2023年廣東省廣州市前六高中自主招生簽約活動(dòng)數(shù)學(xué)試卷

第1頁(yè)（共1頁(yè)）2023年廣東省廣州市前六高中自主招生簽約活動(dòng)數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（共10小題）（30分）1．（3分）如圖，8塊相同的小長(zhǎng)方形地板磚拼成一個(gè)周長(zhǎng)為200厘米的大長(zhǎng)方形地板磚，則每塊小長(zhǎng)方形地板磚的面積為（）A．100cm2 B．200cm2 C．300cm2 D．2000cm22．（3分）如圖，邊長(zhǎng)為a的等邊△ABC中，BF是AC上中線且BF＝b，連接AD，在AD的右側(cè)作等邊△ADE，則△AEF周長(zhǎng)的最小值是（）A． B． C．a(chǎn)+b D．a(chǎn)3．（3分）小明從如圖所示的二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象中，觀察得出了下面五條信息：①c＜0，②abc＞0，③a﹣b+c＞0，⑤4a+2b+c＞0，你認(rèn)為其中正確信息的個(gè)數(shù)有（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)4．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（9，0）（0，3），以O(shè)A，OC為邊作矩形OABC．動(dòng)點(diǎn)E，B同時(shí)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿OA，C移動(dòng)．當(dāng)移動(dòng)時(shí)間為4秒時(shí)，AC?EF的值為（）A． B．9 C．15 D．305．（3分）1883年，康托爾用以下的方法構(gòu)造的這個(gè)分形，稱做康托爾集．如圖，將它三等分，去掉中間一段，這稱為第一階段；然后將剩下的兩段再三等分，剩下更短的四段，這稱為第二階段…將這樣的操作無(wú)限地重復(fù)下去，留下的線段的長(zhǎng)度之和為（）A． B． C． D．6．（3分）已知a是一個(gè)正整數(shù)，記G（x）＝a﹣x+|x﹣a|．若G（1）（2）+G（3）+…+G（2019），則a的值為（）A．8 B．9 C．10 D．117．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，線段AB的端點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，1）（4，1）．點(diǎn)C是線段AB上的點(diǎn)，將點(diǎn)B繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)D的圖象過點(diǎn)D，則k的值一定滿足（）A． B．2≤k≤6 C．4≤k≤6 D．2≤k≤48．（3分）如圖，在矩形ABCD中，O為對(duì)角線BD的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)E在線段OB上，動(dòng)點(diǎn)F在線段OD上，F(xiàn)同時(shí)從點(diǎn)O出發(fā)，分別向終點(diǎn)B，且始終保持OE＝OF．點(diǎn)E關(guān)于AD，AB的對(duì)稱點(diǎn)為E1，E2；點(diǎn)F關(guān)于BC，CD的對(duì)稱點(diǎn)為F1，F(xiàn)2在整個(gè)過程中，四邊形E1E2F1F2形狀的變化依次是（）A．菱形→平行四邊形→矩形→平行四邊形→菱形 B．菱形→正方形→平行四邊形→菱形→平行四邊形 C．平行四邊形→矩形→平行四邊形→菱形→平行四邊形 D．平行四邊形→菱形→正方形→平行四邊形→菱形9．（3分）已知關(guān)于x的分式方程的解為正數(shù)，關(guān)于y的不等式組，則所有滿足條件的整數(shù)a的和是（）A．1 B．3 C．4 D．610．（3分）如果一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，記，那么這個(gè)三角形的面積S＝．這個(gè)公式稱為海倫﹣秦九韶公式，AB＝4，BC＝9，則△ABC的面積是（）A．12 B． C．24 D．二、填空題（共6小題）（18分）11．（3分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0無(wú)實(shí)數(shù)根，則一次函數(shù)y＝mx+m的圖形不經(jīng)過第象限．12．（3分）如圖，是反比例函數(shù)y＝和y＝1＜k2）在第一象限的圖象，直線AB∥x軸，并分別交兩條曲線于A、B兩點(diǎn)△AOB＝2，則k2﹣k1的值為．13．（3分）如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，點(diǎn)P，Q分別在AB和AC上，M為PQ上一點(diǎn)，且滿足PM＝2MQ．連接AM，若MA＝MD，則AP的長(zhǎng)為．14．（3分）如圖，AC⊥BD，AF平分∠BAC，∠BED＝100°，則∠F的度數(shù)為．15．（3分）已知拋物線y＝（x﹣1）2﹣4的圖象如圖①所示，現(xiàn)將拋物線在x軸下方的部分沿x軸翻折，圖象其余部分不變，當(dāng)直線y＝x+b與圖象②恰有三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，則b的值為．16．（3分）已知以AB為直徑的圓O，C為AB弧的中點(diǎn)，P為BC弧上任意一點(diǎn)，連接BD，若AB＝6．三、解答題（共7小題）（72分，17--21小題10分，22、23小題11分）17．（10分）對(duì)于一些比較復(fù)雜的方程，可以利用函數(shù)圖象來研究方程的根．問題：探究方程2x（|x|﹣2）＝1的實(shí)數(shù)根的情況．下面是小董同學(xué)的探究過程，請(qǐng)幫她補(bǔ)全：（1）設(shè)函數(shù)y＝2x（|x|﹣2），這個(gè)函數(shù)的圖象與直線y＝1的交點(diǎn)的坐標(biāo)（填“橫”或“縱”）就是方程2x（|x|﹣2）＝1的實(shí)數(shù)根．（2）注意到函數(shù)解析式中含有絕對(duì)值，所以可得：當(dāng)x≤0時(shí)，y＝﹣2x2﹣4x；當(dāng)x＞0時(shí)，y＝；（3）在如圖的坐標(biāo)系中，已經(jīng)畫出了當(dāng)x≤0時(shí)的函數(shù)圖象，請(qǐng)根據(jù)（2），通過描點(diǎn)，連線（4）畫直線y＝1，由此可知2x（|x|﹣2）＝1的實(shí)數(shù)根有個(gè)．（5）深入探究：若關(guān)于x的方程2x（|x|﹣2）＝m有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且這三個(gè)實(shí)數(shù)根的和為負(fù)數(shù)．18．（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸的交點(diǎn)為A（﹣3，0），B（1，0）兩點(diǎn)（0，﹣3），頂點(diǎn)為D，其對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)E．（1）求二次函數(shù)解析式；（2）連接AC，AD，CD，并說明理由；（3）點(diǎn)P為第三象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，△APC的面積記為S，求S的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（4）在線段AC上，是否存在點(diǎn)F，使△AEF為等腰三角形？若存在；若不存在，請(qǐng)說明理由．19．（10分）鐘面上的數(shù)學(xué)【基本概念】鐘面角是指時(shí)鐘的時(shí)針與分針?biāo)傻慕牵鐖D1，∠AOB即為某一時(shí)刻的鐘面角，一般地【簡(jiǎn)單認(rèn)識(shí)】時(shí)針和分針在繞點(diǎn)O一直沿著順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，時(shí)針每小時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)的角度是30°，分針每小時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)一周（1）時(shí)針每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)°，分針每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)°；【初步研究】（2）已知某一時(shí)刻的鐘面角的度數(shù)為α，在空格中寫出一個(gè)與之對(duì)應(yīng)的時(shí)刻：①當(dāng)α＝90°時(shí)，；②當(dāng)α＝180°時(shí)，；（3）如圖2，鐘面顯示的時(shí)間是8點(diǎn)04分，此時(shí)鐘面角∠AOB＝°；【深入思考】（4）在某一天的下午2點(diǎn)到3點(diǎn)之間（不包括2點(diǎn)整和3點(diǎn)整），假設(shè)這一時(shí)刻是2點(diǎn)m分，請(qǐng)用含有m的代數(shù)式表示出此時(shí)刻鐘面角（直接寫出結(jié)論）．20．（10分）如圖1，點(diǎn)A在y軸正半軸上，點(diǎn)B在負(fù)半軸上，OA＝OB，OC＝OD，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，2）．（1）求證：AC⊥BD；（2）如圖2，點(diǎn)P，Q分別在y軸正半軸和x軸負(fù)半軸上，直線ON⊥BP交AB于點(diǎn)N，MN⊥AQ交BP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，MN，BM的數(shù)量關(guān)系并證明．21．（10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（a，0），（0，b）＝0，將點(diǎn)B向右平移24個(gè)單位長(zhǎng)度得到C．（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)P、Q分別為線段BC、OA兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P自B點(diǎn)向C點(diǎn)以2個(gè)單位長(zhǎng)度/秒向右運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q自A點(diǎn)向O點(diǎn)以4個(gè)單位長(zhǎng)度/秒向左運(yùn)動(dòng)，連接PQ，當(dāng)PQ恰好平分四邊形BOAC的面積時(shí)；（3）點(diǎn)D是直線AC上一點(diǎn)，連接QD，作∠QDE＝120°，DM平分∠CDE，DN平分∠ADQ，∠MDN的度數(shù)是否變化？請(qǐng)說明理由．22．（11分）如圖，已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為C（﹣1，0），直線y＝﹣x+m與該二次函數(shù)的圖象交于A，與二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸交于點(diǎn)D，其中A點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣3，4）（1）求m的值及這個(gè)二次函數(shù)的關(guān)系式；（2）求△ABC的面積；（3）在該二次函數(shù)的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使得以A，B，Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在；若不存在，請(qǐng)說明理由．23．（11分）已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，以邊AC為直徑作⊙O，與AB邊交于點(diǎn)D，連接DM．（1）求證：DM是⊙O的切線；（2）點(diǎn)P為直線BC上任意一動(dòng)點(diǎn)，連接AP交⊙O于點(diǎn)Q，連接CQ．①當(dāng)tan∠BAP＝時(shí)，求BP的長(zhǎng)；②求的最大值．

2023年廣東省廣州市前六高中自主招生簽約活動(dòng)數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（共10小題）（30分）1．（3分）如圖，8塊相同的小長(zhǎng)方形地板磚拼成一個(gè)周長(zhǎng)為200厘米的大長(zhǎng)方形地板磚，則每塊小長(zhǎng)方形地板磚的面積為（）A．100cm2 B．200cm2 C．300cm2 D．2000cm2【解答】解：設(shè)每塊小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為x厘米，寬為y厘米，根據(jù)題意得：，解得：，∴xy＝30×10＝300，即每塊小長(zhǎng)方形地板磚的面積為300cm2，故選：C．2．（3分）如圖，邊長(zhǎng)為a的等邊△ABC中，BF是AC上中線且BF＝b，連接AD，在AD的右側(cè)作等邊△ADE，則△AEF周長(zhǎng)的最小值是（）A． B． C．a(chǎn)+b D．a(chǎn)【解答】解：如圖，∵△ABC，∴AB＝AC＝a，AD＝AE，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵AF＝CF＝a，BF＝b，∴∠ABD＝∠CBD＝∠ACE＝30°，BF⊥AC，∴點(diǎn)E在射線CE上運(yùn)動(dòng)（∠ACE＝30°），作點(diǎn)A關(guān)于直線CE的對(duì)稱點(diǎn)M，連接FM交CE于E′，∵CA＝CM，∠ACM＝60°，∴△ACM是等邊三角形，∴AM＝AC，∵BF⊥AC，∴FM＝BF＝b，∴△AEF周長(zhǎng)的最小值＝AF+FE′+AE′＝AF+FM＝a+b，故選：B．3．（3分）小明從如圖所示的二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象中，觀察得出了下面五條信息：①c＜0，②abc＞0，③a﹣b+c＞0，⑤4a+2b+c＞0，你認(rèn)為其中正確信息的個(gè)數(shù)有（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【解答】解：①由二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象開口向上可知a＞0，圖象與y軸交點(diǎn)在負(fù)半軸，正確；②由圖象可知x＝﹣2時(shí)，y＝a﹣b+c＞0；③對(duì)稱軸x＝﹣＞5，b＜0，正確；④對(duì)稱軸x＝﹣＝，﹣3b＝4a，錯(cuò)誤；⑤由圖象可知x＝2時(shí)，y＝4a+4b+c＞0．所以①②③⑤四項(xiàng)正確．故選：C．4．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（9，0）（0，3），以O(shè)A，OC為邊作矩形OABC．動(dòng)點(diǎn)E，B同時(shí)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿OA，C移動(dòng)．當(dāng)移動(dòng)時(shí)間為4秒時(shí)，AC?EF的值為（）A． B．9 C．15 D．30【解答】解：連接AC、EF．∵四邊形OABC為矩形，∴B（9，3）．又∵OE＝BF＝7，∴E（4，0），7）．∴AC＝＝＝3，EF＝＝，∴AC?EF＝3×＝30．故選：D．5．（3分）1883年，康托爾用以下的方法構(gòu)造的這個(gè)分形，稱做康托爾集．如圖，將它三等分，去掉中間一段，這稱為第一階段；然后將剩下的兩段再三等分，剩下更短的四段，這稱為第二階段…將這樣的操作無(wú)限地重復(fù)下去，留下的線段的長(zhǎng)度之和為（）A． B． C． D．【解答】解：根據(jù)題意知：第一階段時(shí)，余下的線段的長(zhǎng)度之和為，第二階段時(shí)，余下的線段的長(zhǎng)度之和為×＝，第三階段時(shí)，余下的線段的長(zhǎng)度之和為＝，第四階段時(shí)，余下的線段的長(zhǎng)度之和為×＝，故選：B．6．（3分）已知a是一個(gè)正整數(shù)，記G（x）＝a﹣x+|x﹣a|．若G（1）（2）+G（3）+…+G（2019），則a的值為（）A．8 B．9 C．10 D．11【解答】解：∵當(dāng)x≥a時(shí)，G（x）＝0，G（x）＝a﹣x+|x﹣a|＝2（a﹣x），當(dāng)a＝3時(shí)，x≥9時(shí)，當(dāng)x＜9時(shí)，∴G（1）+G（2）+G（3）+…+G（2019）＝G（1）+G（2）+G（3）+…+G（9）＝7（9﹣1）+8（9﹣2）+8（9﹣3）+…+7（9﹣8）＝3（8+7+2+…+1）＝72，不符合題意；當(dāng)a＝10時(shí)，x≥10時(shí)，當(dāng)x＜10時(shí)，∴G（1）+G（2）+G（3）+…+G（2019）＝G（1）+G（2）+G（3）+…+G（10）＝2（10﹣6）+2（10﹣2）+7（10﹣3）+…+2（10﹣8）＝2（9+2+7+6+…+8）＝90，∴a＝10，故選：C．7．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，線段AB的端點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，1）（4，1）．點(diǎn)C是線段AB上的點(diǎn)，將點(diǎn)B繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)D的圖象過點(diǎn)D，則k的值一定滿足（）A． B．2≤k≤6 C．4≤k≤6 D．2≤k≤4【解答】解：由題意設(shè)C（m，1）（2≤m≤5），∴CD＝BC＝4﹣m，∴D（m，4﹣m+5），5﹣m），∵函數(shù)的圖象過點(diǎn)D，∴k＝m（7﹣m）＝﹣m2+5m＝﹣（m﹣）2+，∴當(dāng)m＝時(shí)，k有最大值為，∵m＝2時(shí)，k＝6，k＝6，∴當(dāng)2≤m≤4時(shí)，6，故選：A．8．（3分）如圖，在矩形ABCD中，O為對(duì)角線BD的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)E在線段OB上，動(dòng)點(diǎn)F在線段OD上，F(xiàn)同時(shí)從點(diǎn)O出發(fā)，分別向終點(diǎn)B，且始終保持OE＝OF．點(diǎn)E關(guān)于AD，AB的對(duì)稱點(diǎn)為E1，E2；點(diǎn)F關(guān)于BC，CD的對(duì)稱點(diǎn)為F1，F(xiàn)2在整個(gè)過程中，四邊形E1E2F1F2形狀的變化依次是（）A．菱形→平行四邊形→矩形→平行四邊形→菱形 B．菱形→正方形→平行四邊形→菱形→平行四邊形 C．平行四邊形→矩形→平行四邊形→菱形→平行四邊形 D．平行四邊形→菱形→正方形→平行四邊形→菱形【解答】解：如圖1中，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∠BAD＝∠ABC＝90°，∴∠BDC＝∠ABD＝60°，∠ADB＝∠CBD＝90°﹣60°＝30°，∵OE＝OF、OB＝OD，∴DF＝EB，∵對(duì)稱，∴DF＝DF2，BF＝BF2，BE＝BE2，DE＝DE1，E5F2＝E2F5．∵對(duì)稱∴∠F2DC＝∠CDF＝60°，∴∠EDA＝∠E1DA＝30°，∴∠E4DB＝60°，同理∠F1BD＝60°，∴DE1∥BF2，∵E1F2＝E3F1，∴四邊形E1E5F1F2是平行四邊形，如圖5所示，當(dāng)E，F(xiàn)，DO＝OB，∴DE1＝DF2＝AE7＝AE2，即E1E6＝E1F2，∴四邊形E8E2F1F6是菱形．如圖3所示，當(dāng)E，OB的中點(diǎn)時(shí)，則DF2＝DF＝6，DE1＝DE＝3，在Rt△ABD中，AB＝5，連接AE，∵∠ABO＝60°，BO＝2＝AB，∴△ABO是等邊三角形，∵E為OB中點(diǎn)，∴AE⊥OB，BE＝2，∴．根據(jù)對(duì)稱性可得．∴AD2＝12，＝9，，∴，∴ΔDE1A是直角三角形，且∠E1＝90°，四邊形E2E2F1F2是矩形．當(dāng)F，E分別與D，△BE1D，△BDF1都是等邊三角形，則四邊形E6E2F2F7是菱形，∴在整個(gè)過程中，四邊形E1E2F5F2形狀的變化依次是菱形→平行四邊形→矩形→平行四邊形→菱形，故選：A．9．（3分）已知關(guān)于x的分式方程的解為正數(shù)，關(guān)于y的不等式組，則所有滿足條件的整數(shù)a的和是（）A．1 B．3 C．4 D．6【解答】解：關(guān)于x的分式方程解為x＝2a﹣1，∵x解為正數(shù)，∴7a﹣1＞0，∴a＞，關(guān)于y的不等式組解為，∵y恰有三個(gè)整數(shù)解，∴0＜≤1，∴﹣7＜a≤3，分式方程中，x≠3，∴7a﹣1≠3，∴a≠5，綜上所述：＜a≤3，∴滿足條件的整數(shù)a為：1、3，則所有滿足條件的整數(shù)a的和是2．故選：C．10．（3分）如果一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，記，那么這個(gè)三角形的面積S＝．這個(gè)公式稱為海倫﹣秦九韶公式，AB＝4，BC＝9，則△ABC的面積是（）A．12 B． C．24 D．【解答】解：∵AB＝4，BC＝9，∴，∴，故選：B．二、填空題（共6小題）（18分）11．（3分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0無(wú)實(shí)數(shù)根，則一次函數(shù)y＝mx+m的圖形不經(jīng)過第四象限．【解答】解：∵方程x2﹣2x+m＝7無(wú)實(shí)數(shù)根，∴Δ＝（﹣2）2﹣3m＜0，解得m＞1，當(dāng)m＞6時(shí)，一次函數(shù)y＝mx+m經(jīng)過第一、二，不經(jīng)過第四象限．故答案為：四．12．（3分）如圖，是反比例函數(shù)y＝和y＝1＜k2）在第一象限的圖象，直線AB∥x軸，并分別交兩條曲線于A、B兩點(diǎn)△AOB＝2，則k2﹣k1的值為4．【解答】解：設(shè)A（a，b），d），代入得：k1＝ab，k2＝cd，∵S△AOB＝2，∴cd﹣，∴cd﹣ab＝4，∴k8﹣k1＝4，故答案為：7．13．（3分）如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，點(diǎn)P，Q分別在AB和AC上，M為PQ上一點(diǎn)，且滿足PM＝2MQ．連接AM，若MA＝MD，則AP的長(zhǎng)為3．【解答】解：設(shè)AP的長(zhǎng)為x，因?yàn)镻Q∥BC，所以△APQ∽△ABC，則，又AB＝4，BC＝6，所以PQ＝．又PM＝2MQ，所以PM＝x，MQ＝，則PM＝PA，又∠APM＝90°，所以△APM是等腰直角三角形，則AM＝，∠PAM＝45°，所以∠DAM＝45°．又MA＝MD，所以∠ADM＝∠DAM＝45°．所以△MAD是等腰直角三角形，則AD＝，即6＝，得x＝3．即AP的長(zhǎng)為3．故答案為：2．14．（3分）如圖，AC⊥BD，AF平分∠BAC，∠BED＝100°，則∠F的度數(shù)為85°．【解答】解：如圖，延長(zhǎng)AF交BD于H，∵∠BED＝100°，∴∠ABD+∠BDE＝80°，∵∠ACB＝90°，∴∠ABC+∠BAC＝90°，∴2∠ABD+∠BDE+∠BAC＝170°，∵AF、DF分別平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠BAH，∠BDE＝8∠FDB，∵∠AFD＝∠AHD+∠FDB，∠AHD＝∠ABC+∠BAH，∴∠AFD＝∠ABC+∠BAH+∠BDF＝∠ABC+∠BAC+．故答案為：85°．15．（3分）已知拋物線y＝（x﹣1）2﹣4的圖象如圖①所示，現(xiàn)將拋物線在x軸下方的部分沿x軸翻折，圖象其余部分不變，當(dāng)直線y＝x+b與圖象②恰有三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，則b的值為1或．【解答】解：∵拋物線的解析式為y＝（x﹣1）2﹣4，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣4），令y＝3，則（x﹣1）2﹣4＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝3，∴A（﹣4，0），0），根據(jù)翻折變換，（7，4），∴曲線ACB所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y＝﹣（x﹣1）5+4（﹣1≤x≤2），當(dāng)直線y＝x+b與圖象②恰有三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，如圖所示：①當(dāng)直線y＝x+b過點(diǎn)A時(shí)，0＝﹣1+b，解得：b＝3；②當(dāng)直線y＝x+b過與y＝﹣（x﹣1）2+3（﹣1≤x≤3）只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，﹣（x﹣2）2+4＝x+b即x4﹣x﹣（3﹣b）＝0，∴Δ＝7+4（3﹣b）＝13﹣6b＝0，則b＝，∴b的值為7或．故答案為：1或．16．（3分）已知以AB為直徑的圓O，C為AB弧的中點(diǎn)，P為BC弧上任意一點(diǎn)，連接BD，若AB＝63﹣3．【解答】解：如圖所示，以AC為斜邊作等腰直角三角形ACQ，連接AC，BQ．∵⊙O的直徑為AB，C為，∴∠APC＝45°，又∵CD⊥CP，∴∠DCP＝90°，∴∠PDC＝45°，∠ADC＝135°，∴點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡為以Q為圓心，AQ為半徑的，又∵AB＝6，C為，∴△ACB是等腰直角三角形，∴AC＝3，∴△ACQ中，AQ＝3，∴BQ＝＝3，∵BD≥BQ﹣DQ，∴BD的最小值為3﹣3．故答案為3﹣3．三、解答題（共7小題）（72分，17--21小題10分，22、23小題11分）17．（10分）對(duì)于一些比較復(fù)雜的方程，可以利用函數(shù)圖象來研究方程的根．問題：探究方程2x（|x|﹣2）＝1的實(shí)數(shù)根的情況．下面是小董同學(xué)的探究過程，請(qǐng)幫她補(bǔ)全：（1）設(shè)函數(shù)y＝2x（|x|﹣2），這個(gè)函數(shù)的圖象與直線y＝1的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)（填“橫”或“縱”）就是方程2x（|x|﹣2）＝1的實(shí)數(shù)根．（2）注意到函數(shù)解析式中含有絕對(duì)值，所以可得：當(dāng)x≤0時(shí)，y＝﹣2x2﹣4x；當(dāng)x＞0時(shí)，y＝2x2﹣4x；（3）在如圖的坐標(biāo)系中，已經(jīng)畫出了當(dāng)x≤0時(shí)的函數(shù)圖象，請(qǐng)根據(jù)（2），通過描點(diǎn)，連線（4）畫直線y＝1，由此可知2x（|x|﹣2）＝1的實(shí)數(shù)根有3個(gè)．（5）深入探究：若關(guān)于x的方程2x（|x|﹣2）＝m有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且這三個(gè)實(shí)數(shù)根的和為負(fù)數(shù)0≤m＜2．【解答】解：（1）函數(shù)y＝2x（|x|﹣2）的圖象與直線y＝7的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程2x（|x|﹣2）＝3的實(shí)數(shù)根．故答案為：橫；（2）當(dāng)x＞0時(shí)，y＝2x（|x|﹣4）＝2x（x﹣2）＝7x2﹣4x，故答案為：5x2﹣4x；（3）畫出函數(shù)的圖象如圖：（4）由圖象可知，直線y＝6與函數(shù)圖象有3個(gè)交點(diǎn)，所以，2x（|x|﹣8）＝1的實(shí)數(shù)根有3個(gè)，故答案為：6．（5）由圖象可知：直線y＝m在x軸的上方（m≥0）且m＜2，與函數(shù)y＝x（|x|﹣6）的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x1＜x2＜6＜x3，且x1+x6＝﹣2，x2≥8，∴x1+x2+x3≥0，∴m≥0，∴關(guān)于x的方程x（|x|﹣6）＝即2x（|x|﹣2）＝m有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是﹣2≤m＜0，故答案為：﹣7≤m＜0．18．（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸的交點(diǎn)為A（﹣3，0），B（1，0）兩點(diǎn)（0，﹣3），頂點(diǎn)為D，其對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)E．（1）求二次函數(shù)解析式；（2）連接AC，AD，CD，并說明理由；（3）點(diǎn)P為第三象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，△APC的面積記為S，求S的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（4）在線段AC上，是否存在點(diǎn)F，使△AEF為等腰三角形？若存在；若不存在，請(qǐng)說明理由．【解答】解：（1）二次函數(shù)表達(dá)式為：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x3+2x﹣3），則﹣8a＝﹣3，解得：a＝1，函數(shù)的表達(dá)式為：y＝x3+2x﹣3；（2）由（1）知，點(diǎn)D（﹣3，AC＝3，CD＝＝，∴AD3＝AC2+CD2，故△ADC為直角三角形；（3）過點(diǎn)P作PH∥y軸交AC于點(diǎn)H，將點(diǎn)A、C的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式并解得：直線AC的表達(dá)式為：y＝﹣x﹣6，設(shè)點(diǎn)P（x，x2+2x﹣6），則點(diǎn)H（x，S＝PH×OA＝2﹣2x+3）＝﹣（x+）3+，當(dāng)x＝﹣時(shí)，S最大值為，﹣）；（4）∵OA＝OC＝3，∴∠OAC＝∠OCA＝45°，①當(dāng)AE＝EF時(shí)，如圖，△AEF為等腰直角三角形，AE＝4＝EF，∴點(diǎn)F（﹣1，﹣2）；②當(dāng)AE＝AF時(shí)，同理可得：點(diǎn)F（﹣7+，﹣）；③當(dāng)AF＝EF時(shí)，同理可得：點(diǎn)F（﹣8，﹣1）；故點(diǎn)F的坐標(biāo)為：（﹣1，﹣5）或（﹣3+，﹣，﹣1）．19．（10分）鐘面上的數(shù)學(xué)【基本概念】鐘面角是指時(shí)鐘的時(shí)針與分針?biāo)傻慕牵鐖D1，∠AOB即為某一時(shí)刻的鐘面角，一般地【簡(jiǎn)單認(rèn)識(shí)】時(shí)針和分針在繞點(diǎn)O一直沿著順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，時(shí)針每小時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)的角度是30°，分針每小時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)一周（1）時(shí)針每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)0.5°，分針每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)6°；【初步研究】（2）已知某一時(shí)刻的鐘面角的度數(shù)為α，在空格中寫出一個(gè)與之對(duì)應(yīng)的時(shí)刻：①當(dāng)α＝90°時(shí)，12時(shí)分；②當(dāng)α＝180°時(shí)，12時(shí)分；（3）如圖2，鐘面顯示的時(shí)間是8點(diǎn)04分，此時(shí)鐘面角∠AOB＝142°；【深入思考】（4）在某一天的下午2點(diǎn)到3點(diǎn)之間（不包括2點(diǎn)整和3點(diǎn)整），假設(shè)這一時(shí)刻是2點(diǎn)m分，請(qǐng)用含有m的代數(shù)式表示出此時(shí)刻鐘面角（直接寫出結(jié)論）．【解答】解：（1）時(shí)針每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)的角度：30÷60＝0.5°，分針每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)的角度：360÷60＝8°，故答案為：0.5，8；（2）①設(shè)12時(shí)x分時(shí)α＝90°，根據(jù)題意得：6x﹣0.8x＝90，解得：x＝，∴12時(shí)分時(shí)，故答案為：12時(shí)分（答案不唯一）；②設(shè)12時(shí)x分時(shí)α＝180°，根據(jù)題意得：6x﹣0.6x＝180，解得：x＝，∴12時(shí)分時(shí)，故答案為：12時(shí)分（答案不唯一）；（3）∵鐘面顯示的時(shí)間是8點(diǎn)04分，∴此時(shí)鐘面角∠AOB＝360﹣8×30﹣8×0.5+6×4＝142°．故答案為：142；（4）2點(diǎn)m分鐘面角α有三種情況，①α＝6×30+0.5m﹣4m＝（60﹣5.5m）°（7＜m≤），②α＝6m﹣（2×30+4.5m）＝（5.3m﹣60）°（≤m≤），③α＝360﹣6m+2×30+3.5m＝（420﹣5.6m）°（≤m＜60），綜上所述，2點(diǎn)m分鐘面角α為：（60﹣5.2m）°（0＜m≤）≤m≤）≤m＜60）．20．（10分）如圖1，點(diǎn)A在y軸正半軸上，點(diǎn)B在負(fù)半軸上，OA＝OB，OC＝OD，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，2）．（1）求證：AC⊥BD；（2）如圖2，點(diǎn)P，Q分別在y軸正半軸和x軸負(fù)半軸上，直線ON⊥BP交AB于點(diǎn)N，MN⊥AQ交BP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，MN，BM的數(shù)量關(guān)系并證明．【解答】（1）證明：設(shè)AC交BD于K，OA交BD于T∵OC⊥OD，∴∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠BOD＝∠AOC，在△BOD和△AOC中，，∴△BOD≌△AOC（SAS），∴∠DBO＝∠CAO，∵∠BTO＝∠ATK，∴∠BOT＝∠AKT＝90°，∴AC⊥BD；（2）解：結(jié)論：BM＝MN+ON，理由如下：過點(diǎn)B作BH∥y軸交MN的延長(zhǎng)線于H，如圖，∵OQ＝OP，OA＝OB，∴△AOQ≌△BOP（SAS），∴∠OBP＝∠OAQ，∵OA＝OB，∠AOB＝90°，∴∠OBA＝∠OAB＝45°，∴∠ABP＝∠BAQ，∵NM⊥AQ，BM⊥ON，∴∠ANM+∠BAQ＝90°，∠BNO+∠ABP＝90°，∴∠ANM＝∠BNO＝∠HNB，∵∠HBN＝∠OBN＝45°，BN＝BN，∴△BNH≌△BNO（ASA），∴HN＝NO，∠H＝∠BON，∵∠HBM+∠MBO＝90°，∠BON+∠MBO＝90°，∴∠HBM＝∠BON＝∠H，∴MH＝MB，∴BM＝MN+NH＝MN+ON．21．（10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（a，0），（0，b）＝0，將點(diǎn)B向右平移24個(gè)單位長(zhǎng)度得到C．（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)P、Q分別為線段BC、OA兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P自B點(diǎn)向C點(diǎn)以2個(gè)單位長(zhǎng)度/秒向右運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q自A點(diǎn)向O點(diǎn)以4個(gè)單位長(zhǎng)度/秒向左運(yùn)動(dòng)，連接PQ，當(dāng)PQ恰好平分四邊形BOAC的面積時(shí)；（3）點(diǎn)D是直線AC上一點(diǎn)，連接QD，作∠QDE＝120°，DM平分∠CDE，DN平分∠ADQ，∠MDN的度數(shù)是否變化？請(qǐng)說明理由．【解答】解：（1）∵|a﹣26|+＝0，∴a﹣26＝2，且8﹣b＝0，∴a＝26，b＝3，∴A（26，0），8）；（2）∵BC∥x軸，BC＝24，∴C（24，5），由題意得：BC∥OA，BP＝2t，則PC＝24﹣2t，OQ＝26﹣8t，∴S梯形AOBC＝×（24+26）×7＝200，當(dāng)PQ恰好平分四邊形BOAC時(shí)，S梯形OBPQ＝×200＝100，∴：×（2t+26﹣3t）×8＝100，解得：t＝；（3）當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠MDN的度數(shù)有變化如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段CA的延長(zhǎng)線上或AC的延長(zhǎng)線上時(shí)，∵DM平分∠CDE，DN平分∠ADQ，∴∠NDC＝∠QDA∠CDE，∴∠MDN＝∠NDC+∠MDC＝（∠QDA+∠CDE）＝；如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段AC上時(shí)，∵DM平分∠CDE，DN平分∠ADQ，∴∠NDQ＝∠ADQ∠CDE，設(shè)∠CDE＝α，∴∠QDC＝120°﹣α，∠ADQ＝180°﹣（120°﹣α）＝60°+α，∴∠MDN＝∠MDC+∠QDC+∠NDC＝α+120°﹣α+；綜上所述，∠MDN的度數(shù)為150°或60°，∴當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠MDN的度數(shù)有變化．22．（11分）如圖，已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為C（﹣1，0），直線y＝﹣x+m與該二次函數(shù)的圖象交于A，與二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸交于點(diǎn)D，其中A點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣3，4）（1）求m的值及這個(gè)二次函數(shù)的關(guān)系式；（2）求△ABC的面積；（3）在該二次函數(shù)的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使得以A，B，Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在；若不存在，請(qǐng)