人教版九年級上冊數(shù)學(xué)舉一反三21.9一元二次方程章末十大題型總結(jié)(培優(yōu)篇)(學(xué)生版+解析)

專題21.9一元二次方程章末十大題型總結(jié)（培優(yōu)篇）【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1一元二次方程的相關(guān)概念辨析】 1【題型2一元二次方程的解的估算】 1【題型3配方法的應(yīng)用】 2【題型4根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況】 3【題型5根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)】 4【題型6一元二次方程的一般解法】 4【題型7換元法解一元二次方程】 5【題型8根的判別式與根與系數(shù)關(guān)系的綜合】 5【題型9一元二次方程中的閱讀理解類問題】 6【題型10一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用】 8【題型1一元二次方程的相關(guān)概念辨析】【例1】（2023春·湖南益陽·九年級校考期中）若方程(k?1)xk+1?2x=5是關(guān)于x的一元二次方程，則k=．【變式1-1】（2023春·九年級課時(shí)練習(xí)）下列方程中屬于一元二次方程的是（

）A．2(x+1)2=x+1 C．xy?x2=2【變式1-2】（2023春·河南開封·九年級統(tǒng)考期中）把方程x2+2（x-1）=3x化成一般形式，其一次項(xiàng)系數(shù)為【變式1-3】（2023春·福建廈門·九年級廈門外國語學(xué)校?？计谀﹥蓚€(gè)關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0和cx2+bx+a=0，其中a，b，c是常數(shù)，且a+c=0，如果x=2是方程A．2 B．?2 C．±1 D．1【題型2一元二次方程的解的估算】【例2】（2023春·福建漳州·九年級?？计谥校┹斎胍唤M數(shù)據(jù)，按下列程序進(jìn)行計(jì)算，輸出結(jié)果如表：x20.520.620.720.820.9輸出－13.75－8.04－2.313.449.21分析表格中的數(shù)據(jù)，估計(jì)方程(x＋8)2－826＝0的一個(gè)正數(shù)解x的大致范圍為（）A．20.5＜x＜20.6 B．20.6＜x＜20.7C．20.7＜x＜20.8 D．20.8＜x＜20.9【變式2-1】（2023春·山東青島·九年級統(tǒng)考期中）根據(jù)下列表格的對應(yīng)值，由此可判斷方程x2+12x﹣15=0必有一個(gè)解x滿足（

x﹣111.11.2x2+12x﹣15﹣26﹣2﹣0.590.84A．﹣1<x<1 B．1<x<1.1 C．1.1<x<1.2 D．﹣0.59<x<0.84【變式2-3】（2023春·江蘇·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)：x0.511.523ax2+bx+c2818104﹣2估計(jì)一元二次方程ax2+bx+c＝6（a，b，c為常數(shù)，a≠0）一個(gè)解x的范圍為（

）A．0.5＜x＜1 B．1＜x＜1.5 C．1.5＜x＜2 D．2＜x＜3【題型3配方法的應(yīng)用】【例3】（2023春·河北石家莊·九年級統(tǒng)考期末）已知a，b，c是不等邊△ABC的三邊長，滿足a2＋b2＝6a＋8b－25，則最長邊c的范圍（

）A．1＜c＜7 B．4≤c＜7 C．4＜c＜7 D．1＜c≤4【變式3-1】（2023春·江蘇揚(yáng)州·九年級統(tǒng)考期中）新定義，若關(guān)于x的一元二次方程：m(x?a)2+b=0與n(x?a)2+b=0，稱為“同類方程”．如2(x?1)2+3=0與6(x?1)2【變式3-2】（2023春·江蘇蘇州·九年級?？计谥校┮阎獙?shí)數(shù)x、y、z滿足x2?4x+y2+4y?2xy+z=2018【變式3-3】（2023春·四川內(nèi)江·九年級?？计谥校┤鬭，b，c滿足a+b+c=2a+1+4b+1+6【題型4根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況】【例4】（2023春·山東煙臺·九年級統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，若直線y=?3x+b不經(jīng)過第一象限，則關(guān)于x的方程bx2+x+2023=0A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．1或2個(gè)【變式4-1】（2023春·福建寧德·九年級統(tǒng)考期中）對于一元二次方程ax2+bx+c=0①若a?b+c=0，則它有一根為－1；②若方程ax2+c=0③若c是方程ax2+bx+c=0④若b=2a+3c，則一元二次方程ax2+bx+c=0【變式4-2】（2023春·安徽亳州·九年級?？计谥校┮阎P(guān)于x的一元二次方程x2(1)判斷方程的根的情況；(2)若△ABC為等腰直角三角形，且其兩條邊長恰好是該方程的根，求m的值．【變式4-3】（2023春·安徽安慶·九年級統(tǒng)考期中）如圖四邊形ACDE是證明勾股定理時(shí)用到的一個(gè)圖形，a、b、c是Rt△ABC和Rt△BED邊長，易知AE=2c，這時(shí)我們把關(guān)于

(1)求證：關(guān)于x的“勾系一元二次方程”ax(2)若x=?1是“勾系一元二次方程”ax2+2cx+b=0的一個(gè)根，且四邊形ACDE【題型5根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)】【例5】（2023春·山東煙臺·九年級統(tǒng)考期中）關(guān)于x的一元二次方程kx(1)求k的取值范圍．(2)是否存在k的值，使k為非負(fù)整數(shù)，且方程的兩根均為有理數(shù)？若存在，請求出滿足條件的k的值；若不存在，請說明理由．【變式5-1】（2023春·浙江金華·九年級?？计谥校?已知關(guān)于x的方程k?3x2+2kx+k?2=0有解，則k【變式5-2】（2023春·山東威?！ぞ拍昙壭Ｂ?lián)考期末）定義新運(yùn)算“*”：對于實(shí)數(shù)a，b，c，d有a,c?d,b=ab+cd，例如1,2*3,4=1×4+2×3=10，若關(guān)于x的方程A．k≤54 B．k≥54 C．k≤54且【變式5-3】（2023春·安徽·九年級統(tǒng)考期末）若實(shí)數(shù)a，b滿足a?2ab+2ab2+4=0，則a【題型6一元二次方程的一般解法】【例6】（2023春·重慶沙坪壩·九年級重慶八中?？计谀┙庀铝蟹匠蹋?1)2x(2)x2(3)2x(4)3y(y?1)=2(y?1)．【變式6-1】（2023春·安徽六安·九年級?？计谥校┱堄脙煞N不同的方法解一元二次方程：x2【變式6-2】（2023春·寧夏吳忠·九年級?？计谥校┙夥匠?1)x2(2)2x(3)2x?3【變式6-3】（2023春·山東泰安·九年級統(tǒng)考期末）用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠?1)3x(2)x+13x?1(3)4x2x+1(4)x2【題型7換元法解一元二次方程】【例7】（2023春·四川樂山·九年級統(tǒng)考期中）材料：為解方程x4-x2-6=0，可將方程變形為x22解得y1=-2，當(dāng)y1=-2時(shí)，x2=-2無意義，舍去；當(dāng)y2所以原方程的解為x1=-3問題：利用本題的解題方法，解方程x2【變式7-1】（2023春·浙江溫州·九年級校聯(lián)考期中）已知方程x2?10x+21=0的根為x1=3，x2【變式7-2】（2023春·黑龍江牡丹江·九年級統(tǒng)考期中）若x2+y2xA．?3 B．4 C．?3或4 D．3或4【變式7-3】（2023春·湖北恩施·九年級?？计谥校╅喿x下列“問題”與“提示”后，將解方程的過程補(bǔ)充完整，求出x的值．【問題】解方程：x2【提示】可以用“換元法”解方程．解：設(shè)x2?6x=t（t原方程可化為：t2【續(xù)解】【題型8根的判別式與根與系數(shù)關(guān)系的綜合】【例8】（2023春·安徽六安·九年級校考期末）已知關(guān)于x的一元二次方程2x(1)求k的取值范圍．(2)若此方程的兩根為x1，x2，且x1，x(3)若k為正整數(shù)，此方程的兩根為x1，x2，求【變式8-1】（2023春·浙江嘉興·九年級統(tǒng)考期末）已知關(guān)于x的一元二次方程x2?6x+m?3=0有兩個(gè)大于2的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（A．7<m≤12 B．8<m<12 C．10<m<12 D．11<m≤12【變式8-2】（2023春·山東煙臺·九年級統(tǒng)考期末）實(shí)數(shù)k使關(guān)于x的方程x2+2kx+k2=x+1有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x【變式8-3】（2023春·山東煙臺·九年級統(tǒng)考期末）已知關(guān)于x的一元二次方程x2?2mx+m2?m=3(1)求m的取值范圍；(2)若m取負(fù)整數(shù)，求x1(3)若該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和為18，求m的值．【題型9一元二次方程中的閱讀理解類問題】【例9】（2023春·湖南永州·九年級統(tǒng)考期末）閱讀材料：各類方程的解法：求解一元一次方程時(shí)，根據(jù)等式的基本性質(zhì)，把方程轉(zhuǎn)化為x=a的形式；求解二元一次方程組時(shí)，把它轉(zhuǎn)化為一元一次方程求解；類似的，解三元一次方程組，把它轉(zhuǎn)化為解二元一次方程組求解；解一元二次方程，把它轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程求解；解分式方程，把它轉(zhuǎn)化為整式方程求解，由于“去分母”可能產(chǎn)生增根，所以解分式方程必須檢驗(yàn)。各類方程的解法不盡相同，但是它們有一個(gè)共同的基本數(shù)學(xué)思想——轉(zhuǎn)化，把未知轉(zhuǎn)化為已知，把復(fù)雜轉(zhuǎn)化為簡單。運(yùn)用“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想，我們還可以解一些新的方程，例如，一元三次方程x3+2x2?3x=0，可以通過因式分解把它轉(zhuǎn)化為：x(x2(1)問題：方程2x3+10x2?12x=0的解是：(2)拓展：解方程組x(3)應(yīng)用：如圖，已知矩形草坪ABCD的長AD=21m，寬AB=8m，點(diǎn)P在AD上（AP>PD），小明把一根長為27m的繩子一端固定在點(diǎn)B，把繩長拉直并固定在AD上的一點(diǎn)P處，再拉直繩長的另一端恰好落在矩形的頂點(diǎn)C處，求DP的長．【變式9-1】（2023春·廣東深圳·九年級統(tǒng)考期末）【綜合與實(shí)踐】：閱讀材料，并解決以下問題．【學(xué)習(xí)研究】：北師大版教材九年級上冊第39頁介紹了我國數(shù)學(xué)家趙爽在其所著的《勾股圓方圖注》中關(guān)于一元二次方程的幾何解法：以x2首先將方程x2+2x?35=0變形為x(x+2)=35，然后畫四個(gè)長為x+2，寬為x的矩形，按如圖（1）所示的方式拼成一個(gè)“空心”大正方形，則圖中大正方形的面積可表示為(x+x+2)2，還可表示為四個(gè)矩形與一個(gè)邊長為2的小正方形面積之和，即4x(x+2)+22=4×35+4，因此，可得新方程：(x+x+2)2【類比遷移】：小明根據(jù)趙爽的辦法解方程x2第一步：將原方程變形為x2+3x?4=0，即x（第二步：利用四個(gè)面積可用x表示為_________的全等矩形構(gòu)造“空心”大正方形（請?jiān)诋媹D區(qū)畫出示意圖，標(biāo)明各邊長），并寫出完整的解答過程；第三步：【拓展應(yīng)用】：一般地對于形如：x2+ax=b一元二次方程可以構(gòu)造圖2來解，已知圖2是由4個(gè)面積為3的相同矩形構(gòu)成，中間圍成的正方形面積為4．那么此方程的系數(shù)a=________，【變式9-2】（2023春·湖南長沙·九年級統(tǒng)考期末）請閱讀下列材料：問題：已知方程x2解：設(shè)所求方程的根為y，則y=2x，所以x=y2，把x=y2代入已知方程，得y2這種利用方程根的代換求新方程的方法，我們稱為“換根法”；請用閱讀材料提供的“換根法”求新方程（要求：把所求方程化為一般形式）：(1)已知方程x2(2)已知關(guān)于x的一元二次方程ax【變式9-3】（2023春·河南南陽·九年級校考期末）閱讀材料：材料1：若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的兩個(gè)根為x1，x材料2：已知一元二次方程x2?x?1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為m，n，求解：∵一元二次方程x2?x?1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為m，∴m+n=1，mn=?1，則m根據(jù)上述材料，結(jié)合你所學(xué)的知識，完成下列問題：(1)材料理解：一元二次方程2x2?3x?1=0的兩個(gè)根為x(2)類比應(yīng)用：已知一元二次方程2x2?3x?1=0的兩根分別為m、n(3)思維拓展：已知實(shí)數(shù)s、t滿足2s2?3s?1=0，2t2【題型10一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用】【例10】（2023春·安徽池州·九年級統(tǒng)考期末）某段公路上有一條雙向線隧道（可雙向行駛，車輛不能行駛在中間線上）隧道的縱截面由矩形的三邊和一段拋物線構(gòu)成．以AB所在的直線為x軸，AB的中垂線為y軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，已知隧道寬度AB=8米，隧道最高處距路面OE=6米，矩形的寬AD=2米．(1)求這條拋物線的表達(dá)式．(2)為了保證安全，交通部門要求行駛車輛的頂部（設(shè)為平頂）與隧道的頂部在豎直方向上的高度差至少為0.5米，問該隧道能通過寬為3米的貨車的最高高度為多少米？【變式10-1】（2023春·吉林·九年級校考期中）“貴妃芒”芒果品種是廣受各地消費(fèi)者青睞的優(yōu)質(zhì)新品種，在我國海南省廣泛種植，水果商以每斤15元的價(jià)格從該省批發(fā)“貴妃芒”，再按每斤25元的價(jià)格到市區(qū)銷售，平均每天可售出60斤，經(jīng)過調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每斤“貴妃芒”的售價(jià)每降低1元，那么平均每天的銷售量會增加10斤，為了盡快減少庫存，該水果商決定降價(jià)銷售．設(shè)“貴妃芒”每斤的價(jià)格降低x元．(1)若水果商銷售“貴妃芒”每天盈利630元，則每斤“貴妃芒”的售價(jià)應(yīng)降至多少元？(2)若x的范圍為1≤x≤9內(nèi)的正整數(shù)，則水果商的最高利潤與最低利潤的差為________元．【變式10-2】（2023春·云南昆明·九年級統(tǒng)考期末）2022年11月20日，第二十二屆世界杯足球賽在卡塔爾拉開了序幕．32支球隊(duì)的激烈角逐吸引著全世界億萬球迷的目光．鷹眼系統(tǒng)能夠追蹤、記錄和預(yù)測球的軌跡，如圖分別為足球比賽中某一時(shí)刻的鷹眼系統(tǒng)預(yù)測畫面（如圖1）和截面示意圖（如圖2），足球的飛行軌跡可看成拋物線．足球離地面高度h（單位：m）與足球被踢出后經(jīng)過的時(shí)間t（單位：s）之間的關(guān)系如下表：t01234567…?08141820201814…下列結(jié)論不正確的是（

）A．足球飛行路線的對稱軸是直線t=92C．足球距離地面的最大高度為20米 D．足球被踢出5~7秒，距離地面的高度逐漸下降【變式10-3】（2023春·浙江紹興·九年級校聯(lián)考期中）小林家的洗手臺上有一瓶洗手液（如圖1所示）．如圖2所示，當(dāng)手按住頂部A下壓位置時(shí)，洗手液瞬間從噴口B流出路線呈拋物線經(jīng)過C與E兩點(diǎn)．瓶子上部分是由CE和FD組成的，其圓心分別為D，C，下部分是矩形CGHD，GH=10cm，CG=8cm，點(diǎn)E到臺面GH的距離為14cm，點(diǎn)B距臺面的距離為16cm，且B，D，H三點(diǎn)共線．若手心距DH的水平距離為2

專題21.9一元二次方程章末十大題型總結(jié)（培優(yōu)篇）【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1一元二次方程的相關(guān)概念辨析】 1【題型2一元二次方程的解的估算】 3【題型3配方法的應(yīng)用】 5【題型4根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況】 8【題型5根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)】 12【題型6一元二次方程的一般解法】 14【題型7換元法解一元二次方程】 18【題型8根的判別式與根與系數(shù)關(guān)系的綜合】 20【題型9一元二次方程中的閱讀理解類問題】 24【題型10一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用】 31【題型1一元二次方程的相關(guān)概念辨析】【例1】（2023春·湖南益陽·九年級?？计谥校┤舴匠?k?1)xk+1?2x=5是關(guān)于x【答案】?1【分析】根據(jù)一元二次方程的一般形式即可得到答案．【詳解】依題意得k+1=2且解得k=?1故答案是?1．【點(diǎn)睛】本題利用了一元二次方程的概念，只有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的整式方程叫做一元二次方程．一般形式為y=ax2+bx+c(a≠0)【變式1-1】（2023春·九年級課時(shí)練習(xí)）下列方程中屬于一元二次方程的是（

）A．2(x+1)2=x+1 C．xy?x2=2【答案】A【分析】根據(jù)一元二次方程的定義解答，一元二次方程必須滿足四個(gè)條件：①未知數(shù)的最高次數(shù)是2；②二次項(xiàng)系數(shù)不為0；③是整式方程；④含有一個(gè)未知數(shù)．由這四個(gè)條件對四個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行驗(yàn)證，滿足這四個(gè)條件者即為正確答案．【詳解】解：A.2(x+1)2=x+1B.1xC.xy?xD.x2故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的概念，判斷一個(gè)方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化簡后是否只含有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)是2．【變式1-2】（2023春·河南開封·九年級統(tǒng)考期中）把方程x2+2（x-1）=3x化成一般形式，其一次項(xiàng)系數(shù)為【答案】-1【分析】先去括號，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，再找出一次項(xiàng)系數(shù)即可．【詳解】解：x2+2（x-1）=3x，x2+2x-3x-2=0，x2-x-2=0，所以一次項(xiàng)系數(shù)是-1，故選：-1．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的一般形式，注意：①一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a、b、c為常數(shù)，a≠0），②找各項(xiàng)系數(shù)帶著前面的符號．【變式1-3】（2023春·福建廈門·九年級廈門外國語學(xué)校?？计谀﹥蓚€(gè)關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0和cx2+bx+a=0，其中a，b，c是常數(shù)，且a+c=0，如果x=2是方程A．2 B．?2 C．±1 D．1【答案】B【分析】利用方程根的定義去驗(yàn)證判斷即可．【詳解】∵a≠0，c≠0，a+c=0，∴a=?c∴ca∴x2+b∴x2+b∵x=2是方程ax∴x=2是方程x2+b∴x2∴x=?2是方程x2即x=?2時(shí)方程cx故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根的定義即使得方程兩邊相等的未知數(shù)的值，正確理解定義是解題的關(guān)鍵．【題型2一元二次方程的解的估算】【例2】（2023春·福建漳州·九年級校考期中）輸入一組數(shù)據(jù)，按下列程序進(jìn)行計(jì)算，輸出結(jié)果如表：x20.520.620.720.820.9輸出－13.75－8.04－2.313.449.21分析表格中的數(shù)據(jù)，估計(jì)方程(x＋8)2－826＝0的一個(gè)正數(shù)解x的大致范圍為（）A．20.5＜x＜20.6 B．20.6＜x＜20.7C．20.7＜x＜20.8 D．20.8＜x＜20.9【答案】C【詳解】試題解析：由表格可知，當(dāng)x=20.7時(shí)，（x+8）2-826=-2.31，當(dāng)x=20.8時(shí)，（x+8）2-826=3.44，故（x+8）2-826=0時(shí)，20.7＜x＜20.8，故選C．【變式2-1】（2023春·山東青島·九年級統(tǒng)考期中）根據(jù)下列表格的對應(yīng)值，由此可判斷方程x2+12x﹣15=0必有一個(gè)解x滿足（

x﹣111.11.2x2+12x﹣15﹣26﹣2﹣0.590.84A．﹣1<x<1 B．1<x<1.1 C．1.1<x<1.2 D．﹣0.59<x<0.84【答案】C【分析】利用表中數(shù)據(jù)得到x=1.1時(shí)，x2+12x﹣15=-0.59<0，x=1.2時(shí)，x2+12x﹣15=0.84>0，則可以判斷方程x2+12x﹣15=0時(shí)，有一個(gè)解x滿足1.1<x<1.2．【詳解】∵x=1.1時(shí)，x2+12x﹣15=-0.59<0，x=1.2時(shí)，x2+12x﹣15=0.84>0，∴1.1<x<1.2時(shí)，x2+12x﹣15=0即方程x2+12x﹣15=0必有一個(gè)解x滿足1.1<x<1.2，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．【變式2-2】（2023春·遼寧沈陽·九年級統(tǒng)考期末）根據(jù)表格中的信息，判斷關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0.02a≠0的一個(gè)解x3.243.253.26a?0.020.010.03A．x<3.24 B．3.24<x<3.25C．3.25<x<3.26 D．3.26<x【答案】C【分析】利用表中數(shù)據(jù)得到x=3.25和x=3.26時(shí)，代數(shù)式ax2+bx+c的值一個(gè)等于0.01，一個(gè)等于0.03，從而可判斷當(dāng)ax2+bx+c=0.02時(shí)，3.25＜x＜3.26．【詳解】解：當(dāng)x=3.25時(shí)，ax2+bx+c=0.01，當(dāng)x=3.26時(shí)，ax2+bx+c=0.03，所以方程ax2+bx+c=0.02的解的范圍為3.25＜x＜3.26．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了估算一元二次方程的近似解：用列舉法估算一元二次方程的近似解，具體方法是：給出一些未知數(shù)的值，計(jì)算方程兩邊結(jié)果，當(dāng)兩邊結(jié)果愈接近時(shí)，說明未知數(shù)的值愈接近方程的根．【變式2-3】（2023春·江蘇·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)：x0.511.523ax2+bx+c2818104﹣2估計(jì)一元二次方程ax2+bx+c＝6（a，b，c為常數(shù)，a≠0）一個(gè)解x的范圍為（

）A．0.5＜x＜1 B．1＜x＜1.5 C．1.5＜x＜2 D．2＜x＜3【答案】C【分析】根據(jù)表格中ax2+bx+c的值確定6的對應(yīng)位置即可確定x的范圍.【詳解】根據(jù)表格可知ax2+bx+c的值隨x的增大而減小，∵ax2+bx+c=6，且4<6<10，∴1.5＜x＜2，故選：C.【點(diǎn)睛】此題考查了函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)表格中未知數(shù)與代數(shù)式的對應(yīng)關(guān)系確定代數(shù)式的位置，由此確定未知數(shù)的取值范圍，能理解表格的對應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵.【題型3配方法的應(yīng)用】【例3】（2023春·河北石家莊·九年級統(tǒng)考期末）已知a，b，c是不等邊△ABC的三邊長，滿足a2＋b2＝6a＋8b－25，則最長邊c的范圍（

）A．1＜c＜7 B．4≤c＜7 C．4＜c＜7 D．1＜c≤4【答案】C【分析】由a2+b2=6a+8b-25，得a，b的值，然后利用三角形的三邊關(guān)系求得c的取值范圍即可．【詳解】∵a2+b2=6a+8b-25，∴（a-3）2+（b-4）2=0，∴a=3，b=4；∴4-3＜c＜4+3，∵c是最長邊，∴4＜c＜7．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了配方法的應(yīng)用、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)及三角形的三邊關(guān)系，解題的關(guān)鍵是對方程的左邊進(jìn)行配方，難度不大．【變式3-1】（2023春·江蘇揚(yáng)州·九年級統(tǒng)考期中）新定義，若關(guān)于x的一元二次方程：m(x?a)2+b=0與n(x?a)2+b=0，稱為“同類方程”．如2(x?1)2+3=0與6(x?1)2【答案】2023【分析】根據(jù)“同類方程”的定義，可得出a，b的值，從而解得代數(shù)式的最大值．【詳解】∵2(x?1)2+1=0∴(a+6)x∴(a+6)x∴b+8=2a+6解得：a=?1b=2∴a=?=?∴當(dāng)x=1時(shí)，ax故答案為：2023．【點(diǎn)睛】此題主要考查了配方法的應(yīng)用，解二元一次方程組，理解“同類方程”的定義是解答本題的關(guān)鍵．【變式3-2】（2023春·江蘇蘇州·九年級?？计谥校┮阎獙?shí)數(shù)x、y、z滿足x2?4x+y2+4y?2xy+z=2018【答案】2022【分析】仔細(xì)觀察等式左側(cè)，先將多項(xiàng)式進(jìn)行分組，再利用配方法化簡其形式，最后根據(jù)平方的非負(fù)性確定z的最大值.【詳解】解：∵x∴x∴(x?y)(x?y)2(x?y?2)2∵(x?y?2)∴當(dāng)(x?y?2)2=0時(shí)，∴z?4=2018，∴z=2022，∴實(shí)數(shù)z的最大值為2022，故答案為：2022．【點(diǎn)睛】本題考查了配方法與平方的非負(fù)性，能夠識別多種情況下的配方條件，正確的配方是解題關(guān)鍵.【變式3-3】（2023春·四川內(nèi)江·九年級?？计谥校┤鬭，b，c滿足a+b+c=2a+1+4b+1+6【答案】54【分析】先配成平方和等于0的性質(zhì)，再利用平方的非負(fù)性求解即可．【詳解】解：∵a+b+c=2a+1∴a+1?2a+1即，a+1?1∴a+1?1=0,解得：a=0,b=3,c=9，∴a(b+c)+b(a+c)+c(a+b)=2ab+2ac+2bc=2×0×3+2×0×9+2×3×9=54．故答案為：54．【點(diǎn)睛】本題主要考查平方的非負(fù)性，配方法的應(yīng)用，算術(shù)平方根等知識，將原方程配成平方和等于0的形式，是解題的關(guān)鍵．【題型4根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況】【例4】（2023春·山東煙臺·九年級統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，若直線y=?3x+b不經(jīng)過第一象限，則關(guān)于x的方程bx2+x+2023=0A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．1或2個(gè)【答案】D【分析】由直線y=?3x+b不經(jīng)過第一象限可得b≤0，分b=0時(shí)和b<0時(shí)，分別進(jìn)行求解即可得到答案．【詳解】解：∵直線y=?3x+b不經(jīng)過第一象限，∴b≤0，當(dāng)b<0時(shí)，∴Δ∴關(guān)于x的方程bx當(dāng)b=0時(shí)，方程為x+2023=0，此時(shí)方程為一元一次方程，此方程的根有1個(gè)，綜上所述，若直線y=?3x+b不經(jīng)過第一象限，則關(guān)于x的方程bx故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、一元二次方程根的個(gè)數(shù)與判別式的關(guān)系，一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的根與Δ=b2【變式4-1】（2023春·福建寧德·九年級統(tǒng)考期中）對于一元二次方程ax2+bx+c=0①若a?b+c=0，則它有一根為－1；②若方程ax2+c=0③若c是方程ax2+bx+c=0④若b=2a+3c，則一元二次方程ax2+bx+c=0【答案】①②④【分析】利用因式分解法解方程可對①進(jìn)行判斷；根據(jù)根的判別式的意義，由方程ax2+c=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根得到Δ=?4ac>0，則可判斷Δ=b2?4ac>0，于是可對②進(jìn)行判斷；由c是方程ax2+bx+c=0【詳解】解：若a?b+c=0時(shí)，則b=a+c，∴原方程為ax∴ax+cx+1解得x1若方程ax2+c=0∴方程ax2+bx+c=0∴方程ax∵c是方程ax∴ac當(dāng)c≠0時(shí)，ac+b+1=0，故③錯(cuò)誤；若b=2a+3c，則Δ=∴一元二次方程ax故答案為：①②④．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判別式，對于一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0，若Δ=【變式4-2】（2023春·安徽亳州·九年級?？计谥校┮阎P(guān)于x的一元二次方程x2(1)判斷方程的根的情況；(2)若△ABC為等腰直角三角形，且其兩條邊長恰好是該方程的根，求m的值．【答案】(1)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根(2)3+2【分析】（1）先計(jì)算根的判別式的值得到Δ=4>0（2）先利用求根公式解方程得到x1=m+1，【詳解】（1）解：關(guān)于x的一元二次方程x2∵Δ=∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）∵Δ=∴x=?∴x1=m+1，∵該方程的根恰好是等腰直角三角形ABC的兩邊，∵m+1>m?1，∴m+12整理得：m2解得m=3+22或m=3?2∴m的值為3+22【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式∶一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的根與Δ=b2【變式4-3】（2023春·安徽安慶·九年級統(tǒng)考期中）如圖四邊形ACDE是證明勾股定理時(shí)用到的一個(gè)圖形，a、b、c是Rt△ABC和Rt△BED邊長，易知AE=2c，這時(shí)我們把關(guān)于

(1)求證：關(guān)于x的“勾系一元二次方程”ax(2)若x=?1是“勾系一元二次方程”ax2+2cx+b=0的一個(gè)根，且四邊形ACDE【答案】(1)見解析(2)ab=8【分析】（1）結(jié)合勾股定理證明一元二次方程的根的判別式Δ≥0（2）把x=?1代入方程可得a+b=【詳解】（1）證明：根據(jù)題意得：Δ=∵a∴2c即Δ≥0∴勾系一元二次方程ax（2）當(dāng)x=?1時(shí)，有a?∵2a+2b+2c=122∴32∴c=4，∴a2+∵a+b∴32=16+2ab，∴ab=8.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的根的判別式、勾股定理以及完全平方公式的變形等知識，正確理解題意、熟練掌握上述知識是解題的關(guān)鍵.【題型5根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)】【例5】（2023春·山東煙臺·九年級統(tǒng)考期中）關(guān)于x的一元二次方程kx(1)求k的取值范圍．(2)是否存在k的值，使k為非負(fù)整數(shù)，且方程的兩根均為有理數(shù)？若存在，請求出滿足條件的k的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)k<94(2)2【分析】（1）根據(jù)一元二次方程的定義以及根的判別式，建立關(guān)于k的不等式組，求得k的取值范圍．（2）根據(jù)（1）中所求k的取值范圍，得出使k為非負(fù)整數(shù)的值，代入Δ=【詳解】（1）解：由題意知，k≠0且Δ=∴b2解得：k<94且（2）解：∵k<94且∴k=1，2．當(dāng)k=1時(shí)，Δ=9?4=5當(dāng)k=2時(shí)，Δ=9?8=1故滿足條件的k的值為2．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根的情況與根的判別式△的關(guān)系：①Δ＞0?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；②Δ=0?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；③Δ＜0?【變式5-1】（2023春·浙江金華·九年級?？计谥校?已知關(guān)于x的方程k?3x2+2kx+k?2=0有解，則k【答案】k≥【分析】根據(jù)關(guān)于x的方程k?3x2+2kx+k?2=0有解得到Δ【詳解】解：∵方程k?3x∴Δ即20k?24≥0，得k≥6故答案為：k≥6【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程根的判別式，得到Δ≥0【變式5-2】（2023春·山東威海·九年級校聯(lián)考期末）定義新運(yùn)算“*”：對于實(shí)數(shù)a，b，c，d有a,c?d,b=ab+cd，例如1,2*3,4=1×4+2×3=10，若關(guān)于x的方程A．k≤54 B．k≥54 C．k≤54且【答案】C【分析】由新定義的運(yùn)算，可得到關(guān)于的一元二次方程再利用根的判別式進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵x2∴(x整理得：kx∵方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴Δ=解得k≤54且故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查根的判別式,解答的關(guān)鍵是正確運(yùn)用根的判別式．【變式5-3】（2023春·安徽·九年級統(tǒng)考期末）若實(shí)數(shù)a，b滿足a?2ab+2ab2+4=0，則a【答案】?8≤a<0【分析】由實(shí)數(shù)a，b滿足a?2ab+2ab2+4=0得到關(guān)于b的一元二次方程2ab2?2ab+a+4=0，由根的判別式【詳解】解：∵實(shí)數(shù)a，b滿足a?2ab+2ab∴關(guān)于b的一元二次方程2abΔ=?2a2即aa+8≤0且∴a>0a+8≤0或a<0解得?8≤a<0，即a的取值范圍是?8≤a<0．故答案為：?8≤a<0【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程根的判別式、一元一次不等式組的解法等知識，由根的判別式Δ=?4a2【題型6一元二次方程的一般解法】【例6】（2023春·重慶沙坪壩·九年級重慶八中?？计谀┙庀铝蟹匠蹋?1)2x(2)x2(3)2x(4)3y(y?1)=2(y?1)．【答案】(1)x(2)x(3)x(4)y1=1【分析】（1）根據(jù)公式法解一元二次方程；（2）根據(jù)配方法解一元二次方程；（3）根據(jù)公式法解一元二次方程；（4）根據(jù)因式分解法解一元二次方程，即可求解．【詳解】（1）解：2x∵a=2,b=?5,c=?1，Δ=∴x=?b±解得：x1（2）解：x2x2∴x?42∴x?4=±26解得：x1（3）解：2x∵a=2,b=?22,c=?5，∴x=?b±解得：x1（4）解：3y(y?1)=2(y?1)，∴y?13y?2∴y?1=0或3y?2=0，解得：y1=1，【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．【變式6-1】（2023春·安徽六安·九年級?？计谥校┱堄脙煞N不同的方法解一元二次方程：x2【答案】x1=2+【分析】可分別利用公式法和配方法求解．（其他方法也可）【詳解】方法一：x∵a=1,b=?4,c=?1,Δ∴x=?b±解得：x1=2+方法二：x∴x∴x∴(x?2)∴x?2=±5解得：x1=2+【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是根據(jù)方程的形式靈活運(yùn)用各種方法．【變式6-2】（2023春·寧夏吳忠·九年級?？计谥校┙夥匠?1)x2(2)2x(3)2x?3【答案】(1)x1=?2(2)x1=(3)x1=3【分析】（1）利用因式分解法求解即可；（2）利用公式法求解即可；（3）方程整理后利用因式分解法求解即可．【詳解】（1）解：因式分解得：x+2x?4所以x+2=0或x?4=0解得：x1=?2，（2）解：移項(xiàng)得：2x所以a=2，b=?7，c=4，所以Δ=所以x=7±解得：x1=7+（3）解：方程整理得：x2因式分解得：x?3x?9所以x?3=0或x?9=0，解得：x1=3，【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，能夠根據(jù)方程特點(diǎn)靈活選用不同的解法是解題關(guān)鍵．【變式6-3】（2023春·山東泰安·九年級統(tǒng)考期末）用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠?1)3x(2)x+13x?1(3)4x2x+1(4)x2【答案】(1)x1=3(2)x1=(3)x1=?(4)x1=?3+【分析】（1）方程整理后，利用直接開平方法求解即可；（2）方程整理后，利用求根公式法求解即可；（3）方程利用因式分解法求解即可；（4）方程利用配方法求解即可．【詳解】（1）解：方程整理得：x2開方得：x=±32解得：x1=32（2）解：方程整理得：3x這里a=3，b=2，c=?2，∵△=2∴x=?2±2解得：x1=?1+（3）解：方程移項(xiàng)得：4x(2x+1)?3(2x+1)=0，分解因式得：(2x+1)(4x?3)=0，所以2x+1=0或4x?3=0，解得：x1=?1（4）解：配方得：x2+6x+9=19，即開方得：x+3=±19解得：x1=?3+19【點(diǎn)睛】此題考查了解一元二次方程?因式分解法，公式法，直接開平方法，配方法，熟練掌握根據(jù)方程的特征選擇恰當(dāng)?shù)慕夥ㄊ墙獗绢}的關(guān)鍵．【題型7換元法解一元二次方程】【例7】（2023春·四川樂山·九年級統(tǒng)考期中）材料：為解方程x4-x2-6=0，可將方程變形為x22解得y1=-2，當(dāng)y1=-2時(shí)，x2=-2無意義，舍去；當(dāng)y2所以原方程的解為x1=-3問題：利用本題的解題方法，解方程x2【答案】x1=3【分析】根據(jù)題意，設(shè)x2-x=y，則x2-x2-4x【詳解】解：設(shè)x∴x2-∵y2-4∴y=6，∴當(dāng)y=6時(shí)，x2-x=6，方程變形為：當(dāng)y=-2時(shí)，x2∵△=∴x2∴x2-x2-4【點(diǎn)睛】本題考查解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是掌握換元法解一元二次方程，根的判別式，易錯(cuò)點(diǎn)換元降次是求解一元高次方程．【變式7-1】（2023春·浙江溫州·九年級校聯(lián)考期中）已知方程x2?10x+21=0的根為x1=3，x2【答案】x1=2【分析】設(shè)2x?1=t，可得t2?10t+21=0，根據(jù)x2?10x+21=0的根為x1=3，【詳解】解：設(shè)2x?1=t，可得t2∵x2?10x+21=0的根為x1∴2x?1=3或2x?1=7，解得：x1=2，故答案為x1=2，【點(diǎn)睛】本題考查換元法求方程的解，解題的關(guān)鍵是設(shè)2x?1=t，得到t2?10t+21=0，結(jié)合方程x2?10x+21=0的根為【變式7-2】（2023春·黑龍江牡丹江·九年級統(tǒng)考期中）若x2+y2xA．?3 B．4 C．?3或4 D．3或4【答案】B【分析】根據(jù)題意，采用換元法，令a=x2+y2，將x2+y2x2+y2?1【詳解】解：令a=x∴將x2+y∴a2?a?12=0，即a?4a+3=0，解得∵x2∴x2故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查代數(shù)式求值，涉及換元法、解一元二次方程等知識，熟練掌握換元法、因式分解法解一元二次方程是解決問題的關(guān)鍵．【變式7-3】（2023春·湖北恩施·九年級?？计谥校╅喿x下列“問題”與“提示”后，將解方程的過程補(bǔ)充完整，求出x的值．【問題】解方程：x2【提示】可以用“換元法”解方程．解：設(shè)x2?6x=t（t原方程可化為：t2【續(xù)解】【答案】x1=8【分析】按照題目思路，用因式分解法解t2?2t?8=0，求出t，再代入x2【詳解】解：t+2t?4t+2=0或t﹣4=0，∴t1=?2（依據(jù)t≥0，此根舍去），當(dāng)t=4時(shí)，x2則x2?6x?16=0，配方得解得x1=8，經(jīng)檢驗(yàn)，原方程的解為x1=8，【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元二次方程的知識，題中涉及換元的思想．注意，原方程涉及二次根式，故所得的解，必須要代入原方程檢驗(yàn)．【題型8根的判別式與根與系數(shù)關(guān)系的綜合】【例8】（2023春·安徽六安·九年級校考期末）已知關(guān)于x的一元二次方程2x(1)求k的取值范圍．(2)若此方程的兩根為x1，x2，且x1，x(3)若k為正整數(shù)，此方程的兩根為x1，x2，求【答案】(1)k≤3(2)k=3(3)x1【分析】（1）由關(guān)于x的一元二次方程2x2?4x+k?1=0（2）由矩形的對角線相等，可得原方程有兩個(gè)相等的正實(shí)數(shù)根，可得?42（3）由根與系數(shù)的關(guān)系可得：x1+x2=2，x1x2=【詳解】（1）解：∵關(guān)于x的一元二次方程2x∴?42解得：k≤3；（2）∵方程2x2?4x+k?1=0的兩根為x1，x2∴x1∴?42解得：k=3；經(jīng)檢驗(yàn)符合題意；（3）∵方程2x2?4x+k?1=0的兩根為x∴x1+x∵k為正整數(shù)，k≤3，∴k=1或k=2或k=3，∴x=5?k+2∴k≠1，當(dāng)k=2時(shí)，x1當(dāng)k=3時(shí)，x1綜上：x1【點(diǎn)睛】本題考查的是一元二次方程的根的判別式的應(yīng)用，根與系數(shù)的關(guān)系是靈活應(yīng)用，矩形的性質(zhì)，熟記根的判別式與根與系數(shù)的關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．【變式8-1】（2023春·浙江嘉興·九年級統(tǒng)考期末）已知關(guān)于x的一元二次方程x2?6x+m?3=0有兩個(gè)大于2的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（A．7<m≤12 B．8<m<12 C．10<m<12 D．11<m≤12【答案】A【分析】根據(jù)方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，得到Δ≥0，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，得到m?3>4【詳解】解：設(shè)方程的兩個(gè)根為x1,∴x1∴m>7，又方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴Δ=∴m≤12，∴7<m≤12；故選A．【點(diǎn)睛】本題考查根與判別式以及根與系數(shù)的關(guān)系．熟練掌握相關(guān)知識點(diǎn)，列出不等式，是解題的關(guān)鍵．【變式8-2】（2023春·山東煙臺·九年級統(tǒng)考期末）實(shí)數(shù)k使關(guān)于x的方程x2+2kx+k2=x+1有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x【答案】k1=0【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2=?2k+1，x1x2=k2?1，再把【詳解】解：原方程整理為x2根據(jù)題意得Δ=2k?12即k的取值范圍為k≤5由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得x1+x∵3x∴3x∴3x∴3?2k+1∴k2∴k1=0或【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程根的判別式、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、解一元二次方程，解答關(guān)鍵是熟練掌握根的情況與根的判別式的關(guān)系以及熟知一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：設(shè)一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根為x1，【變式8-3】（2023春·山東煙臺·九年級統(tǒng)考期末）已知關(guān)于x的一元二次方程x2?2mx+m2?m=3(1)求m的取值范圍；(2)若m取負(fù)整數(shù)，求x1(3)若該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和為18，求m的值．【答案】(1)m>?3(2)8或2+4(3)m=2【分析】（1）根據(jù)一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根可得Δ=（2）由（1）可得m>?3且m取負(fù)整數(shù)，即可得到m=?2或m=?1，分兩種情況：當(dāng)m=?2時(shí)，當(dāng)m=?1時(shí)，分別解方程，進(jìn)行計(jì)算即可得到答案；（3）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得x1+x【詳解】（1）解：由題意得：關(guān)于x的一元二次方程x2∴Δ解得：m>?3；（2）解：∵m>?3且m取負(fù)整數(shù)，∴m=?2或m=?1，當(dāng)m=?2時(shí)，原方程可化為：x2+4x+3=0且解得：x1∴x1當(dāng)m=?1時(shí)，原方程可化為：x2+2x?1=0且解得：x1∴x1綜上所述：x1?3x（3）解：由根與系數(shù)的關(guān)系得：x1+x∵x1∴x1∴m1=2由（1）可知：m>?3，∴m=2．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、解一元二次方程、完全平方公式的變形，熟練掌握一元二次方程根的判別式、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、完全平方公式的變形，是解題的關(guān)鍵．【題型9一元二次方程中的閱讀理解類問題】【例9】（2023春·湖南永州·九年級統(tǒng)考期末）閱讀材料：各類方程的解法：求解一元一次方程時(shí)，根據(jù)等式的基本性質(zhì)，把方程轉(zhuǎn)化為x=a的形式；求解二元一次方程組時(shí)，把它轉(zhuǎn)化為一元一次方程求解；類似的，解三元一次方程組，把它轉(zhuǎn)化為解二元一次方程組求解；解一元二次方程，把它轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程求解；解分式方程，把它轉(zhuǎn)化為整式方程求解，由于“去分母”可能產(chǎn)生增根，所以解分式方程必須檢驗(yàn)。各類方程的解法不盡相同，但是它們有一個(gè)共同的基本數(shù)學(xué)思想——轉(zhuǎn)化，把未知轉(zhuǎn)化為已知，把復(fù)雜轉(zhuǎn)化為簡單。運(yùn)用“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想，我們還可以解一些新的方程，例如，一元三次方程x3+2x2?3x=0，可以通過因式分解把它轉(zhuǎn)化為：x(x2(1)問題：方程2x3+10x2?12x=0的解是：(2)拓展：解方程組x(3)應(yīng)用：如圖，已知矩形草坪ABCD的長AD=21m，寬AB=8m，點(diǎn)P在AD上（AP>PD），小明把一根長為27m的繩子一端固定在點(diǎn)B，把繩長拉直并固定在AD上的一點(diǎn)P處，再拉直繩長的另一端恰好落在矩形的頂點(diǎn)C處，求DP的長．【答案】(1)?6，1；(2)x1=?1y(3)DP的長為6m．【分析】（1）首先提出2x，然后因式分解多項(xiàng)式，然后得結(jié)論；（2）運(yùn)用“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想，將二元方程轉(zhuǎn)化為一元，求解即可；（3）設(shè)AP的長為xm，則PD=21?xm，根據(jù)勾股定理和BP+CP=27，可列出方程，由于方程含有根號，兩邊平方，把無理方程轉(zhuǎn)化為整式方程，求解再代入【詳解】（1）解：∵2x2xx2xx+6∴2x=0或x+6=0或x?1=0，∴x1=0，x2故答案為：?6，1；（2）x2由②得：x=3+y③，將③代入①中得：3+y2整理得：y2+3y?4=0，即：∴y1=?4，將y1=?4代入③中，將y2=1代入③中，∴原方程組的解為：x1=?1y（3）如圖，已知矩形草坪ABCD的長AD=21m，寬AB=8m，點(diǎn)P在AD上（AP>PD），小明把一根長為27m的繩子一端固定在點(diǎn)B，把繩長拉直并固定在AD上的一點(diǎn)P處，再拉直繩長的另一端恰好落在矩形的頂點(diǎn)C處，求DP的長．∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A=∠D=90°，AB=CD=8m，設(shè)AP=xm，則PD=21?x因?yàn)锽P+CP=27，BP=AP2∴82∴21?x2兩邊平方，得21?x整理，得48+7x=9兩邊平方并整理，得x2解得x=15或6（不合題意，舍去此時(shí)AP<PD）經(jīng)檢驗(yàn)，x=15是方程的解，則PD=21?15=6m．答：DP的長為6m．【點(diǎn)睛】本題考查了轉(zhuǎn)化的思想方法，一元二次方程的解法．解無理方程是注意到驗(yàn)根．解決（3）時(shí)，根據(jù)勾股定理和繩長，列出方程是關(guān)鍵．【變式9-1】（2023春·廣東深圳·九年級統(tǒng)考期末）【綜合與實(shí)踐】：閱讀材料，并解決以下問題．【學(xué)習(xí)研究】：北師大版教材九年級上冊第39頁介紹了我國數(shù)學(xué)家趙爽在其所著的《勾股圓方圖注》中關(guān)于一元二次方程的幾何解法：以x2首先將方程x2+2x?35=0變形為x(x+2)=35，然后畫四個(gè)長為x+2，寬為x的矩形，按如圖（1）所示的方式拼成一個(gè)“空心”大正方形，則圖中大正方形的面積可表示為(x+x+2)2，還可表示為四個(gè)矩形與一個(gè)邊長為2的小正方形面積之和，即4x(x+2)+22=4×35+4，因此，可得新方程：(x+x+2)2【類比遷移】：小明根據(jù)趙爽的辦法解方程x2第一步：將原方程變形為x2+3x?4=0，即x（第二步：利用四個(gè)面積可用x表示為_________的全等矩形構(gòu)造“空心”大正方形（請?jiān)诋媹D區(qū)畫出示意圖，標(biāo)明各邊長），并寫出完整的解答過程；第三步：【拓展應(yīng)用】：一般地對于形如：x2+ax=b一元二次方程可以構(gòu)造圖2來解，已知圖2是由4個(gè)面積為3的相同矩形構(gòu)成，中間圍成的正方形面積為4．那么此方程的系數(shù)a=________，【答案】【類比遷移】：x+3，xx+3；【拓展應(yīng)用】2，3，【詳解】解：【類比遷移】：第一步：將原方程變形為x2+3x?4=0，即x（x+3）第二步：利用四個(gè)面積可用x表示為xx+3第三步：圖中大正方形的面積可表示為(x+x+3)2，還可表示為四個(gè)矩形與一個(gè)邊長為3的小正方形面積之和，即4x(x+3)+32∵x表示邊長，∴2x+3=5，即x=1，故答案為：x+3，xx+3【拓展應(yīng)用】∵圖2是由4個(gè)面積為3的相同矩形構(gòu)成，中間圍成的正方形面積為4．∴長方形的長為x+2，寬為x，即：xx+2∴x2∴a=2，b=3，方程的一個(gè)正根為：x=1．故答案為：2，3，x=1．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程的幾何意義，讀懂題意，根據(jù)正方形面積相等列出方程是關(guān)鍵．【變式9-2】（2023春·湖南長沙·九年級統(tǒng)考期末）請閱讀下列材料：問題：已知方程x2解：設(shè)所求方程的根為y，則y=2x，所以x=y2，把x=y2代入已知方程，得y2這種利用方程根的代換求新方程的方法，我們稱為“換根法”；請用閱讀材料提供的“換根法”求新方程（要求：把所求方程化為一般形式）：(1)已知方程x2(2)已知關(guān)于x的一元二次方程ax【答案】(1)y(2)c【分析】（1）設(shè)所求方程的根為y，則y=?x，將x=?y代入已知方程x2（2）設(shè)所求方程的根為y，則y=1【詳解】（1）解：設(shè)所求方程的根為y，則y=?x，∴x=?y，把x=?y代入已知方程x2得?y2化簡得，y2∴這個(gè)一元二次方程為：y2（2）解：設(shè)所求方程的根為y，則y=1∴x=1把x=1y代入已知方程得a1去分母得，a?by+cy若c=0，則ax2?bx=0∴c≠0，∴所求方程為：cy【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解，解答該題的關(guān)鍵是弄清楚“換根法”的具體解題方法．【變式9-3】（2023春·河南南陽·九年級?？计谀╅喿x材料：材料1：若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的兩個(gè)根為x1，x材料2：已知一元二次方程x2?x?1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為m，n，求解：∵一元二次方程x2?x?1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為m，∴m+n=1，mn=?1，則m根據(jù)上述材料，結(jié)合你所學(xué)的知識，完成下列問題：(1)材料理解：一元二次方程2x2?3x?1=0的兩個(gè)根為x(2)類比應(yīng)用：已知一元二次方程2x2?3x?1=0的兩根分別為m、n(3)思維拓展：已知實(shí)數(shù)s、t滿足2s2?3s?1=0，2t2【答案】(1)?2(2)?(3)±【分析】（1）根據(jù)材料1中，一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系即可得到x1+x（2）根據(jù)材料1及材料2，由一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，得到m+n=32，mn=?12，將nm+m（3）根據(jù)題意，確定s與t看作是方程2x2?3x?1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，由一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，得到s+t=32，st=?12，先求出s?t=±172【詳解】（1）解：∵一元二次方程2x2?3x?1=0∴x1+∴x故答案為：?2；（2）解：∵一元二次方程2x2?3x?1=0的兩根分別為m∴m+n=32，∴n====?13（3）解：∵實(shí)數(shù)s、t滿足2s2?3s?1=0∴s與t看作是方程2x∴s+t=32，∴(s?t)(s?t)2(s?t)2∴s?t=±17∴1====±17【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，以及利用根與系數(shù)關(guān)系求代數(shù)式的值，根據(jù)代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征恒等變形為已知代數(shù)式的形式是解決問題的關(guān)鍵．【題型10一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用】【例10】（2023春·安徽池州·九年級統(tǒng)考期末）某段公路上有一條雙向線隧道（可雙向行駛，車輛不能行駛在中間線上）隧道的縱截面由矩形的三邊和一段拋物線構(gòu)成．以AB所在的直線為x軸，AB的中垂線為y軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，已知隧道寬度A