2024年全國一卷數(shù)學(xué)新高考題型細分S13圓錐曲線單選填空4雙曲線（中下中檔）

2024年全國一卷新高考題型細分S13——圓錐曲線單選填空4雙曲線（中下、中檔）試卷主要是2024年全國一卷新高考地區(qū)真題、模擬題，合計202套。其中全國高考真題4套，廣東47套，山東22套，江蘇18套，浙江27套，福建15套，河北23套，湖北19套，湖南27套。題目設(shè)置有尾注答案，復(fù)制題干的時候，答案也會被復(fù)制過去，顯示在文檔的后面，雙擊尾注編號可以查看。方便老師備課選題。題型純粹按照個人經(jīng)驗進行分類，沒有固定的標(biāo)準(zhǔn)?！秷A錐曲線——單選填空》題目分類有：橢圓（易~中檔），雙曲線（易~中檔），拋物線（易~中檔），其他等，大概251道題。雙曲線（中下）：（2024年閩J04漳州三檢）13.點分別為雙曲線的左、右焦點，過作斜率為的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于兩點，若為以為底的等腰三角形，則的離心率為【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意作出圖象，結(jié)合雙曲線的定義及題中條件可得，，，繼而根據(jù)勾股定理建立方程，解出即可.【詳解】由題可得，如圖，取的中點，連接，則．設(shè)【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意作出圖象，結(jié)合雙曲線的定義及題中條件可得，，，繼而根據(jù)勾股定理建立方程，解出即可.【詳解】由題可得，如圖，取的中點，連接，則．設(shè)，則，所以，所以．因為直線的斜率為，所以．又，所以，則，所以．在中，，即，解得，即雙曲線的離心率．故答案為：.（2024年魯J23泰安新泰一中）5.在平面直角坐標(biāo)系中，已知為雙曲線的右頂點，以為直徑的圓與的一條漸近線交于另一點，若，則的離心率為（【答案】B【解析】【分析】由漸近線方程和⊥求出，由勾股定理得到，從而求出離心率.【詳解】由題意得，⊥，雙曲線的一條漸近線方程為，故，即，又，所以，由勾股定理得，即，解得，,故選：【答案】B【解析】【分析】由漸近線方程和⊥求出，由勾股定理得到，從而求出離心率.【詳解】由題意得，⊥，雙曲線的一條漸近線方程為，故，即，又，所以，由勾股定理得，即，解得，,故選：B.（2024年鄂J03武漢二聯(lián)，末）8.斜率為的直線經(jīng)過雙曲線的左焦點，交雙曲線兩條漸近線于，兩點，為雙曲線的右焦點且，則雙曲線的離心率為（【答案】B【解析】【分析】設(shè)是中點，且，根據(jù)求得，再由得到直線傾斜角為，則直線傾斜角為，結(jié)合倍角正切公式求，進而求離心率.【詳解】由題設(shè)，雙曲線的漸近線為，如下圖，若是中點，且，，則，可得，所以【答案】B【解析】【分析】設(shè)是中點，且，根據(jù)求得，再由得到直線傾斜角為，則直線傾斜角為，結(jié)合倍角正切公式求，進而求離心率.【詳解】由題設(shè)，雙曲線的漸近線為，如下圖，若是中點，且，，則，可得，所以，則，而，則，所以，若直線傾斜角為，則直線傾斜角為，由，則，故，所以雙曲線的離心率為.故選：B【點睛】關(guān)鍵點點睛：若是中點，應(yīng)用點差法求得，即，由得直線傾斜角為，則直線傾斜角為為關(guān)鍵.（2024年浙J25溫州二適，末）14.已知，分別是雙曲線與拋物線的公共點和公共焦點，直線傾斜角為，則雙曲線的離心率為【答案】或【解析】【分析】由題意，根據(jù)直線傾斜角為得直線的方程為，聯(lián)立得點坐標(biāo)，代入雙曲線方程即可得離心率.【詳解】【答案】或【解析】【分析】由題意，根據(jù)直線傾斜角為得直線的方程為，聯(lián)立得點坐標(biāo)，代入雙曲線方程即可得離心率.【詳解】因為為雙曲線與拋物線的公共焦點，所以，故，因直線傾斜角為，故直線的斜率為，直線的方程為，聯(lián)立，得，即，得或，當(dāng)時，，代入得，又因，，得，解得，又因，得當(dāng)時，，代入得，又因，，得，解得，又因，得故答案為：或.（2024年蘇J01高郵一模）7.已知雙曲線的左、右焦點分別為，點P在C的左支上，，的周長為，則C的離心率為（【答案】C【解析】【分析】根據(jù)綜合條件，結(jié)合雙曲線定義，利用余弦定理計算即得.【詳解】令雙曲線的焦距為，依題意，，解得，在中，，由余弦定理得，整理得，所以雙曲線C的離心率為.故選：C【答案】C【解析】【分析】根據(jù)綜合條件，結(jié)合雙曲線定義，利用余弦定理計算即得.【詳解】令雙曲線的焦距為，依題意，，解得，在中，，由余弦定理得，整理得，所以雙曲線C的離心率為.故選：C（2024年浙J23適應(yīng)）7.已知過原點且斜率為的直線交雙曲線于，兩點，點是雙曲線的一個焦點，若，則雙曲線的離心率為（【答案】A【解析】【分析】通過對稱性以及數(shù)量積與垂直的關(guān)系可得是直角三角形，，由題意可設(shè)出，代入雙曲線方程可得關(guān)于的齊次式，進而可得結(jié)果.【詳解】設(shè)坐標(biāo)原點為，雙曲線的另一個焦點為，連接，，由對稱性知，，所以四邊形是平行四邊形，又，所以四邊形是矩形，故是直角三角形，.不妨設(shè)點【答案】A【解析】【分析】通過對稱性以及數(shù)量積與垂直的關(guān)系可得是直角三角形，，由題意可設(shè)出，代入雙曲線方程可得關(guān)于的齊次式，進而可得結(jié)果.【詳解】設(shè)坐標(biāo)原點為，雙曲線的另一個焦點為，連接，，由對稱性知，，所以四邊形是平行四邊形，又，所以四邊形是矩形，故是直角三角形，.不妨設(shè)點在第一象限，直線的傾斜角為，則，，，則點，即.又點在雙曲線上，所以，即，即，又，所以，，故選：A.【點睛】本題是求解雙曲線離心率的問題，解決本題的關(guān)鍵是由已知條件建立關(guān)于，的等式，解題時，應(yīng)善于從題目給出的條件中挖掘幾何元素間的關(guān)系，然后將這種關(guān)系用含，的等式表示，即可求得離心率.（2024年魯J02荷澤一模）13.已知斜率為的直線過雙曲線的右焦點且交雙曲線右支于A、B兩點，在第一象限，若，則的離心率為【答案】【解析】【分析】根據(jù)已知條件及直線的斜率公式，利用銳角三角函數(shù)及點在雙曲線上，結(jié)合齊次式及雙曲線的離心率的公式即可求解.【詳解】過作軸，垂足為.如圖所示的斜率為【答案】【解析】【分析】根據(jù)已知條件及直線的斜率公式，利用銳角三角函數(shù)及點在雙曲線上，結(jié)合齊次式及雙曲線的離心率的公式即可求解.【詳解】過作軸，垂足為.如圖所示的斜率為，則,,在雙曲線上，即，于是有，進而得出，解得或（舍），，即（負舍），故的離心率為.故答案為：.（2024年魯J03臨沂一模）13.已知是雙曲線的左?右焦點，點在上.，則的離心率為_【答案】【解析】【分析】利用已知條件的幾何關(guān)系把點的坐標(biāo)表示為，將該點代入雙曲線方程，構(gòu)造齊次式求離心率.【詳解】過點作軸的垂線垂足為，由已知得，【答案】【解析】【分析】利用已知條件的幾何關(guān)系把點的坐標(biāo)表示為，將該點代入雙曲線方程，構(gòu)造齊次式求離心率.【詳解】過點作軸的垂線垂足為，由已知得，，則，，解得，∴點的坐標(biāo)為，將點的坐標(biāo)代入雙曲線方程得，整理得，將代入得，即，解得或∵，∴舍去，∴，故答案為：.（2024年J01全國一卷）12.設(shè)雙曲線的左右焦點分別為，過作平行于軸的直線交C于A，B兩點，若，則C的離心率為__【答案】【解析】【分析】由題意畫出雙曲線大致圖象，求出，結(jié)合雙曲線第一定義求出，即可得到的值，從而求出離心率.【詳解】由題可知三點橫坐標(biāo)相等，設(shè)在第一象限，將代入【答案】【解析】【分析】由題意畫出雙曲線大致圖象，求出，結(jié)合雙曲線第一定義求出，即可得到的值，從而求出離心率.【詳解】由題可知三點橫坐標(biāo)相等，設(shè)在第一象限，將代入得，即，故，，又，得，解得，代入得，故，即，所以.故答案為：（2024年冀J19張家口一模）4.已知雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，其焦點到漸近線的距離為2，則的方程為（【答案】B【解析】【分析】由題意可得及漸近線方程，再根據(jù)焦點到漸近線的距離及求出即可得解.【詳解】由題意可得，所以，雙曲線漸近線方程為，即，焦點到漸近線的距離，所以，又，所以【答案】B【解析】【分析】由題意可得及漸近線方程，再根據(jù)焦點到漸近線的距離及求出即可得解.【詳解】由題意可得，所以，雙曲線漸近線方程為，即，焦點到漸近線的距離，所以，又，所以，所以的方程為.故選：B.（2024年粵J52燕博園）4.已知為雙曲線的中心，為雙曲線的一個焦點，且上存在點，使得，則雙曲線的離心率為（4.答案：C【命題意圖】：本小題考查雙曲線的定義及性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想，邏輯推理能力與運算求解的綜合能力，體現(xiàn)解析幾何的基本思想與基本方法.【解析】：，）

A.B.C.5D.7

（中下）4.答案：C【命題意圖】：本小題考查雙曲線的定義及性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想，邏輯推理能力與運算求解的綜合能力，體現(xiàn)解析幾何的基本思想與基本方法.【解析】：，（2024年粵J42江門一模）5.設(shè)，為雙曲線的左、右焦點，點為雙曲線的左頂點，以為直徑的圓交雙曲線的漸近線于、兩點，且點、分別在第一、三象限，若，則雙曲線的離心率為（【答案】C【解析】【分析】先求出點，的坐標(biāo)，再利用余弦定理求出之間的關(guān)系，即可得出雙曲線的離心率．【詳解】由題意得圓的方程為，不妨設(shè)雙曲線的漸近線為．設(shè)點的坐標(biāo)為，則點的坐標(biāo)為，由，又，解得或，∴，．又，∴，，在中，【答案】C【解析】【分析】先求出點，的坐標(biāo)，再利用余弦定理求出之間的關(guān)系，即可得出雙曲線的離心率．【詳解】由題意得圓的方程為，不妨設(shè)雙曲線的漸近線為．設(shè)點的坐標(biāo)為，則點的坐標(biāo)為，由，又，解得或，∴，．又，∴，，在中，，由余弦定理得即，化簡得，∴．故選：C．（2024年粵J26深圳華僑城一模）7.已知，是橢圓的兩個焦點，雙曲線的一條漸近線與交于，兩點.若，則的離心率為（【答案】D【解析】【分析】根據(jù)雙曲線漸近線方程可得，可得，再結(jié)合橢圓定義及離心率公式可得解.【詳解】如圖所示，由已知，則一條漸近線，即，又，即，且四邊形為矩形，所以，則，又根據(jù)橢圓定義可知，所以離心率，故選：D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)雙曲線漸近線方程可得，可得，再結(jié)合橢圓定義及離心率公式可得解.【詳解】如圖所示，由已知，則一條漸近線，即，又，即，且四邊形為矩形，所以，則，又根據(jù)橢圓定義可知，所以離心率，故選：D.（2024年鄂J12三校二模）12.關(guān)于雙曲線C：，四位同學(xué)給出了四個說法：

小明：雙曲線C的實軸長為8；小紅：雙曲線C的焦點到漸近線的距離為3；

小強：雙曲線C的離心率為；小同：雙曲線C上的點到焦點距離的最小值為1；

若這4位同學(xué)中只有1位同學(xué)的說法錯誤，則說法錯誤的是【答案】①.小強②.．【解析】【分析】根據(jù)題意，小明、小紅、小強三個人中必有1位同學(xué)說法錯誤，則小同的說法一定是正確的，小明和小紅正確，小強的說法錯誤，得解.【詳解】由此確定由題意，小明正確則有，小紅正確有，小強正確有，小同正確則有，由此分析小明、小紅、小強三個人中必有1位同學(xué)說法錯誤，則小同的說法一定是正確的，即，則小明和小紅正確，即雙曲線C：，故小強的說法錯誤．故答案為：小強；.______；雙曲線C的方程為【答案】①.小強②.．【解析】【分析】根據(jù)題意，小明、小紅、小強三個人中必有1位同學(xué)說法錯誤，則小同的說法一定是正確的，小明和小紅正確，小強的說法錯誤，得解.【詳解】由此確定由題意，小明正確則有，小紅正確有，小強正確有，小同正確則有，由此分析小明、小紅、小強三個人中必有1位同學(xué)說法錯誤，則小同的說法一定是正確的，即，則小明和小紅正確，即雙曲線C：，故小強的說法錯誤．故答案為：小強；.（2024年浙J01湖州一中模擬）3.已知點是雙曲線的左焦點，點是雙曲線上在第一象限內(nèi)的一點，點是雙曲線漸近線上的動點，則的最小值為（【答案】B【解析】【分析】設(shè)右焦點為，根據(jù)雙曲線的定義可得，再根據(jù)三角形性質(zhì)結(jié)合點到線的距離求解即可.【詳解】設(shè)右焦點為，又由對稱性，不妨設(shè)在漸近線上.根據(jù)雙曲線的定義可得，當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時取等號.又當(dāng)與漸近線垂直時取最小值，為，故最小值為5.故選：B【答案】B【解析】【分析】設(shè)右焦點為，根據(jù)雙曲線的定義可得，再根據(jù)三角形性質(zhì)結(jié)合點到線的距離求解即可.【詳解】設(shè)右焦點為，又由對稱性，不妨設(shè)在漸近線上.根據(jù)雙曲線的定義可得，當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時取等號.又當(dāng)與漸近線垂直時取最小值，為，故最小值為5.故選：B（2024年湘J26衡陽八中，末）14.已知平面直角坐標(biāo)系中，直線：，：，點為平面內(nèi)一動點，過作交于，作交于，得到的平行四邊形面積為1，記點的軌跡為曲線．若與圓有四個交點，則實數(shù)的取值范圍是【答案】【解析】【分析】設(shè)點，則點到的距離為，再聯(lián)立直線與的方程，求出點的坐標(biāo)，進而表達出平行四邊形面積，再結(jié)合平行四邊形面積為求出點的軌跡方程，再利用雙曲線的性質(zhì)求解．【詳解】設(shè)點，則點到的距離為，直線方程為，聯(lián)立，解得【答案】【解析】【分析】設(shè)點，則點到的距離為，再聯(lián)立直線與的方程，求出點的坐標(biāo)，進而表達出平行四邊形面積，再結(jié)合平行四邊形面積為求出點的軌跡方程，再利用雙曲線的性質(zhì)求解．【詳解】設(shè)點，則點到的距離為，直線方程為，聯(lián)立，解得，所以，所以，所以，所以點的軌跡為兩個雙曲線、，因為雙曲線的實半軸長為，雙曲線的實半軸長為，若與圓有四個交點，則，即，所以實數(shù)的取值范圍是．故答案為：．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解答的關(guān)鍵是求出動點的軌跡方程，最后結(jié)合雙曲線的性質(zhì)求出的取值范圍.（2024年魯J01濱州一模，J06濰坊一模，末）14.已知平面直角坐標(biāo)系中，直線：，：，點為平面內(nèi)一動點，過作交于，作交于，得到的平行四邊形面積為1，記點的軌跡為曲線．若與圓有四個交點，則實數(shù)的取值范圍是【答案】【解析】【分析】設(shè)點，則點到的距離為，再聯(lián)立直線與的方程，求出點的坐標(biāo)，進而表達出平行四邊形面積，再結(jié)合平行四邊形面積為求出點的軌跡方程，再利用雙曲線的性質(zhì)求解．【詳解】設(shè)點，則點到的距離為，直線方程為，聯(lián)立，解得【答案】【解析】【分析】設(shè)點，則點到的距離為，再聯(lián)立直線與的方程，求出點的坐標(biāo)，進而表達出平行四邊形面積，再結(jié)合平行四邊形面積為求出點的軌跡方程，再利用雙曲線的性質(zhì)求解．【詳解】設(shè)點，則點到的距離為，直線方程為，聯(lián)立，解得，所以，所以，所以，所以點的軌跡為兩個雙曲線、，因為雙曲線實半軸長為，雙曲線的實半軸長為，若與圓有四個交點，則，即，所以實數(shù)的取值范圍是．故答案為：．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解答的關(guān)鍵是求出動點的軌跡方程，最后結(jié)合雙曲線的性質(zhì)求出的取值范圍.（2024年湘J01長郡一模）13.已知為坐標(biāo)原點，，，，向量，動點滿足，寫出一個，使得有且只有一個點同時滿足，則_【答案】【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的定義，點在以，為焦點的雙曲線上，有且只有一個點，即是指直線與雙曲線只有一個公共點即可.【詳解】由，且，知點在以，為焦點的雙曲線上，.設(shè)【答案】【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的定義，點在以，為焦點的雙曲線上，有且只有一個點，即是指直線與雙曲線只有一個公共點即可.【詳解】由，且，知點在以，為焦點的雙曲線上，.設(shè)，因，則，由于，.若直線與雙曲線的一條漸近線平行，此時直線與雙曲線只有一個交點.所以，解得.故答案為：.雙曲線（中檔）：（2024年粵J102韶關(guān)二測）7.已知雙曲線的左焦點為，過點的直線與軸交于點，與雙曲線交于點A（A在軸右側(cè)）．若是線段的中點，則雙曲線的漸近線方程為（【答案】C【解析】【分析】利用題給條件得到的關(guān)系，進而得到雙曲線的漸近線方程.【詳解】設(shè)雙曲線右焦點為，連接.又中，，則,由直線可得，則，又由雙曲線可得，則，則有，即又，則有，整理得，解之得【答案】C【解析】【分析】利用題給條件得到的關(guān)系，進而得到雙曲線的漸近線方程.【詳解】設(shè)雙曲線右焦點為，連接.又中，，則,由直線可得，則，又由雙曲線可得，則，則有，即又，則有，整理得，解之得則雙曲線的漸近線方程為.故選：C（2024年湘J34長郡二適）14.已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，右頂點為，過的直線交雙曲線的右支于，兩點（其中點在第一象限內(nèi)），設(shè)，分別為，的內(nèi)心，則當(dāng)時，__【答案】①.##②.##【解析】【分析】利用雙曲線定義和勾股定理即可求得，利用雙曲線定義以及內(nèi)切圓切線長相等，可知內(nèi)切圓的半徑即可求得結(jié)果.【詳解】由雙曲線方程知，如下圖所示：由，則，故，而，所以，故，解得，所以【答案】①.##②.##【解析】【分析】利用雙曲線定義和勾股定理即可求得，利用雙曲線定義以及內(nèi)切圓切線長相等，可知內(nèi)切圓的半徑即可求得結(jié)果.【詳解】由雙曲線方程知，如下圖所示：由，則，故，而，所以，故，解得，所以，若為內(nèi)切圓圓心且可知，以直角邊切點和為頂點的四邊形為正方形，結(jié)合雙曲線定義內(nèi)切圓半徑所以；即內(nèi)切圓的半徑為；故答案為：，；【點睛】方法點睛：在求解雙曲線中焦點三角形內(nèi)切圓半徑時，經(jīng)常利用雙曲線定義以及切線長相等，代入數(shù)值計算即可求得結(jié)果.（2024年浙J06金麗衢一聯(lián)，末）8.已知分別是雙曲線的左，右頂點，是雙曲線上的一動點，直線，與交于兩點，的外接圓面積分別為，則的最小值為（【答案】A【解析】【分析】容易知道，設(shè)直線的方程為：，則直線的方程為：，求出，兩點坐標(biāo)，則，設(shè)的外接圓的半徑分別為，，由正弦定理得，，可知，再利用基本不等式即可求值.【詳解】由已知得，，，由雙曲線的對稱性，不妨設(shè)在第一象限，所以，，所以，設(shè)直線【答案】A【解析】【分析】容易知道，設(shè)直線的方程為：，則直線的方程為：，求出，兩點坐標(biāo)，則，設(shè)的外接圓的半徑分別為，，由正弦定理得，，可知，再利用基本不等式即可求值.【詳解】由已知得，，，由雙曲線的對稱性，不妨設(shè)在第一象限，所以，，所以，設(shè)直線的方程為：，則直線的方程為：，同時令，則，，所以，設(shè)的外接圓的半徑分別為，，由正弦定理得，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以.故選：A【點睛】結(jié)論點睛：若、分別為雙曲線的左、右頂點，為雙曲線上一動點，則直線與直線的斜率之積為定值.（2024年浙J04溫州一適，末）16.斜率為1的直線與雙曲線（）交于兩點，點是曲線上的一點，滿足，和的重心分別為，的外心為，記直線，，的斜率為，，，若，則雙曲線的離心率為【答案】【解析】【分析】根據(jù)直線與雙曲線的性質(zhì)，得出二級結(jié)論斜率之積為定值，取的中點，得到，再由，，結(jié)合所以，求得，利用，即可求解.【詳解】若直線與雙曲線有兩個交點，設(shè)的中點為，聯(lián)立方程組，整理得，可得，則【答案】【解析】【分析】根據(jù)直線與雙曲線的性質(zhì)，得出二級結(jié)論斜率之積為定值，取的中點，得到，再由，，結(jié)合所以，求得，利用，即可求解.【詳解】若直線與雙曲線有兩個交點，設(shè)的中點為，聯(lián)立方程組，整理得，可得，則，又由在直線上，可得，所以，所以，即直線與雙曲線相交線的中點與原點的連線的斜率與直線的斜率之積為定值，如圖所示，取的中點，因為的重心在中線上，的重心在中線上，所以，，可得，即，又由，可得，可得因為，且的外心為點，則為線段的中點，可得，因為，所以，所以，所以，所以.故答案為：.【點睛】知識方法：求解圓錐曲線的離心率的常見方法：1、定義法：通過已知條件列出方程組，求得得值，根據(jù)離心率的定義求解離心率；2、齊次式法：由已知條件得出關(guān)于的二元齊次方程或不等式，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程或不等式，結(jié)合離心率的定義求解；3、特殊值法：根據(jù)特殊點與圓錐曲線的位置關(guān)系，利用取特殊值或特殊位置，求出離心率問題.（2024年粵J02佛山一中一模）已知雙曲線E：的左、右焦點分別為，，過點的直線l與雙曲線E的左、右兩支分別交于點A，B，弦AB的中點為M且.若過原點O與點M的直線的斜率不小于，則雙曲線E的離心率的取值范圍為（【答案】B【解析】【分析】方法一：連接，，結(jié)合雙曲線的定義，再由條件列出不等式，代入計算，即可得到結(jié)果；方法二：連接，，可得，聯(lián)立直線與雙曲線方程，結(jié)合韋達定理代入計算，表示出，列出不等式，即可得到結(jié)果.【詳解】方法一：如圖，設(shè)雙曲線E的半焦距為c，連接，，因為，所以.設(shè)，由雙曲線的定義，得【答案】B【解析】【分析】方法一：連接，，結(jié)合雙曲線的定義，再由條件列出不等式，代入計算，即可得到結(jié)果；方法二：連接，，可得，聯(lián)立直線與雙曲線方程，結(jié)合韋達定理代入計算，表示出，列出不等式，即可得到結(jié)果.【詳解】方法一：如圖，設(shè)雙曲線E的半焦距為c，連接，，因為，所以.設(shè)，由雙曲線的定義，得，，所以，，，所以，即.設(shè)，則，所以，解得.又，所以，解得，所以，即，所以.故選：B.方法二：如圖，設(shè)雙曲線E的半焦距為c，連接，，因為，所以.設(shè)，由雙曲線的定義，得，，所以.設(shè)直線l的方程為，，.由，消去x并整理，得.，因為直線l與雙曲線E的兩支相交，所以，即.由，得.結(jié)合，化簡得①.由，兩式相減，得，即②，②代入①化簡，得，所以，即，所以.故選：B.（2024年鄂J05七市調(diào)研）13.已知雙曲線的左右頂點分別為，點是雙曲線上在第一象限內(nèi)的點，直線的傾斜角分別為，則__________；當(dāng)取最小值時，的面積為____【答案】①.②.【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)，斜率公式，以及基本不等式，即可分別求解.【詳解】設(shè)，則，可得，又因為分別為雙曲線的左右頂點，可得，【答案】①.②.【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)，斜率公式，以及基本不等式，即可分別求解.【詳解】設(shè)，則，可得，又因為分別為雙曲線的左右頂點，可得，所以；又由，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，解得，所以，所以，所以的面積為.故答案為：；.（2024年粵J18執(zhí)信二調(diào)）15.過雙曲線的右支上一點，分別向⊙和⊙作切線，切點分別為，則的最小值為【答案】17【解析】【分析】根據(jù)雙曲線和圓的方程可確定雙曲線焦點與圓的圓心重合，利用勾股定理表示出切線長，將問題轉(zhuǎn)化為的最小值問題，利用雙曲線定義和三角形三邊關(guān)系可求得最小值.【詳解】由，得，所以雙曲線的焦點坐標(biāo)為，由圓的方程知：圓圓心的坐標(biāo)為，半徑，【答案】17【解析】【分析】根據(jù)雙曲線和圓的方程可確定雙曲線焦點與圓的圓心重合，利用勾股定理表示出切線長，將問題轉(zhuǎn)化為的最小值問題，利用雙曲線定義和三角形三邊關(guān)系可求得最小值.【詳解】由，得，所以雙曲線的焦點坐標(biāo)為，由圓的方程知：圓圓心的坐標(biāo)為，半徑，圓圓心的坐標(biāo)為，半徑，分別為兩圓切線，，，為雙曲線右支上的點，且雙曲線焦點為，又（當(dāng)為雙曲線右頂點時取等號），，即的最小值為.故答案為：17.（2024年粵J21中附一調(diào)）15.已知雙曲線的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，若C與直線有交點，且雙曲線上存在不是頂點的P，使得，則雙曲線離心率取值范圍范圍為【答案】【解析】【分析】由直線與雙曲線有交點，得在一三象限的漸近線的斜率大于1，得出的一個范圍．雙曲線上存在不是頂點的P，使得【答案】【解析】【分析】由直線與雙曲線有交點，得在一三象限的漸近線的斜率大于1，得出的一個范圍．雙曲線上存在不是頂點的P，使得，與軸交于點，由平面幾何的知識及雙曲線定義得，在直角三角形中由邊的關(guān)系得不等式，得出的范圍，同時由的范圍又是一個不等關(guān)系，從而得出離心率范圍．【詳解】雙曲線C與直線有交點，則，，解得，雙曲線上存在不是頂點的P，使得，則點在右支上，設(shè)與軸交于點，由對稱性，所以，所以，，所以，由得，所以，又中，，，所以，即，綜上，．故答案為：．（2024年粵J19執(zhí)信沖刺）15.已知過原點的直線與雙曲線交于M，N兩點，點M在第一象限且與點Q關(guān)于x軸對稱，，直線NE與雙曲線的右支交于點P，若，則雙曲線的離心率為【答案】##【解析】【分析】先設(shè)出相關(guān)點的坐標(biāo)，利用求得點坐標(biāo)，推理證明（二階結(jié)論），再利用和整體代