必要條件與充分條件 高一上學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版2019必修第一冊

2.1.1必要條件與充分條件1、命題：可以判斷真假，用文字或符號表述的陳述句叫做命題。舊知回顧2、真命題和假命題：判斷為真的命題叫做真命題；判斷為假的命題叫做假命題。練習(xí)1、判斷下列語句是否是命題，如果是命題再判斷是真命題還是假命題。1、明天是晴天！2、正方形是矩形嗎？3、x2+1>1.4、π是有理數(shù)。課堂小練不是不是是，真命題是，假命題3、命題的形式：一般地，一個命題由條件和結(jié)論兩個部分組成，數(shù)學(xué)中通常吧命題表示為“若p，則q”的形式，其中p是命題的條件，q是命題的結(jié)論。

舊知回顧練習(xí)2、將下面命題改寫成“若p，則q”的形式。1、當(dāng)x>0時，x2<0.2、等腰三角形的兩條邊相等。3、平面四邊形的外角和是180°4、兩條平行線的同位角相等。課堂小練1、若x>0時，則x2<0.2、若一個三角形是等腰三角形，則這個三角形的兩條邊相等。3、若一個平面多邊形是四邊形，則它的外角和是180°4、若兩條直線平行，則同位角相等。問題：判斷下列命題的“p”和“q”。并判斷能否由“p”推出“q”。1、若x>0時，則x2<0.2、若一個三角形的兩條邊相等，則這個三角形是等腰三角形。3、若一個平面多邊形是四邊形，則它的外角和是180°4、若兩條直線平行，則同位角相等。情景導(dǎo)入1、p:x>0;q:x2<0.2、p:一個三角形是等腰三角形;q:這個三角形的兩條邊相等。3、p:一個平面多邊形是四邊形;q:它的外角和是180°4、p:兩條直線平行;q:同位角相等。不能能能不能新課講授1、必要條件與充分條件

“若p，則q”為真命題“若p，則q”為假命題推出關(guān)系p

qp

q條件關(guān)系p是q的

條件q是p的

條件p不是q的

條件q不是p的

條件?不能推出充分必要充分必要2、性質(zhì)定理、判定定理與必要條件、充分條件的關(guān)系(1)數(shù)學(xué)中的每一條性質(zhì)定理都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的一個

條件.(2)數(shù)學(xué)中的每一條判定定理都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的一個

條件.必要充分課堂小練練習(xí)3、若p是q的充分條件，則q是p的

（

）A.充分條件B.必要條件C.既不是充分條件也不是必要條件D.既是充分條件也是必要條件解析：因為p是q的充分條件，所以p?q，所以q是p的必要條件.A注：“p是q的充分條件”反映了p?q，而“q是p的必要條件”也反映了p?q，所以“p是q的充分條件”與“q是p的必要條件”表述的是同一邏輯關(guān)系，只是說法不同。課堂小練練習(xí)4、“x2＝5x”是“x＝0”的______條件，“x＝0”是“x2＝5x”的______條件(用“充分”“必要”填空).必要解析：由于x＝0?x2＝2x，所以“x2＝5x”是“x＝0”的必要條件，“x＝0”是“x2＝5x”的充分條件.充分課堂小練練習(xí)5、使x>4成立的一個充分條件是

（

）A.x>5 B.x>0 C.x>2 D.x<2解析：只有x>5?x>4，其他選項均不可推出x>4.A課堂小練練習(xí)6、使x>1成立的一個必要條件是

（

）A.x>-1 B.x>3 C.x>2 D.x<2解析：只有x>1?x>-1，其他選項均不可由x>1推出，故選A.A課堂小練練習(xí)7、判斷正誤。1.如果p是q的充分條件，則p是唯一的.(

)2.“x＝2”是“x2＝4”的必要條件.(

)3.“兩角不相等”是“兩角不是對頂角”的必要條件.(

)4.“x>1”是“x>6”的充分條件.(

)××××課堂小練練習(xí)8、判斷p是否為q的充分條件，并說明理由。

pq（1）x>0x2<0（2）一個三角形是等腰三角形這個三角形的兩條邊相等（3）一個平面多邊形是四邊形它的外角和是180°（4）兩條直線平行同位角相等????不是是是不是課堂小練練習(xí)9、用充分條件、必要條件填空：（1）x>2是x>6的

條件.（2）|x|<3是x<3的

條件.（3）x∈R是x∈N的

條件.（4）a=4是(a-2)(a-4)=0的

條件.????必要必要充分充分課堂小練練習(xí)10、下列“若p，則q”形式的命題中，p是q的充分條件的是（

）解析：B項中，x2＝1?x＝1或x＝－1；D項中，當(dāng)x<y<0?x2>y2，所以B，C，D中p不是q的充分條件.A課堂小練練習(xí)11、下列說法不正確的是____.(填序號)①“x>5”是“x>3”的充分條件；②“xy＝0”是“x＝0且y＝0”的充分條件；③“－2<x<2”是“x<2”的充分條件.②解析：②中由xy＝0不能推出x＝0且y＝0，則②不正確；①③正確.課堂小練練習(xí)12、對任意實數(shù)a，b，c，下列命題中，真命題是（

）A.“ac>bc”是“a>b”的必要條件B.“ac＝bc”是“a＝b”的必要條件C.“ac>bc”是“a>b”的充分條件D.“ac＝bc”是“a＝b”的充分條件解析：“a＝b”?“a－b＝0”?“(a－b)c＝0”?“ac＝bc”，∴“ac＝bc”是“a＝b”的必要條件.B課堂小練練習(xí)13、已知p：實數(shù)x滿足3a<x<a，其中a<0；q：實數(shù)x滿足－2≤x≤3.若p是q的充分條件，求實數(shù)a的取值范圍.解：p：3a<x<a，設(shè)集合A＝{x|3a<x<a}.q：－2≤x≤3，設(shè)集合B＝{x|－2≤x≤3}.因為p?q，所以A?B，課堂小練變式1、將本例中條件p改為“實數(shù)x滿足a<x<3a，其中a>0”，若p是q的必要條件，求實數(shù)a的取值范圍.解：p：a<x<3a，設(shè)集合A＝{x|a<x<3a}.q：－2≤x≤3，設(shè)集合B＝{x|－2≤x≤3}.因為q?p，所以B?A，課堂小練變式2.將本例中的條件“q：實數(shù)x滿足－2≤x≤3”改為“q：實數(shù)x滿足－3≤x≤0”其他條件不變，求實數(shù)a的取值范圍.解：p：3a<x<a，其中a<0，設(shè)集合A＝{x|3a<x<a}.q：－3≤x≤0，設(shè)集合B＝{x|－3≤x≤0}.因為p是q的充分條件，所以p?q，所以A?B，所以實數(shù)a的取值范圍是－1≤a<0.新課講授3、一般地，如果p?q，且q?p，那么稱p是q的充分且必要條件，簡稱p是q的充要條件，記作p?q.4、條件與結(jié)論的等價性：如果p是q的充要條件，那么q也是p的充要條件.課堂小練A.充要條件

B.必要不充分條件C.充分不必要條件

D.既不充分也不必要條件A課堂小練練習(xí)15、判斷正誤1.“x＝2”是“(3x－6)x＝0”的充分條件.(

)2.q是p的必要條件時，p是q的充分條件.(

)3.若p是q的充要條件，則條件p和q是兩個相互等價的條件.(

)4.ax2+bx+c=0有實數(shù)根的充要條件是b2-4ac>0.(

)√√√×新課講授5、判斷p是q的什么條件，結(jié)果只有四種。（1）若p?q，但q?p，則p是q的充分不必要條件。（2）若p?q，但q?p，則p是q的必要不充分條件。（3）若p?q，但q?p，則p是q的充要條件。（4）若p?q，但q?p，則p是q的既不充分也不必要條件。課堂小練練習(xí)16、下列命題中，p是q的什么條件。(1)p：數(shù)a能被4整除，q：數(shù)a能被2整除。解：∵p?q，q不能推出p，∴p是q的充分不必要條件.解：∵ab＝0時，|ab|＝ab，∴“|ab|＝ab”不能推出“ab>0”，即p不能推出q，p?q

而當(dāng)ab>0時，有|ab|＝ab，即q?p.∴p是q的必要不充分條件.(2)p：|ab|＝ab，q：ab>0.課堂小練(3)p：－1≤x≤5，q：x≥－1且x≤5；解：∵－1≤x≤5?x≥－1且x≤5，∴p是q的充要條件.(4)p：x>1，q：x2>1；解：∵p?q，q不能推出p，∴p是q的充分不必要條件.新課講授6、“?”、“?”具有傳遞性（1）若p是q的充分條件，q是s的充分條件，即p?q，q?s，則有p?s，即p是s的充分條件。（2）若p是q的必要條件，q是s的必要條件，即q?p，s?q，則有s?p，即p是s的必要條件。（3）若p是q的充要條件，q是s的充要條件，即p?q，q?s，則有p?s，即p是s的充要條件。課堂小練練習(xí)17、已知p，q都是r的充分條件，s是r的必要條件，q是s的必要條件。(1)s是q的什么條件？(2)r是q的什么條件？(3)p是q的什么條件？解：將p，q，r，s的關(guān)系作圖表示，如圖所示.（1）因為q?r?s，s?q，所以s是q的充要條件（2）因為r?s?q，q?r，所以r是q的充要條件.（3）因為p?r?s?q，q推不出p，所以p是q的充分不必要條件.課堂小練練習(xí)18、已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分條件，求實數(shù)m的取值范圍.解:p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0).因為p是q的必要不充分條件，所以q是p的充分不必要條件，即{x|1－m≤x≤1＋m}

{x|－2≤x≤10}，又因為m>0，所以實數(shù)m的取值范圍為{m|0<m≤3}.課堂小練變式1、若本例中“p是q