2024年八年級(jí)數(shù)學(xué)寒假提升學(xué)與練（人教版）專題03 軸對(duì)稱與等腰三角形（原卷版）

專題03軸對(duì)稱與等腰三角形思維導(dǎo)圖核心考點(diǎn)聚焦軸對(duì)稱圖形2、軸對(duì)稱的性質(zhì)3、軸對(duì)稱與坐標(biāo)變換4、線段垂直平分線的性質(zhì)5、等腰三角形的性質(zhì)6、等邊三角形的性質(zhì)7、直角三角形的性質(zhì)8、翻折變換9、等腰三角形的判定10、等邊三角形的判定11、等腰三角形的綜合問(wèn)題12、等邊三角形的綜合問(wèn)題1．軸對(duì)稱軸對(duì)稱圖形：如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么就稱這個(gè)圖形是軸對(duì)稱圖形；這條直線叫做它的對(duì)稱軸；也稱這個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱；兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱：一個(gè)圖形沿一條直線折疊，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說(shuō)這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱，這條直線叫做對(duì)稱軸，折疊后重合的點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，叫做對(duì)稱點(diǎn)；軸對(duì)稱圖形與兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱的區(qū)別：軸對(duì)稱圖形是指一個(gè)圖形沿對(duì)稱軸折疊后這個(gè)圖形的兩部分能完全重合；而兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱指的是兩個(gè)圖形之間的位置關(guān)系，這兩個(gè)圖形沿對(duì)稱軸折疊后能夠重合；軸對(duì)稱圖形與兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱的聯(lián)系：把一個(gè)軸對(duì)稱圖形沿對(duì)稱軸分成兩個(gè)圖形，這兩個(gè)圖形關(guān)于這條軸對(duì)稱；把成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形看成一個(gè)整體，它就是一個(gè)軸對(duì)稱圖形；畫(huà)軸對(duì)稱圖形的方法：找——在原圖形上找特殊點(diǎn)（如線段的端點(diǎn)）；畫(huà)——畫(huà)各個(gè)特殊點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)；連——依次連接各對(duì)稱點(diǎn)．2．垂直平分線（1）垂直平分線：經(jīng)過(guò)線段中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線；（2）如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線；（3）軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸，是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線；（4）對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等的；（5）垂直平分線性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等；（6）逆定理：與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上.3．坐標(biāo)與軸對(duì)稱（1）點(diǎn)（x，y）關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，-y）；（2）點(diǎn)（x，y）關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（-x，y）；（3）P（a，b）關(guān)于直線x=m的對(duì)稱點(diǎn)P'的坐標(biāo)為（2m﹣a，b）；（4）P（a，b）關(guān)于直線y=n的對(duì)稱點(diǎn)P'的坐標(biāo)為（a，2n﹣b）．4．等腰三角形的性質(zhì)與判定（1）等腰三角形的概念：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性質(zhì)性質(zhì)1：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)寫(xiě)成“等邊對(duì)等角”）．性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．【三線合一】（3）等腰三角形的判定判定定理：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等．【簡(jiǎn)稱：等角對(duì)等邊】說(shuō)明：①等腰三角形是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，它的定義既作為性質(zhì)，又可作為判定辦法．②等腰三角形的判定和性質(zhì)互逆；③在判定定理的證明中，可以作未來(lái)底邊的高線也可以作未來(lái)頂角的平分線，但不能作未來(lái)底邊的中線.5．等邊三角形（1）等邊三角形定義：三條邊都相等的三角形．（等邊三角形是特殊的等腰三角形）（2）等邊三角形的性質(zhì)：①等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都是60°；②等邊三角形的每條邊都存在三線合一．（3）等邊三角形的判定：①三條邊都相等的三角形是等邊三角形；②三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；③有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形．1.關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)：（1）點(diǎn)（x，y）關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，-y）；（2）點(diǎn)（x，y）關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（-x，y）．已知兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為P1（x1，y1），P2（x2，y2），若x1=x2，y1+y2=0，則點(diǎn)P1，P2關(guān)于x軸對(duì)稱；若x1+x2=0，y1=y2，則點(diǎn)P1，P2關(guān)于y軸對(duì)稱．反之也成立．2.判定等腰三角形的方法：（1）定義法：有兩邊相等的三角形是等腰三角形；（2）如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡(jiǎn)寫(xiě)成“等角對(duì)等邊”）．【注意】①“等角對(duì)等邊”不能敘述為：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)底角相等，那么它的兩腰也相等．因?yàn)樵跊](méi)有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”這些名詞，只有等腰三角形才有“底角”“腰”．②“等角對(duì)等邊”與“等邊對(duì)等角”的區(qū)別：由兩邊相等得出它們所對(duì)的角相等，是等腰三角形的性質(zhì)；由三角形有兩角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定．3.等邊三角形的判定與性質(zhì)（1）等邊三角形是一種非常特殊的幾何圖形，它的角的特殊性給有關(guān)角的計(jì)算奠定了基礎(chǔ)，它的邊角性質(zhì)為證明線段、角相等提供了便利條件．同時(shí)等邊三角形又是特殊的等腰三角形，同樣具備三線合一的性質(zhì)，解題時(shí)要善于挖掘圖形中的隱含條件廣泛應(yīng)用．（2）等邊三角形的特性如：三邊相等、有三條對(duì)稱軸、一邊上的高可以把等邊三角形分成含有30°角的直角三角形、連接三邊中點(diǎn)可以把等邊三角形分成四個(gè)全等的小等邊三角形等．（3）等邊三角形判定最復(fù)雜，在應(yīng)用時(shí)要抓住已知條件的特點(diǎn)，選取恰當(dāng)?shù)呐卸ǚ椒?，一般地，若從一般三角形出發(fā)可以通過(guò)三條邊相等判定、通過(guò)三個(gè)角相等判定；若從等腰三角形出發(fā)，則想法獲取一個(gè)60°的角判定．考點(diǎn)剖析考點(diǎn)1、軸對(duì)稱圖形例1．人教版數(shù)學(xué)教材中有“探究、歸納、觀察與猜想、思考”等欄目圖標(biāo)，其中屬于軸對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．考點(diǎn)2、軸對(duì)稱的性質(zhì)例2．如圖，直線，相交于點(diǎn)，為這兩條直線外一點(diǎn)，連接．點(diǎn)關(guān)于直線，的對(duì)稱點(diǎn)分別是點(diǎn)，．若，則點(diǎn)，之間的距離可能是（

）

A．0 B．5 C．7 D．9考點(diǎn)3、軸對(duì)稱與坐標(biāo)變換例3．如圖所示的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1個(gè)單位，的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上．(1)在網(wǎng)格中畫(huà)出向下平移3個(gè)單位得到的；(2)在網(wǎng)格中畫(huà)出關(guān)于直線m對(duì)稱的；(3)在直線m上畫(huà)一點(diǎn)P，使得的值最?。键c(diǎn)4、線段垂直平分線的性質(zhì)例4．如圖，在中，的垂直平分線交于點(diǎn)，邊的垂直平分線交于點(diǎn)．已知的周長(zhǎng)為，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．考點(diǎn)5、等腰三角形的性質(zhì)例5．如圖，在中，，點(diǎn)，分別在邊，上，若，，則的度數(shù)為．

考點(diǎn)6、等邊三角形的性質(zhì)例6．如圖，為等邊三角形，平分，是等邊三角形，下列結(jié)論中：①；②；③；④，正確的個(gè)數(shù)為（

）A．4 B．3 C．2 D．1考點(diǎn)7、直角三角形的性質(zhì)例7．如圖，是等邊邊上的中線，的垂直平分線交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，若，則的長(zhǎng)為．考點(diǎn)8、翻折變換例8．如圖，在中，點(diǎn)在邊上，將沿翻折得到，設(shè)與交于點(diǎn)F．(1)若的周長(zhǎng)為12，的周長(zhǎng)為4，求的長(zhǎng)；(2)若，證明：．考點(diǎn)9、等腰三角形的判定例9．如圖，是等腰三角形，，點(diǎn)D是上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作交于點(diǎn)E，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．(1)求證：是等腰三角形；(2)若，且，，，直接寫(xiě)出的長(zhǎng)為_(kāi)_____．考點(diǎn)10、等邊三角形的判定例10．如圖，在等腰中，，是的中線，于點(diǎn)E，于點(diǎn)F．

(1)若，求證：是等邊三角形；(2)求證：；(3)若，，求的長(zhǎng)．考點(diǎn)11、等腰三角形的綜合問(wèn)題例11．和都是以點(diǎn)B為頂點(diǎn)的等腰直角三角形，．(1)如圖1，當(dāng)邊恰好在的邊上時(shí)，連接，，易證，從而證明；（寫(xiě)出證明過(guò)程）(2)如圖2，當(dāng)和如圖擺放，連接，，，其中與相交于點(diǎn)F．那么與的位置關(guān)系是否發(fā)生變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)如圖3，當(dāng)和如圖擺放，F(xiàn)為的中點(diǎn)，連接，，，并在的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)G，連接，使，求證：．考點(diǎn)12、等邊三角形的綜合問(wèn)題例12．已知等邊，點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，以為邊在的右側(cè)作等邊，連接．(1)如圖1，若點(diǎn)在線段上，求證：；(2)如圖2，若點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，直接寫(xiě)出線段，，的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_____；(3)在（2）問(wèn)條件下，把沿翻折得到，連接，，若恰好平分，，求線段的長(zhǎng)．過(guò)關(guān)檢測(cè)一、單選題1．下列新能源汽車品牌圖標(biāo)是軸對(duì)稱圖形的是（

）A． B． C． D．2．如圖，中，邊的垂直平分線分別交，于點(diǎn)D，E，，的周長(zhǎng)為18，則的周長(zhǎng)為（

）

A．8 B．10 C．12 D．153．如圖，在中，，則的面積為（

）A． B． C． D．4．如圖，中，，是的平分線，延長(zhǎng)至E，使得，連接．下列判斷：①；②；③平分；④，不一定成立的個(gè)數(shù)是（

）A．4 B．3 C．2 D．15．如圖，已知是等邊三角形，點(diǎn)分別在邊、上，、交于點(diǎn)，，為的角平分線，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，，連接、．①；②；③；④，其中說(shuō)法正確的是（

）A．①②④ B．①③④ C．②④ D．①②③④二、填空題6．剪紙藝術(shù)是最古老的中國(guó)民間藝術(shù)之一，很多剪紙作品體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的對(duì)稱美．如圖，蝴蝶剪紙是一幅軸對(duì)稱圖形，將其放在平面直角坐標(biāo)系中，如果圖中點(diǎn)E的坐標(biāo)為，其關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)F的坐標(biāo)為，則的值為．7．已知等腰三角形一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為，則這個(gè)等腰三角形底角的度數(shù)為．8．如圖，在中，，，于點(diǎn)E，于點(diǎn)D，則的度數(shù)為．?9．如圖，，點(diǎn)，，，在射線ON上，點(diǎn)，，，在射線OM上，，，，均為等邊三角形．如果，則的邊長(zhǎng)為．10．如圖，在四邊形中，，，點(diǎn)E、F分別是線段、上的動(dòng)點(diǎn)．（1）；（2）當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最小時(shí)，的度數(shù)為．三、解答題11．已知：如圖，角的兩邊上的兩點(diǎn)M、N，求作：點(diǎn)P，使點(diǎn)P到的距離相等，且.（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）

12．如圖，中，垂直平分，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，垂足為，且，連接．(1)求證：；(2)若的周長(zhǎng)為，則的長(zhǎng)為多少？13．如圖，點(diǎn)D在上，，，．(1)說(shuō)明的理由；(2)若，，求的度數(shù)．14．如圖，在等邊三角形中，點(diǎn)M為邊上任意一點(diǎn)，延長(zhǎng)至點(diǎn)N，使，連接交于點(diǎn)P，于點(diǎn)H．(1)求證：；(2)若，求線段的長(zhǎng)．15．已知：在中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)．(1)直線垂直于，垂足為，交于點(diǎn)（如圖1）．請(qǐng)說(shuō)明：；(2)直線垂直于，垂足為，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)（如圖2）．那么圖中是否存在與相等的