蘇科版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)舉一反三系列7.6多邊形及其內(nèi)角和【十大題型】同步練習(xí)(學(xué)生版+解析)

專(zhuān)題7.6多邊形及其內(nèi)角和【十大題型】【蘇科版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1多邊形及正多邊形的概念辨析】 1【題型2多邊形的不穩(wěn)定性】 2【題型3多邊形的對(duì)角線】 3【題型4多邊形的內(nèi)角和】 4【題型5多邊形的外角和】 6【題型6截角問(wèn)題】 7【題型7多邊形內(nèi)角和和外角和-平行線】 7【題型8多邊形內(nèi)角和和外角和-角平分線】 8【題型9多邊形內(nèi)角和和外角和的實(shí)際應(yīng)用】 9【題型10多邊形內(nèi)角和和外角和的的綜合應(yīng)用】 10【知識(shí)點(diǎn)1多邊形的概念】平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接所組成的封閉圖形，叫做多邊形.【知識(shí)點(diǎn)2正多邊形的概念】各個(gè)角都相等,各條邊都相等的多邊形，叫做正多邊形.【題型1多邊形及正多邊形的概念辨析】【例1】（2022?秦都區(qū)校級(jí)月考）如圖所示的圖形中，屬于多邊形的有（）A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)【變式1-1】（2022春?煙臺(tái)期中）下列說(shuō)法：①由許多條線段連接而成的圖形叫做多邊形；②多邊形的邊數(shù)是不小于4的自然數(shù)；③從一個(gè)多邊形（邊數(shù)為n）的同一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，分別連接這個(gè)頂點(diǎn)與其余各頂點(diǎn)，可以把這個(gè)多邊形分割成（n﹣2）個(gè)三角形；④半圓是扇形，其中正確的結(jié)論有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式1-2】（2022?瀘西縣期末）下列圖形：①等邊三角形；②直角三角形；③平行四邊形；④正方形，其中正多邊形的個(gè)數(shù)有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式1-3】（2022?肥西縣期末）如圖，下列圖形是多邊形的有（填序號(hào)）．【知識(shí)點(diǎn)3多邊形的不穩(wěn)定性】多邊形具有不穩(wěn)定性.【題型2多邊形的不穩(wěn)定性】【例2】（2022?瀘西縣期末）如圖的伸縮門(mén)，其原理是（）A．三角形的穩(wěn)定性 B．四邊形的不穩(wěn)定性 C．兩點(diǎn)之間線段最短 D．兩點(diǎn)確定一條直線【變式2-1】（2022春?霞山區(qū)校級(jí)期末）下列圖形中具有穩(wěn)定性有（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【變式2-2】（2022?長(zhǎng)春月考）如圖，一個(gè)六邊形木框顯然不具有穩(wěn)定性，要把它固定下來(lái)，至少要釘上幾根木條，請(qǐng)畫(huà)出相應(yīng)木條所在線段．【變式2-3】（2022春?浦東新區(qū)校級(jí)月考）以線段a＝7，b＝8，c＝9，d＝10為邊作四邊形，可以作（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．無(wú)數(shù)個(gè)【知識(shí)點(diǎn)4多邊形的對(duì)角線】連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對(duì)角線.從一個(gè)n邊形的某個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，分別連接這個(gè)點(diǎn)與其余各頂點(diǎn)，可以把一個(gè)n邊形分割成（n-2）個(gè)三角形，共有12n（n﹣3）【題型3多邊形的對(duì)角線】【例3】（2022春?單縣期末）已知從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對(duì)角線將該多邊形分成7個(gè)三角形，則該多邊形對(duì)角線一共有（）A．14條 B．18條 C．20條 D．27條【變式3-1】（2022?北流市期中）三角形具有穩(wěn)定性，要使一個(gè)四邊形框架穩(wěn)定不變形，至少需要釘根木條．【變式3-2】連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段叫做多邊形的對(duì)角線，如圖所示畫(huà)出的是四邊形、五邊形、六邊形的所有對(duì)角線請(qǐng)回答下列問(wèn)題：（1）尋找規(guī)律，試用含n的代數(shù)式表示n邊形的所有對(duì)角線的條數(shù)；（2）求20邊形的所有對(duì)角線的條數(shù)．【變式3-3】（2021秋?長(zhǎng)春月考）【教材重現(xiàn)】如圖是數(shù)學(xué)教材第135頁(yè)的部分截圖．在多邊形中，三角形是最基本的圖形．如圖所示，每一個(gè)多邊形都可以分割成若干個(gè)三角形．?dāng)?shù)一數(shù)每個(gè)多邊形中三角形的個(gè)數(shù)，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？在多邊形中，連接不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)，所得到的線段稱(chēng)為多邊形的對(duì)角線．【問(wèn)題思考】結(jié)合如圖思考，從多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以得到的對(duì)角線的數(shù)量，并填寫(xiě)表：多邊形邊數(shù)四五六…十二…n從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，得到對(duì)角線的數(shù)量1條……【問(wèn)題探究】n邊形有n個(gè)頂點(diǎn)，每個(gè)頂點(diǎn)分別連接對(duì)角線后，每條對(duì)角線重復(fù)連接了一次，由此可推導(dǎo)出，n邊形共有條對(duì)角線（用含有n的代數(shù)式表示）．【問(wèn)題拓展】（1）已知平面上4個(gè)點(diǎn)，任意三點(diǎn)不在同一直線上，一共可以連接條線段．（2）已知平面上共有15個(gè)點(diǎn)，任意三點(diǎn)不在同一直線上，一共可以連接條線段．（3）已知平面上共有x個(gè)點(diǎn)，任意三點(diǎn)不在同一直線上，一共可以連接條線段（用含有x的代數(shù)式表示，不必化簡(jiǎn)）．【知識(shí)點(diǎn)5多邊形的內(nèi)角和】n邊形的內(nèi)角和為(n-2)·180°(n≥3)．【題型4多邊形的內(nèi)角和】【例4】（2022?孝感月考）如圖，將六邊形紙片ABCDEF沿虛線剪去一個(gè)角（∠BCD）后，得到∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝400°，求∠BGD的度數(shù)．【變式4-1】（2022?梁園區(qū)校級(jí)期中）已知n邊形的內(nèi)角和θ＝（n﹣2）×180°．（1）甲同學(xué)說(shuō)，θ能取720°；而乙同學(xué)說(shuō)，θ也能取820°，甲、乙的說(shuō)法對(duì)嗎？若對(duì)，求出邊數(shù)n，若不對(duì)，說(shuō)明理由；（2）若n邊形變?yōu)椋╪+x）邊形，發(fā)現(xiàn)內(nèi)角和增加了360°，用列方程的方法確定x．【變式4-2】（2022?西平縣期中）一個(gè)多邊形，除一個(gè)內(nèi)角外，其余各內(nèi)角之和等于2012°，求這個(gè)內(nèi)角的度數(shù)及多邊形的邊數(shù)．【變式4-3】（2022春?寶應(yīng)縣校級(jí)月考）小馬虎同學(xué)在計(jì)算某個(gè)多邊形的內(nèi)角和時(shí)得到1840°，老師說(shuō)他算錯(cuò)了，于是小馬虎認(rèn)真地檢查了一遍（1）若他檢查發(fā)現(xiàn)其中一個(gè)內(nèi)角多算了一次，求這個(gè)多邊形的邊數(shù)是多少？（2）若他檢查發(fā)現(xiàn)漏算了一個(gè)內(nèi)角，求漏算的那個(gè)內(nèi)角是多少度？這個(gè)多邊形是幾邊形？【知識(shí)點(diǎn)6多邊形的外角和】在一個(gè)多邊形的每個(gè)頂點(diǎn)處各取一個(gè)外角，這些外角的和叫做多邊形的外角和．n邊形的外角和恒等于360°，它與邊數(shù)的多少無(wú)關(guān).【題型5多邊形的外角和】【例5】（2022?蒼溪縣月考）如圖，∠1，∠2，∠3，∠4是五邊形ABCDE的四個(gè)外角．若∠A＝120°，求∠1+∠2+∠3+∠4的度數(shù)．【變式5-1】（2022?路北區(qū)期末）已知，正多邊形的一個(gè)外角是30°，則這個(gè)正多邊形是（）A．六邊形 B．九邊形 C．十邊形 D．十二邊形【變式5-2】（2022??？谀M）六邊形的外角和為（）A．360° B．540° C．720° D．1080°【變式5-3】（2022?河北）如圖，將三角形紙片剪掉一角得四邊形，設(shè)△ABC與四邊形BCDE的外角和的度數(shù)分別為α，β，則正確的是（）A．α﹣β＝0 B．α﹣β＜0 C．α﹣β＞0 D．無(wú)法比較α與β的大小【題型6截角問(wèn)題】【例6】（2022?驛城區(qū)校級(jí)期末）若一個(gè)多邊形截去一個(gè)角后變成了六邊形，則原來(lái)多邊形的邊數(shù)可能是（）A．5或6 B．6或7 C．5或6或7 D．6或7【變式6-1】（2022?安陸市期末）一個(gè)四邊形剪去一個(gè)角后，它不可能是（）A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形【變式6-2】（2022春?雨花區(qū)校級(jí)期末）把一個(gè)多邊形紙片沿一條直線截下一個(gè)三角形后，變成一個(gè)18邊形，則原多邊形紙片的邊數(shù)不可能是（）A．16 B．17 C．18 D．19【變式6-3】（2022?懷柔區(qū)期末）如圖是一個(gè)正方形，把此正方形沿虛線AB剪去一個(gè)角，得到一個(gè)五邊形，則這個(gè)五邊形的周長(zhǎng)原來(lái)正方形的周長(zhǎng)．（填“大于”“小于”或“等于”），理由是．【題型7多邊形內(nèi)角和和外角和-平行線】【例7】（2022春?侯馬市期末）如圖，六邊形ABCDEF的內(nèi)角都相等．（1）若∠1＝60°，求∠ADC的度數(shù)；（2）AB與ED有怎樣的位置關(guān)系？為什么？【變式7-1】（2022?平山縣期末）嘉淇在折幸運(yùn)星時(shí)將一張長(zhǎng)方形的紙條折成了如圖所示的樣子（內(nèi)部有一個(gè)正五邊形），則∠1的度數(shù)為（）A．36° B．54° C．60° D．72°【變式7-2】（2022春?市中區(qū)期末）如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝108°，∠C＝82°，M、N分別是AB、BC上的點(diǎn)，將△BMN沿著MN翻折，得到△EMN，若ME∥AD，EN∥DC，則∠E的度數(shù)為（）A．88° B．87° C．86° D．85°【變式7-3】（2022?臨清市三模）如圖，正五邊形ABCDE，點(diǎn)D、E分別在直線m、n上．若m∥n，∠1＝20°，則∠2為（）A．52° B．60° C．58° D．56°【題型8多邊形內(nèi)角和和外角和-角平分線】【例8】（2022?藁城區(qū)二模）如圖，六邊形ABCDEF中，∠A，∠B，∠C，∠D的外角都相等，即∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝62°，分別作∠DEF和∠EFA的平分線交于點(diǎn)P，則∠P的度數(shù)是（）A．55° B．56° C．57° D．60°【變式8-1】（2022?興化市一模）如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝150°，∠C＝60°，∠ABC與∠ADC的平分線交于點(diǎn)O，則∠BOD的度數(shù)為（）A．120° B．125° C．130° D．135°【變式8-2】（2022春?蘇州月考）如圖，在四邊形ABCD中，∠A+∠B＝210°，作∠ADC、∠BCD的平分線交于點(diǎn)O1，再作∠O1DC、∠O1CD的平分線交于點(diǎn)O2，則∠O2的度數(shù)為．【變式8-3】（2022春?惠民縣期末）如圖，CG平分正五邊形ABCDE的外角∠DCF，并與∠EAB的平分線交于點(diǎn)O，則∠AOG的度數(shù)為（）A．144° B．126° C．120° D．108°【題型9多邊形內(nèi)角和和外角和的實(shí)際應(yīng)用】【例9】（2022春?井研縣期末）如圖，大建從A點(diǎn)出發(fā)沿直線前進(jìn)8米到達(dá)B點(diǎn)后向左旋轉(zhuǎn)的角度為α，再沿直線前進(jìn)8米，到達(dá)點(diǎn)C后，又向左旋轉(zhuǎn)α角度，照這樣走下去，第一次回到出發(fā)地點(diǎn)時(shí)，他共走了72米，則每次旋轉(zhuǎn)的角度α為（）A．30° B．40° C．45° D．60°（1）求x與y的外角和相加的度數(shù)？（2）分別求出x與y的邊數(shù)？（3）試求出y共有多少條對(duì)角線？【變式10-2】（2022?富縣月考）一個(gè)多邊形的每個(gè)內(nèi)角都相等，每個(gè)內(nèi)角與相鄰?fù)饨堑牟顬?00°，求這個(gè)多邊形內(nèi)角和的度數(shù)和邊數(shù)．【變式10-3】（2022?孝昌縣期中）小明計(jì)算一個(gè)多邊形的內(nèi)角和時(shí)誤把一個(gè)外角加進(jìn)去了，得其和為2620°．（1）求這個(gè)多加的外角的度數(shù)；（2）求這個(gè)多邊形的邊數(shù)．專(zhuān)題7.6多邊形及其內(nèi)角和【十大題型】【蘇科版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1多邊形及正多邊形的概念辨析】 1【題型2多邊形的不穩(wěn)定性】 3【題型3多邊形的對(duì)角線】 4【題型4多邊形的內(nèi)角和】 7【題型5多邊形的外角和】 9【題型6截角問(wèn)題】 10【題型7多邊形內(nèi)角和和外角和-平行線】 12【題型8多邊形內(nèi)角和和外角和-角平分線】 15【題型9多邊形內(nèi)角和和外角和的實(shí)際應(yīng)用】 18【題型10多邊形內(nèi)角和和外角和的的綜合應(yīng)用】 20【知識(shí)點(diǎn)1多邊形的概念】平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接所組成的封閉圖形，叫做多邊形.【知識(shí)點(diǎn)2正多邊形的概念】各個(gè)角都相等,各條邊都相等的多邊形，叫做正多邊形.【題型1多邊形及正多邊形的概念辨析】【例1】（2022?秦都區(qū)校級(jí)月考）如圖所示的圖形中，屬于多邊形的有（）A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)【分析】根據(jù)多邊形的定義：平面內(nèi)不在同一條直線上的幾條線段首尾順次相接組成的圖形叫多邊形．顯然只有第一個(gè)、第二個(gè)、第四個(gè)．【解答】解：所示的圖形中，屬于多邊形的有第一個(gè)、第二個(gè)、第四個(gè)，共有3個(gè)．故選：A．【變式1-1】（2022春?煙臺(tái)期中）下列說(shuō)法：①由許多條線段連接而成的圖形叫做多邊形；②多邊形的邊數(shù)是不小于4的自然數(shù)；③從一個(gè)多邊形（邊數(shù)為n）的同一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，分別連接這個(gè)頂點(diǎn)與其余各頂點(diǎn)，可以把這個(gè)多邊形分割成（n﹣2）個(gè)三角形；④半圓是扇形，其中正確的結(jié)論有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】根據(jù)多邊形的定義以及弧的定義即可判斷．【解答】解：①由許多條線段首尾順次連接而成的圖形叫做多邊形，命題錯(cuò)誤；②多邊形的邊數(shù)是不小于3的自然數(shù)，命題錯(cuò)誤；③從一個(gè)多邊形（邊數(shù)為n）的同一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，分別連接這個(gè)頂點(diǎn)與其余各頂點(diǎn)，可以把這個(gè)多邊形分割成（n﹣2）個(gè)三角形，命題正確；④半圓是弧，不是扇形，命題錯(cuò)誤．故選：A．【變式1-2】（2022?瀘西縣期末）下列圖形：①等邊三角形；②直角三角形；③平行四邊形；④正方形，其中正多邊形的個(gè)數(shù)有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】各個(gè)角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形．依據(jù)正多邊形的概念進(jìn)行判斷即可．【解答】解：①等邊三角形是正多邊形，正確；②直角三角形不是正多邊形，錯(cuò)誤；③平行四邊形不是正多邊形，錯(cuò)誤；④正方形是正多邊形，正確．故選：B．【變式1-3】（2022?肥西縣期末）如圖，下列圖形是多邊形的有③④（填序號(hào)）．【分析】根據(jù)多邊形的定義，可得答案．【解答】解：下列圖形是多邊形的有③④，故答案為：③④．【知識(shí)點(diǎn)3多邊形的不穩(wěn)定性】多邊形具有不穩(wěn)定性.【題型2多邊形的不穩(wěn)定性】【例2】（2022?瀘西縣期末）如圖的伸縮門(mén)，其原理是（）A．三角形的穩(wěn)定性 B．四邊形的不穩(wěn)定性 C．兩點(diǎn)之間線段最短 D．兩點(diǎn)確定一條直線【分析】根據(jù)四邊形的不穩(wěn)定性，可得答案．【解答】解：如圖的伸縮門(mén)，其原理是四邊形的不穩(wěn)定性，故選：B．【變式2-1】（2022春?霞山區(qū)校級(jí)期末）下列圖形中具有穩(wěn)定性有（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【分析】根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性，只要圖形分割成了三角形，則具有穩(wěn)定性．【解答】解：根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性，只要圖形分割成了三角形，則具有穩(wěn)定性．顯然（2）、（4）、（5）三個(gè)．故選B．【變式2-2】（2022?長(zhǎng)春月考）如圖，一個(gè)六邊形木框顯然不具有穩(wěn)定性，要把它固定下來(lái)，至少要釘上幾根木條，請(qǐng)畫(huà)出相應(yīng)木條所在線段．【分析】三角形具有穩(wěn)定性，所以要使六邊形木架不變形需把它分成三角形，即過(guò)六邊形的一個(gè)頂點(diǎn)作對(duì)角線，有幾條對(duì)角線，就至少要釘上幾根木條．【解答】解：如圖所示：，至少要定3根木條．【變式2-3】（2022春?浦東新區(qū)校級(jí)月考）以線段a＝7，b＝8，c＝9，d＝10為邊作四邊形，可以作（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．無(wú)數(shù)個(gè)【分析】根據(jù)四邊形具有不穩(wěn)定性，可知四條線段組成的四邊形可有無(wú)數(shù)種變化．【解答】解：四條線段組成的四邊形可有無(wú)數(shù)種變化．故選：D．【知識(shí)點(diǎn)4多邊形的對(duì)角線】連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對(duì)角線.從一個(gè)n邊形的某個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，分別連接這個(gè)點(diǎn)與其余各頂點(diǎn)，可以把一個(gè)n邊形分割成（n-2）個(gè)三角形，共有12n（n﹣3）【題型3多邊形的對(duì)角線】【例3】（2022春?單縣期末）已知從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對(duì)角線將該多邊形分成7個(gè)三角形，則該多邊形對(duì)角線一共有（）A．14條 B．18條 C．20條 D．27條【分析】根據(jù)對(duì)角線分多邊形成三角形的個(gè)數(shù)，得出多邊形的邊數(shù)，從而求解．【解答】解：從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可引出（n﹣3）條對(duì)角線，得到（n﹣2）個(gè)三角形，所以n﹣2＝7，解得n＝9，所以共有0.5×9×（9﹣3）＝27條對(duì)角線．故選：D．【變式3-1】（2022?北流市期中）三角形具有穩(wěn)定性，要使一個(gè)四邊形框架穩(wěn)定不變形，至少需要釘1根木條．【分析】根據(jù)三角形的穩(wěn)定性可得答案．【解答】解：如圖所示：要使這個(gè)木架不變形，他至少還要再釘上1個(gè)木條，故答案為：1【變式3-2】連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段叫做多邊形的對(duì)角線，如圖所示畫(huà)出的是四邊形、五邊形、六邊形的所有對(duì)角線請(qǐng)回答下列問(wèn)題：（1）尋找規(guī)律，試用含n的代數(shù)式表示n邊形的所有對(duì)角線的條數(shù)；（2）求20邊形的所有對(duì)角線的條數(shù)．【分析】（1）根據(jù)三角形以及對(duì)角線的概念，不難發(fā)現(xiàn)：從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對(duì)角線除了和2邊不能組成三角形外，其余都能組成三角形，故從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對(duì)角線有（n﹣3）條，所以n邊形的所有對(duì)角線的條數(shù)為n(n?3)2（2）把n＝20代入（1）的結(jié)論即可．【解答】解：（1）正方形的對(duì)角線的條數(shù)為：4×(4?1)2五邊形的對(duì)角線的條數(shù)為：5×(5?3)2六邊形的對(duì)角線的條數(shù)為：6×(6?3)2..．n邊形的所有對(duì)角線的條數(shù)為：n(n?3)2（2）當(dāng)n＝20時(shí)，20×(20?3)2即20邊形的所有對(duì)角線的條數(shù)為170．【變式3-3】（2021秋?長(zhǎng)春月考）【教材重現(xiàn)】如圖是數(shù)學(xué)教材第135頁(yè)的部分截圖．在多邊形中，三角形是最基本的圖形．如圖所示，每一個(gè)多邊形都可以分割成若干個(gè)三角形．?dāng)?shù)一數(shù)每個(gè)多邊形中三角形的個(gè)數(shù)，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？在多邊形中，連接不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)，所得到的線段稱(chēng)為多邊形的對(duì)角線．【問(wèn)題思考】結(jié)合如圖思考，從多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以得到的對(duì)角線的數(shù)量，并填寫(xiě)表：多邊形邊數(shù)四五六…十二…n從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，得到對(duì)角線的數(shù)量1條23…9…n﹣3【問(wèn)題探究】n邊形有n個(gè)頂點(diǎn)，每個(gè)頂點(diǎn)分別連接對(duì)角線后，每條對(duì)角線重復(fù)連接了一次，由此可推導(dǎo)出，n邊形共有12n（n﹣3）條對(duì)角線（用含有n【問(wèn)題拓展】（1）已知平面上4個(gè)點(diǎn)，任意三點(diǎn)不在同一直線上，一共可以連接6條線段．（2）已知平面上共有15個(gè)點(diǎn)，任意三點(diǎn)不在同一直線上，一共可以連接105條線段．（3）已知平面上共有x個(gè)點(diǎn)，任意三點(diǎn)不在同一直線上，一共可以連接12x（x﹣1）條線段（用含有x【分析】【問(wèn)題思考】利用圖象法解決問(wèn)題即可；【問(wèn)題探究】利用規(guī)律解決問(wèn)題即可．【問(wèn)題拓展】（1）利用圖象法可得結(jié)論；（2）過(guò)一個(gè)點(diǎn)可以連接14條線段，15個(gè)點(diǎn)，有12（3）過(guò)一個(gè)點(diǎn)可以連接（x﹣1）條線段，x個(gè)點(diǎn)，有12x（x【解答】解：【問(wèn)題思考】從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，五邊形有2條對(duì)角線，六邊形有3條對(duì)角線，十二邊形有9條對(duì)角線，n邊形有（n﹣3）條對(duì)角線．故答案為：2，3，9，n﹣3；【問(wèn)題探究】n邊形有n個(gè)頂點(diǎn)，每個(gè)頂點(diǎn)分別連接對(duì)角線后，每條對(duì)角線重復(fù)連接了一次，由此可推導(dǎo)出，n邊形共有12n（n故答案為：12n（n【問(wèn)題拓展】（1）已知平面上4個(gè)點(diǎn)，任意三點(diǎn)不在同一直線上，一共可以連接12（2）已知平面上共有15個(gè)點(diǎn)，任意三點(diǎn)不在同一直線上，一共可以連接12（3）已知平面上共有x個(gè)點(diǎn)，任意三點(diǎn)不在同一直線上，一共可以連接條線段12x（x故答案為：6，105，12x（x【知識(shí)點(diǎn)5多邊形的內(nèi)角和】n邊形的內(nèi)角和為(n-2)·180°(n≥3)．【題型4多邊形的內(nèi)角和】【例4】（2022?孝感月考）如圖，將六邊形紙片ABCDEF沿虛線剪去一個(gè)角（∠BCD）后，得到∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝400°，求∠BGD的度數(shù)．【分析】由多邊形的內(nèi)角和公式，即可求得六邊形ABCDEF的內(nèi)角和，又由∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝400°，即可求得∠GBC+∠C+∠CDG的度數(shù)，繼而求得答案．【解答】解：∵六邊形ABCDEF的內(nèi)角和為：180°×（6﹣2）＝720°，且∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝400°，∴∠GBC+∠C+∠CDG＝720°﹣400°＝320°，∴∠G＝360°﹣（∠GBC+∠C+∠CDG）＝40°．【變式4-1】（2022?梁園區(qū)校級(jí)期中）已知n邊形的內(nèi)角和θ＝（n﹣2）×180°．（1）甲同學(xué)說(shuō)，θ能取720°；而乙同學(xué)說(shuō)，θ也能取820°，甲、乙的說(shuō)法對(duì)嗎？若對(duì)，求出邊數(shù)n，若不對(duì)，說(shuō)明理由；（2）若n邊形變?yōu)椋╪+x）邊形，發(fā)現(xiàn)內(nèi)角和增加了360°，用列方程的方法確定x．【分析】（1）根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式，列出方程求得θ的值，判斷是否為整數(shù)即可；（2）根據(jù)題意，列出方程（n﹣2）×180°+360°＝（n+x﹣2）×180°，求得x的值即可．【解答】解：（1）甲對(duì)，乙不對(duì)．理由：∵當(dāng)θ取720°時(shí)，720°＝（n﹣2）×180°，解得θ＝6；當(dāng)θ取820°時(shí)，820°＝（n﹣2）×180°，解得θ=59∵n為整數(shù)，∴θ不能取820°；（2）依題意得，（n﹣2）×180°+360°＝（n+x﹣2）×180°，解得x＝2．【變式4-2】（2022?西平縣期中）一個(gè)多邊形，除一個(gè)內(nèi)角外，其余各內(nèi)角之和等于2012°，求這個(gè)內(nèi)角的度數(shù)及多邊形的邊數(shù)．【分析】根據(jù)多邊形內(nèi)角和定理：（n﹣2）?180°（n≥3）且n為整數(shù)），可得：多邊形的內(nèi)角和一定是180°的倍數(shù)，而多邊形的內(nèi)角一定大于0°，并且小于180°，用2012除以180，根據(jù)商和余數(shù)的情況，求出這個(gè)多邊形的邊數(shù)與2的差是多少，即可求出這個(gè)多邊形的邊數(shù)，再用這個(gè)多邊形的內(nèi)角和減去2012°，求出這個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是多少即可．【解答】解：∵2012÷180＝11…32，∴這個(gè)多邊形的邊數(shù)與2的差是12，∴這個(gè)多邊形的邊數(shù)是：12+2＝14，∴這個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是：180°×12﹣2012°＝2160°﹣2012°＝148°答：這個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為148°，多邊形的邊數(shù)為14．【變式4-3】（2022春?寶應(yīng)縣校級(jí)月考）小馬虎同學(xué)在計(jì)算某個(gè)多邊形的內(nèi)角和時(shí)得到1840°，老師說(shuō)他算錯(cuò)了，于是小馬虎認(rèn)真地檢查了一遍（1）若他檢查發(fā)現(xiàn)其中一個(gè)內(nèi)角多算了一次，求這個(gè)多邊形的邊數(shù)是多少？（2）若他檢查發(fā)現(xiàn)漏算了一個(gè)內(nèi)角，求漏算的那個(gè)內(nèi)角是多少度？這個(gè)多邊形是幾邊形？【分析】（1）設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)是n，重復(fù)計(jì)算的內(nèi)角的度數(shù)是x，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式（n﹣2）?180°可知，多邊形的內(nèi)角度數(shù)是180°的倍數(shù)，然后利用數(shù)的整除性進(jìn)行求解（2）設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)是n，沒(méi)有計(jì)算在內(nèi)的內(nèi)角的度數(shù)是x，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式（n﹣2）?180°可知，多邊形的內(nèi)角度數(shù)是180°的倍數(shù)，然后利用數(shù)的整除性進(jìn)行求解．【解答】解：（1）設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)是n，重復(fù)計(jì)算的內(nèi)角的度數(shù)是x，則（n﹣2）?180°＝1840°﹣x，n＝12…40°．故這個(gè)多邊形的邊數(shù)是12．（2）設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)是n，沒(méi)有計(jì)算在內(nèi)的內(nèi)角的度數(shù)是x，則（n﹣2）?180°＝1840°+x，n＝12…40°．180°﹣40°＝140°，故漏算的那個(gè)內(nèi)角是140度，這個(gè)多邊形是十三邊形．【知識(shí)點(diǎn)6多邊形的外角和】在一個(gè)多邊形的每個(gè)頂點(diǎn)處各取一個(gè)外角，這些外角的和叫做多邊形的外角和．n邊形的外角和恒等于360°，它與邊數(shù)的多少無(wú)關(guān).【題型5多邊形的外角和】【例5】（2022?蒼溪縣月考）如圖，∠1，∠2，∠3，∠4是五邊形ABCDE的四個(gè)外角．若∠A＝120°，求∠1+∠2+∠3+∠4的度數(shù)．【分析】先求出∠A對(duì)應(yīng)的外角度數(shù)，根據(jù)多邊形的外角和等于360°求出即可．【解答】解：∵∠A＝120°，∴∠5＝180°﹣∠A＝60°，∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝360°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝300°．【變式5-1】（2022?路北區(qū)期末）已知，正多邊形的一個(gè)外角是30°，則這個(gè)正多邊形是（）A．六邊形 B．九邊形 C．十邊形 D．十二邊形【分析】多邊形的外角和是360°，正多邊形的每個(gè)外角都相等，且一個(gè)外角的度數(shù)為30°，由此即可求出答案．【解答】解：因?yàn)?60÷30＝12，則正多邊形的邊數(shù)為12．故選：D．【變式5-2】（2022??？谀M）六邊形的外角和為（）A．360° B．540° C．720° D．1080°【分析】根據(jù)多邊形的外角和為360°直接得出答案．【解答】解：由多邊形的外角和為360°可知，六邊形的外角和為360°，故選：A．【變式5-3】（2022?河北）如圖，將三角形紙片剪掉一角得四邊形，設(shè)△ABC與四邊形BCDE的外角和的度數(shù)分別為α，β，則正確的是（）A．α﹣β＝0 B．α﹣β＜0 C．α﹣β＞0 D．無(wú)法比較α與β的大小【分析】利用多邊形的外角和都等于360°，即可得出結(jié)論．【解答】解：∵任意多邊形的外角和為360°，∴α＝β＝360°．∴α﹣β＝0．故選：A．【題型6截角問(wèn)題】【例6】（2022?驛城區(qū)校級(jí)期末）若一個(gè)多邊形截去一個(gè)角后變成了六邊形，則原來(lái)多邊形的邊數(shù)可能是（）A．5或6 B．6或7 C．5或6或7 D．6或7【分析】實(shí)際畫(huà)圖，動(dòng)手操作一下，可知六邊形可以是五邊形、六邊形、七邊形截去一個(gè)角后得到．【解答】解：如圖可知，原來(lái)多邊形的邊數(shù)可能是5，6，7．故選：C．【變式6-1】（2022?安陸市期末）一個(gè)四邊形剪去一個(gè)角后，它不可能是（）A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形【分析】根據(jù)一個(gè)四邊形截一刀后得到的多邊形的邊數(shù)即可得出結(jié)果．【解答】解：一個(gè)四邊形沿對(duì)角線截一刀后得到的多邊形是三角形；一個(gè)四邊形沿平行于邊的直線截一刀后得到的多邊形是四邊形；一個(gè)四邊形沿除上述兩種情況的位置截一刀后得到的多邊形是五邊形；所以不可能是六邊形，故選：D．【變式6-2】（2022春?雨花區(qū)校級(jí)期末）把一個(gè)多邊形紙片沿一條直線截下一個(gè)三角形后，變成一個(gè)18邊形，則原多邊形紙片的邊數(shù)不可能是（）A．16 B．17 C．18 D．19【分析】一個(gè)n邊形剪去一個(gè)角后，剩下的形狀可能是n邊形或（n+1）邊形或（n﹣1）邊形．【解答】解：當(dāng)剪去一個(gè)角后，剩下的部分是一個(gè)18邊形，則這張紙片原來(lái)的形狀可能是18邊形或17邊形或19邊形，不可能是16邊形．故選：A．【變式6-3】（2022?懷柔區(qū)期末）如圖是一個(gè)正方形，把此正方形沿虛線AB剪去一個(gè)角，得到一個(gè)五邊形，則這個(gè)五邊形的周長(zhǎng)小于原來(lái)正方形的周長(zhǎng)．（填“大于”“小于”或“等于”），理由是兩點(diǎn)之間線段最短．【分析】利用兩點(diǎn)的所有連線中，可以有無(wú)數(shù)種連法，如折線、曲線、線段等，這些所有的線中，線段最短，可以得出結(jié)論．【解答】解：將正方形沿虛線裁去一個(gè)角得到五邊形，則這個(gè)五邊形的周長(zhǎng)小于原來(lái)正方形的周長(zhǎng)，理由是兩點(diǎn)之間線段最短．故答案為：小于；兩點(diǎn)之間線段最短．【題型7多邊形內(nèi)角和和外角和-平行線】【例7】（2022春?侯馬市期末）如圖，六邊形ABCDEF的內(nèi)角都相等．（1）若∠1＝60°，求∠ADC的度數(shù)；（2）AB與ED有怎樣的位置關(guān)系？為什么？【分析】（1）由于六邊形的內(nèi)角和為720°，然后利用六邊形ABCDEF的內(nèi)角都相等得到每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為120°，而∠1＝60°，四邊形ABCD的內(nèi)角和為360°，由此即可分別求出∠ADC的度數(shù)；（2）四邊形ABCD的內(nèi)角和為360°，求出∠ADC的度數(shù)，進(jìn)一步求出∠EDA的度數(shù)，利用平行線的判定方法即可求解．【解答】解：（1）六邊形的內(nèi)角和為：（6﹣2）×180°＝720°，∵六邊形ABCDEF的內(nèi)角都相等，∴每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為：720°÷6＝120°，又∵∠1＝60°，四邊形ABCD的內(nèi)角和為360°，∴∠CDA＝360°﹣∠DAB﹣∠B﹣∠C＝360°﹣60°﹣120°﹣120°＝60°；（2）AB∥ED，理由如下：∵∠CDA＝60°，∠EDC＝120°，∴∠EDA＝120°﹣∠CDA＝120°﹣60°＝60°，∴∠EDA＝∠1＝60°，∴AB∥ED．【變式7-1】（2022?平山縣期末）嘉淇在折幸運(yùn)星時(shí)將一張長(zhǎng)方形的紙條折成了如圖所示的樣子（內(nèi)部有一個(gè)正五邊形），則∠1的度數(shù)為（）A．36° B．54° C．60° D．72°【分析】根據(jù)五邊形的內(nèi)角和是540°可得∠BAC的度數(shù)，再利用角的和差解決此題．【解答】解：如圖，由題意得：多邊形ABDEC是正五邊形，∴∠BAC＝∠ABD=180°×(5?2)∠ABC=1∴∠1＝108°﹣36°＝72°．故選：D．【變式7-2】（2022春?市中區(qū)期末）如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝108°，∠C＝82°，M、N分別是AB、BC上的點(diǎn)，將△BMN沿著MN翻折，得到△EMN，若ME∥AD，EN∥DC，則∠E的度數(shù)為（）A．88° B．87° C．86° D．85°【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠BME＝∠A＝108°，∠ENB＝∠C＝82°，再利用四邊形內(nèi)角和定理可得答案．【解答】解：∵M(jìn)E∥AD，∴∠BME＝∠A＝108°，∵NE∥CD，∴∠ENB＝∠C＝82°，∵將△BMN沿著MN翻折，得到△EMN，∴∠B＝∠E，∴∠E＝[360°﹣（∠EMB+∠ENB）]÷2＝（360°﹣190°）÷2＝85°，故選：D．【變式7-3】（2022?臨清市三模）如圖，正五邊形ABCDE，點(diǎn)D、E分別在直線m、n上．若m∥n，∠1＝20°，則∠2為（）A．52° B．60° C．58° D．56°【分析】先根據(jù)五邊形的內(nèi)角和求得每個(gè)內(nèi)角度數(shù)，在計(jì)算∠GED的度數(shù)，根據(jù)平行線計(jì)算∠HDE，接著計(jì)算∠CDH，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和計(jì)算得∠CHD的度數(shù)，從而得∠2度數(shù)．【解答】解：如圖：直線m交AB于G，直線n交BC于H，∵五邊形ABCDE是正五邊形，∴∠C＝∠AED＝∠CDE=(5?2)×180°∵∠1＝20°，∴∠DEG＝∠AED﹣∠1＝108°﹣20°＝88°，∵m∥n，∴∠HDE＝180°﹣∠GED＝180°﹣88°＝92°，∴∠CDH＝∠CDE﹣∠HDE＝108°﹣92°＝16°，在△CDH中，∠CHD＝180°﹣∠CDH﹣∠C＝180°﹣16°﹣108°＝56°，∴∠2＝∠CHD＝56°，故選：D．【題型8多邊形內(nèi)角和和外角和-角平分線】【例8】（2022?藁城區(qū)二模）如圖，六邊形ABCDEF中，∠A，∠B，∠C，∠D的外角都相等，即∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝62°，分別作∠DEF和∠EFA的平分線交于點(diǎn)P，則∠P的度數(shù)是（）A．55° B．56° C．57° D．60°【分析】根據(jù)多邊形的外角和定理可得∠5+∠6+∠1+∠2+∠3+∠4＝360°，再根據(jù)鄰補(bǔ)角的性質(zhì)可得∠5+∠6+∠AFE+∠DEF＝360°，可得∠AFE+∠DEF＝∠1+∠2+∠3+∠4，進(jìn)而求出∠EPF+∠EFP的度數(shù)，再求出∠P的度數(shù)即可．【解答】解：∵∠5+∠6+∠1+∠2+∠3+∠4＝360°，∠5+∠6+∠AFE+∠DEF＝360°，∴AFE+∠DEF＝∠1+∠2+∠3+∠4＝248°，∵分別作∠DEF和∠EFA的平分線交于點(diǎn)P，∴∠EPF+∠EFP=12（∠AFE+∠∴∠P＝180°﹣（∠EPF+∠EFP）＝180°﹣124°＝56°，故選：B．【變式8-1】（2022?興化市一模）如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝150°，∠C＝60°，∠ABC與∠ADC的平分線交于點(diǎn)O，則∠BOD的度數(shù)為（）A．120° B．125° C．130° D．135°【分析】根據(jù)角平分線的定義得出∠ADO=12∠ADC，∠ABO=12∠ABC，根據(jù)∠A+∠ABC+∠C+∠ADC＝360°求出∠ABC+∠【解答】解：∵∠ABC與∠ADC的平分線交于點(diǎn)O，∴∠ADO=12∠ADC，∠ABO∵∠A+∠ABC+∠C+∠ADC＝360°，∠A＝150°，∠C＝60°，∴∠ABC+∠ADC＝360°﹣150°﹣60°＝150°，∴∠ADO+∠ABO=1∴∠BOD＝360°﹣∠A﹣（∠ABO+∠ADO）＝360°﹣150°﹣75°＝135°，故選：D．【變式8-2】（2022春?蘇州月考）如圖，在四邊形ABCD中，∠A+∠B＝210°，作∠ADC、∠BCD的平分線交于點(diǎn)O1，再作∠O1DC、∠O1CD的平分線交于點(diǎn)O2，則∠O2的度數(shù)為142.5°．【分析】根據(jù)四邊形的內(nèi)角和為360°可得∠ACD+∠BCD＝150°，再根據(jù)角平分線的定義可得∠CDO2+∠DCO2＝37.5°，再根據(jù)內(nèi)角和定理可得答案．【解答】解：∵四邊形的內(nèi)角和是360°，∠A+∠B＝210°，∴∠ACD+∠BCD＝150°，∵∠ADC、∠BCD的平分線交于點(diǎn)O1，∠O1DC、∠O1CD的平分線交于點(diǎn)O2，∴∠CDO2=12∠CDO1=14∠ADC，∠DCO2=12∠∴∠CDO2+∠DCO2=14（∠ADC+∠∴∠O2＝180°﹣37.5°＝142.5°．故答案為：142.5°．【變式8-3】（2022春?惠民縣期末）如圖，CG平分正五邊形ABCDE的外角∠DCF，并與∠EAB的平分線交于點(diǎn)O，則∠AOG的度數(shù)為（）A．144° B．126° C．120° D．108°【分析】欲求∠AOG，可求∠AOC，則需求∠BCO、∠OAB、∠B．因?yàn)槲暹呅蜛BCDE是正五邊形，所以∠EAB＝∠E＝∠BCD＝108°．又因?yàn)锳O平分∠EAB，CG平分∠DCF，所以可求得∠OAB＝54°，∠BCG＝108°+1【解答】解：∵任意多邊形的外角和等于360°，∴∠DCF＝360°÷5＝72°．∴這個(gè)正五邊形的每個(gè)內(nèi)角為180°﹣72°＝108°．∴∠B＝∠EAB＝∠BCD＝108°．又∵AO平分∠EAB，∴∠OAB=1又∵CG平分∠DCF，∴∠DCG=1∴∠BCO＝∠BCD+∠DCG＝108°+36°＝144°．∴∠AOC＝360°﹣（∠BAO+∠B+∠BCG）＝360°﹣（54°+108°+144°）＝54°．∴∠AOG＝180°﹣∠AOC＝180°﹣54°＝126°．故選：B．【題型9多邊形內(nèi)角和和外角和的實(shí)際應(yīng)用】【例9】（20