廣東省惠州市博羅縣楊僑中學(xué)、石灣中學(xué)兩校2025屆高三上學(xué)期8月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷

2025屆8月楊僑中學(xué)石灣中學(xué)兩校高三聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的．請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先解不等式求得集合，進(jìn)而求得.【詳解】集合.而，故.故選：B2.已知復(fù)數(shù)，則（）A.1 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的定義、模長(zhǎng)公式計(jì)算即可.【詳解】易知，則，所以．故選：C．3.已知和的夾角為，且，則（）A. B. C.3 D.9【答案】C【解析】【分析】根據(jù)向量數(shù)量積運(yùn)算求得正確答案.【詳解】故選：C4.記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】C【解析】【分析】利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式即可求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，由，即，解得.所以.故選：C.5.為了美化廣場(chǎng)環(huán)境，縣政府計(jì)劃定購(gòu)一批石墩．已知這批石墩可以看作是一個(gè)圓臺(tái)和一個(gè)圓柱拼接而成，其軸截面如下圖所示，其中，，則該石墩的體積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】過(guò)點(diǎn)作于，根據(jù)條件，求出圓臺(tái)的高，再利用圓臺(tái)與圓柱的體積公式，即可求出結(jié)果.【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)作于，因?yàn)?，，所以，，所以圓臺(tái)的體積為，又圓柱的體積為，所以該石墩的體積為，故選：D.6.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用兩角和差公式以及倍角公式化簡(jiǎn)求值可得答案.【詳解】由題干得所以，故選：B.7.已知函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合分段函數(shù)的單調(diào)性的判定方法，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，列出關(guān)于的不等式，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，，可得在上遞增，要使得函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù)，則滿足，且，解可得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：B8.函數(shù)所有零點(diǎn)的和等于（）A.6 B.7.5 C.9 D.12【答案】C【解析】【分析】把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，畫出函數(shù)的圖像，即可求解.【詳解】函數(shù)所有零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，而可化為，如圖，畫出函數(shù)的圖像，根據(jù)圖像可知有6個(gè)交點(diǎn)，且兩兩關(guān)于直線對(duì)稱，所以零點(diǎn)的和為故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說(shuō)法中，正確的是（）A.數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)為B.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，；則C.已知兩個(gè)變量具有線性相關(guān)關(guān)系，其回歸直線方程，若，則D.若樣本數(shù)據(jù)的方差為，則數(shù)據(jù)的方差為4【答案】BC【解析】【分析】利用第百分位數(shù)的性質(zhì)判斷A，利用正態(tài)分布的性質(zhì)判斷B，利用回歸方程的性質(zhì)判斷C，利用數(shù)據(jù)方差的性質(zhì)判斷D即可.【詳解】對(duì)于A，我們首先按順序排列數(shù)據(jù)，得到，而第百分位數(shù)即為中位數(shù)，所以該數(shù)為，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，因?yàn)殡S機(jī)變量服從正態(tài)分布，，所以，，故，得到，故B正確，對(duì)于C，因?yàn)?，所以，將代入中，得到，解得，故C正確，對(duì)于D，因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)的方差為，所以數(shù)據(jù)的方差為，故D錯(cuò)誤.故選：BC10.已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的有（）A.若是上的增函數(shù)，則B.當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)極值C.當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩零點(diǎn)D.當(dāng)時(shí)，在點(diǎn)處的切線與只有唯一個(gè)公共點(diǎn)【答案】AB【解析】【分析】對(duì)A：借助導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)大于等于零恒成立即可得；對(duì)B：借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可得；對(duì)C：舉出反例即可得；對(duì)D：計(jì)算出在點(diǎn)處的切線方程后，聯(lián)立，解出方程即可得.【詳解】對(duì)A：，由是上的增函數(shù)，則有恒成立，即，解得，故A正確；對(duì)B：由，則當(dāng)時(shí)，，故有兩個(gè)不等實(shí)根，設(shè)這兩個(gè)根分別為且，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故函數(shù)有兩個(gè)極值，故B正確；對(duì)C：令，對(duì)，有，若，則，此時(shí)有兩個(gè)非零不等實(shí)根，即有三個(gè)零點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；對(duì)D：當(dāng)時(shí)，，則，，由，則在點(diǎn)處的切線為，令，即有，解得或，故在點(diǎn)處的切線與有兩個(gè)公共點(diǎn)，故D錯(cuò)誤.故選：AB.11.雙紐線是卡西尼卵形線的一類分支，在數(shù)學(xué)曲線領(lǐng)域占有至關(guān)重要的地位，同時(shí)也具有特殊的有價(jià)值的藝術(shù)美.它既是形成其它一些常見(jiàn)的漂亮圖案的基石，也是許多藝術(shù)家設(shè)計(jì)作品的主要幾何元素.雙紐線的圖形輪廓像阿拉伯?dāng)?shù)字中的“8”，如圖曲線是雙紐線，下列說(shuō)法正確的是（）A.曲線的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱B.曲線經(jīng)過(guò)7個(gè)整點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）C.曲線上任意一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離都不超過(guò)3D.若直線與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為【答案】ACD【解析】【分析】選項(xiàng)A，由曲線上任一點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)適合曲線方程可判斷；選項(xiàng)B，利用換元法轉(zhuǎn)化為二次方程，通過(guò)判別式得出范圍，再賦值求解整點(diǎn)的坐標(biāo)即可；選項(xiàng)C，利用已知方程變形，根據(jù)有界性結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式可判斷；選項(xiàng)D，聯(lián)立直線y＝kx與曲線C研究方程根的情況即可．【詳解】A項(xiàng)，設(shè)曲線上任意一點(diǎn)，則坐標(biāo)滿足曲線方程，即方程成立，可得成立，即點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)也適合曲線方程，所以曲線的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故A正確；B項(xiàng)，方程可化為，令，則方程，由判別式，可得，若是整數(shù)，則.令，，解得或3或，有三個(gè)整點(diǎn)，，；令，，解得或5，此時(shí)無(wú)整點(diǎn)；所以曲線共經(jīng)過(guò)3個(gè)整點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；C項(xiàng)，設(shè)曲線C上任一點(diǎn)，當(dāng)為原點(diǎn)時(shí)，到原點(diǎn)的距離為，滿足題意；當(dāng)不為原點(diǎn)時(shí)，，則由可得，，所以點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，且；綜上，曲線C上任一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過(guò)3，故C正確；D項(xiàng)，直線恒過(guò)原點(diǎn)，且曲線C經(jīng)過(guò)，則直線與曲線至少一個(gè)公共點(diǎn)，又與曲線C只有一個(gè)公共點(diǎn)，故除原點(diǎn)外無(wú)其他公共點(diǎn).聯(lián)立，消得，當(dāng)時(shí)，方程僅一解，滿足題意；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，方程恒成立，即恒有一解，當(dāng)時(shí)，方程化簡(jiǎn)得，即當(dāng)時(shí)，方程無(wú)解，滿足題意；綜上，，解得或，故D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知直線與曲線交點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)值(取值范圍)問(wèn)題，通常將直線方程代入曲線方程轉(zhuǎn)化為一元方程根的情況研究，再結(jié)合方程類型變形建立不等式，通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍，但也要注意變形過(guò)程中的等價(jià)處理.如復(fù)合方程通過(guò)整體換元轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單方程來(lái)研究時(shí)，不能忽視求解新元的范圍；高次方程因式分解轉(zhuǎn)化為低次方程來(lái)研究時(shí)，要注意幾個(gè)低次方程之間的重根討論；分式方程化為整式方程研究時(shí)，分母是否為0的分類討論；無(wú)理方程轉(zhuǎn)化為有理方程時(shí)，被開(kāi)方數(shù)的限制條件等.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.設(shè)是雙曲線C:的兩個(gè)焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在C上且，則面積為_(kāi)___________.【答案】3【解析】【分析】利用雙曲線定理結(jié)合勾股定理求出的長(zhǎng)，再利用三角形面積公式即可.【詳解】由題意得雙曲線中，，則其焦點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)雙曲線對(duì)稱性，不妨假設(shè)點(diǎn)在第一象限，設(shè)，其中，因?yàn)?，則，根據(jù)勾股定理知，即，解得（負(fù)舍），則，則面積為.故答案為：3.13.若曲線存在垂直于軸的切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____.【答案】【解析】【分析】求導(dǎo)后，將問(wèn)題轉(zhuǎn)換為函數(shù)方程有解問(wèn)題、參變分離即可得解.【詳解】，由題意曲線存在垂直于軸的切線，所以在上有解，即在上有解，而在上的值域?yàn)椋瑒t實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.14.第33屆奧運(yùn)會(huì)將于2024年7月26日至8月11日在法國(guó)巴黎舉行.某田徑運(yùn)動(dòng)員準(zhǔn)備參加100米?200米兩項(xiàng)比賽，根據(jù)以往賽事分析，該運(yùn)動(dòng)員100米比賽未能站上領(lǐng)獎(jiǎng)臺(tái)的概率為，200米比賽未能站上領(lǐng)獎(jiǎng)臺(tái)的概率為，兩項(xiàng)比賽都未能站上領(lǐng)獎(jiǎng)臺(tái)的概率為，若該運(yùn)動(dòng)員在100米比賽中站上領(lǐng)獎(jiǎng)臺(tái)，則他在200米比賽中也站上領(lǐng)獎(jiǎng)臺(tái)的概率是___________.【答案】##0.6【解析】【分析】設(shè)出事件，根據(jù)事件的關(guān)系得到，進(jìn)而求出，再利用條件概率公式求出答案.【詳解】設(shè)在200米比賽中站上領(lǐng)獎(jiǎng)臺(tái)為事件，在100米比賽中站上領(lǐng)獎(jiǎng)臺(tái)為事件，則，，，，則，則，故.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.記的內(nèi)角所對(duì)邊分別為．已知．（1）求的大?。唬?）若，再?gòu)南铝袟l件①，條件②中任選一個(gè)作為已知，求的面積．條件①：；條件②：．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)由正弦定理化邊為角，結(jié)合內(nèi)角和公式，三角函數(shù)恒等變換化簡(jiǎn)求；(2)若選①，由正弦定理求，由條件求，結(jié)合三角形面積公式求面積，若選②，由條件可設(shè)，利用余弦定理求，結(jié)合三角形面積公式求面積.【小問(wèn)1詳解】，由正弦定理知，即．在中，由，．．．．小問(wèn)2詳解】若選擇條件①，由正弦定理，得．．又，即．．．若選擇條件②，由，即．設(shè)．則．由，得．．．16.已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的倍，且右焦點(diǎn)為．（1）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線交橢圓于，兩點(diǎn)，若線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．求直線的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)求得，根據(jù)長(zhǎng)軸和短軸的對(duì)應(yīng)關(guān)系，以及列方程組，可求得的值，進(jìn)而求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程，消去并化簡(jiǎn)，寫出韋達(dá)定理，根據(jù)中點(diǎn)的橫坐標(biāo)求得的值，進(jìn)而求解.【小問(wèn)1詳解】由橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的倍，可得．所以．又，所以，解得．所以．所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【小問(wèn)2詳解】設(shè)，，由，得．則，．因?yàn)榫€段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，所以．解得，即，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意．所以直線l的方程為．17.如圖，AB是圓的直徑，平面PAC面ACB，且APAC.（1）求證：平面；（2）若，求直線AC與面PBC所成角的正弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，結(jié)合直徑的性質(zhì)、線面垂直的判定定理進(jìn)行證明即可；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)槠矫鍼AC面ACB，且APAC.，平面PAC面ACB，平面PAC，所以PA面ACB，又因?yàn)槠矫鍼BC，所以PA，又因?yàn)锳B是圓的直徑，所以，因?yàn)槠矫?，所以平面；【小?wèn)2詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因，所以，所以，則，設(shè)平面PBC的法向量為m=x,y,z，則而，設(shè)直線AC與面PBC所成角為，則，所以直線AC與面PBC所成角的正弦值為.18.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，，求a的取值范圍；（3）設(shè)，證明：．【答案】（1）f(x)的減區(qū)間為，增區(qū)間為.（2）（3）見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）求出，討論其符號(hào)后可得的單調(diào)性.（2）設(shè)，求出，先討論時(shí)題設(shè)中的不等式不成立，再就結(jié)合放縮法討論符號(hào)，最后就結(jié)合放縮法討論的范圍后可得參數(shù)的取值范圍.（3）由（2）可得對(duì)任意的恒成立，從而可得對(duì)任意的恒成立，結(jié)合裂項(xiàng)相消法可證題設(shè)中的不等式.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故的減區(qū)間為，增區(qū)間為.【小問(wèn)2詳解】設(shè)，則，又，設(shè)，則，若，則，因?yàn)闉檫B續(xù)不間斷函數(shù)，故存在，使得，總有，故在為增函數(shù)，故，故在為增函數(shù)，故，與題設(shè)矛盾.若，則，下證：對(duì)任意，總有成立，證明：設(shè)，故，故在上為減函數(shù)，故即成立.由上述不等式有，故總成立，即在上為減函數(shù)，所以.當(dāng)時(shí)，有，所以在上為減函數(shù)，所以.綜上，.小問(wèn)3詳解】取，則，總有成立，令，則，故即對(duì)任意的恒成立.所以對(duì)任意的，有，整理得到：，故，故不等式成立.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：函數(shù)參數(shù)的不等式的恒成立問(wèn)題，應(yīng)該利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，注意結(jié)合端點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的符號(hào)合理分類討論，導(dǎo)數(shù)背景下數(shù)列不等式的證明，應(yīng)根據(jù)已有的函數(shù)不等式合理構(gòu)建數(shù)列不等式.19.對(duì)任意正整數(shù)，定義的豐度指數(shù)，其中為的所有正因數(shù)的和．（1）求的值：（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和（3）對(duì)互不相等的質(zhì)數(shù)，證明：，并求的值．【答案】（1）（2）（3）證明見(jiàn)解析，【解析】【分析】（1）先找出的所有正因數(shù)，再根據(jù)題設(shè)定義，即可求解；（2）由題設(shè)定義，結(jié)合的正因數(shù)，求出，再由分組求和與錯(cuò)位相減法，即可求出結(jié)果；（3）先分別求出及的正因數(shù)，由豐度指數(shù)的定義，證明，再利用結(jié)論求解即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)榈乃姓驍?shù)為，所以，得到.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)楣灿袀€(gè)正因數(shù)