【柯西不等式在不等式證明中的體現(xiàn)探究8000字（論文）】

柯西不等式在不等式證明中的體現(xiàn)研究目錄1．前言 11.1研究背景 11.2研究意義 11.3研究價(jià)值 22.柯西不等式及其證明 22.1柯西不等式的結(jié)構(gòu)魅力 22.2柯西不等式的變式魅力 32.3柯西不等式的證明魅力 72.4柯西不等式證明不等式的魅力 123.柯西不等式在數(shù)學(xué)中所體現(xiàn)的教育價(jià)值 153.1接受數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵的熏陶 153.2數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng) 16總結(jié) 19參考文獻(xiàn) 20摘要：柯西不等式是一種解決不等式證明問題時(shí)的實(shí)用性工具，我們可以使用柯西不等式處理一些十分困難的不等式證明問題.柯西不等式是四大經(jīng)典不等式之一，它對(duì)豐富學(xué)生的知識(shí)面，擴(kuò)寬學(xué)生的視野，拓展學(xué)生思維空間都有著重要的作用.在解決不等式證明時(shí)，能夠適當(dāng)?shù)貙?duì)不等式進(jìn)行常數(shù)拆分，調(diào)換某些項(xiàng)的次序，添項(xiàng)等方法來構(gòu)造出柯西不等式，從而證明不等式，突出柯西不等式的優(yōu)越性.在柯西不等式的證明、形式、教育價(jià)值，使學(xué)生依次感受它的對(duì)稱美、簡(jiǎn)潔美、和諧美.關(guān)鍵詞：柯西不等式；不等式；魅力；體現(xiàn)中圖分類號(hào)1.前言1.1研究背景柯西不等式在數(shù)學(xué)中又稱柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz不等式）,在高中數(shù)學(xué)中是四大經(jīng)典不等式（均值不等式、柯西不等式、排序不等式、切比雪夫不等式）之一,柯西不等式在現(xiàn)代數(shù)學(xué)希爾伯特空間理論、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)、經(jīng)典實(shí)分析與復(fù)分析、數(shù)值分析、微分方程定性理論及其應(yīng)用中發(fā)揮著重要的作用,所以柯西不等式在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中有著非常重要的地位.柯西不等式首先提出者是由LouisCauchy（路易斯·柯西）在1821年研究數(shù)學(xué)分析有關(guān)“流數(shù)”等相關(guān)問題時(shí)總結(jié)整理而成的,并結(jié)合自身經(jīng)驗(yàn)寫出了關(guān)于柯西不等式最原始最基本的第一篇論文,奧古斯丁·路易·柯西（Augustin-LouisCauchy）是十九世紀(jì)最偉大的法國數(shù)學(xué)家之一,為現(xiàn)代嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)分析奠定了基礎(chǔ).現(xiàn)在所使用的柯西不等式是在1888年由數(shù)學(xué)家Schwarz（施瓦茨）獨(dú)立發(fā)現(xiàn)并總結(jié)得到的.柯西不等式不僅單純使用于數(shù)學(xué)諸多領(lǐng)域中,而且在工程、物理、計(jì)算機(jī)科學(xué)等許多領(lǐng)域的都發(fā)揮著不可替代的作用.這一切的一切為后來眾多數(shù)學(xué)家甚至其他領(lǐng)域的科學(xué)家對(duì)于豐富和發(fā)展柯西不等式奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，并為柯西不等式的發(fā)展指明了方向，促使柯西不等式快速走向成熟，對(duì)數(shù)學(xué)分析的發(fā)展具有重要意義.1.2研究意義柯西不等式在解決不等式證明問題時(shí)，突顯出重要的指導(dǎo)意義.在證明不等式的相關(guān)問題中，柯西不等式擁有著非常廣闊的用途，在大學(xué)數(shù)學(xué)中，對(duì)于有關(guān)數(shù)學(xué)問題的處理和研究頗有重要的價(jià)值.在高等數(shù)學(xué)和其他相關(guān)數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，柯西不等式極其重要.巧妙地運(yùn)用柯西不等式可以解決很困難的不等式證明的數(shù)學(xué)問題.但是，目前，柯西的不等式研究主要關(guān)注高級(jí)數(shù)學(xué)及其解決方案的應(yīng)用.雖然它為著名的不等式之一，但是柯西不等式應(yīng)與中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)緊密聯(lián)系在一起，為了便于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)技能提供捷道.值得慶幸的是,在新課程的變革下，柯西不等式陸續(xù)地被納入選修系統(tǒng)，目前，學(xué)生課堂和教科書中，都有柯西不等式的烙印.另一方面，它被視為有價(jià)值性的內(nèi)容，它可以擴(kuò)大學(xué)生的知識(shí)面，擴(kuò)寬學(xué)生的視野，拓展學(xué)生的思維空間都有重要的作用，也給學(xué)習(xí)者迎來了新的探索意義.1.3研究價(jià)值隨著柯西不等式在學(xué)生新的課本和課堂中的引入，不等式證明的重點(diǎn)就是我們靈活地運(yùn)用柯西不等式解決其證明，而常常忽視了柯西不等式在高中數(shù)學(xué)中的教育價(jià)值的發(fā)現(xiàn).除此之外，相關(guān)研究還缺乏系統(tǒng)性.雖然關(guān)于它們的各種變形和使用技巧性的文章有許多，但是，對(duì)于它等號(hào)成立的條件尤其沒有得到太多的重視.然而對(duì)于柯西不等式魅力的發(fā)現(xiàn)，在某種程度上是極其可貴的.現(xiàn)目前，柯西不等式普遍存在于高中數(shù)學(xué)中，但對(duì)柯西不等式應(yīng)用挖掘的深度不夠，以至于這個(gè)緣由，這便要我們通過深入探索其內(nèi)在含義，尤其在現(xiàn)在新引入的課程和發(fā)現(xiàn)的內(nèi)容上深化，以方便為高中數(shù)學(xué)教學(xué)提供一些基準(zhǔn).2.柯西不等式及其證明2.1柯西不等式的結(jié)構(gòu)魅力柯西不等式的三角形式：,等號(hào)成立條件：.柯西不等式的向量形式：柯西不等式的概率論形式：.柯西不等式的積分形式：.[1]而柯西不等式的一般形式：對(duì)于任意實(shí)數(shù)則等號(hào)成立的條件是：當(dāng)且僅當(dāng)(為常數(shù)).[2]通過觀察以上四種不同形式的柯西不等式，我們進(jìn)而能夠清晰直觀的觀察出，它等號(hào)左右兩邊的元素是如此統(tǒng)一，結(jié)構(gòu)上是多么對(duì)稱和諧.進(jìn)一步我們從第四個(gè)柯西不等式的一般形式總結(jié)得到，柯西不等式各元素平方和的乘積大于等于各元素乘積之和的平方.再次讓我們感受到柯西不等式結(jié)構(gòu)上的簡(jiǎn)潔美、對(duì)稱美，深刻再次展現(xiàn)出柯西不等式結(jié)構(gòu)上的有序、確定性的魅力所在.2.2柯西不等式的變式魅力為了更加方便使用，我們還可以把柯西不等式寫成下面形式：（2.1）變式1:對(duì)于任意的實(shí)數(shù),則：變形思路:在公式(2.1)中令,則可得到變式1.等號(hào)成立：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí).[3]該變式能讓我們了解共性的、本質(zhì)性的事物之間是可以遷移、轉(zhuǎn)換的，讓我們達(dá)到進(jìn)一步認(rèn)識(shí)基本數(shù)學(xué)公式的目的，有利于我們思維品質(zhì)的提升.變式2：,則等號(hào)成立:當(dāng)且僅當(dāng)時(shí).[3]變形思路:在公式(2.1)中用替換,用替換,則兩邊同時(shí)除以,所以可得到變式2.此變式在考驗(yàn)我們利用換元的思維方式的轉(zhuǎn)變，讓我們?cè)诮鉀Q類似數(shù)學(xué)問題時(shí)變得更加方便和快捷.變式3:設(shè)同號(hào)且不為,則等號(hào)成立:當(dāng)且僅當(dāng)時(shí).[4]變形思路:在公式(2.1)中用替換,用替換,則兩邊同時(shí)除,所以可得到變式3.當(dāng)時(shí),變式3就相當(dāng)于同理，變式3中與變式2蘊(yùn)含著相同的魅力，即換元思想的運(yùn)用.變式4:設(shè)同號(hào)且不為,則變形思路:在公式(2.1)中用替換,用替換,所以可得到變式4.[2]推廣1:該不等式中令得推論1:若則當(dāng)且僅當(dāng)為常數(shù)時(shí)取等號(hào).推論2:若則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取等號(hào).推廣2:赫爾德不等式設(shè)滿足則等號(hào)成立的充分必要條件是[4]證明由Young不等式,得等號(hào)成立的充分必要條件是也就是[4]推廣3:閔可夫斯基不等式對(duì)時(shí)，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立.證明由赫爾德不等式,得所以不難知,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立.注:(1)Young不等式的一種表現(xiàn)形式是其中在變式4中，我們可以通過不斷地變換條件、形式等進(jìn)一步將問題進(jìn)行推廣，這可以讓我們?cè)谧兓?、?lián)系中尋求規(guī)律，從而訓(xùn)練我們的發(fā)散思維.2.3柯西不等式的證明魅力柯西不等式有各種各樣的類型，在不同的數(shù)學(xué)分支中都有著極其廣泛的應(yīng)用。在不同的數(shù)學(xué)分支它有不同的形式和內(nèi)容,但其本質(zhì)是不變的,這充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)各分支間的關(guān)聯(lián)性、滲透性和統(tǒng)一性.[11]柯西不等式的證明過程是揭示各個(gè)量之間關(guān)系的過程；是對(duì)不等式內(nèi)涵以及交融知識(shí)的會(huì)晤.下面是它的幾種證明，[5]后三種均為它比較經(jīng)典的證法.證法1（數(shù)學(xué)歸納法）當(dāng)時(shí)，不等式顯然成立.設(shè)時(shí)而[6]此種證法可以讓我們從“感性”推向“理性”，掌握鞏固數(shù)學(xué)基礎(chǔ)原理，但稍不留神容易出錯(cuò)，往往犯下不完全歸納的毛病.證法2（判別式法）由于是關(guān)于的二次三項(xiàng)式，且保持非負(fù)，故判別式，所以.[7]換種說法為:當(dāng)全為時(shí)，則不等式顯然成立.當(dāng)不全為時(shí)，類比一元二次方程判別式結(jié)構(gòu)，構(gòu)造函數(shù)因?yàn)閷?duì)于任意即當(dāng)且僅當(dāng)此時(shí)等號(hào)成立，即證.[5]下面我們?cè)僖钥挛鞑坏仁降牧硗馊N表現(xiàn)形式為例，重點(diǎn)突出利用判別式法證明柯西不等式的魅力，以下是它的另外三種形式及其證明：公式1有當(dāng)且僅當(dāng)存在不全為零的常數(shù)使時(shí)，等式成立.公式2有當(dāng)且僅當(dāng)存在不全為零的常數(shù)使時(shí)，等式成立.公式3對(duì)于任意若則有當(dāng)且僅當(dāng)存在不全為零的常數(shù)使時(shí)，等式成立.以上的三個(gè)公式，我們可以看出它們的表現(xiàn)形式極為相似，這些公式的左右兩邊的結(jié)構(gòu)和各個(gè)變量之間涉及到的運(yùn)算是多么地對(duì)偶、和諧和統(tǒng)一.[12]公式1到公式3雖然涉及的數(shù)學(xué)對(duì)象不同，但其本質(zhì)都反映了不同變量間的某種不等的關(guān)系且等式成立都體現(xiàn)了它們之間的線性關(guān)系，在不同的領(lǐng)域，它的證明方法靈活多樣但其不等式均與有著極其類似的地方，所以我們可以構(gòu)一個(gè)非負(fù)二次函數(shù)，利用法即可證明.[12]類似地在公式1中，顯然，根據(jù)積分性質(zhì)有，則其判別式即結(jié)論得證.在公式2中，假設(shè)在公式3中，假設(shè)利用，立得結(jié)論得證.[12]以上均為判別式法證明柯西不等式，從它在各種形式上的證明，我們不難看出，判別式法證明與其他證明不同，它嚴(yán)謹(jǐn)而簡(jiǎn)捷、證明不容易出錯(cuò).它是我們進(jìn)行“數(shù)學(xué)探究”的極好材料,對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法，認(rèn)識(shí)知識(shí)間的聯(lián)系，促進(jìn)學(xué)生的創(chuàng)造性思維是非常難得可貴的.”[12]以上的三個(gè)公式，我們可以看出它們的表現(xiàn)形式極為相似，這些公式的左右兩邊的結(jié)構(gòu)和各個(gè)變量之間涉及到的運(yùn)算是多么地對(duì)偶、和諧和統(tǒng)一.[12]證法3（配方法）[13]所以當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立.配方法證明柯西不等式是一種“配湊”，“添”，“拆”的方法，它可以改變?cè)惺阶拥慕Y(jié)構(gòu)，從而能以更加簡(jiǎn)捷的方式去求解問題，比一般方法證法較為簡(jiǎn)單和快捷.證法4（歸一化法）若或，原命題顯然成立，且等號(hào)成立.若不全為，且不全為，就令，，則原命題的式子可以化為，容易證明這是成立的，因?yàn)榈忍?hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)這時(shí)有這樣的存在，使歸一化證明柯西不等式不同于其他證法，它能夠定量結(jié)果，并且在條件稍有改變的情況下，它證明出的結(jié)果所受影響都比較小，但它也是證明柯西不等式的一種比較簡(jiǎn)便、準(zhǔn)確的證明方法.2.4柯西不等式證明不等式的魅力例2.4.1已知都是正數(shù)，且，求證：分析在此題中，我們看到不等式左邊有平方和，由此我們能夠想到柯西不等式的一般式，所以我們可以把本題構(gòu)造成一個(gè)柯西不等式的結(jié)構(gòu)，從而把此題簡(jiǎn)單化，進(jìn)一步突出了柯西不等式是解決不等式證明問題時(shí)的一種實(shí)用性工具.這個(gè)不等式證明考驗(yàn)我們的觀察、分析能力，有助于培養(yǎng)我們的聯(lián)想思維.這樣利用原有公式解題更能激發(fā)我們的學(xué)習(xí)興趣，更能在牢牢把握基礎(chǔ)知識(shí)上學(xué)會(huì)學(xué)以致用，舉一反三.證明由柯西不等式得即又即則則另證由基本不等式有：因?yàn)檎龜?shù)滿足設(shè)(其中)因?yàn)?所以所以例2.4.2設(shè),滿足,試證:分析不等式中含分母并且平方和，由此我們便想到去除分母，即左邊乘于，就可以構(gòu)造出一個(gè)柯西不等式結(jié)構(gòu)，即證明如下，進(jìn)而可以讓我們把問題給簡(jiǎn)單化，進(jìn)一步快速解決此類不等式問題.證明由柯西不等式知:又因?yàn)樗运栽坏仁匠闪?例2.4.3設(shè)a，b為非負(fù)數(shù)且，求證:分析此題中，此不等式與柯西不等式較為相似，而它只是一維的表現(xiàn)形式，則我們可以互換一下的位置，接著用柯西不等式解決問題，使其證明更加簡(jiǎn)捷.證明又因?yàn)?所以故原不等式成立.例2.4.4（2012年福建卷（理））已知函數(shù).且的解集為.求m的值；若，且，求證.分析由可得，.由于“1”的特殊性、任意的多項(xiàng)式的值乘上1后都不會(huì)發(fā)生變化，所以可以利用這個(gè)條件來證明不等式.[8]在本例中，我們可以發(fā)現(xiàn)，證明不等式時(shí)若利用柯西不等式這個(gè)得力工具，在不知如何下手時(shí)候，可以啟發(fā)新思路，同時(shí)解法上也非常簡(jiǎn)潔.本例中，我們可以體會(huì)式于變形的巧妙性，通過變形之后可直接使用柯西不等式從而得出最值，深切感受利用柯西不等式的優(yōu)越性.[8]證明由柯西不等式得綜上所述，簡(jiǎn)介：利用柯西不等式證明不等式的一種經(jīng)常使用的方法，比如把不等式的常數(shù)拆分或?qū)ζ湓黾禹?xiàng)，把不等式改變?yōu)榭挛鞑坏仁降慕Y(jié)構(gòu)，又或者重新排列不等式某些項(xiàng)的次序，根據(jù)問題選擇不同的方法使其更容易解決相關(guān)不等式證明問題.若用其他方法證明不等式不如構(gòu)造出柯西不等式證明不等式方便和簡(jiǎn)潔.湊系數(shù)是當(dāng)所需證明的不等式的兩邊都只含有一個(gè)因式時(shí)且其中一邊還有一個(gè)系數(shù)是，我們要依照所需證明的不等式的一邊代數(shù)式子中的系數(shù)，湊出和這個(gè)系數(shù)相關(guān)的數(shù)字式子，也就等同于創(chuàng)造了應(yīng)用柯西不等式的條件.例如常數(shù)“1”就可以n個(gè)的和，“1”在柯西不等式的形式下有非常大的用處.[9]3.柯西不等式在數(shù)學(xué)中所體現(xiàn)的教育價(jià)值3.1接受數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵的熏陶普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定，“基礎(chǔ)課程概念”作為“數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分”.因此，數(shù)學(xué)課程要充分反映出數(shù)學(xué)的歷史、應(yīng)用和發(fā)展趨勢(shì)，數(shù)學(xué)在社會(huì)發(fā)展中的作用，社會(huì)發(fā)展在促進(jìn)數(shù)學(xué)發(fā)展中有著非常重要的作用，比如在數(shù)學(xué)思想體系、美學(xué)、數(shù)學(xué)的價(jià)值和數(shù)學(xué)的創(chuàng)新精神等方面有著明顯的體現(xiàn).因此，數(shù)學(xué)課程應(yīng)幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)在人類文明發(fā)展中的作用，為了使學(xué)生漸漸形成正確的數(shù)學(xué)概念.然而，在高中的數(shù)學(xué)教學(xué)往往忽視了對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)歷史教育.但隨著新課程改革的不斷深入，數(shù)學(xué)史教育給學(xué)生迎來了一個(gè)新的機(jī)遇.因此，對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)歷史教育和對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣就突出放在教材的每個(gè)地方.在學(xué)生對(duì)于柯西不等式內(nèi)容課程的學(xué)習(xí)中，教師可以結(jié)合教材穿插有關(guān)柯西生活的閱讀材料并加以使用.多媒體介入添入有關(guān)柯西的數(shù)學(xué)斗爭(zhēng)和名人評(píng)級(jí)的歷史，不僅這只能幫助學(xué)生掌握柯西不等式在解決問題中的應(yīng)用，而且還受到數(shù)學(xué)史的教育，于是就提升了他們對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.著名的數(shù)學(xué)史學(xué)家和教育家數(shù)學(xué)家史密斯說：“如今，數(shù)學(xué)史已變得無可否認(rèn)地重要.”站在數(shù)學(xué)的方向思量，看出了它在大眾教育中起著極其重要的價(jià)值.所以，一門知識(shí)得了解它的數(shù)學(xué)史.然而，教師教學(xué)過程中，柯西不等式在數(shù)學(xué)史中的關(guān)鍵被視為一種不常見而核心的內(nèi)容，它可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.3.2數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)在中學(xué)教科書中的數(shù)學(xué)內(nèi)容大致能夠劃分為兩個(gè)方面：一個(gè)是表面知識(shí)，另一個(gè)是深度知識(shí).表面知識(shí)闊概為：概念、性質(zhì)、定律、公式、定理及一些常規(guī)數(shù)學(xué)知識(shí)，便構(gòu)成了深度知識(shí)的基礎(chǔ).學(xué)生通過教科書直接學(xué)習(xí)前人總結(jié)的相關(guān)知識(shí)，學(xué)習(xí)并掌握前人的基礎(chǔ)理論，從而繼續(xù)學(xué)習(xí)相關(guān)的深層知識(shí).在表面知識(shí)學(xué)習(xí)扎實(shí)后，能為后面深層知識(shí)的學(xué)習(xí)打下鋪墊作用.學(xué)生在教師引導(dǎo)學(xué)習(xí)基礎(chǔ)知識(shí)為前提下，繼續(xù)研究深層次知識(shí)，進(jìn)一步豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)水平.事實(shí)上,有一部分教師在教授學(xué)生知識(shí)的時(shí)候只注重表面、粗淺的知識(shí)講授,卻沒有融入數(shù)學(xué)高級(jí)的科學(xué)知識(shí)傳授方法,這種教學(xué)僅僅教會(huì)學(xué)生基本知識(shí)，而不能提高學(xué)生的專業(yè)知識(shí)水平,它不利于學(xué)生對(duì)高層次知識(shí)的掌握,使學(xué)生停留在學(xué)習(xí)上的一個(gè)初級(jí)階段.為此,數(shù)學(xué)教學(xué)"思想"應(yīng)從低級(jí)到高級(jí)、從簡(jiǎn)單到復(fù)雜循序漸進(jìn)的培養(yǎng)學(xué)生的思維方式,讓學(xué)生更能接受和學(xué)習(xí)新知識(shí),提升學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的能力,進(jìn)而形成良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng).柯西不等式的引入,恰好應(yīng)用該種數(shù)學(xué)思想,因?yàn)榭挛鞑坏仁胶w多種數(shù)學(xué)思想方法，更能讓廣大學(xué)生所接受.轉(zhuǎn)化思想:轉(zhuǎn)換包括通過演繹歸納，將未知和復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)換為已知，換位我們熟悉簡(jiǎn)單的問題，以便我們可以順利解決問題.按照現(xiàn)代教科書的準(zhǔn)則，注重使用著名的公式被視為學(xué)生使用創(chuàng)新性思維的工具.鮮為人知，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)變革性思維固然重要，因?yàn)樗墙鉀Q許多數(shù)學(xué)問題時(shí)亙古不變的常用方式.柯西不等式在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)換思維中發(fā)揮著極為重要的作用.下面有幾種固定的轉(zhuǎn)換方法：?jiǎn)栴}情境的轉(zhuǎn)換，即必須從未知情況解決的問題轉(zhuǎn)換為熟悉，直觀，簡(jiǎn)單的問題特殊和通用轉(zhuǎn)換，集合和圖形轉(zhuǎn)換，參數(shù)和消除轉(zhuǎn)換，強(qiáng)轉(zhuǎn)換和弱轉(zhuǎn)換，等效轉(zhuǎn)換和非等效轉(zhuǎn)換的條件.言而簡(jiǎn)之，就是各知識(shí)間的方法轉(zhuǎn)變.由于柯西方不等式的研究在中學(xué)教科書中沒有出現(xiàn)應(yīng)用柯西不等式的例子，為此，研究了中學(xué)不等式與數(shù)學(xué)之間的聯(lián)系，并進(jìn)一步提供了具有代表性的示例，其中體現(xiàn)了數(shù)學(xué)教學(xué)中的“轉(zhuǎn)化”思想.我們放眼在柯西不等式的左右面，我們研究了隱含條件和結(jié)論以及轉(zhuǎn)化信息，這對(duì)于學(xué)生思維方式的培養(yǎng)有重要作用.因此，我們需要在學(xué)習(xí)和思想上進(jìn)一步地發(fā)展中，需要我們重視知識(shí)的背景和發(fā)展.然而，在收集聯(lián)想轉(zhuǎn)換的例子當(dāng)中.我們的思想層次需要由低到高，由模仿到創(chuàng)新，漸漸掌握數(shù)學(xué)思維方法.數(shù)形結(jié)合思想:如同他重要的不等式一樣，柯西的不等式在數(shù)學(xué)當(dāng)中，擁有著深刻的背景和意義.尤其關(guān)鍵的是，使學(xué)生掌握柯西不等式的幾何背景有利于學(xué)生掌握它的本質(zhì).然而對(duì)于更復(fù)雜的不等式，以柯西不等式為例：對(duì)于它的發(fā)現(xiàn)更多是定量的定義，透視它的幾何背景往往是在證明完成后經(jīng)過直觀定義而得到深層次理解.西方不等式的教學(xué)中把數(shù)字和形式的兩個(gè)方面都反映出來，在共性的內(nèi)容上，西方教學(xué)很重視數(shù)字和形式相互轉(zhuǎn)化.詳細(xì)的步驟是：根據(jù)數(shù)字的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造與之相互交融的幾何圖形，最后使用幾何圖形進(jìn)行處理問題.用于解決數(shù)學(xué)問題或?qū)D形轉(zhuǎn)換為代數(shù)信息的圖形的特性，進(jìn)一步把要解決的形狀問題轉(zhuǎn)換為對(duì)代數(shù)問題之間關(guān)系的摸索.例如，柯西不等式在數(shù)量和形式上的應(yīng)用有：距離問題，三角形問題，平面向量問題，空間幾何和函數(shù)最大值問題等方面.聯(lián)想思想:它是一種心理現(xiàn)象，能夠從當(dāng)前感知的事物的屬性中去記住事物的相似性或者共同屬性.它對(duì)數(shù)學(xué)技能和思維的發(fā)展具有積極意義，還有助于提升學(xué)習(xí)者解決問題的速度和能力.在解決或證明一道數(shù)學(xué)問題時(shí)，假若不清楚使用哪一種方法便于解決，我們可以使用猜測(cè)聯(lián)想思想，其次進(jìn)一步研究并發(fā)現(xiàn)哪一種方法有實(shí)效性和可行性，再次讓問題便能順利得到解決.最普通解決問題的經(jīng)驗(yàn)為最合理的聯(lián)想提供了最為準(zhǔn)確的猜測(cè)的方案，但觀察、檢測(cè)和準(zhǔn)確利用此方法去解決數(shù)學(xué)問題是關(guān)鍵之處，這也可以為挖掘數(shù)學(xué)問題的間接條件提供便捷，進(jìn)一步往往使用它們來使問題得到方便的解決.類比思想是指利用已有的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)而將未知、不熟悉的問題與已解決的熟悉問題或相似的東西進(jìn)行對(duì)比，最后以有目的性的、創(chuàng)造性的去解決問題.倘若學(xué)生在有關(guān)內(nèi)容之前就有很深刻的認(rèn)知，于是他們就可以很迅速地觀察出來并進(jìn)行類比。教學(xué)過程的思維方式在學(xué)生學(xué)習(xí)新課程和解決相關(guān)問題有很大的益處.在學(xué)生學(xué)習(xí)柯西不等式時(shí)，類比學(xué)思想在關(guān)于柯西不等式的課本上有兩個(gè)方面：首先，柯西不等式的二維形式在教科書中給出，并且不等式通過平面向量法得到證明，即類似于柯西不等式的向量形式；西方不平等的二維形式類似于一般形式.這兩個(gè)類比過程都很重要，而且對(duì)學(xué)生獨(dú)立探索的意愿具有很大的促進(jìn)作用.辯證思維作為哲學(xué)的核心構(gòu)成元素.起始，辯證思維即邏輯推理的一種形式，它包括在思想，自然和歷史三個(gè)領(lǐng)域中的哲學(xué)闡述.辯證思維讓我們了解并改變了世界.當(dāng)然，實(shí)際上，哲學(xué)中的辯證思維是指以相互矛盾的觀點(diǎn)來看待事物以引導(dǎo)問題的處理，進(jìn)而深化了數(shù)學(xué)本質(zhì).在學(xué)生的理解和掌握上，對(duì)于改善學(xué)生解決問題的能力具有珍貴的借鑒意義和深遠(yuǎn)影響力.為了促進(jìn)學(xué)生辯證思維的認(rèn)識(shí)，教師要對(duì)學(xué)生進(jìn)行明確的指引和開導(dǎo).對(duì)于學(xué)生辯證思維能力的形成，在我看來，運(yùn)用柯西不等式解決不等式證明問題時(shí)是一種很重要的技巧.首先我們從觀察柯西不等式的結(jié)構(gòu)，尤其多留意等號(hào)不等式成立條件，這是一種對(duì)立統(tǒng)一的概念.在課堂過程中，教師可以增設(shè)一個(gè)解決數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)問題的公平競(jìng)爭(zhēng)環(huán)境，讓學(xué)生積極參與其中，這有助于鼓勵(lì)學(xué)生養(yǎng)成矛盾的辯證思維.然而，尋找柯西不等式等號(hào)成立的條件經(jīng)常性沒有得到更多的重視.換句話說，這一探索過程它可以培養(yǎng)學(xué)生使用辯證推理解決問題的能力，并提升他們對(duì)事物本身實(shí)質(zhì)性的理解.但是定位柯西不等式等號(hào)成立條件有著很重要的探索價(jià)值.柯西不等式的學(xué)習(xí)