新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義命題方向全歸類能力拓展06利用導(dǎo)數(shù)研究雙變量問題(6種考向)(原卷版+解析)

能力拓展06利用導(dǎo)數(shù)研究雙變量問題【命題方向目錄】命題方向一：雙變量單調(diào)問題命題方向二：雙變量不等式:轉(zhuǎn)化為單變量問題命題方向三：雙變量不等式:極值和差商積問題命題方向四：雙變量不等式:中點(diǎn)型命題方向五：雙變量不等式:剪刀模型命題方向六：雙變量不等式:主元法【方法技巧與總結(jié)】破解雙參數(shù)不等式的方法：一是轉(zhuǎn)化，即由已知條件入手，尋找雙參數(shù)滿足的關(guān)系式，并把含雙參數(shù)的不等式轉(zhuǎn)化為含單參數(shù)的不等式；二是巧構(gòu)函數(shù)，再借用導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求其最值；三是回歸雙參的不等式的證明，把所求的最值應(yīng)用到雙參不等式，即可證得結(jié)果.【典例例題】命題方向一：雙變量單調(diào)問題例1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；(2)設(shè)，證明：對(duì)任意，，．例2．（2023·安徽·校聯(lián)考三模）設(shè)，函數(shù).（Ⅰ）討論函數(shù)在定義域上的單調(diào)性；（Ⅱ）若函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線與直線平行，且對(duì)任意，，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.命題方向二：雙變量不等式:轉(zhuǎn)化為單變量問題例3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）已知，若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，且，求的取值范圍.例4．（2023·湖南長沙·高二湘府中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)（a為常數(shù)）．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)設(shè)函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)分別為，（），求的范圍．例5．（2023·河南洛陽·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)（a為常數(shù)）．(1)若函數(shù)是增函數(shù)，求a的取值范圍；(2)設(shè)函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)分別為，（），求的范圍．變式1．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知函數(shù)，其中.(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若存在兩個(gè)極值點(diǎn)的取值范圍為，求a的取值范圍.命題方向三：雙變量不等式:極值和差商積問題例6．（2023·陜西西安·高二陜西師大附中校考期末）已知函數(shù)(1)若，求不等式的解集；(2)若存在兩個(gè)不同的零點(diǎn)，，證明：.例7．（2023·四川成都·校考一模）已知函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，證明：.例8．（2023·海南·高三校聯(lián)考期末）已知函數(shù)(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，，證明：．變式2．（2023·四川成都·高三成都七中校考階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，其中.(1)討論函數(shù)在上的極值；(2)若函數(shù)f(x)有兩零點(diǎn)，且滿足，求正實(shí)數(shù)的取值范圍.命題方向四：雙變量不等式:中點(diǎn)型例9．（2023·天津北辰·高三天津市第四十七中學(xué)校考期末）已知函數(shù)．（1）已知為的極值點(diǎn)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；（3）當(dāng)時(shí)，若對(duì)于任意，都存在，使得，證明：．例10．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考一模）已知函數(shù).（Ⅰ）討論的單調(diào)性；（Ⅱ）設(shè)，證明：當(dāng)時(shí)，；（Ⅲ）設(shè)是的兩個(gè)零點(diǎn)，證明.命題方向五：雙變量不等式:剪刀模型例11．（2023·天津和平·耀華中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)在點(diǎn)(，)處的切線方程為．(1)求a、b；(2)設(shè)曲線y＝f(x)與x軸負(fù)半軸的交點(diǎn)為P，曲線在點(diǎn)P處的切線方程為y＝h(x)，求證：對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x，都有f(x)≥h(x)；(3)若關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根、，且，證明：．例12．（2023·遼寧沈陽·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為．（1）求，；（2）函數(shù)圖像與軸負(fù)半軸的交點(diǎn)為，且在點(diǎn)處的切線方程為，函數(shù)，，求的最小值；（3）關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，且，證明：．命題方向六：雙變量不等式:主元法例13．（2023·江蘇鹽城·高三鹽城中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最小值；(2)當(dāng)時(shí)，求證：（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）；(3)若，求證：．例14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù).(1)求的極值；(2)設(shè)，若對(duì)任意的，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)若，證明：.【過關(guān)測試】1．（2023·江蘇南通·江蘇省如皋中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知直線與函數(shù)的圖象恰有兩個(gè)切點(diǎn)，設(shè)滿足條件的k所有可能取值中最大的兩個(gè)值分別為和，且，則（

）A． B． C． D．2．（2023·吉林長春·高三長春市第五中學(xué)校考期末）已知函數(shù)，對(duì)任意，存在，使，則的最小值為（

）．A．1 B．C． D．3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知a，b滿足，，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則ab的值為（

）A． B． C． D．4．（2023·湖北·高三荊門市龍泉中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，，且，則（

）A． B．C． D．5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若對(duì)任意正實(shí)數(shù)x，y都有，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A． B．C． D．6．（2023·江蘇蘇州·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，若，則可?。?/p>

）A． B． C．1 D．7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，若?duì)于任意的，都存在，使得，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，且，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則下列選項(xiàng)中一定成立的是（

）A． B． C． D．9．（2023·山西朔州·懷仁市第一中學(xué)校?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)，，若存在，，使得成立，則的最大值為（

）A． B．1 C． D．10．（2023·福建福州·福建省福州格致中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知，若，則a的取值范圍為（

）A． B． C． D．11．（多選題）（2023·江蘇鹽城·鹽城中學(xué)?？既＃┮阎瘮?shù)，，則（

）A．函數(shù)在上存在唯一極值點(diǎn)B．為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是C．若對(duì)任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為D．若，則的最大值為12．（多選題）（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，若，則（

）A． B． C． D．13．（多選題）（2023·全國·模擬預(yù)測）已知方程有兩個(gè)不同的根，，則下列結(jié)論一定正確的是（

）A． B．C． D．14．（多選題）（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)和，若，則（

）A． B．C． D．15．（多選題）（2023·全國·高三專題練習(xí)）若對(duì)任意的，，且，都有，則m的值可能是（

）A． B． C． D．116．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，，若對(duì)，，使得成立，則a的取值范圍是______．17．（2023·黑龍江大興安嶺地·高三大興安嶺實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)，若，且恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_________．18．（2023·河北承德·高三承德市雙灤區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┰O(shè)函數(shù)，.若對(duì)任何，，恒成立，求的取值范圍______.19．（2023·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，，若，則的最小值為______.20．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)滿足，，則_______．21．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)和，則取值范圍為____.22．（2023·吉林長春·高三東北師大附中?？茧A段練習(xí)）已知直線分別與函數(shù)和的圖象交于點(diǎn)，，則下列說法正確的是______.①；②；③；④.23．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知函數(shù).(1)若，討論的單調(diào)性；(2)若，存在滿足，且，求的取值范圍.24．（2023·四川涼山·高二寧南中學(xué)校聯(lián)考期末）已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若恒成立，求的取值范圍．25．（2023·黑龍江哈爾濱·高二哈九中?？茧A段練習(xí)）已知，函數(shù)．(1)當(dāng)與都存在極小值，且極小值之和為0時(shí)，求實(shí)數(shù)的值；(2)當(dāng)時(shí)，若，求證：26．（2023·四川宜賓·高二四川省宜賓市第四中學(xué)校校考期末）已知函數(shù).(1)討論極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；(2)若函數(shù)恰有2個(gè)極值點(diǎn)，3個(gè)零點(diǎn)，，（），探究：是否存在實(shí)數(shù)，使得.27．（2023·福建寧德·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，其中為實(shí)數(shù)，為自然對(duì)數(shù)底數(shù)，.(1)已知函數(shù)，，求實(shí)數(shù)取值的集合；(2)已知函數(shù)有兩個(gè)不同極值點(diǎn)、，證明28．（2023·安徽六安·六安一中?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)已知函數(shù)，存在，證明：．29．（2023·江蘇蘇州·高二江蘇省蘇州實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，且，(1)求的取值范圍；(2)證明：.30．（2023·福建三明·高二三明市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)函數(shù).(1)求的極值；(2)已知，有最小值，求的取值范圍.31．（2023·浙江·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)求函數(shù)在處的切線方程；(2)記函數(shù)，且的最小值為.（i）求實(shí)數(shù)的值；（ii）若存在實(shí)數(shù)滿足，求的最小值.32．（2023·全國·高三對(duì)口高考）已知．(1)若對(duì)任意，有，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?，求?shí)數(shù)a的取值范圍；(3)，，使得成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．(4)，使得成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．33．（2023·甘肅定西·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)若a＝1，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，求證：．34．（2023·廣西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)若，求在處的切線方程；(2)若有兩個(gè)不同零點(diǎn)，證明：．35．（2023·河北·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若是的兩個(gè)不相等的零點(diǎn)，證明：.36．（2023·江西撫州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，其中為實(shí)數(shù)，為自然對(duì)數(shù)底數(shù)，．(1)已知函數(shù)，，求實(shí)數(shù)取值的集合；(2)已知函數(shù)有兩個(gè)不同極值點(diǎn)、．①求實(shí)數(shù)的取值范圍；②證明：．37．（2023·陜西西安·統(tǒng)考二模）已知函數(shù).(1)討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)，，求證：.38．（2023·福建三明·高二校聯(lián)考期中）已知函數(shù)．(1)若，求方程的解；(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)且有兩個(gè)極值點(diǎn)，記兩個(gè)極值點(diǎn)為，求的取值范圍并證明．39．（2023·河南開封·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)圖象上三個(gè)不同的點(diǎn)．(1)求函數(shù)在點(diǎn)P處的切線方程；(2)記（1）中的切線為l，若，證明：．40．（2023·山東日照·山東省日照實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù).(1)若，求函數(shù)的極值；(2)若，，且滿足，求證：.41．（2023·四川成都·高三石室中學(xué)校考開學(xué)考試）已知函數(shù)，．(1)求證：存在唯一零點(diǎn)；(2)設(shè)，若存在，使得，求證：．

能力拓展06利用導(dǎo)數(shù)研究雙變量問題【命題方向目錄】命題方向一：雙變量單調(diào)問題命題方向二：雙變量不等式:轉(zhuǎn)化為單變量問題命題方向三：雙變量不等式:極值和差商積問題命題方向四：雙變量不等式:中點(diǎn)型命題方向五：雙變量不等式:剪刀模型命題方向六：雙變量不等式:主元法【方法技巧與總結(jié)】破解雙參數(shù)不等式的方法：一是轉(zhuǎn)化，即由已知條件入手，尋找雙參數(shù)滿足的關(guān)系式，并把含雙參數(shù)的不等式轉(zhuǎn)化為含單參數(shù)的不等式；二是巧構(gòu)函數(shù)，再借用導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求其最值；三是回歸雙參的不等式的證明，把所求的最值應(yīng)用到雙參不等式，即可證得結(jié)果.【典例例題】命題方向一：雙變量單調(diào)問題例1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；(2)設(shè)，證明：對(duì)任意，，．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，，切點(diǎn)為求導(dǎo)，切線斜率曲線在處的切線方程為．（2），的定義域?yàn)椋髮?dǎo)，在上單調(diào)遞減．不妨假設(shè)，∴等價(jià)于．即．令，則．，，．從而在單調(diào)減少，故，即，故對(duì)任意．例2．（2023·安徽·校聯(lián)考三模）設(shè)，函數(shù).（Ⅰ）討論函數(shù)在定義域上的單調(diào)性；（Ⅱ）若函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線與直線平行，且對(duì)任意，，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（Ⅰ）的定義域是..（1）當(dāng)時(shí)，，的定義域內(nèi)單增；（2）當(dāng)時(shí)，由得，.此時(shí)在內(nèi)單增，在內(nèi)單減；（3）當(dāng)時(shí)，，的定義域內(nèi)單減.（Ⅱ）因?yàn)椋裕?此時(shí).由（Ⅰ）知，時(shí)，的定義域內(nèi)單減.不妨設(shè)，則，即，即恒成立.令，，則在內(nèi)單減，即.，，.而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值，所以，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.命題方向二：雙變量不等式:轉(zhuǎn)化為單變量問題例3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）已知，若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，且，求的取值范圍.【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)即“=”，則，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)正根為，，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，于是得在、上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）因存在兩個(gè)極值點(diǎn)，且，由(1)知，即，則，顯然，對(duì)是遞增的，從而有，，令，，令，，即在上單調(diào)遞增，，則，于是得在上單調(diào)遞增，從而得，即，所以的取值范圍.例4．（2023·湖南長沙·高二湘府中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)（a為常數(shù)）．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)設(shè)函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)分別為，（），求的范圍．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，，所以，，故曲線在點(diǎn)處的切線方程為．（2）若在定義域內(nèi)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則是方程即的兩個(gè)不相等的正根，從而得到，即，又，故，且令，則，，所以在上單調(diào)遞減，所以，即的值域?yàn)?，所以的范圍?例5．（2023·河南洛陽·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)（a為常數(shù)）．(1)若函數(shù)是增函數(shù)，求a的取值范圍；(2)設(shè)函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)分別為，（），求的范圍．【解析】（1）的定義域?yàn)?，，若函?shù)為增函數(shù)，則在上恒成立，所以對(duì)任意恒成立，即對(duì)任意恒成立，又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以，解得，故a的取值范圍是；（2）若在定義域內(nèi)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則是方程，即的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，從而得到，即，又，故，，令，則，，所以在上單調(diào)遞增，所以，即的值域?yàn)?，所以的范圍?變式1．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知函數(shù)，其中.(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若存在兩個(gè)極值點(diǎn)的取值范圍為，求a的取值范圍.【解析】（1）的定義域是，因?yàn)?，所以，令，則.①當(dāng)或，即時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞增.②當(dāng)，即時(shí)，由，得或；由，得，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）由（1）知當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn)，即方程有兩個(gè)正根，所以，則在上單調(diào)遞減，所以，，則，令，則，，所以在上單調(diào)遞減，又，且，所以，由，又在上單調(diào)遞減，所以且，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.命題方向三：雙變量不等式:極值和差商積問題例6．（2023·陜西西安·高二陜西師大附中校考期末）已知函數(shù)(1)若，求不等式的解集；(2)若存在兩個(gè)不同的零點(diǎn)，，證明：.【解析】（1）令，的定義域?yàn)?，則，所以在上單調(diào)遞增.因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以原不等式的解集為.（2）證明:，令，易知在上單調(diào)遞減，且.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減.所以.因?yàn)楹瘮?shù)存在兩個(gè)不同的零點(diǎn)，所以，即，由圖可知，由題意知，所以，兩式相減得.所以等價(jià)于，也等價(jià)于.因?yàn)?，所以?1)的解題過程知……①……②因?yàn)椋?，即……③?②+③得，所以.例7．（2023·四川成都·?？家荒＃┮阎瘮?shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，證明：.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)?，則，因?yàn)?，則，所以，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減；所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則，即，兩式相減，可得，兩式相加得，要證，只要證，即證，即證，只須證，即證，即證，令，則由得，故須證，令，則，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，即成立，故原不等式成立.例8．（2023·海南·高三校聯(lián)考期末）已知函數(shù)(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，，證明：．【解析】（1）定義域?yàn)?，且，?dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減．當(dāng)時(shí)，令，得，令，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．綜上，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，無單調(diào)遞增區(qū)間．當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．（2）因?yàn)?，是函?shù)的兩個(gè)不同的零點(diǎn)，所以，，，顯然，，因?yàn)?，，所以，，即，，所以．不妨令，設(shè)，則，，所以，．又，所以要證，只需證，即．因?yàn)?，所以只要證，即，即．令，，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以．變式2．（2023·四川成都·高三成都七中?？茧A段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，其中.(1)討論函數(shù)在上的極值；(2)若函數(shù)f(x)有兩零點(diǎn)，且滿足，求正實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（1）由知，1）當(dāng)時(shí)，且有，，單調(diào)遞增，故無極值；2）當(dāng)時(shí)，有，，單調(diào)遞減，而，，單增，故，無極大值.綜上，當(dāng)時(shí)，無極值；當(dāng)時(shí)，極小值為，無極大值；（2）由（1）可知當(dāng)時(shí)，，，且，由零點(diǎn)存在定理可知，而題設(shè)可知，消去a可得，令，且，即，，將其代入，整理可令得，而，1)當(dāng)時(shí)，且，有，單調(diào)遞增，，滿足題設(shè)；2)當(dāng)時(shí)，且，有，單調(diào)遞減，，不滿足題設(shè)；綜上，的取值范圍為.命題方向四：雙變量不等式:中點(diǎn)型例9．（2023·天津北辰·高三天津市第四十七中學(xué)校考期末）已知函數(shù)．（1）已知為的極值點(diǎn)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；（3）當(dāng)時(shí)，若對(duì)于任意，都存在，使得，證明：．【解析】（1），由為的極值點(diǎn).所以，解得,由，得，由，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.滿足在處取得極值.則，所以過點(diǎn)的切線方程為(2),則當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增.令,，，對(duì)稱軸方程為當(dāng)時(shí)，開口向下，對(duì)稱軸方程為，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以.則在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，，有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，所以得出，得出則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減綜上所以：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（3）所以又所以即則由，則，設(shè)設(shè)，則所以在上單調(diào)遞減,所以所以恒成立,即由，則由，則在時(shí)恒成立.所以在上單調(diào)遞增.所以由，可得成立.例10．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考一模）已知函數(shù).（Ⅰ）討論的單調(diào)性；（Ⅱ）設(shè)，證明：當(dāng)時(shí)，；（Ⅲ）設(shè)是的兩個(gè)零點(diǎn)，證明.【解析】（Ⅰ）求導(dǎo)，并判斷導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，分別討論的取值，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．（Ⅱ）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)當(dāng)時(shí)的最大值小于零即可．（Ⅲ）由（Ⅱ）得，從而，于是，由（Ⅰ）知，.試題解析：（Ⅰ）的定義域?yàn)?，求?dǎo)數(shù)，得，若，則，此時(shí)在上單調(diào)遞增，若，則由得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（Ⅱ）令，則.求導(dǎo)數(shù)，得，當(dāng)時(shí)，，在上是減函數(shù).而，，故當(dāng)時(shí)，（Ⅲ）由（Ⅰ）可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)至多有一個(gè)零點(diǎn)，故，從而的最小值為，且，不妨設(shè)，則，，由（Ⅱ）得，從而，于是，由（Ⅰ）知，.命題方向五：雙變量不等式:剪刀模型例11．（2023·天津和平·耀華中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知函數(shù)在點(diǎn)(，)處的切線方程為．(1)求a、b；(2)設(shè)曲線y＝f(x)與x軸負(fù)半軸的交點(diǎn)為P，曲線在點(diǎn)P處的切線方程為y＝h(x)，求證：對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x，都有f(x)≥h(x)；(3)若關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根、，且，證明：．【解析】（1）將代入切線方程中，有，∴，即，又，∴．若，則，與矛盾，故．（2）由(1)可知，，，令，有或，故為．曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則，令，則，∴，令g(x)＝，則，∴在R上單調(diào)遞增，∵，∴當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)x＞－1時(shí)，，單調(diào)遞增．∴，即成立．（3）由(2)知在處的切線方程為，且f(x)≥h(x)，則，設(shè)，則，故，∵單調(diào)遞減，∴，設(shè)在處的切線方程為，易得，令，則，令，則，當(dāng)時(shí)，,單調(diào)遞減，，當(dāng)時(shí)，,單調(diào)遞增，又∵，∴當(dāng)時(shí)，，T(x)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，T(x)單調(diào)遞增，∴，即，∴，設(shè)，則，故，∵單調(diào)遞增，故，又，則.例12．（2023·遼寧沈陽·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為．（1）求，；（2）函數(shù)圖像與軸負(fù)半軸的交點(diǎn)為，且在點(diǎn)處的切線方程為，函數(shù)，，求的最小值；（3）關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，且，證明：．【解析】（1）將代入切線方程中，得，所以，又或，又，所以，若，則（舍去）；所以，則；（2）由（1）可知，，所以，令，有或，故曲線與軸負(fù)半軸的唯一交點(diǎn)為曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則，因?yàn)椋?，所以，．若，，若，，，所?若，，，，所以在上單調(diào)遞增，，函數(shù)在上單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，取得極小值，也是最小值，所以最小值．（3），設(shè)的根為，則，又單調(diào)遞減，由（2）知恒成立．又，所以，設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則，令，．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，即，設(shè)的根為，則，又函數(shù)單調(diào)遞增，故，故．又，所以．命題方向六：雙變量不等式:主元法例13．（2023·江蘇鹽城·高三鹽城中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最小值；(2)當(dāng)時(shí)，求證：（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）；(3)若，求證：．【解析】(1)令得：，，；令得：；在上為增函數(shù)；在上為減函數(shù)；.(2)由（1）知：當(dāng)時(shí)，有，，即：，.(3)將變形為：即只證：設(shè)函數(shù)，令，得：．在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減；的最小值為：，即總有：．，即：，令，，則，成立．例14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù).(1)求的極值；(2)設(shè)，若對(duì)任意的，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)若，證明：.【解析】(1)函數(shù)，則，令，解得：，且當(dāng)時(shí)，，時(shí)，因此：的極小值為，無極大值.(2)令，則，注意到：，若要，必須要求，即，亦即另一方面：當(dāng)時(shí)，因?yàn)閱握{(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在時(shí)單調(diào)遞增，故；故實(shí)數(shù)的取值范圍為：；(3)構(gòu)造函數(shù)，，，，，，在上是單調(diào)遞增的；故即：另一方面，構(gòu)造函數(shù)，，在上是單調(diào)遞減的故即：綜上，.【過關(guān)測試】1．（2023·江蘇南通·江蘇省如皋中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知直線與函數(shù)的圖象恰有兩個(gè)切點(diǎn)，設(shè)滿足條件的k所有可能取值中最大的兩個(gè)值分別為和，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】對(duì)于任意，，，的范圍恒定，只需考慮的情況，設(shè)對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)為，，，設(shè)對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)為，，，，，，只需考慮，，其中的情況，則，，其中，；又，，，；令，則，在上單調(diào)遞增，又，，又，，；令，則，令，則，在上單調(diào)遞增，，即，在上單調(diào)遞減，，，；綜上所述：.故選：C.2．（2023·吉林長春·高三長春市第五中學(xué)校考期末）已知函數(shù)，對(duì)任意，存在，使，則的最小值為（

）．A．1 B．C． D．【答案】D【解析】由題意，令，則，，所以，，，令，所以，令，得，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，有最小值，即的最小值為.故選：D．3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知a，b滿足，，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則ab的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，故，，即；，故，即.設(shè)，，，函數(shù)單調(diào)遞增，，故，即，整理得到，即.故選：D.4．（2023·湖北·高三荊門市龍泉中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，，且，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】，令，，則，在上遞增，，，，∵，∴，∵，令，，∴，∴是增函數(shù)．∴，∴，∴，∴，綜上所述．故選：D．5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若對(duì)任意正實(shí)數(shù)x，y都有，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因?yàn)椋?，設(shè)，則，，令恒成立，故單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；.故所以，得到.故選:A.6．（2023·江蘇蘇州·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，若，則可?。?/p>

）A． B． C．1 D．【答案】A【解析】依題意，由得，令，函數(shù)在上單調(diào)遞增，由得，則，由得：，又，于是得，，令，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，且，，，且，，故即，顯然選項(xiàng)A符合要求，選項(xiàng)B，C，D都不符合要求.故選：A7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，若?duì)于任意的，都存在，使得，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)椋?，，，令，可得或，?dāng)時(shí)，，則，，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，時(shí)，，所以函數(shù)在上為減函數(shù)，設(shè)，因?yàn)閷?duì)于任意的，都存在，使得，所以對(duì)于任意的，都存在，使得，所以函數(shù)在上的值域包含與函數(shù)在上值域，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上為減函數(shù)，函數(shù)在上的值域?yàn)?，函?shù)在上的值域?yàn)?，所以函?shù)在上的值域?yàn)椋梢阎?，所以，又，所以?注：由此可排除A，B，C)當(dāng)時(shí)，，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)在上的值域?yàn)椋瘮?shù)在上的值域?yàn)?，所以函?shù)在上的值域?yàn)椋c已知矛盾，當(dāng)時(shí)，，，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在上的值域?yàn)?，函?shù)在上的值域?yàn)椋院瘮?shù)在上的值域?yàn)?，與已知矛盾，當(dāng)時(shí)，，，，則，，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在上的值域?yàn)?，函?shù)在上的值域?yàn)?，所以函?shù)在上的值域?yàn)椋?，滿足要求當(dāng)時(shí)，，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞增所以函數(shù)在上的值域?yàn)?，函?shù)在上的值域?yàn)椋院瘮?shù)在上的值域?yàn)?，，滿足要求，綜上所述，，故選：D.8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，且，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則下列選項(xiàng)中一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，令，所以，?duì)函數(shù)求導(dǎo)：，

由有：，由有：，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，因?yàn)?，由有：，故A錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，由有：，故D錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，所以，故C正確；令有：=，當(dāng)，.所以在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，即，又，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)樵趦?nèi)單調(diào)遞減，所以，即，故B錯(cuò)誤.故選：C.9．（2023·山西朔州·懷仁市第一中學(xué)校?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)，，若存在，，使得成立，則的最大值為（

）A． B．1 C． D．【答案】A【解析】，，易得在上，則在上單調(diào)遞增，又，所以即，，所以，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，則，即時(shí)，取得最大值．故選：A10．（2023·福建福州·福建省福州格致中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知，若，則a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意得：，又因?yàn)?，所以，，即，所以，設(shè)，則，，所以單調(diào)遞增，所以，因?yàn)?，所以，令，，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在處取得極大值，也是最大值，，故.故選：A11．（多選題）（2023·江蘇鹽城·鹽城中學(xué)校考三模）已知函數(shù)，，則（

）A．函數(shù)在上存在唯一極值點(diǎn)B．為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是C．若對(duì)任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為D．若，則的最大值為【答案】BCD【解析】對(duì)于A：，令，則，令，解得：，令，解得：，故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故，故在單調(diào)遞增，函數(shù)在上無極值點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，故，即，又時(shí)，，作出函數(shù)的圖象，如圖：

若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，得有兩個(gè)實(shí)根，得函數(shù)的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，由圖可知，，故B正確；對(duì)于C：由B得：在上恒成立，則在單調(diào)遞增，則不等式恒成立，等價(jià)于恒成立，故，設(shè)，則，令，解得：，令，解得：，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，故，則實(shí)數(shù)的最小值為，故C正確；對(duì)于D：若，則，即，∵，∴，，，由A知，在上單調(diào)遞增，故，所以，設(shè)，則，令，解得：，令，解得：，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，此時(shí)，故的最大值是，故D正確；故選：BCD12．（多選題）（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，若，則（

）A． B． C． D．【答案】AD【解析】由得.設(shè)，，故，，遞減，，，遞增，故；設(shè)，，故，，遞減，，，遞增，故.于是，的值域是值域的子集，故可以取遍所有正數(shù)，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；不妨取，則，令，當(dāng)時(shí)，根據(jù)上述分析，即存在這樣的，使得，若C成立，則，推出，即C不一定成立，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；由上述分析，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，遞增，若，所以，A選項(xiàng)正確；若，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的值域，，即成立；若，此時(shí)，由可得，，故，設(shè)，則，故當(dāng)時(shí)，故遞增，而，，故，由，于是，D選項(xiàng)正確.故選：AD13．（多選題）（2023·全國·模擬預(yù)測）已知方程有兩個(gè)不同的根，，則下列結(jié)論一定正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】A，B選項(xiàng)：方程等價(jià)于方程，構(gòu)造函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，則，因此只需滿足，即．當(dāng)時(shí)，，，由以上可知，當(dāng)時(shí)，分別在，上各有一個(gè)零點(diǎn)，（零點(diǎn)存在定理的應(yīng)用）則方程有兩個(gè)不同的根，，因此選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：構(gòu)造函數(shù)，則，因此在上單調(diào)遞減，易知，假設(shè),則，即成立，又，則，因此，即，因此選項(xiàng)C正確；D選項(xiàng)：由即，得，不一定成立，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：AC14．（多選題）（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)和，若，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】由于和互為反函數(shù)，則和的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，將與聯(lián)立求得交點(diǎn)為，則，即，A正確．易知為單調(diào)遞增函數(shù)，因?yàn)?，，由零點(diǎn)存在性定理可知，B正確．易知為單調(diào)遞增函數(shù)，，，由零點(diǎn)存在性定理可知．因?yàn)?，令，則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以，C錯(cuò)誤．因?yàn)?，，所以，所以．令，則，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，所以，即，整理得，D正確．故選：ABD15．（多選題）（2023·全國·高三專題練習(xí)）若對(duì)任意的，，且，都有，則m的值可能是（

）A． B． C． D．1【答案】BCD【解析】，且，則，整理得設(shè)，則只需要在上單調(diào)遞減即可，，令，解得，則，所以BCD符合，故選：BCD.16．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，，若對(duì)，，使得成立，則a的取值范圍是______．【答案】【解析】因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，因?yàn)殚_口方向向下，所以在區(qū)間上的最小值的端點(diǎn)處取得，所以要使對(duì)，，使得成立，只需，即或，即或，解得，所以a的取值范圍是，故答案為：17．（2023·黑龍江大興安嶺地·高三大興安嶺實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)，若，且恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_________．【答案】【解析】由題可知當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，，當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則必有，所以，所以，所以，設(shè)，則，則時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，所以的最小值為.所以恒成立，即，所以.故答案為：18．（2023·河北承德·高三承德市雙灤區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┰O(shè)函數(shù)，.若對(duì)任何，，恒成立，求的取值范圍______.【答案】【解析】因?yàn)閷?duì)任何，，所以對(duì)任何，，所以在上為減函數(shù).，，所以恒成立，即對(duì)恒成立，所以，所以.即的取值范圍是.故答案為：.19．（2023·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，，若，則的最小值為______.【答案】【解析】設(shè)，即，，解得，，所以，令，則，令，解得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的最小值為，所以的最小值為.故答案為：.20．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)滿足，，則_______．【答案】【解析】根據(jù)題意，顯然是正數(shù).由，兩邊取對(duì)數(shù)得，，即，又，即，利用，于是，記，，故在上遞減，由，于是，.故答案為：21．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)和，則取值范圍為____.【答案】【解析】令，則，由且，解得..令，，在區(qū)間上遞減，.所以取值范圍是.故答案為：22．（2023·吉林長春·高三東北師大附中?？茧A段練習(xí)）已知直線分別與函數(shù)和的圖象交于點(diǎn)，，則下列說法正確的是______.①；②；③；④.【答案】①②④【解析】因?yàn)楹瘮?shù)和互為反函數(shù)，所以函數(shù)和的圖象關(guān)于直線的對(duì)稱，又因?yàn)橹本€的斜率1與直線的斜率的乘積為，因此直線與直線互相垂直，顯然直線也關(guān)于直線對(duì)稱，解方程組，所以直線和的交點(diǎn)坐標(biāo)為：，有，，，.對(duì)①：因?yàn)?，，所以，因此本選項(xiàng)正確；對(duì)②：因?yàn)?，關(guān)于對(duì)稱，所以有，因此有，點(diǎn)在直線上，而，所以，因此，顯然函數(shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，有，故本選項(xiàng)正確；對(duì)③：因?yàn)?，，所以，因此有，設(shè)函數(shù)，，因?yàn)?，所以因此函?shù)是單調(diào)遞增的，當(dāng)時(shí)，有，即，因此有，故本選項(xiàng)不正確；對(duì)④：因?yàn)?，關(guān)于對(duì)稱，所以，因此，所以，即，故本選項(xiàng)正確；故答案為：①②④23．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知函數(shù).(1)若，討論的單調(diào)性；(2)若，存在滿足，且，求的取值范圍.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，①當(dāng)時(shí)，對(duì)任意恒成立，所以的單調(diào)增區(qū)間是，無減區(qū)間；②當(dāng)時(shí)，令，得，令，得，所以的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是；綜上，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間是，無減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是.（2）方法一：當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋?，又因?yàn)椋环猎O(shè)，所以.令，則問題轉(zhuǎn)化為在上有解.注意到，①當(dāng)，即時(shí)，對(duì)任意恒成立，所以在上單調(diào)遞增，，在上無解，不符題意，舍去..②當(dāng)，即時(shí)，設(shè)，則在，即上單調(diào)遞增，所以，從而在上單調(diào)遞減.因?yàn)?，所以存?從而在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減.取，令，設(shè)恒成立，所以，從而，即，因?yàn)?，所以，所?此時(shí)因?yàn)榍以谏蠁握{(diào)遞增，上單調(diào)遞減，所以必有，從而存在，符合題意.綜上，.方法二：當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，所以，令，從而，即，令，則問題轉(zhuǎn)化為在上有解.①若，即時(shí)，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，，所以在上無解，不符題意，舍去.②若，即時(shí)，令，則在上單調(diào)遞增，，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋?，所以存在，從而在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.令，所以，從而，即，此時(shí)‘’取，此時(shí)，所以因?yàn)榍以谏蠁握{(diào)遞減，上單調(diào)遞增，所以必有，從而存在，符合題意.綜上，24．（2023·四川涼山·高二寧南中學(xué)校聯(lián)考期末）已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若恒成立，求的取值范圍．【解析】（1）由，若，則恒成立，即在上單調(diào)遞增，若，令得，即在上單調(diào)遞增，令得，即在上單調(diào)遞增，綜上所述當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增；（2）由（1）得當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)趨近于時(shí)，趨近于，不符合題意，故，則，所以，令，顯然當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，故在時(shí)單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即，所以，即25．（2023·黑龍江哈爾濱·高二哈九中?？茧A段練習(xí)）已知，函數(shù)．(1)當(dāng)與都存在極小值，且極小值之和為0時(shí)，求實(shí)數(shù)的值；(2)當(dāng)時(shí)，若，求證：【解析】（1），定義域均為，，

當(dāng)時(shí)，則，在單調(diào)遞增，無極值，與題不符；當(dāng)時(shí)，令，解得：，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在取極小值，且；

又，當(dāng)時(shí)：，在單調(diào)遞減，無極值，與題不符；當(dāng)時(shí)：令，解得：，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在取極小值，且；依題意，解得：，（2）當(dāng)時(shí)，，由題意可知，，兩式相減得，整理為，要證明，即證明，不妨設(shè)，即證明，即，設(shè)，即證明，設(shè)，，所以函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，且，即在區(qū)間恒成立，即,即，得證.26．（2023·四川宜賓·高二四川省宜賓市第四中學(xué)校?？计谀┮阎瘮?shù).(1)討論極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；(2)若函數(shù)恰有2個(gè)極值點(diǎn)，3個(gè)零點(diǎn)，，（），探究：是否存在實(shí)數(shù)，使得.【解析】（1）由題知：，設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，此時(shí)無極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，開口向下，對(duì)稱軸為，；所以，在上單調(diào)遞增，此時(shí)無極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，開口向上，；所以，在上單調(diào)遞減，此時(shí)無極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，開口向上，，對(duì)稱軸為，；所以在上有兩個(gè)解，且，，所以當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減；此時(shí)有兩個(gè)極值點(diǎn).綜上所述：當(dāng)或時(shí)，無極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn).（2）因?yàn)楹瘮?shù)恰有2個(gè)極值點(diǎn)，由（1）知：，，，，又因?yàn)楹瘮?shù)有3個(gè)零點(diǎn)，，（），且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減；所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，，，所以，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得，則，即，即，所以，所以，令，，則，所以在上單調(diào)遞減，，所以，所以不成立，所以不存在實(shí)數(shù)滿足：.27．（2023·福建寧德·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，其中為實(shí)數(shù)，為自然對(duì)數(shù)底數(shù)，.(1)已知函數(shù)，，求實(shí)數(shù)取值的集合；(2)已知函數(shù)有兩個(gè)不同極值點(diǎn)、，證明【解析】（1）由，得，當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋缓项}意；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，要，只需，令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；所以，則由得所以，故實(shí)數(shù)取值的集合（2）由已知，則，因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)、，所以有兩個(gè)不同零點(diǎn)，若時(shí)，則在上單調(diào)遞增，在上至多一個(gè)零點(diǎn)，與已知矛盾，舍去；當(dāng)時(shí)，由，得，令，所以，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.所以，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，如下圖所示：由圖可知，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，不妨設(shè)這兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為、，且，且當(dāng)或時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則.綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)；設(shè)，則，因?yàn)?，所以，，則，取對(duì)數(shù)得，令，，則，即，令，則，因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，令，則，在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，即，因?yàn)?，，在上單調(diào)遞增，所以，所以，即，所以，故成立.28．（2023·安徽六安·六安一中?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)已知函數(shù)，存在，證明：．【解析】（1）的定義域?yàn)椋?，令，則，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，又因?yàn)?，所以，，即：，，所以函?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.（2）由（1），得，又，即，所以．不妨設(shè)，所以．由（1）得當(dāng)，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，故，所以，所以，故．下證．即證：，設(shè)，則，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，故，即，所以，即，所以，得證．29．（2023·江蘇蘇州·高二江蘇省蘇州實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，且，(1)求的取值范圍；(2)證明：.【解析】（1）因?yàn)榈亩x域?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，故不可能有兩個(gè)零點(diǎn)，故舍去；當(dāng)時(shí)，令，解得，令，解得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，要使有兩個(gè)零點(diǎn)，則，解得，又，設(shè)，，所以在單調(diào)遞減，所以，所以，所以,所以當(dāng)時(shí)，在和上各有一個(gè)零點(diǎn),且，所以，由單調(diào)性知：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；因?yàn)?，所以，即，所以，而，所以，所以，令，，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以.（2）只需證，由題意：，設(shè)，.所以，即，所以，，即，所以∴，令，，令，，設(shè)，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，，∴在單調(diào)遞增，∴，∴在單調(diào)遞增，∴.∴，∴，∴，（由于，此處無法取得等號(hào)），得證.30．（2023·福建三明·高二三明市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)函數(shù).(1)求的極值；(2)已知，有最小值，求的取值范圍.【解析】（1）由題意知：定義域?yàn)?，，，，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；的極大值為，無極小值.（2）可化為，為單調(diào)遞增函數(shù)，由可得：，即，令，則，，，，，令，，令，；①當(dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞增，，即，在上單調(diào)遞增，此時(shí)在上不存在最小值，即不存在最小值，不合題意；②當(dāng)時(shí)，若，則；若，則；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，又，存在，使得，且當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，即有最小值；綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為.31．（2023·浙江·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)求函數(shù)在處的切線方程；(2)記函數(shù)，且的最小值為.（i）求實(shí)數(shù)的值；（ii）若存在實(shí)數(shù)滿足，求的最小值.【解析】（1），則，又，所以切線方程為：，即.（2）（i），令，即，則且，所以有兩異號(hào)實(shí)數(shù)根，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，所以有唯一零點(diǎn).所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則在上遞減，在上遞增.所以，且.代入可得，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，所以，故.（ii），即，則不妨令，設(shè)，則.記，則，令，即，則且，所以有兩異號(hào)實(shí)數(shù)根，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，所以有唯一零點(diǎn).且.所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則在上遞減，在上遞增，所以.其中，即，又在上單調(diào)遞減，且，得，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以（當(dāng)時(shí)，有），所以的最小值為.32．（2023·全國·高三對(duì)口高考）已知．(1)若對(duì)任意，有，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)椋髮?shí)數(shù)a的取值范圍；(3)，，使得成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．(4)，使得成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解析】（1）方法一：，當(dāng)時(shí)，由得，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，所以；當(dāng)時(shí)，令，解得或，則在單調(diào)遞減，在和單調(diào)遞增；①當(dāng)，即時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，所以；②當(dāng)，即時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，所以，綜上所述，．方法二：因?yàn)椋?，所以在上恒成立，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，即，故．（2）方法一：，當(dāng)時(shí)，由得，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，當(dāng)時(shí)，令，解得或，則在單調(diào)遞減，在和單調(diào)遞增；①當(dāng)，即時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，舍去，②當(dāng)，即時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，無解，綜上所述，．方法二：，當(dāng)時(shí)，，無解；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，不合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，因?yàn)楹驮谏蠁握{(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，所以，解得，所以．（3）設(shè)，，由，，使得成立，則在有解，，因?yàn)闀r(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，即，因?yàn)?，所以在恒成立，因?yàn)樵趩握{(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，即，故．（4）設(shè)，，由（3）得，所以在上單調(diào)遞增，所以，因?yàn)?，使得成立，所以在恒成立，所以，即，所以?dāng)時(shí)，，所以在恒成立，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，即，故．33．（2023·甘肅定西·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)若a＝1，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，求證：．【解析】（1）由題，，則.因，則.則在上單調(diào)遞增；（2）.當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，不合題意；當(dāng)時(shí)，令.當(dāng)時(shí)，，則只有一個(gè)極值點(diǎn)，與題意不合；當(dāng)時(shí)，.則.則..注意到，則要證，即證.構(gòu)造函數(shù)，.則，即在上單調(diào)遞增.則，即.34．（2023·廣西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)若，求在處的切線方程；(2)若有兩個(gè)不同零點(diǎn)，證明：．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，

故，，故在處的切線方程為，即.（2）證明：不妨設(shè)，設(shè)，則，

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，

可知，也是的兩個(gè)零點(diǎn)，且，，于是，

設(shè)，因?yàn)椋?/p>

設(shè)，當(dāng)時(shí)，，故在單調(diào)遞增，所以，從而，因此在單調(diào)遞增．

又，故，故，于是．

又在單調(diào)遞減，故

即，故35．（2023·河北·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若是的兩個(gè)不相等的零點(diǎn)，證明：.【解析】（1）①若，則，故在上單調(diào)遞增；②若，則時(shí)，時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；③若，則時(shí)，時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）由（1）知時(shí)，在單