四邊形ABGH是平行四邊形．可得AB∥HG，設(shè)C32,t，Gx,0，而H為【詳解】（1）解：∵2m?3n2∴2m?3n=0n?1=0，解得：m=∴A32,2∴k=3×1=3，∴反比例函數(shù)解析式為：y=3把A32,2，B32a+b=23a+b=1∴一次函數(shù)為y=?2（2）∵直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A且與y軸平行，∴∠DOC=∠ACO，∵OC平分∠AOD，∴∠DOC=∠AOC，∴∠AOC=∠ACO，∴AO=AC，∵A3∴AC=AO=322∴C3∵E在y=3∴92=3x，可得∴CDDE（3）∵四邊形ABGH是平行四邊形．∴AB∥

設(shè)C32,t，Gx,0，而∴H3由平移的性質(zhì)可得：x=3∴G9【點(diǎn)睛】本題考查的是利用待定系數(shù)法求解反比例，一次函數(shù)的解析式，算術(shù)平方根的非負(fù)性的應(yīng)用，等腰三角形的判定，勾股定理的應(yīng)用，平行四邊形的性質(zhì)，熟練的利用數(shù)形結(jié)合的方法解題是關(guān)鍵．【變式2-3】（2023春·浙江·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖1，一次函數(shù)y=kx?2k≠0的圖像與y軸交于點(diǎn)A，與反比例函數(shù)y=?3xx<0的圖像交于點(diǎn)(1)b=___________，k=___________．(2)若點(diǎn)P在第三象限內(nèi)，是否存在點(diǎn)P使得△OBP是以O(shè)B為直角邊的等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)如圖2，C是線段AB上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），過(guò)點(diǎn)C且平行于y軸的直線l交該反比例函數(shù)的圖像于點(diǎn)D，連接OC，OD，BD．若四邊形OCBD的面積為3，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．【答案】(1)1，?1(2)?1,?3或?4,?2(3)?【分析】（1）用待定系數(shù)法求解即可；（2）分兩種情況討論：①當(dāng)點(diǎn)O為直角頂點(diǎn)時(shí)；②當(dāng)點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)時(shí)；分別求解即可；（3）由S四邊形【詳解】（1）解：∵點(diǎn)B?3,b在反比例函數(shù)y=?∴b=1，即B?3,1∵一次函數(shù)y=kx?2的圖像過(guò)點(diǎn)B?3,1∴1=?3k?2，解得k=?1．故答案為：1，?1；（2）解：存在．理由如下：若△OBP是以O(shè)B為直角邊的等腰直角三角形，則需要分兩種情況討論：①當(dāng)點(diǎn)O為直角頂點(diǎn)時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)O作OP1⊥OB且OP1=OB，分別過(guò)點(diǎn)B、P1∴∠BEO=∠OFP1=90°∴∠OBE=∠P又∵OB=OP∴△BEO≌∴OE=P1F=1∴P②當(dāng)點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)B作BP2⊥OB，且B∴四邊形OBP∴OB∥P1∴P2綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為?1,?3或?4,?2．（3）解：∵點(diǎn)C在線段AB上（不與點(diǎn)A，B重合），∴設(shè)點(diǎn)Cm,?m?2則點(diǎn)Dm,?則S四邊形解得m1=?3故點(diǎn)C的坐標(biāo)為?3【點(diǎn)睛】此題是一道反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合題，主要考查了待定系數(shù)法、三角形全等的判定與性質(zhì)、圖形的面積計(jì)算等知識(shí)，熟練掌握并靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)、添加輔助線構(gòu)造全等三角形與分類(lèi)討論的思想是解答此題的關(guān)鍵．【題型3反比例函數(shù)中的存在性問(wèn)題】【例3】（2023春·江蘇鹽城·九年級(jí)景山中學(xué)校考期末）我們定義：如果一個(gè)矩形A周長(zhǎng)和面積都是B矩形的N倍，那么我們就稱(chēng)矩形A是矩形B的完全N倍體．

(1)若矩形A為正方形，是否存在一個(gè)正方形B是正方形A的完全2倍體？______（填“存在”或“不存在”）．【深入探究】長(zhǎng)為3，寬為2的矩形C是否存在完全2倍體？小鳴和小棋分別有以下思路：【小鳴方程流】設(shè)新矩形長(zhǎng)和寬為x、y，則依題意x+y=10，xy=12，聯(lián)立x+y=10xy=12得x【小棋函數(shù)流】如圖，也可用反比例函數(shù)l2：y=12x與一次函數(shù)l1：(2)那么長(zhǎng)為4．寬為3的矩形C是否存在完全12(3)如果長(zhǎng)為4，寬為3的矩形C存在完全k倍體，請(qǐng)求出k的取值范圍．【答案】(1)不存在；長(zhǎng)為3，寬為2的矩形C存在完全2倍體矩形，理由見(jiàn)解答(2)長(zhǎng)為3．寬為2的矩形C不存在完全12(3)k≥【分析】（1）根據(jù)“完全N倍體”的定義及題干示例解答即可；（2）運(yùn)用新定義“完全N倍體”及【小鳴方程流】和【小棋函數(shù)流】的方法分別解答即可；（3）設(shè)所求矩形的長(zhǎng)為x，則所求矩形的寬為：5k?x，根據(jù)新定義“完全N倍體”可得：x2【詳解】（1）不存在．理由：因?yàn)閮蓚€(gè)正方形是相似圖形，當(dāng)它們的周長(zhǎng)比為2時(shí)，則面積比必定是4，所以不存在．深入探究：長(zhǎng)為3，寬為2的矩形C存在完全2倍體矩形，理由：∵矩形ABCD的長(zhǎng)為3，寬為2，∴矩形ABCD的周長(zhǎng)為10，面積為6，小鳴方程流：設(shè)新矩形長(zhǎng)和寬為x、y，則依題意x+y=10，xy=12，聯(lián)立x+y=10xy=12整理得：x2解得：x1=5+13∴新矩形的長(zhǎng)為5+13，寬為5?∴長(zhǎng)為3，寬為2的矩形C存在完全2倍體矩形．小棋函數(shù)流：如圖，設(shè)新矩形長(zhǎng)和寬為x、y，則依題意x+y=10，xy=12，即y=?x+10，y=12x，利用反比例函數(shù)l2：y=12x

故長(zhǎng)為3，寬為2的矩形C存在完全2倍體．（2）解：長(zhǎng)為3，寬為2的矩形C的周長(zhǎng)為10，面積為6，小鳴方程流：設(shè)新矩形長(zhǎng)和寬為x、y，則依題意x+y=52，聯(lián)立得x+y=5整理得：2x∵Δ=∴此方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，即長(zhǎng)為3．寬為2的矩形C不存在完全12小棋函數(shù)流：如圖，設(shè)新矩形長(zhǎng)和寬為x、y，則依題意x+y=52，即y=?x+52，利用反比例函數(shù)l2：y=3x與一次函數(shù)l

故長(zhǎng)為4．寬為3的矩形C不存在完全12（3）解：設(shè)所求矩形的長(zhǎng)為x，則所求矩形的寬為：5k?x，由題意得x?5k?x整理得：x2Δ=25∵一定存在另一個(gè)矩形的周長(zhǎng)和面積分別是已知矩形周長(zhǎng)和面積k倍，∴Δ≥0∴25k2?24k≥0∵k>0，∴25k?24≥0，∴k≥24∴k的取值范圍為：k≥24故答案為：k≥24【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，根的判別式．需要認(rèn)真閱讀理解新定義“矩形A是矩形B的完全N倍體”，根據(jù)題干過(guò)程模仿解題．第（3）題應(yīng)用一元二次方程根的判別式求k的范圍．【變式3-1】（2023春·山西長(zhǎng)治·九年級(jí)統(tǒng)考期末）（綜合與探究）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知反比例函數(shù)y=kxx<0的圖象過(guò)點(diǎn)C?4,2，點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為4，直線CD與x軸，

(1)求直線CD的函數(shù)表達(dá)式；(2)若點(diǎn)P是Rt△AOB直角邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)S△PCD=(3)已知點(diǎn)D關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為M，點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為N,Q為y軸上的動(dòng)點(diǎn)．問(wèn)直線CD上是否存在點(diǎn)G，使得以點(diǎn)M,N,Q,G為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)y=x+6(2)?3,0或0,3(3)存在，G【分析】（1）由點(diǎn)C先求反比例函數(shù)的解析式，然后求出點(diǎn)D的坐標(biāo)即可求解；（2）分類(lèi)討論P(yáng)在OA上和點(diǎn)P在OB上，即可求解；（3）分類(lèi)討論MN作為平行四邊形的邊和對(duì)角線，畫(huà)出對(duì)應(yīng)圖形即可求解．【詳解】（1）解：將點(diǎn)C?4,2代入y=kx∴y=?8x令?8x=4∴D?2,4.設(shè)直線CD的函數(shù)表達(dá)式為y=mx+n，將C?4,2、D?2,4?4m+n=2,解得m=1,∴y=x+6.（2）解：在y=x+6中，令y=0，得x=?6,∴A?6,0令x=0，得y=6,∴B0,6∴S∴S△PCD①當(dāng)點(diǎn)P在OA上時(shí)，設(shè)Pa,0則S△PCD∴1即12解得：a=?3，∴P?3,0.②當(dāng)點(diǎn)P在OB上時(shí)，設(shè)P0,b則S△PCD∴1即12解得：b=3，∴P0,3（3）解：∵點(diǎn)M是點(diǎn)D關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，N是點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)∴M設(shè)點(diǎn)Gg,g+6，①當(dāng)MN作為平行四邊形的一邊時(shí)如圖所示：

g+2=0?4g+6+4=q?2，解得故G點(diǎn)為?6,0

g?4=0+2g+6?2=q+4，解得故G點(diǎn)為6,12②當(dāng)MN作為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)如圖所示：

g+0=2?4g+6+q=4?2，解得故G點(diǎn)為?2,4綜上：G1【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合問(wèn)題．掌握“分類(lèi)討論”的數(shù)學(xué)思想是解題關(guān)鍵．【變式3-2】（2023春·四川資陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，正比例函數(shù)y=kx的圖象與反比例函數(shù)y=mx的圖象交于點(diǎn)A（a，2a）（a＞0）和點(diǎn)B，且OA=5，點(diǎn)C是x軸正半軸上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作x軸的垂線，與正比例函數(shù)圖象交于點(diǎn)P，與反比例函數(shù)圖象交于點(diǎn)(1)求正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的表達(dá)式；(2)當(dāng)點(diǎn)Q是PC的中點(diǎn)時(shí)，求C點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)是否存在點(diǎn)C，使△ABC是直角三角形，若存在，求出此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由．【答案】(1)正比例函數(shù)解析式為y=2x；反比例函數(shù)的解析式為y=(2)2(3)存在，C【分析】（1）先求出正比例函數(shù)解析式，再利用A點(diǎn)坐標(biāo)求出反比例函數(shù)解析式即可；（2）先設(shè)出C點(diǎn)坐標(biāo)，再分別表示出P點(diǎn)與Q點(diǎn)坐標(biāo)，最后代入解析式中求解即可；（3）先確定直角頂點(diǎn)，再構(gòu)造直角三角形，可以利用全等三角形的判定與性質(zhì)求出G點(diǎn)坐標(biāo)，即可求解．【詳解】（1）∵正比例函數(shù)y=kx的圖象與反比例函數(shù)y=mx的圖象交于點(diǎn)A（a，2a）（∴2a=ka，∴k=2，∴正比例函數(shù)的解析式為：y=2x；∵OA=5，∴a2∵a＞0，∴a=1，∴A1∴m=1×2=2，∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=2（2）設(shè)C∴Pc∵點(diǎn)Q是PC的中點(diǎn)，∴Qc∴c2∵點(diǎn)C是x軸正半軸上一點(diǎn)，∴c＞∴c=2∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為2,0（3）存在，C5如圖，分別過(guò)A點(diǎn)作x軸的垂線，過(guò)B點(diǎn)作y軸的垂線，兩垂線交于點(diǎn)F，AF與x軸交于點(diǎn)E，BF與y軸交于點(diǎn)M，再過(guò)A點(diǎn)作AG⊥AB，與x軸交于G點(diǎn)，∵A∴B?1∴OE=MF=1，AE=EF=2，BM=1，∴BF=2，AF=4，∴BF=AE，∵∠OAG=90°，∠AFB=90°，∠AEG=90°，∴∠BAE+∠EAG=∠BAE+∠ABF=90°，∴∠EAG=∠ABF，由∠AEG=∠F=90°，∴△AEG≌△BFA（ASA），∴EG=AF=4，∴OG=5，∴G5當(dāng)C點(diǎn)位于G點(diǎn)處時(shí)，△ABC是直角三角形，∴存在，C5【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合，解題關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，并且能夠通過(guò)作輔助線構(gòu)造直角三角形．【變式3-3】（2023春·遼寧沈陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知正比例函數(shù)y=3x的圖象與反比例函數(shù)y=kxk≠0(1)求反比例函數(shù)y=kx的解析式，并確定這兩個(gè)函數(shù)圖象的另一個(gè)交點(diǎn)(2)畫(huà)出草圖，并據(jù)此直接寫(xiě)出使反比例函數(shù)值小于正比例函數(shù)值的x的取值范圍；(3)在y=2的直線上是否存在一點(diǎn)P，使PB?PA的值最大，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)y=3x，點(diǎn)B(2)圖見(jiàn)解析，x>1或?1<x<0(3)存在，P【詳解】（1）解：∵把點(diǎn)Am,3代入y=3x∴3=3m，解得：m=1，∴點(diǎn)A1,3∵把點(diǎn)A1,3代入y=∴3=k1，解得：∴反比例函數(shù)的解析式y(tǒng)=3∵正比例函數(shù)y=3x的圖象與反比例函數(shù)y=kxk≠0∴這兩個(gè)函數(shù)圖象的另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo)?1,?3；（2）解：畫(huà)圖如下：觀察圖象得：當(dāng)x>1或?1<x<0時(shí)，反比例函數(shù)的圖象位于正比例函數(shù)的下方，∴使反比例函數(shù)值小于正比例函數(shù)值的x的取值范圍為x>1或?1<x<0；（3）解：存在作點(diǎn)A關(guān)于直線y=2的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C1,1，連接BC，并延長(zhǎng)BC，交直線y=2于點(diǎn)P，連接PA，在直線y=2上任取一點(diǎn)D，連接DA、DB∵DB?DC≤BC=PB?PC，∵PA=PC,DA=DC，∴DB?DA≤BC=PB?PA，當(dāng)B、C、P共線時(shí)，PB?PA的值最大，設(shè)直線BC的解析式為y=k把B?1,?3和C1,1分別代入?k1+b=?3∴直線BC的解析式為y=2x?1，當(dāng)y=2時(shí)，2=2x?1，解得x=3∴P3【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)、反比例函數(shù)的解析式，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，解方程組等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能熟練地運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．【題型4反比例函數(shù)與勾股定理、全等三角形的綜合】【例4】（2023春·浙江寧波·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，正方形ABCD的頂點(diǎn)C、D在反比例函數(shù)y=4x(x>0)的圖像上，頂點(diǎn)A、B分別在x軸和y軸的正半軸上，再在其右側(cè)作一個(gè)正方形DFEG，頂點(diǎn)G在反比例函數(shù)y=4x(x>0)的圖像上，頂點(diǎn)E在x軸的正半軸上，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為

【答案】(22,【分析】作CP⊥y軸于P，DQ⊥x軸于Q，GM⊥x軸于M，GN⊥DQ于N，設(shè)C(a,4a)，則CP=a，OP=4a，易得Rt△CBP?Rt△BAO?Rt△ADQ，則OB=PC=AQ=a，所以O(shè)A=BP=DQ=4a?a，則D的坐標(biāo)為(4a，4a?a)，然后把D的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)y=4x，得到a的方程，解方程求出a【詳解】解：作CP⊥y軸于P，DQ⊥x軸于Q，GM⊥x軸于M，GN⊥DQ于N，如圖所示，

則∠CPB=90°，∴∠CBP+∠PCB=90°，設(shè)C(a,4a)，則CP=a∵四邊形ABCD為正方形，∴BC=AB，∠ABC=∠BAD=90°，∴∠CBP+∠ABO=90°，∴∠PCB=∠ABO，在△CBP和△BAO中，∵∠CPB=∠BOA∠PCB=∠ABO∴△CBP?△BAO(AAS∴OB=PC=a，同理：PC=AQ=a，∴OA=BP=DQ=4∴OQ=a+8∴D的坐標(biāo)為(4a，把D的坐標(biāo)代入y=4得：(4解得：a=?22（不合題意，舍去），或∴D(22設(shè)G的坐標(biāo)為(b,4∵四邊形DGEF為正方形，同理可證：△DGN?△EGM，∴GM=GN=QM=4∴OM=OQ+QM=22∴22解得：b=2+6∴4b∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為：(2+6故答案為：(22,2)；【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、全等三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握正方形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【變式4-1】（2023春·河南周口·九年級(jí)統(tǒng)考期末）正方形ABCD的頂點(diǎn)A，B分別在x軸和y軸上，點(diǎn)C在反比例函數(shù)y=2xx>0的圖象上，點(diǎn)D在第二象限內(nèi)，若AO=3BO，則正方形ABCD

A．10 B．3 C．7 D．5【答案】D【分析】如圖，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥y軸于點(diǎn)E．設(shè)OB=m，則OA=3m．通過(guò)證明△ABO≌△BCE，得出CE=OB=m，BE=AO=3m，則OE=3m?m=2m，得出Cm,2m，將點(diǎn)Cm,2m代入y=2x，求出m=1，即可得出【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥y軸于點(diǎn)E．

設(shè)OB=m，則OA=3m．∵∠ABO+∠CBE=90°，∠CBE+∠BCE=90°，∴∠ABO=∠BCE．∵AB=BC，∴△ABO≌△BCE，∴CE=OB=m，BE=AO=3m，∴OE=3m?m=2m，∴Cm,2m∵點(diǎn)C在y=2∴2m=2∴m∴m=1（負(fù)值舍去），∴C(1,2)，∴CE=1，BE=3，根據(jù)勾股定理可得BC=3【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握正方形四條邊都相等，全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等，以及反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．【變式4-2】（2023春·浙江衢州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）【思路點(diǎn)撥】：如圖1，點(diǎn)A'是點(diǎn)A關(guān)于直線y=x的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)A，A'作y軸，x軸的垂線，垂足為M，N，連結(jié)OA，OA'，AA'．可以利用軸對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)證明【應(yīng)用拓展】：如圖2，若點(diǎn)A橫坐標(biāo)為12，且在函數(shù)y=

(1)求點(diǎn)A關(guān)于直線y=x的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A'(2)若點(diǎn)B的坐標(biāo)為?1,1，點(diǎn)P是直線y=x．上的任意一點(diǎn)，連結(jié)AP，BP，求AP+BP的最小值．【答案】(1)2,(2)37【分析】（1）分別過(guò)點(diǎn)A，A'作y軸，x軸的垂線，垂足為M，N，連結(jié)OA，OA'，AA'．設(shè)AA'交直線y=x于點(diǎn)K，作KL⊥x軸于點(diǎn)L，由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得OA=OA'，OK⊥AA'（2）連結(jié)BA'，交直線y=x于點(diǎn)P，連結(jié)AP，此時(shí)AP+BP=A'P+BP=BA'為最小值，分別過(guò)點(diǎn)A'，B作x軸的垂線，垂足為C，D，過(guò)點(diǎn)A'【詳解】（1）解：（1）分別過(guò)點(diǎn)A，A'作y軸，x軸的垂線，垂足為M，N，連結(jié)OA，OA'設(shè)AA'交直線y=x于點(diǎn)K．作KL⊥x軸于點(diǎn)

∵點(diǎn)A，A'關(guān)于直線y=x∴直線y=x是線段AA∴OA=OA'，∴∠AOK=∠A∵點(diǎn)K在直線y=x上，∴OL=KL，∴△OLK是等腰直角三角形，∴∠LOK=∠OKL=45°，∴∠MOK=90°?∠LOK=45°，∴∠MOK=∠LOK，∴∠MOK?∠AOK=∠LOK?∠A∴∠AOM=∠A∵∠AMO=∠A'NO=90°，∠AOM=∠∴△AMO≌△A∴MA=NA'，∵點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為12，且點(diǎn)A在函數(shù)y=故將x=12代入y=1∴點(diǎn)A坐標(biāo)為12∴MA=NA'=∴點(diǎn)A'坐標(biāo)為2,（2）解：如圖2，連結(jié)BA'，交直線y=x于點(diǎn)P，連結(jié)AP，此時(shí)AP+BP=A'P+BP=BA'為最小值，分別過(guò)點(diǎn)A'，B作x軸的垂線，垂足為

∵由（1）知點(diǎn)A'坐標(biāo)為2,∴OC=2，A'∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為?1,1，∴OD=BD=1，∴CD=OC+OD=3．∵∠A∴四邊形A'∴A'E=CD=3，∴A'即AP+BP的最小值為372【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理等，熟練掌握反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)以及軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式4-3】（2023春·浙江寧波·九年級(jí)統(tǒng)考期末）定義：把能被一條對(duì)角線分成兩個(gè)全等直角三角形的四邊形叫做勾股四邊形．(1)矩形______勾股四邊形（填“是”或“不是”）．(2)如圖在直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=?x+1與雙曲線y=?6x相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P?3,0在x

①分別求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)．②當(dāng)四邊形APQB是平行四邊形時(shí)，如圖，請(qǐng)證明?APQB是勾股四邊形．(3)在（2）的條件下，當(dāng)以A、B、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是勾股四邊形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出Q點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)是(2)①點(diǎn)A的坐標(biāo)為?2,3，點(diǎn)B的坐標(biāo)為3,?2；②證明見(jiàn)解析；(3)2,?5，4,1或1,4或?8,5【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)證明全等三角形，即可得到答案；（2）①聯(lián)立直線y=?x+1與雙曲線y=?6x，求出x和②先利用勾股定理的逆定理，得到∠APB=90°，再利用平行四邊形的性質(zhì)，證明Rt△APB≌（3）設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為x,y，分情況討論：①當(dāng)Rt△ABP≌Rt△QBP時(shí)，利用全等三角形的性質(zhì)和平移的性質(zhì)，即可求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)；②當(dāng)Rt△ABP≌Rt△BAQ時(shí)，利用全等三角形的性質(zhì)和平移的性質(zhì)，即可求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)；③當(dāng)Rt△ABP≌Rt△ABQ時(shí)，設(shè)直線AB與x軸交于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥x軸于點(diǎn)E，作AF∥x軸，過(guò)點(diǎn)Q作QF⊥AF于點(diǎn)F，先證明△AEC是等腰直角三角形，再證明△AEP≌△AFQ【詳解】（1）解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD=BC，AB=CD，∠B=∠D=90°，在Rt△ABC和RtAB=CD∠B=∠D∴Rt∴矩形是勾股四邊形，故答案為：是；

（2）解：①∵直線y=?x+1與雙曲線y=?6x相交于A，聯(lián)立y=?x+1y=?6x，解得：x當(dāng)x=3時(shí)，y=?3+1=?2；當(dāng)x=?2時(shí)，y=??2∵點(diǎn)A在第二象限，點(diǎn)B在第四象限，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為?2,3，點(diǎn)B的坐標(biāo)為3,?2；②證明：∵A?2,3，B3,?2，∴AB2=(?2?3)2∴AP∴∠APB=90°，∵四邊形APQB是平行四邊形，∴AP=BQ，PQ=AB，AP∥∴∠APB=∠QBP=90°，在Rt△APB和RtAP=QBAB=PQ∴Rt∴四邊形APQB是勾股四邊形；

（3）解：由（2）可知，A?2,3，B3,?2，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為x,y，①如圖，當(dāng)Rt△ABP≌

∵AP=QB，AP∥∴3??2=x?∴Q2,?5②如圖，當(dāng)Rt△ABP≌

∵AP=QB，AP∥∴x??2=3?∴Q4,1③如圖，當(dāng)Rt△ABP≌Rt△ABQ時(shí)，設(shè)直線AB與x軸交于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥x軸于點(diǎn)E，作AF∥x軸，過(guò)點(diǎn)Q作QF⊥AF

∵∠BAP=∠BAQ，AP=AQ，∵直線AB:y=?x+1，令y=0，則?x+1=0，解得：y=1，∴C1,0∵A?2,3，AE⊥x∴E?2,0∴AE=3，CE=3，PE=1，∴△AEC是等腰直角三角形，∴∠EAC=∠ACE=45°，∵AF∥∴∠BAF=∠ACE=45°，∴∠EAC=∠BAF，∴∠BAP?∠EAC=∠BAQ?∠BAF，∴∠EAP=∠FAQ，在△AEP和△AFQ中，∠EAP=∠FAQ∠AEP=∠AFQ=90°∴△AEP≌△AFQAAS∴AF=AE=3，QF=PE=1，∴x??2=3∴Q1,4④如圖，當(dāng)Rt△ABP≌

∴AB∥PQ，∴?2?x=3??3y?0=3?∴Q?8,5綜上所述，平面內(nèi)還存在點(diǎn)Q，使得以A，B，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是勾股四邊形，Q點(diǎn)的坐標(biāo)為2,?5或4,1或1,4或?8,5．【點(diǎn)睛】本題是反函數(shù)綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，反比例函數(shù)與一次函數(shù)交點(diǎn)問(wèn)題，勾股定理，平移的性質(zhì)等知識(shí)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想和分類(lèi)討論的思想解決問(wèn)題是解題關(guān)鍵．【題型5反比例函數(shù)與圖形變換】【例5】（2023春·江蘇淮安·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，將反比例函數(shù)y=5x(x>0)的圖象繞坐標(biāo)原點(diǎn)0，0順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，旋轉(zhuǎn)后的圖象與x軸相交于A點(diǎn)，若直線y=12

【答案】5【分析】反比例函數(shù)y=5x(x>0)的圖象上點(diǎn)E繞點(diǎn)O順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45°得點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥x軸于F，得出OA=OE=10，作BC⊥x軸于C，設(shè)Bx，12x，并且△OBC是由△OKH繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到的，則OH=OC=x，從而H2【詳解】解：設(shè)反比例函數(shù)y=5x(x>0)的圖象上點(diǎn)E繞點(diǎn)O順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45°得點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥x設(shè)Ea∵∠EOF=45°，∴EF=OF，∴a=5∵a>0，∴a=5∴OA=OE=10作BC⊥x軸于C，△OBC是由△OKH繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°∴點(diǎn)K在原反比例函數(shù)圖象上．設(shè)Bx∴OH=OC=x，∴H2∴過(guò)點(diǎn)H作GH⊥x軸于H，KG∥

∴△KGH是等腰直角三角形，∵KH=BC=1∴KG=GH=2∴K22x?∴24解得x=2303或x=?∴12∴BC=30∴S故答案為：53【點(diǎn)睛】本題是一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，三角形的面積，求得B點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2023春·江蘇泰州·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)一點(diǎn)分別作坐標(biāo)軸的垂線，若兩垂線與坐標(biāo)軸圍成矩形的周長(zhǎng)C數(shù)值和面積S數(shù)值相等，則稱(chēng)這個(gè)點(diǎn)為“等值點(diǎn)”．例如：點(diǎn)A(3，6)，因?yàn)镃=(3+6)×2=18，S=3×6=18，所以A是“等值點(diǎn)”．(1)若點(diǎn)E為雙曲線y=4x(x>0)上任意一點(diǎn)，將點(diǎn)E向右平移2個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位得到點(diǎn)F，求證：點(diǎn)(2)在第一象限內(nèi)，若一次函數(shù)y=?x+b的圖象上有兩個(gè)“等值點(diǎn)”，求b的取值范圍．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)b>8【分析】（1）依題意，點(diǎn)E的坐標(biāo)為：(t，4t)，則點(diǎn)F(t+2，4t+2)（2）根據(jù)題意，得出x2?bx+2b=0，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系式得出【詳解】（1）證明：點(diǎn)E的坐標(biāo)為：(t，4t)，則點(diǎn)F(t+2，4t+2則C=2(t+2+4t+2)=2t+8tS=(t+2)×(4t+2)=2t+8t∴C=S，∴點(diǎn)F為“等值點(diǎn)”；（2）解：由題意得：C=2(x+y)=2b，S=xy=?x∵C=S，則?x即x2∵圖象在第一象限內(nèi)有兩個(gè)“等值點(diǎn)”，且x1∴Δ=∴b>8【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程根的判別式，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【變式5-2】（2023春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，Rt△ABC的直角邊AB在x軸上，∠ABC=90°．點(diǎn)A的坐標(biāo)為1，0，點(diǎn)C的坐標(biāo)為3，4，M是BC邊的中點(diǎn)，函數(shù)y=k（1）求k的值；（2）將△ABC繞某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后得到△DEF（點(diǎn)A，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)D，E，F(xiàn)），且EF在y軸上，點(diǎn)D在函數(shù)y=kx【答案】（1）6；（2）y=2x-1．【分析】（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和坐標(biāo)與圖形的特點(diǎn)求得點(diǎn)M的坐標(biāo)，將其代入反比例函數(shù)解析式求得k的值；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)推知：△DEF?△ABC，故其對(duì)應(yīng)邊、角相等：DE=AB，EF=BC，∠DEF=∠ABC=90°，由函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到：D2,3，E0,3.結(jié)合EF=BC=4得到【詳解】（1）∵Rt△ABC的直角邊AB在x軸上，∠ABC=90°，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，4），∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），CB=4．∵M(jìn)是BC邊的中點(diǎn)，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，2）．∵函數(shù)y=k∴k=3×2=6．（2）∵△ABC繞某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后得到△DEF，∴△DEF≌△ABC．∴DE=AB，EF=BC，∠DEF=∠ABC=90°．∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），∴AB=2．∴DE=2．∵EF在y軸上，∴點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為2．∵點(diǎn)D在函數(shù)y=6當(dāng)x=2時(shí)，y=3．∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，3）．∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，3）．∵EF=BC=4，∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0，-1）．設(shè)直線DF的表達(dá)式為y=ax+b，將點(diǎn)D，F(xiàn)的坐標(biāo)代入，得3=2a+b?1=b∴直線DF的表達(dá)式為y=2x-1．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).解題時(shí)，注意函數(shù)思想和數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用.【變式5-3】（2023春·江蘇淮安·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1，正方形ABCD的頂點(diǎn)A1,1，點(diǎn)C3,3，反比例函數(shù)y=k

(1)試說(shuō)明反比例函數(shù)y=kx的圖象也經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2)如圖2，正方形ABCD向下平移得到正方形MNPQ，邊MN在x軸上，反比例函數(shù)y=kx的圖象分別交正方形MNPQ的邊PQ、PN于點(diǎn)E、①求△MEF的面積；②在x軸上是否存在一點(diǎn)G，使得△GEF是等腰三角形，若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)G的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)①74；②存在，(3【分析】（1）將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)表達(dá)式求得k值，再驗(yàn)證點(diǎn)B即可；（2）①S②分EF=EG、EF=GF、EG=GF三種情況，分別求解即可．【詳解】（1）解：（1）∵點(diǎn)A1,1，點(diǎn)C3,3，四邊形∴點(diǎn)D1,3，B將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)表達(dá)式得：k=3，∴反比例函數(shù)表達(dá)式為：y=3當(dāng)x=3時(shí)，得y=1，∴反比例函數(shù)y=kx的圖象也經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2）解：2①平移后點(diǎn)M、N、P、Q的坐標(biāo)分別為：1,0、3,0，3,2、1,2則平移后點(diǎn)F橫坐標(biāo)為3，則點(diǎn)F3,1同理點(diǎn)E3∴S

②點(diǎn)F、E的坐標(biāo)分別為：3,1、32設(shè)點(diǎn)Gm,0則EF2=(3?3當(dāng)EF=EG時(shí)，即134解得：m=92或當(dāng)m=92時(shí)，點(diǎn)E、F、∴m=3當(dāng)EF=GE時(shí)，同理可得：方程無(wú)實(shí)數(shù)根，舍去，當(dāng)EG=GF時(shí)，同理可得：m=5故點(diǎn)G的坐標(biāo)為：32,0或54【點(diǎn)睛】本題考查的是反比例函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到勾股定理的運(yùn)用、等腰三角形的性質(zhì)、面積的計(jì)算等，要注意分類(lèi)求解，避免遺漏．【題型6反比例函數(shù)與定值、最值】【例6】（2023·山東濟(jì)寧·?？级＃┤鐖D，直線y=2x+6與反比例函數(shù)y=kx(k>0)的圖像交于點(diǎn)Am,8，與x軸交于點(diǎn)B，平行于x軸的直線y=n(0<n<6)交反比例函數(shù)的圖像于點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)

(1)反比例函數(shù)的表達(dá)式；(2)觀察圖像，直接寫(xiě)出當(dāng)x>0時(shí)，不等式2x+6?k(3)直線y=n沿y軸方向平移，當(dāng)n為何值時(shí)，△BMN的面積最大？最大值是多少？【答案】(1)y=(2)x>1(3)n=3,【分析】（1）先把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式求出m的值即可得到點(diǎn)A的坐標(biāo)，再把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式求出k，即可確定反比例函數(shù)解析式；（2）只需要找到當(dāng)x>0時(shí)，一次函數(shù)圖像在反比例函數(shù)圖像上方時(shí)自變量的取值范圍即可解答；（3）先求出M8n，n，Nn?6【詳解】（1）解：∵直線y=2x+6經(jīng)過(guò)點(diǎn)A1∴m=2×1+6=8，∴A1∵反比例函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A1∴8=k∴k=8，∴反比例函數(shù)的解析式為y=8（2）解：由函數(shù)圖像可知，當(dāng)x>1時(shí)一次函數(shù)y=2x+6的圖像在反比例函數(shù)圖像的上方，∴當(dāng)x>1時(shí)，2x+6>kx∴不等式2x+6?kx>0（3）解：由題意，點(diǎn)M，N的坐標(biāo)為M8n，∵0<n<6，∴n?62∴MN=8∴S△BMN∵?1∴n=3時(shí)，△BMN的面積最大，最大值為254【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合、反比例函數(shù)與幾何綜合等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【變式6-1】（2023·河北石家莊·統(tǒng)考一模）如圖，已知點(diǎn)A1,4,B7,1，點(diǎn)P在線段AB上，并且點(diǎn)P的橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1)當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，求L的表達(dá)式；(2)求線段AB所在直線的函數(shù)表達(dá)式；(3)直接寫(xiě)出k的最小值和最大值．【答案】(1)y=(2)y=?(3)k的最小值是4，最大值是10【分析】（1）將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式直接求解即可．（2）設(shè)出直線解析式后代入A1,4（3）直接寫(xiě)出點(diǎn)P所有的坐標(biāo)，分別算出k的最小值和最大值即可．【詳解】（1）∵B7,1，代入y=kx∴k=7，∴y=7（2）設(shè)線段AB所在直線的函數(shù)表達(dá)式為y=mx+n，把A1,4和B7,1代入得：m+n=47m+n=1則線段AB所在直線的函數(shù)表達(dá)式為y=?1（3）∵點(diǎn)P的橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)，P在直線y=?12x+92∴令x=1,y=4；令x=3,y=3；令x=5,y=2；令x=7,y=1；∴P(1,4),(3,3),(5,2),(7,1)當(dāng)P(1,4)時(shí)，代入y=kx(x>0)當(dāng)P(5,2)時(shí)，代入y=kx(x>0)∴k的最小值是4，最大值是10．【點(diǎn)睛】此題考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，解題關(guān)鍵是將點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式直接求解．【變式6-2】（2023春·江蘇無(wú)錫·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，動(dòng)點(diǎn)M在函數(shù)y1=4x（x＞0）的圖像上，過(guò)點(diǎn)M分別作x軸和y平行線，交函數(shù)y2=1x（x＞0）的圖像于點(diǎn)B、C，作直線BC，設(shè)直線(1)若點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，4）．①直線BC的函數(shù)表達(dá)式為_(kāi)_____；②當(dāng)y<y2時(shí)，③點(diǎn)D在x軸上，點(diǎn)E在y軸上，且以點(diǎn)B、C、D、E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)D、E的坐標(biāo)；(2)連接BO、CO．求證：△BOC的面積是個(gè)定值．【答案】(1)①y＝－4x＋5；②0＜x＜14或x＞1；③D（34，0）E（0，3）或D（－34(2)見(jiàn)解析【分析】（1）①首先求出點(diǎn)B和C的坐標(biāo)，代入直線BC的函數(shù)表達(dá)式為y＝kx+b，解方程即可；②首先求出直線BC與x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)，再根據(jù)圖象可得答案；③設(shè)D（m，0），E（0，n），分三種情形，分別根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得答案；（2）延長(zhǎng)MC、MB分別交x軸于G，交y軸于H，設(shè)m（a，4a），表示出△OBC【詳解】（1）解：①當(dāng)M（1，4）時(shí)，則B14,4，∴14解得k=?4b=5∴直線BC的解析式為y＝﹣4x+5，故答案為：y＝﹣4x+5；②當(dāng)y＝0時(shí)，x＝54由圖象知，當(dāng)0＜x＜14或1＜x＜54時(shí)，y＜y故答案為：0＜x＜14或1＜x＜5③設(shè)D（m，0），E（0，n），當(dāng)BD、CE為對(duì)角線時(shí)，14∴m=3∴D（34，0）E當(dāng)BC、DE為對(duì)角線時(shí)，14∴m=5此時(shí)點(diǎn)B、C、D、E共線，故舍去，當(dāng)BE、CD為對(duì)角線時(shí)，14∴m=?3∴D（?34，0）綜上：D（34，0）E（0，3）或D（?34（2）解：證明：延長(zhǎng)MC、MB分別交x軸于G，交y軸于H，設(shè)m（a，4a∴B（a4,4a），C（∴S△OBC＝S矩形OGMH﹣S△OCG﹣S△BCM﹣S△BHO＝a×4a﹣12﹣12×（4＝4﹣1＝158∴△BOC的面積是個(gè)定值．【點(diǎn)睛】本題是反比例函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，平行四邊形的性質(zhì)，三角形的面積等知識(shí)，由特殊到一般，設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，從而得出點(diǎn)B和C的坐標(biāo)是解決問(wèn)題（2）的關(guān)鍵．【變式6-3】（2023春·江蘇·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾說(shuō)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事休”．?dāng)?shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要思想方法．閱讀下列材料，回答問(wèn)題：對(duì)任意的實(shí)數(shù)a、b而言，a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2≥0，即a2+b2≥2ab．易知當(dāng)a＝b時(shí)，（a﹣b）2＝0，即：a2﹣2ab+b2＝0，所以a2+b2＝2ab．若a≠b，則（a﹣b）2＞0，所以a2+b2＞2ab．[類(lèi)比論證]對(duì)于任意正實(shí)數(shù)a、b，∵(a?b)2≥0，∴a+[幾何驗(yàn)證]如圖（1），在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，CE為△ABC的中線，若AD＝a，BD=b，試根據(jù)圖形證明：a+b≥2ab．[結(jié)論應(yīng)用]若a＞0，則當(dāng)a＝時(shí)，代數(shù)式a+4a有最小值為[問(wèn)題解決]（1）某汽車(chē)零件生產(chǎn)公司為提高工作效率，購(gòu)進(jìn)了一批自動(dòng)化生產(chǎn)設(shè)備，已知每臺(tái)設(shè)備每天的運(yùn)營(yíng)成本包含以下三個(gè)部分：一是固定費(fèi)用，共3600元；二是材料損耗費(fèi)，每個(gè)零件損耗約為5元（元），三是設(shè)備折舊費(fèi)（元），它與生產(chǎn)的零件個(gè)數(shù)x的函數(shù)關(guān)系式為0.0001x2，設(shè)該設(shè)備每天生產(chǎn)汽車(chē)零件x個(gè)．當(dāng)x為多少時(shí)，該設(shè)備每生產(chǎn)一個(gè)零件的運(yùn)營(yíng)成本最低？最低是多少元？（2）如圖（2），在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝﹣43?4與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)M為反比例函數(shù)y＝12x（x＞0）上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MC⊥x軸于點(diǎn)C,MD⊥y軸于點(diǎn)D．則四邊形ABCD【答案】[類(lèi)比論證]≥；[幾何驗(yàn)證]見(jiàn)解析；[結(jié)論應(yīng)用]2，4；[問(wèn)題解決]（1）當(dāng)x=6000時(shí)，該設(shè)備每生產(chǎn)一個(gè)零件的運(yùn)營(yíng)成本最低，最低為6.2元；（2）24．【分析】[類(lèi)比論證]利用完全平方公式可求解；[幾何驗(yàn)證]由直角三角形的中線性質(zhì)可得CE=12(a+b)[結(jié)論應(yīng)用]利用材料的結(jié)論，可求解；[問(wèn)題解決]（1）設(shè)設(shè)備每生產(chǎn)一個(gè)零件的運(yùn)營(yíng)成本為y元，由題意可得y=3600+5x+0.0001（2）先求出點(diǎn)A，點(diǎn)B坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)M(x,12?x)，由可求CA，BD，由四邊形【詳解】解：[類(lèi)比論證]∵(∴a+b?2ab∴a+b?2ab故答案為：?；[幾何驗(yàn)證]設(shè)CD=x，∵CD⊥AB，∴AC2=AD2+CD2=a2+x2，BC2=BD2+CD2=b2+x2∵∠ACB=90°，∴AB2=AC2+BC2，∴(a+b)2=a2+x2+b2+x2，∴x2=ab，∴x=ab∵CE為ΔABC的中線，∴CE=12AB=12(a+∵CD⊥AB，∴CE≥CD（點(diǎn)D和點(diǎn)E重合時(shí)CE=CD），∴12(a+b)≥ab，即[結(jié)論應(yīng)用]∵a>0，∴(∴a+4∴當(dāng)a=2a時(shí)，a+∴a=2，故答案為：2，4；[問(wèn)題解決]（1）設(shè)設(shè)備每生產(chǎn)一個(gè)零件的運(yùn)營(yíng)成本為y元，由題意可得：y=3600+5x+0.0001∵x>0，∴0.0001x+3600∴當(dāng)0.0001x=3600x時(shí)，即x=6000時(shí)，0.0001x+3600∴y的最小值為6.2元，答：當(dāng)x為6000時(shí)，該設(shè)備每生產(chǎn)一個(gè)零件的運(yùn)營(yíng)成本最低，最低是6.2元；（2）∵直線y=?43x?4與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A∴點(diǎn)A(?3,0)，點(diǎn)B(0,?4)，設(shè)點(diǎn)M(x,12∴C(x,0)，點(diǎn)D(0,12∴CA=x+3，DB=12∵四邊形ABC