2022-2023學(xué)年浙江省紹興市高一下學(xué)期6月期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE2浙江省紹興市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期6月期末數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)是，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，則，所以.故選：B．2.某組數(shù)據(jù)、、、、、、、、、的第百分位數(shù)為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗數(shù)據(jù)、、、、、、、、、共個數(shù)，因?yàn)?，因此，該組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)為.故選：C.3.已知向量，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗向量，，對于A，，，A錯誤；對于B，，，B錯誤；對于C，由于，即與不共線，C錯誤；對于D，，因此，D正確.故選：D.4.已知m，n是兩條直線，，是兩個平面，下列命題正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則〖答案〗D〖解析〗對于A，由知，存在過的平面與平面相交，當(dāng)為交線時，滿足，而，A錯誤；對于B，當(dāng)與相交時，令交線為，若，則滿足，B錯誤；對于C，，在平面內(nèi)存在直線垂直于，為此直線時，滿足，而，C錯誤；對于D，因?yàn)?，則存在過的平面與平面相交，令交線為，有，又，因此，而，所以，D正確.故選：D.5.拋擲三枚質(zhì)地均勻的硬幣，有如下隨機(jī)事件：“正面向上的硬幣數(shù)為i”，其中i=0，1，2，3，B=“恰有兩枚硬幣拋擲結(jié)果相同”，則下列說法正確的是（）A.與B相互獨(dú)立 B.與B對立C. D.〖答案〗D〖解析〗總的可能有：(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正反)，(反，反，正)，(反，反，反)，故，，，，而，，故選項(xiàng)A錯誤；，故選項(xiàng)B錯誤；，故選項(xiàng)C錯誤；{(正，反，反)，(反，正反)，(反，反，正)}，{(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)}，{(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正反)，(反，反，正)}，所以，故選項(xiàng)D正確.故選：D.6.軸截面為等腰直角三角形的圓錐為直角圓錐，如圖所示，在直角圓錐中，AB為底面圓的直徑，C在底面圓周上且為弧的中點(diǎn)，則異面直線PB與AC所成角的大小為（）A.30° B.45° C.60° D.90°〖答案〗C〖解析〗在直角圓錐中，AB為底面圓的直徑，C在底面圓周上且為弧的中點(diǎn)，，則，過點(diǎn)作交底面圓于點(diǎn)，連接，如圖，則是異面直線PB與AC所成角或其補(bǔ)角，顯然，即是正三角形，所以，即異面直線PB與AC所成角的大小為.故選：C.7.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，，是的兩個零點(diǎn)，若，則下列為定值的量是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗函數(shù)，的周期為，由圖象可得，令，可得，，所以，即，又，所以，，，又，所以，所以.故選：A.8.在長方體中，底面ABCD是邊長為4的正方形，P是棱上的一個動點(diǎn)，若，，則三棱錐外接球的表面積是（）A.144π B.36π C.9π D.6π〖答案〗B〖解析〗令長方體的高為，，于是，解得，在中，，則外接圓半徑，顯然平面，因此三棱錐外接球的球心在線段的中垂面上，球心到平面的距離為，則球半徑，所以三棱錐外接球的表面積.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題3分，共12分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得3分，部分選對的得1分，有選錯的得0分.）9.下列等式成立的是（）A. B.C. D.〖答案〗BCD〖解析〗對于A，，故A錯誤；對于B，，故B正確；對于C，，故C正確；對于D，，故D正確.故選：BCD.10.5月21日，2023世界珍珠發(fā)展論壇在浙江諸暨舉辦，大會見證了諸暨珍珠開拓創(chuàng)新、追求卓越的堅實(shí)步伐.據(jù)統(tǒng)計，今年以來，諸暨珍珠線上線下銷售總額達(dá)250億元，已超去年全年的60%，真正實(shí)現(xiàn)了“生于鄉(xiāng)間小湖，遠(yuǎn)銷五洲四?！?某珍珠商戶銷售A，B，C，D四款珍珠商品，今年第一季度比去年第一季度營收實(shí)現(xiàn)翻番，現(xiàn)統(tǒng)計這四款商品的營收占比，得到如下餅圖.同比第一季度，下列說法正確的是（）A.今年商品A的營收是去年的4倍B.今年商品B的營收是去年的2倍C.今年商品C的營收比去年減少D.今年商品B，D營收的總和與去年相比占總營收的比例不變〖答案〗ABD〖解析〗設(shè)去年第一季度營收為億元，則今年第一季度營收為億元，由扇形圖可得款珍珠商品去年第一季度營收為億元，則今年第一季度營收為億元，A正確；款珍珠商品去年第一季度營收為億元，則今年第一季度營收為億元，B正確；款珍珠商品去年第一季度營收為億元，則今年第一季度營收為億元，C錯誤；因?yàn)樯唐稡，D今年第一季度營收的總和占總營收的比例為，商品B，D去年第一季度營收的總和占總營收的比例為，所以今年商品B，D營收的總和與去年相比占總營收的比例不變，D正確.故選：ABD.11.如圖，在邊長為的正方形中，為的中點(diǎn)，將沿折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且二面角為.若、分別為、的中點(diǎn)，則（）A. B.平面C.平面平面 D.點(diǎn)到平面的距離為〖答案〗ABD〖解析〗連接交于點(diǎn)，連接，取的中點(diǎn)，連接、，對于A選項(xiàng)，在正方形中，因?yàn)?，，，所以，，則，所以，，則，即，翻折后，則有，，又因?yàn)椋?、平面，所以，平面，因?yàn)槠矫?，所以，，A對；對于B選項(xiàng)，因?yàn)?、分別為、的中點(diǎn)，所以，，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，平面，因?yàn)?，，則四邊形為梯形，又因?yàn)椤⒎謩e為、的中點(diǎn)，所以，，因?yàn)槠矫?，平面，則平面，因?yàn)?，、平面，則平面平面，因?yàn)槠矫?，故平面，B對；對于C選項(xiàng)，因，且，，，所以，，所以，，則，在中，，所以，，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，，平面，所以，平面，因?yàn)槠矫?，所以，，所以，，且，翻折前，，翻折后，，若平面平面，且平面平面，平面，所以，平面，因?yàn)槠矫妫瑒t，事實(shí)上，，，，則，即、不垂直，假設(shè)不成立，故平面與平面不垂直，C錯；對于D選項(xiàng)，因?yàn)?，且平面，所以，，在中，，，由余弦定理可得，所以，，所以，，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由，即，所以，，D對.故選：ABD.12.在中，D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E滿足.若，則（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗在中，D為BC的中點(diǎn)，，，如圖，對于A，，有，A正確；對于B，，B正確；對于D，過作交的延長線于，由D為BC的中點(diǎn)，得是的中位線，則，于是，D正確；對于C，由選項(xiàng)D知，，假定，則，，，與矛盾，因此，C錯誤.故選：ABD.三、填空題（本大題共4小題，每小題3分，共12分.）13.函數(shù)的最小正周期是_____________.〖答案〗〖解析〗函數(shù)的最小正周期.故〖答案〗為：.14.某手機(jī)社交軟件可以實(shí)時顯示兩人之間的直線距離.已知甲在某處靜止不動，乙在點(diǎn)A時，顯示與甲之間的距離為400米，之后乙沿直線從點(diǎn)A點(diǎn)走到點(diǎn)B，當(dāng)乙在點(diǎn)B時，顯示與甲之間的距離為600米，若A，B兩點(diǎn)間的距離為500米，則乙從點(diǎn)A走到點(diǎn)B的過程中，甲、乙兩人之間距離的最小值為_____________米.〖答案〗〖解析〗令甲的位置為點(diǎn)，如圖，在中，，由余弦定理得，，過作于，所以所求距離的最小值為（米）.故〖答案〗為：.15.已知一組樣本數(shù)據(jù)，，，，的方差為5，且滿足，則樣本數(shù)據(jù)的方差為____________.〖答案〗9〖解析〗因?yàn)?，所以?shù)據(jù)，，，，的平均數(shù)為，方差，由已知，數(shù)據(jù)的平均數(shù)，方差.故〖答案〗為：.16.直三棱柱中，，，、分別為線段、的動點(diǎn)，則周長的最小值是____________.〖答案〗〖解析〗如下圖所示：將面、面沿著延展為一個平面，將面、面沿著延展一個平面，連接，此時，線段的長即為周長的最小值，則，，由于，，，則，延展后，則四邊形為矩形，因?yàn)椋?，則為等腰直角三角形，所以，，延展后，則，由余弦定理可得.故〖答案〗為：.四、解答題（本大題共6小題，共52分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17.記、、為平面單位向量，且.（1）求；（2）若，求.解：（1）由已知，且，所以，，則，所以，，因?yàn)?，所以?（2）由已知可得，且，所以，.18.在正方體中，棱長為3，是上底面的一個動點(diǎn).（1）求三棱錐的體積；（2）當(dāng)是上底面的中心時，求與平面ABCD所成角的余弦值.解：（1）如圖所示，根據(jù)題意得：.（2）如圖所示，過點(diǎn)做平面ABCD的垂線，垂足為G，易知G為AC中點(diǎn)，故為與平面ABCD所成線面角，又，所以與平面ABCD所成角的余弦值為：.19.為了推導(dǎo)兩角和與差的三角函數(shù)公式，某同學(xué)設(shè)計了一種證明方法：在直角梯形ABCD中，，，點(diǎn)E為BC上一點(diǎn)，且，過點(diǎn)D作于點(diǎn)F，設(shè)，.（1）利用圖中邊長關(guān)系，證明：；（2）若，求.解：（1）在中，，，，則，在中，，，，則，在中，，，則，依題意，四邊形是矩形，則，所以.（2）由及（1）知，，則，而為銳角，即有，，又是銳角，于是，所以.20.第19屆亞運(yùn)會將于2023年9月23日至10月8日在杭州舉行，而亞運(yùn)會志愿者的服務(wù)工作是舉辦一屆成功的亞運(yùn)會的重要保障.為配合亞運(yùn)會志愿者選拔，某高校舉行了志愿者選拔面試，面試成績滿分100分，現(xiàn)隨機(jī)抽取了80名候選者的面試成績，繪制成如下頻率分布直方圖.（1）求的值，并估計這80名候選者面試成績平均值，眾數(shù)，中位數(shù)；（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表，中位數(shù)精確到0.1）（2）乒乓球項(xiàng)目場地志愿服務(wù)需要3名志愿者，有3名男生和2名女生通過該項(xiàng)志愿服務(wù)選拔，需要通過抽簽的方式?jīng)Q定最終的人選，現(xiàn)將3張寫有“中簽”和2張寫有“未中簽”字樣的字條隨機(jī)分配給每一位候選人，求中簽者中男生比女生多的概率.解：（1）由頻率分布直方圖可知，解得，，眾數(shù)為70，因?yàn)榍?組的頻率和為，前3組的頻率和為，所以中位數(shù)在第3組，設(shè)中位數(shù)為，則，解得，所以中位數(shù)為.（2）記3名男生分別為，記2名女生分別為，則所有抽簽的情況有：未中簽，中簽；未中簽，中簽；未中簽，中簽；未中簽，中簽；未中簽，中簽；未中簽，中簽；未中簽，中簽；未中簽，中簽；未中簽，中簽；未中簽，中簽，共有10種情況，其中中簽者中男生比女生多的有：未中簽，中簽；未中簽，中簽；未中簽，中簽；未中簽，中簽；未中簽，中簽；未中簽，中簽；未中簽，中簽，共7種，所以中簽者中男生比女生多的概率為.21.如圖，在平面四邊形ABCD中，點(diǎn)B與點(diǎn)D分別在直線AC的兩側(cè)，.（1）已知，且（i）當(dāng)時，求的面積；（ii）若，求.（2）已知，且，求AC的最大值.解：（1）（i）設(shè)，在中，由余弦定理得，解得，在中，，則底邊上的高，所以的面積.（ii）設(shè)，依題意，，則，，即，而，所以.（2）連接，中，，，由余弦定理得，則，，設(shè)，在中，，于是，在中，，由余弦定理得：，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以當(dāng)時，，所以AC的最大值是.22.如圖，在正三棱臺中，，D，E分別為，的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）設(shè)P，Q分別為棱AB，BC上的點(diǎn)，且，D，P，Q均在平面上，若與的面積比為3：8，（i）證明：（ii）求與平面所成角的正弦值.解：（1）由棱臺的性質(zhì)知：延長交于點(diǎn)S，又，所以三棱錐為正四面體，為的中點(diǎn)，連接SE并延長，分別交BC，于點(diǎn)F、G，則F為中點(diǎn)，且為△的中線，所以G為等邊的中心，連接AG，則平面SBC，又D為的中點(diǎn)，綜上，，，且，，所以，即；，即，故，所以DE//AG，所以DE⊥平面SBC.（2）（i）延長交于點(diǎn)H，若均平面上，則共線，設(shè)，則，過A作AM//BC交PQ于點(diǎn)M，，則，設(shè)BQ=k，則，故且則，又所以，所以，即，所以，故Q為BC的中點(diǎn)，所以，即.（ii）由（i）知：即為面，連接，易知，且，由面，面，故面，綜上，，連接交DP于點(diǎn)N，易知，且，所以，故，所以，又為與平面的交線，，面，設(shè)平面與平面所成角為，所以，故平面與平面所成角的正弦值為.浙江省紹興市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期6月期末數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)是，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，則，所以.故選：B．2.某組數(shù)據(jù)、、、、、、、、、的第百分位數(shù)為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗數(shù)據(jù)、、、、、、、、、共個數(shù)，因?yàn)?，因此，該組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)為.故選：C.3.已知向量，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗向量，，對于A，，，A錯誤；對于B，，，B錯誤；對于C，由于，即與不共線，C錯誤；對于D，，因此，D正確.故選：D.4.已知m，n是兩條直線，，是兩個平面，下列命題正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則〖答案〗D〖解析〗對于A，由知，存在過的平面與平面相交，當(dāng)為交線時，滿足，而，A錯誤；對于B，當(dāng)與相交時，令交線為，若，則滿足，B錯誤；對于C，，在平面內(nèi)存在直線垂直于，為此直線時，滿足，而，C錯誤；對于D，因?yàn)椋瑒t存在過的平面與平面相交，令交線為，有，又，因此，而，所以，D正確.故選：D.5.拋擲三枚質(zhì)地均勻的硬幣，有如下隨機(jī)事件：“正面向上的硬幣數(shù)為i”，其中i=0，1，2，3，B=“恰有兩枚硬幣拋擲結(jié)果相同”，則下列說法正確的是（）A.與B相互獨(dú)立 B.與B對立C. D.〖答案〗D〖解析〗總的可能有：(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正反)，(反，反，正)，(反，反，反)，故，，，，而，，故選項(xiàng)A錯誤；，故選項(xiàng)B錯誤；，故選項(xiàng)C錯誤；{(正，反，反)，(反，正反)，(反，反，正)}，{(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)}，{(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正反)，(反，反，正)}，所以，故選項(xiàng)D正確.故選：D.6.軸截面為等腰直角三角形的圓錐為直角圓錐，如圖所示，在直角圓錐中，AB為底面圓的直徑，C在底面圓周上且為弧的中點(diǎn)，則異面直線PB與AC所成角的大小為（）A.30° B.45° C.60° D.90°〖答案〗C〖解析〗在直角圓錐中，AB為底面圓的直徑，C在底面圓周上且為弧的中點(diǎn)，，則，過點(diǎn)作交底面圓于點(diǎn)，連接，如圖，則是異面直線PB與AC所成角或其補(bǔ)角，顯然，即是正三角形，所以，即異面直線PB與AC所成角的大小為.故選：C.7.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，，是的兩個零點(diǎn)，若，則下列為定值的量是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗函數(shù)，的周期為，由圖象可得，令，可得，，所以，即，又，所以，，，又，所以，所以.故選：A.8.在長方體中，底面ABCD是邊長為4的正方形，P是棱上的一個動點(diǎn)，若，，則三棱錐外接球的表面積是（）A.144π B.36π C.9π D.6π〖答案〗B〖解析〗令長方體的高為，，于是，解得，在中，，則外接圓半徑，顯然平面，因此三棱錐外接球的球心在線段的中垂面上，球心到平面的距離為，則球半徑，所以三棱錐外接球的表面積.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題3分，共12分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得3分，部分選對的得1分，有選錯的得0分.）9.下列等式成立的是（）A. B.C. D.〖答案〗BCD〖解析〗對于A，，故A錯誤；對于B，，故B正確；對于C，，故C正確；對于D，，故D正確.故選：BCD.10.5月21日，2023世界珍珠發(fā)展論壇在浙江諸暨舉辦，大會見證了諸暨珍珠開拓創(chuàng)新、追求卓越的堅實(shí)步伐.據(jù)統(tǒng)計，今年以來，諸暨珍珠線上線下銷售總額達(dá)250億元，已超去年全年的60%，真正實(shí)現(xiàn)了“生于鄉(xiāng)間小湖，遠(yuǎn)銷五洲四海”.某珍珠商戶銷售A，B，C，D四款珍珠商品，今年第一季度比去年第一季度營收實(shí)現(xiàn)翻番，現(xiàn)統(tǒng)計這四款商品的營收占比，得到如下餅圖.同比第一季度，下列說法正確的是（）A.今年商品A的營收是去年的4倍B.今年商品B的營收是去年的2倍C.今年商品C的營收比去年減少D.今年商品B，D營收的總和與去年相比占總營收的比例不變〖答案〗ABD〖解析〗設(shè)去年第一季度營收為億元，則今年第一季度營收為億元，由扇形圖可得款珍珠商品去年第一季度營收為億元，則今年第一季度營收為億元，A正確；款珍珠商品去年第一季度營收為億元，則今年第一季度營收為億元，B正確；款珍珠商品去年第一季度營收為億元，則今年第一季度營收為億元，C錯誤；因?yàn)樯唐稡，D今年第一季度營收的總和占總營收的比例為，商品B，D去年第一季度營收的總和占總營收的比例為，所以今年商品B，D營收的總和與去年相比占總營收的比例不變，D正確.故選：ABD.11.如圖，在邊長為的正方形中，為的中點(diǎn)，將沿折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且二面角為.若、分別為、的中點(diǎn)，則（）A. B.平面C.平面平面 D.點(diǎn)到平面的距離為〖答案〗ABD〖解析〗連接交于點(diǎn)，連接，取的中點(diǎn)，連接、，對于A選項(xiàng)，在正方形中，因?yàn)?，，，所以，，則，所以，，則，即，翻折后，則有，，又因?yàn)椋?、平面，所以，平面，因?yàn)槠矫?，所以，，A對；對于B選項(xiàng)，因?yàn)?、分別為、的中點(diǎn)，所以，，因?yàn)槠矫?，平面，所以，平面，因?yàn)?，，則四邊形為梯形，又因?yàn)?、分別為、的中點(diǎn)，所以，，因?yàn)槠矫?，平面，則平面，因?yàn)?，、平面，則平面平面，因?yàn)槠矫妫势矫?，B對；對于C選項(xiàng)，因，且，，，所以，，所以，，則，在中，，所以，，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，，平面，所以，平面，因?yàn)槠矫?，所以，，所以，，且，翻折前，，翻折后，，若平面平面，且平面平面，平面，所以，平面，因?yàn)槠矫?，則，事實(shí)上，，，，則，即、不垂直，假設(shè)不成立，故平面與平面不垂直，C錯；對于D選項(xiàng)，因?yàn)?，且平面，所以，，在中，，，由余弦定理可得，所以，，所以，，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由，即，所以，，D對.故選：ABD.12.在中，D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E滿足.若，則（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗在中，D為BC的中點(diǎn)，，，如圖，對于A，，有，A正確；對于B，，B正確；對于D，過作交的延長線于，由D為BC的中點(diǎn)，得是的中位線，則，于是，D正確；對于C，由選項(xiàng)D知，，假定，則，，，與矛盾，因此，C錯誤.故選：ABD.三、填空題（本大題共4小題，每小題3分，共12分.）13.函數(shù)的最小正周期是_____________.〖答案〗〖解析〗函數(shù)的最小正周期.故〖答案〗為：.14.某手機(jī)社交軟件可以實(shí)時顯示兩人之間的直線距離.已知甲在某處靜止不動，乙在點(diǎn)A時，顯示與甲之間的距離為400米，之后乙沿直線從點(diǎn)A點(diǎn)走到點(diǎn)B，當(dāng)乙在點(diǎn)B時，顯示與甲之間的距離為600米，若A，B兩點(diǎn)間的距離為500米，則乙從點(diǎn)A走到點(diǎn)B的過程中，甲、乙兩人之間距離的最小值為_____________米.〖答案〗〖解析〗令甲的位置為點(diǎn)，如圖，在中，，由余弦定理得，，過作于，所以所求距離的最小值為（米）.故〖答案〗為：.15.已知一組樣本數(shù)據(jù)，，，，的方差為5，且滿足，則樣本數(shù)據(jù)的方差為____________.〖答案〗9〖解析〗因?yàn)?，所以?shù)據(jù)，，，，的平均數(shù)為，方差，由已知，數(shù)據(jù)的平均數(shù)，方差.故〖答案〗為：.16.直三棱柱中，，，、分別為線段、的動點(diǎn)，則周長的最小值是____________.〖答案〗〖解析〗如下圖所示：將面、面沿著延展為一個平面，將面、面沿著延展一個平面，連接，此時，線段的長即為周長的最小值，則，，由于，，，則，延展后，則四邊形為矩形，因?yàn)椋瑒t為等腰直角三角形，所以，，延展后，則，由余弦定理可得.故〖答案〗為：.四、解答題（本大題共6小題，共52分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17.記、、為平面單位向量，且.（1）求；（2）若，求.解：（1）由已知，且，所以，，則，所以，，因?yàn)?，所以?（2）由已知可得，且，所以，.18.在正方體中，棱長為3，是上底面的一個動點(diǎn).（1）求三棱錐的體積；（2）當(dāng)是上底面的中心時，求與平面ABCD所成角的余弦值.解：（1）如圖所示，根據(jù)題意得：.（2）如圖所示，過點(diǎn)做平面ABCD的垂線，垂足為G，易知G為AC中點(diǎn)，故為與平面ABCD所成線面角，又，所以與平面ABCD所成角的余弦值為：.19.為了推導(dǎo)兩角和與差的三角函數(shù)公式，某同學(xué)設(shè)計了一種證明方法：在直角梯形ABCD中，，，點(diǎn)E為BC上一點(diǎn)，且，過點(diǎn)D作于點(diǎn)F，設(shè)，.（1）利用圖中邊長關(guān)系，證明：；（2）若，求.解：（1）在中，，，，則，在中，，，，則，在中，，，則，依題意，四邊形是矩形，則，所以.（2）由及（1）知，，則，而為銳角，即有，，又是銳角，于是，所以.20.第19屆亞運(yùn)會將于2023年9月23日至10月8日在杭州舉行，而亞運(yùn)會志愿者的服務(wù)工作是舉辦一屆成功的亞運(yùn)會的重要保障.為配合亞運(yùn)會志愿者選拔，某高校舉行了志愿者選拔面試，面試成績滿分100分，現(xiàn)隨機(jī)抽取了80名候選者的面試成績，繪制成如下頻率分布直方圖.（1）求的值，并估計這80名候選者面試成績平均值，眾數(shù)，中位數(shù)；（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表，中位數(shù)精確到0.1）（2）乒乓球項(xiàng)目場地志愿服務(wù)需要3名志愿者