專題7-4圓錐曲線五個方程型大題歸類（原卷版）

專題7-4圓錐曲線五個方程型大題歸類目錄TOC\o"1-1"\h\u題型01五個方程基礎(chǔ)模板 1題型02千變?nèi)f化的直線設(shè)法 2題型03無定點無斜率型雙變量 3題型04五個方程常見題型：斜率和定 4題型05雙變量基礎(chǔ)型：直線過定點 5題型06定點：斜率積型 6題型07定點：斜率比值型 7題型08“第六個方程”型轉(zhuǎn)化難題 8題型09圓過定點 9題型10定值型 10題型11面積最值型 11題型12切線型 12高考練場 13題型01五個方程基礎(chǔ)模板【解題攻略】基本模板實戰(zhàn)模板（如典型例題1得分析）獨一無二的總結(jié)，千軍萬馬中殺出來的實戰(zhàn)經(jīng)驗，簡稱五個方程法。1、設(shè)點，2、方程1：設(shè)直線：此處還有千言萬語，在后邊分類細說。3、方程2：曲線：橢圓，雙曲線，拋物線，或者其他（很少出現(xiàn)），注意一個計算技巧，方程要事先去分母4、方程3:聯(lián)立方程，整理成為關(guān)于x(或者y）的一元二次方程。要區(qū)分，橢圓，雙曲線，和拋物線聯(lián)立后方程的二次項能否為零這就是實戰(zhàn)經(jīng)驗。5、（1）；（2）二次項系數(shù)是否為0；這兩條，根據(jù)題確定是直接用，或者冷處理。但是必須考慮。6、方程4、5：韋達定理7、尋找第六個方程，第六個方程其實就是題目中最后一句話：且,以上過程，以方程個數(shù)記，即是五個方程法。也就是許多老師所說的“韋達定理”法。這其中的華麗變化，以及解析幾何的后續(xù)難題，都是從這五個方程中變化而來，而這是許多老師不一定能完全說透的地方。以上過程，簡單的一個判斷圖形，如圖：簡單總結(jié)為：一“直”一“曲”【典例1-1】（上海市春季高考數(shù)學(xué)試卷(含答案)）已知橢圓的兩個焦點分別為、,短軸的兩個端點分別為(1)若為等邊三角形,求橢圓的方程;(2)若橢圓的短軸長為,過點的直線與橢圓相交于兩點,且,求直線的方程.【典例1-2】（普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試天津數(shù)學(xué)（理）試題（含答案））設(shè)橢圓的左焦點為F,離心率為,過點F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為.(Ⅰ)求橢圓的方程;(Ⅱ)設(shè)A,B分別為橢圓的左右頂點,過點F且斜率為k的直線與橢圓交于C,D兩點.若,求k的值.【變式1-1】（2023·四川成都·校聯(lián)考一模）已知橢圓的左、右焦點分別為，，短半軸長為1，點在橢圓上運動，且的面積最大值為.(1)求橢圓的方程；(2)當點為橢圓的上頂點時，設(shè)過點的直線交橢圓于，兩點，直線，的斜率分別為，，求證：為定值.【變式1-2】（2023·全國·模擬預(yù)測）已知動點M與定點，滿足．(1)求動點M的軌跡C的方程．(2)已知直線與曲線C交于P，Q兩點，點T為x軸上一點，直線PT，QT的斜率分別為，試問：是否存在使為定值的點T？若存在，求出點T的坐標，并求出定值；若不存在，請說明理由．題型02千變?nèi)f化的直線設(shè)法【解題攻略】如果所過定點在x軸上，為（m，0），也可以設(shè)為，此時包含了斜率不存在的情況，但是反而不包含x軸這條直線?！镜淅?-1】已知橢圓過點，且離心率為．(1)求橢圓C的方程；(2)已知直線與橢圓交于不同的兩點P，Q，那么在x軸上是否存在點M，使且，若存在，求出該直線的方程；若不存在，請說明理由．貴州省2023屆高三上學(xué)期333高考備考診斷性聯(lián)考（一）數(shù)學(xué)（理）試題【典例1-2】已知拋物線的頂點在原點，焦點坐標為.(1)求拋物線的方程；(2)若直線與拋物線交于兩點，求面積的最小值.陜西省渭南市華陰市2022屆高三上學(xué)期摸底考試文科數(shù)學(xué)試題【變式1-1】已知橢圓的左焦點為F，右頂點為A，離心率為，B為橢圓C上一動點，面積的最大值為．(1)求橢圓C的方程；(2)經(jīng)過F且不垂直于坐標軸的直線l與C交于M，N兩點，x軸上點P滿足，若，求的值．【變式1-2】已知橢圓的左，右焦點分別為，上頂點為，且為等邊三角形.經(jīng)過焦點的直線與橢圓相交于兩點，的周長為.(1)求橢圓的方程；(2)試探究：在軸上是否存在定點，使得為定值？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由..題型03無定點無斜率型雙變量【解題攻略】當題中的直線既無斜率，又不過定點線，就要設(shè)成“雙變量”型：，依舊得討論k是否存在情況當直線既不過定點，也不知斜率時，設(shè)直線，就需要引入兩個變量了。（1）（2），此時直線不包含水平，也要適當?shù)难a充討論。（3）設(shè)“雙變量”時，第一種設(shè)法較多。因為一般情況下，沒有了定點在x軸上，那么第二種設(shè)法實際上也沒有特別大的計算優(yōu)勢。如第1題。（4）重要！雙變量設(shè)法，在授課時，一定要講清楚以下這個規(guī)律：一般情況下，試題中一定存在某個條件，能推導(dǎo)出倆變量之間的函數(shù)關(guān)系。這也是證明直線過定點的理論根據(jù)之一?！镜淅?-1】橢圓的離心率是，且過點.(1)求的方程；(2)過點的直線與的另一個交點分別是，與軸分別交于，且于點，是否存在定點使得是定值？若存在，求出點的坐標與的值；若不存在，請說明理由.【典例1-2】已知直線與拋物線交于，兩點，且與軸交于點，過點，分別作直線的垂線，垂足依次為，，動點在上.(1)當，且為線段的中點時，證明：；(2)記直線，，的斜率分別為，，，是否存在實數(shù)，使得？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.【變式1-1】已知雙曲線的頂點為，，過右焦點作其中一條漸近線的平行線，與另一條漸近線交于點，且.點為軸正半軸上異于點的任意點，過點的直線交雙曲線于C，D兩點，直線與直線交于點.(1)求雙曲線的標準方程；(2)求證：為定值.【變式1-2】已知橢圓：的離心率為，且過點．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)不過點的直線與橢圓交于，兩點，關(guān)于原點的對稱點為，記直線，，的斜率分別為，，，若，證明直線的斜率為定值．題型04五個方程常見題型：斜率和定【解題攻略】給定橢圓，與橢圓上定點P，過P點走兩條射線PA、PB，與橢圓交與A和B兩點，記直線PA、PB的斜率分別為K1,K2,則有【典例1-1】橢圓：()的左焦點為，且橢圓經(jīng)過點，直線()與交于，兩點（異于點）.（1）求橢圓的方程；（2）證明：直線與直線的斜率之和為定值，并求出這個定值.【典例1-2】設(shè)為拋物線上兩點，且線段的中點在直線上.（1）求直線的斜率；（2）設(shè)直線與拋物線交于點，記直線，的斜率分別為，，當直線經(jīng)過拋物線的焦點時，求的值.【變式1-1】已知右焦點為的橢圓經(jīng)過點.（1）求橢圓的方程；（2）經(jīng)過的直線與橢圓分別交于、（不與點重合），直線、分別與軸交于、，是否存在直線，使得？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.【變式1-2】已知點F是橢圓的右焦點，P是橢圓E的上頂點，O為坐標原點且.（1）求橢圓的離心率e；（2）已知，，過點M作任意直線l與橢圓E交于A，B兩點.設(shè)直線，的斜率分別為，，若，求橢圓E的方程..題型05雙變量基礎(chǔ)型：直線過定點【解題攻略】直線過定點：1、直線多為y=kx+m型2.目標多為求：m=f（k）3.一些題型，也可以直接求出對應(yīng)的m的值【典例1-1】已知橢圓過點，長軸長為.(1)求橢圓的方程；(2)直線與橢圓交于點，直線分別交直線于點，為坐標原點.若，求證：直線經(jīng)過定點.【典例1-2】已知雙曲線經(jīng)過點（，1）(1)求雙曲線C的離心率；(2)若直線與雙曲線C相交于A，B兩點（A，B均異于左、右頂點），且以AB為直徑的圓過雙曲線C的左頂點D，求證：直線l過定點，并求出該定點的坐標．【變式1-1】已知點F是拋物線的焦點，動點P在拋物線上.(1)寫出拋物線的焦點坐標和準線方程；(2)設(shè)點，求的最小值：(3)設(shè)直線l與拋物線交于D，E兩點，若拋物線上存在點P，使得四邊形DPEF為平行四邊形，證明：直線l過定點，并求出這個定點的坐標.【變式1-2】已知為坐標原點，點在雙曲線上，直線交于，兩點.(1)若直線過的右焦點，且斜率為，求的面積；(2)若直線，與軸分別相交于，兩點，且，證明：直線過定點.題型06定點：斜率積型【解題攻略】給定橢圓，與橢圓上定點P，過P點走兩條射線PA、PB，與橢圓交與A和B兩點，記直線PA、PB的斜率分別為K1,K2,則有【典例1-1】已知圓經(jīng)過點，且與軸相切，切點為坐標原點.(1)求圓的標準方程；(2)直線：與圓交于，兩點，直線：與圓交于，兩點，且.（i）若，求四邊形的面積；（ii）求證：直線恒過定點.【典例1-2】已知橢圓的左右頂點為、，直線.已知為坐標原點，圓過點、交直線于、兩點，直線、分別交橢圓于、.(1)記直線，的斜率分別為、，求的值；(2)證明直線過定點，并求該定點坐標.【變式1-1】已知拋物線的焦點，為坐標原點，、是拋物線上異于的兩點．(1)求拋物線的方程；(2)若直線、的斜率之積為，求證：直線過軸上一定點．【變式1-2】已知橢圓C上任意一點P（x，y）到點F（－1，0）的距離與到直線x=－4的距離的比等于．(1)求橢圓C的標準方程；(2)若直線l與橢圓C相交于M，N兩點，A（2，0），記直線AM，AN的斜率分別為kAM，kAN，且滿足kAM·kAN=－1．證明：直線l過定點．題型07定點：斜率比值型【典例1-1】橢圓的左右焦點分別為，焦距為，點M為橢圓上位于x軸上方的一點，，且的面積為2.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)橢圓的左?右頂點分別為，直線交橢圓于兩點，記直線的斜率為，直線的斜率為，已知.求證：直線恒過定點.【典例1-2】已知橢圓的離心率為，橢圓上一動點與左?右焦點構(gòu)成的三角形面積最大值為.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)橢圓的左?右頂點分別為，直線交橢圓于兩點，記直線的斜率為，直線的斜率為，已知.①求證：直線恒過定點；②設(shè)和的面積分別為，求的最大值.【變式1-1】已知雙曲線的左焦點坐標為，直線與雙曲線交于兩點，線段中點為.(1)求雙曲線的方程；(2)經(jīng)過點與軸不重合的直線與雙曲線交于兩個不同點，點，直線與雙曲線分別交于另一點.①若直線與直線的斜率都存在，并分別設(shè)為.是否存在實常數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.②證明：直線恒過定點.【變式1-2】在一張紙上有一個圓：，定點，折疊紙片使圓上某一點好與點重合，這樣每次折疊都會留下一條直線折痕，設(shè)折痕與直線的交點為．(1)求證：為定值，并求出點的軌跡方程；(2)設(shè)，為曲線上一點，為圓上一點（，均不在軸上）．直線，的斜率分別記為，，且，求證：直線過定點，并求出此定點的坐標．題型08“第六個方程”型轉(zhuǎn)化難題【解題攻略】在一直一曲五個方程（韋達定理代入型）題型中，主要的難點在于怎么轉(zhuǎn)化出“第六個方程”。具有明顯的可轉(zhuǎn)化為韋達定理特征的。屬于較容易的題。隱藏較深的條件，需要用一些技巧，把條件轉(zhuǎn)化為點坐標之間的關(guān)系，再轉(zhuǎn)化為韋達定理。沒有固定的轉(zhuǎn)化技巧，可以在訓(xùn)練中積累相關(guān)化歸思想?！镜淅?-1】設(shè)橢圓(a>b>0)的左焦點為F，上頂點為B.已知橢圓的離心率為，點A的坐標為，且.（I）求橢圓的方程；（II）設(shè)直線l：與橢圓在第一象限的交點為P，且l與直線AB交于點Q.若(O為原點)，求k的值.【典例1-2】已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，離心率為，且橢圓上的點到兩個焦點的距離之和為.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)為橢圓的左頂點，過點的直線與橢圓交于點，與軸交于點，過原點且與平行的直線與橢圓交于點.求的值.【變式1-1】如圖，已知橢圓：過點，離心率.（1）求橢圓的方程；（2）如圖，直線平行于（為原點），且與橢圓交于兩點、，與直線交于點（介于、兩點之間）.（i）當面積最大時，求的方程；（ii）求證：.【變式1-2】已知點在橢圓上，設(shè)，，分別為橢圓的左頂點?上頂點?下頂點，且點到直線的距離為.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)為坐標原點，，為橢圓上的兩點，且，求證：的面積為定值，并求出這個定值.題型09圓過定點【解題攻略】圓過定點，有常見幾方面的思維利用以“某線段為直徑”，轉(zhuǎn)化為向量垂直計算利用對稱性，可以猜想出定點，并證明。通過推導(dǎo)求出定點（難度較大）【典例1-1】已知橢圓和直線l：，橢圓的離心率，坐標原點到直線的距離為.(1)求橢圓的方程；(2)已知定點，若直線與橢圓相交于C，D兩點，試判斷是否存在實數(shù)k，使以CD為直徑的圓過定點E？若存在，求出k的值，若不存在，說明理由.【典例1-2】已知點F為雙曲線的右焦點，過F的任一直線l與交于A，B兩點，直線．(1)若為曲線上任一點，且M到直線的距離為d，求的值；(2)若為曲線上一點，直線MA，MB分別與直線交于D，E兩點，問以線段DE為直徑的圓是否過定點？若是，求出定點坐標；若不是，請說明理由．【變式1-1】．已知是焦距為的雙曲線上一點，過的一條直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于，且，過作垂直的兩條直線和，與軸分別交于兩點，其中與軸交點的橫坐標是.(1)證明:;(2)求的最大值，并求此時雙曲線的方程;(3)判斷以為直徑的圓是否過定點，如果是，求出所有定點;如果不是，說明理由.【變式1-2】已知拋物線的焦點為，準線為．(1)若為雙曲線的一個焦點，求雙曲線的漸近線方程；(2)設(shè)與軸的交點為，點在第一象限，且在上，若，求直線的方程；(3)經(jīng)過點且斜率為的直線與相交于、兩點，為坐標原點，直線?分別與相交于點．試探究：以線段為直徑的圓是否過定點，若是，求出定點的坐標；若不是，說明理由．題型10定值型【解題攻略】求定值問題常見的思路和方法技巧：從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)；直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值．求定值題型，運算量大，運算要求高，屬于中等以上難度的題【典例1-1】已知橢圓：（，），離心率為，且點在橢圓上．（1）求橢圓的方程；（2）若橢圓上的任意一點（除短軸的端點外）與短軸的兩個端點，的連線分別與軸交于，兩點，求證為定值．【典例1-2】雙曲線的一條漸近線方程為，且經(jīng)過點．(1)求的方程；(2)為坐標原點，過雙曲線上一動點（在第一象限）分別做的兩條漸近線的平行線為，且，與軸分別交于P，Q，求證：為定值．【變式1-1】．已知O為坐標原點，M是橢圓上的一個動點，點N滿足，設(shè)點N的軌跡為曲線．(1)求曲線的方程．(2)若點A，B，C，D在橢圓上，且與交于點P，點P在上．證明：的面積為定值．【變式1-2】已知一動點C與定點的距離與C到定直線l：的距離之比為常數(shù).(1)求動點C的軌跡方程；(2)過點F作一條不垂直于y軸的直線，與動點C的軌跡交于M，N兩點，在直線l上有一點，記直線PM，PF，PN的斜率分別為，，，證明：為定值.題型11面積最值型【解題攻略】求最值求范圍，屬于前邊知識額綜合應(yīng)用，主要是以下兩點要注意注意變量的范圍。式子轉(zhuǎn)化為求值域或者求最值的專題復(fù)習(xí)一些常見的思維：1.可以借助均值不等式求最值。2.分式型，多可以通過構(gòu)造來求最值，如下幾種常見的。分式型：以下幾種求最值的基本方法（1）（2）與型，可以設(shè)mx+n=t，換元，簡化一次項，然后構(gòu)造均值或者對勾函數(shù)求解。（3）型，判別式法，或者分離常數(shù)，然后轉(zhuǎn)化分子為一次，再換元求解【典例1-1】已知圓：過點，其長軸長為4．(1)求橢圓的方程；(2)已知為坐標原點，，為橢圓上不重合兩點，且，的中點落在直線上，求面積的最大值．【典例1-2】已知拋物線，圓與拋物線有且只有兩個公共點.(1)求拋物線的方程；(2)設(shè)為坐標原點，過圓心的直線與圓交于點，直線分別交拋物線于點（點不與點重合）.記的面積為，的面積為，求的最大值.【變式1-1】已知橢圓C：的離心率為，點在橢圓C上．(1)求橢圓C的標準方程；(2)過點的直線l交橢圓C于P，Q兩點，O為坐標原點，求△OPQ面積的最大值．【變式1-2】已知橢圓的上頂點為，右焦點為，點滿足．(1)判斷點是否在橢圓上，并給出理由；(2)已知與線段相交的直線交橢圓于，（不同于點，）兩點，求四邊形面積的最大值．題型12切線型【典例1-1】如圖，兩個橢圓的方程分別為和，(1)已知橢圓的離心率，且，求該橢圓的方程；(2)從大橢圓的右頂點和上頂點分別向小橢圓引切線，若的斜率之積恒為，求的值.【典例1-2】已知橢圓的左、右焦點分別為，焦距為2，上一點到距離之和為6.(1)求的方程；(2)設(shè)在點處的切線交軸于點，證明：.【變式1-1】法國數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日被譽為畫法幾何之父.他在研究橢圓切線問題時發(fā)現(xiàn)了一個有趣的重要結(jié)論：一橢圓的任兩條互相垂直的切線交點的軌跡是一個圓，尊稱為蒙日圓，且蒙日圓的圓心是該橢圓的中心，半徑為該橢圓的長半軸與短半軸平方和的算術(shù)平方根.已知在橢圓中，離心率，左、右焦點分別是、，上頂點為Q，且，O為坐標原點.(1)求橢圓C的方程，并請直接寫出橢圓C的蒙日圓的方程；(2)設(shè)P是橢圓C外一動點（不在坐標軸上），過P作橢圓C的兩條切線，過P作x軸的垂線，垂足H，若兩切線斜率都存在且斜率之積為，求面積的最大值.【變式1-2】．已知點為雙曲線的左右焦點，過作垂直于軸的直線，在軸上方交雙曲線于點，且的面積為.圓的方程是.(1)求雙曲線的方程；(2)過雙曲線上任意一點作該雙曲線兩條漸近線的垂線，垂足分別為，求的值；(3)過圓上任意一點作圓的切線交雙曲線于兩點，中點為，若恒成立，試確定圓半徑.高考練場1.（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知雙曲線C：的右焦點為，且C的一條漸近線恰好與直線垂直.(1)求C的方程；(2)直線l：與C的右支交于A，B兩點，點D在C上，且軸.求證：直線BD過點F.2.已知雙曲線的右焦點為，且點在雙曲線C上.(1)求雙曲線C的方程；(2)過點F的直線與雙曲線C的右支交于A，B兩點，在x軸上是否存在不與F重合的點P，使得點F到直線PA，PB的距離始終相等？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.3.已知橢圓的離心率為，點在短軸上，且．(1)求的方程；(2)若直線與交于兩點，求（點為坐標原點）面積的最大值．4.（2023·四川成都·校聯(lián)考一模）已知橢圓的左、右焦點分別為