專題3-3解三角形壓軸綜合小題（解析版）

專題3-3解三角形壓軸綜合小題目錄TOC\o"1-1"\h\u題型01邊角互化求角 1題型02判斷三角型形狀 3題型03三角形幾解判斷 5題型04正余弦應(yīng)用：求面積 6題型05正余弦應(yīng)用：求長度 8題型06正余弦應(yīng)用：比值型求值 11題型07最值型：角與對邊互化面積型 13題型08最值型：周長邊長范圍 15題型09最值型：比值范圍 18題型10最值型：余弦定理齊次式 20題型11最值型：正切 23題型12三角形角平分線型 25題型13三角形中線型 28題型14三角形重心型 32題型15三角形外接圓 36高考練場 39題型01邊角互化求角【解題攻略】在解三角形中，選擇用正弦定理或余弦定理，可以從兩方面思考：(1)從題目給出的條件，邊角關(guān)系來選擇；(2)從式子結(jié)構(gòu)來選擇．邊角互化的方法（1）邊化角：利用正弦定理（為外接圓半徑）得，，；（2）角化邊：

①利用正弦定理：，，②利用余弦定理：輔助角公式【典例1-1】（2022下·黑龍江哈爾濱·高三校聯(lián)考）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則A＝（

）A． B． C． D．或【答案】B【分析】利用正弦定理化角為邊，結(jié)合余弦定理可得答案.【詳解】因為，由正弦定理得，整理得，由余弦定理得，又因為，所以．故選：B．【典例1-2】（2021下·內(nèi)蒙古赤峰·高三校考階段練習(xí)）在銳角中，角，，所對應(yīng)的邊分別為，，，若，則角等于（

）A． B． C． D．或【答案】A【詳解】由正弦定理和可得.因為所以，所以，因為，所以為.故選：A【變式1-1】（2023上·河南焦作·高三石家莊市第九中學(xué)校考）在中，的對邊分別為a，b，c，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由正弦定理和正弦展開式再結(jié)合邊化角計算得出.【詳解】由題意可得，所以，由正弦定理可得，即，因為A為三角形內(nèi)角，，所以可得，即，又，所以．故選：B．【變式1-2】（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在中，，，且的面積為，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先利用正弦定理角化邊可得，再由三角形面積公式可得，最后根據(jù)余弦定理求解即可.【詳解】設(shè)中角所對的邊分別為，因為，所以由正弦定理可得，又解得，所以由余弦定理可得，因為，所以，故選：D【變式1-3】（2023上·黑龍江佳木斯·高三佳木斯一中?？茧A段練習(xí)）在中，分別為角的對邊，已知，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，利用正弦定理化簡得到，再根據(jù)兩角和的正弦公式，即可求解.【詳解】由且，可得，根據(jù)正弦定理得，即，因為，可得，所以.故選：A.題型02判斷三角型形狀【解題攻略】判斷三角形形狀時，可利用正余弦實現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化，統(tǒng)一成邊或角的形式，還要注意三角形自身的特點①sinA=sinB?A=B?△ABC為等腰三角形②sinA=cosB?或?△ABC直角三角形或鈍角三角形③sin2A=sin2B?A=B或?△ABC為等腰三角形或鈍角三角形④cos2A=cos2B?A=B?△ABC為等腰三角形⑤??△ABC為直角三角形⑥?或??△ABC為鈍角三角形或?⑦?且??△ABC為銳角三角形且?【典例1-1】在中，是三角形的三條邊，若方程有兩個相等的實數(shù)根，則是（

）A．銳角三角形； B．直角三角形； C．鈍角三角形； D．以上都有可能．【答案】B【分析】方程有兩個相等的實數(shù)根，則有，再利用正弦定理邊角互化的應(yīng)用可得，從而可得三角形的形狀.【詳解】由題可知,方程有兩個相等的實數(shù)根，，，再由正弦定理可得，是直角三角形.故選：B.【典例1-2】在中，已知，則是（

）A．直角三角形； B．銳角三角形； C．鈍角三角形； D．等邊三角形．【答案】A【分析】由兩角和的正弦公式化簡已知式后確定角大小，判斷三角形形狀．【詳解】解：由已知，所以，因為，所以，即三角形為直角三角形．故選：A【變式1-1】在中，，則三角形的形狀為（

）A．直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形C．正三角形 D．等腰三角形【答案】A【分析】利用余弦定理化簡題給條件即可得到，進而得到的形狀為直角三角形.【詳解】中，，則，整理得，則，則的形狀為直角三角形，故選：A.【變式1-2】記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，那么是（

）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．無法確定【答案】B【分析】已知等式左邊利用平方差公式即完全平方公式化簡，整理后利用勾股定理的逆定理判斷即可得到結(jié)果.【詳解】在中，，，即，則為直角三角形，故選：B.【變式1-3】在中，角的對邊分別為，若，則一定是（

）A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．等邊三角形【答案】C【分析】利用余弦定理求解.【詳解】解：因為，所以,則，所以一定是鈍角三角形，故選：C題型03三角形幾解判斷【解題攻略】判斷三角形解的個數(shù)有2種：畫圖法：以已知角的對邊為半徑畫弧，通過與鄰邊的交點個數(shù)判斷解的個數(shù)。①若無交點，則無解；②若有一個交點，則有一個解；③若有兩個交點，則有兩個解；④若交點重合，雖然有兩個交點，但只能算作一個解。公式法：運用正弦定理進行求解。①a＝bsinA，△＝0，則一個解；②a＞bsinA，△＞0，則兩個解；③a＜bsinA，△＜0，則無解?！镜淅?-1】在中，，則此三角形的解的情況是（

）A．有兩解 B．有一解 C．有無數(shù)個解 D．無解【答案】D【分析】作出示意圖，先確定邊a和角B，然后算出C到AB的距離即可解得.【詳解】如圖，則，而，∴這樣的三角形無解.故選:D.【典例1-2】在中，a，b，c分別為三個內(nèi)角A，B，C的對邊，若，則此三角形解的情況是（

）A．無解 B．有一解 C．有兩解 D．有無數(shù)解【答案】C【分析】由正弦定理求得的值，并結(jié)合大邊對大角進行判定角的解的個數(shù)，即得三角形的解的個數(shù).【詳解】由正弦定理可得，,，，由于為銳角，角可以為銳角，也可以為鈍角,即三角形的解有2個.故選：C.【變式1-1】在ABC中，a=80，b=100，A=45°，則此三角形解的情況是（）A．一解 B．兩解 C．一解或兩解 D．無解【答案】B【分析】由正弦定理得，即得解.【詳解】由正弦定理得,所以,所以可以是一個銳角，可以是一個鈍角，所以此三角形有兩解.故選：B【變式1-2】在中，已知，，，則此三角形的解的情況是（

）A．有一解 B．有兩解 C．無解 D．有解但解的個數(shù)不確定【答案】B【分析】利用余弦定理得到關(guān)于的方程解方程即可做出判斷.【詳解】∵在中，，，，∴由余弦定理得，即，解得，則此三角形有兩個解.故選：B.【變式1-3】在中，已知，，，這個三角形解的情況是A．一解 B．兩解 C．無解 D．不確定【答案】C【分析】根據(jù)正弦定理：和三角形內(nèi)角和定理，即可求得答案.【詳解】，，根據(jù)正弦定理：由，可得故違背了三角形內(nèi)角和定理，故此三角形無解.故選：C.題型04正余弦應(yīng)用：求面積【解題攻略】三角形面積：①S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(abc,4R) ②S△ABC＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)·r(r是切圓的半徑)【典例1-1】記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則的面積為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意和正弦定理可得，進而，利用誘導(dǎo)公式可得，結(jié)合三角形的面積公式計算即可求解.【詳解】，由正弦定理，得，又，所以，所以，則，所以，所以的面積為.故選：A.【典例1-2】已知的內(nèi)角所對的邊分別為，則的面積為（

）A． B． C．27 D．36【答案】C【分析】根據(jù)余弦定理求出，再根據(jù)求出，再根據(jù)面積公式求解.【詳解】由余弦定理得：即即，即所以，又因為，所以所以的面積為故選：C【變式1-1】（2022春·河南許昌·高三統(tǒng)考期末）如圖，在平面四邊形ABCD中，，∠ADC＝45°，∠ACD＝105°，∠B＝60°，AB＋BC＝4，則三角形ABC的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】在中，由正弦定理求出AC長，在中，由余弦定理求AB，BC，再利用三角形的面積公式求三角形ABC面積.【詳解】在中，，由正弦定理有：，解得AC=2，在中，設(shè)AB=x，則BC=4-x，由余弦定理有：，即，解得：x=2，所以AB=BC=2，由三角形的面積公式有：=.故B，C，D錯誤.故選：A.【變式1-2】（2023春·遼寧沈陽·高三沈陽二中?？迹┪覈纤沃麛?shù)學(xué)家秦九韶提出了由三角形三邊求三角形面積的“三斜求積”公式.設(shè)△ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，面積為S，“三斜求積”公式表示為.在△ABC中，若，，則用“三斜求積”公式求得△ABC的面積為.【答案】【分析】利用正弦定理推出，從而求出，最后利用面積公式計算即可.【詳解】，及正弦定理可得，即，舍去，因為，所以，從而的面積為.故答案為：.【變式1-3】（2019·陜西寶雞·統(tǒng)考二模）已知三角形的內(nèi)角、、所對的邊分別為、、，若，，則角最大時，三角形的面積等于．【答案】【分析】由題意得，根據(jù)余弦定理得到，然后利用換元法和二次函數(shù)的最值的求法得到，并求出此時，進而可得三角形的面積．【詳解】∵，∴．由余弦定理的推論得，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，∴當(dāng)角最大時，，∴，∴，即角最大時，三角形的面積等于．故答案為．.題型05正余弦應(yīng)用：求長度【解題攻略】.解三角形問題，多為邊和角的求值問題，這就需要根據(jù)正、余弦定理結(jié)合已知條件靈活轉(zhuǎn)化邊和角之間的關(guān)系，從而達到解決問題的目的，其基本步驟是：第一步：定條件，即確定三角形中的已知和所求，在圖形中標出來，然后確定轉(zhuǎn)化的方向；第二步：定工具，根據(jù)條件和所求合理選擇轉(zhuǎn)化的工具，實施邊角之間的轉(zhuǎn)換；第三步：求結(jié)果.【典例1-1】（2023下·江西萍鄉(xiāng)·高三統(tǒng)考）已知a，b，c分別為三個內(nèi)角A，B，C的對邊，若，，，則．【答案】2【分析】根據(jù)題意，由同角三角函數(shù)的平方關(guān)系可得，然后結(jié)合正弦定理可求得的外接圓半徑，即可得到結(jié)果.【詳解】在中，，，所以，，且，所以，設(shè)的外接圓半徑為，則，，且，解得，因為，所以.故答案為：.【典例1-2】（2023下·江蘇鹽城·高三校聯(lián)考）中，，在上，，，則．【答案】【分析】由結(jié)合三角形面積公式化簡可得出的值.【詳解】如下圖所示：在中，，在上，，，則，由，即，即，等式兩邊同時除以可得，所以，.故答案為：.【變式1-1】（2023下·廣西欽州·高三統(tǒng)考）在中，角、、所對的邊分別為、、，且，則.若，，則.【答案】【分析】設(shè)的外接圓半徑為，由正弦定理結(jié)合兩角和的正弦公式化簡可得出的值；利用二倍角的余弦公式求出的值，利用余弦定理可求得的值.【詳解】設(shè)的外接圓半徑為，則，由二倍角的余弦公式可得，由余弦定理可得，故.故答案為：；.【變式1-2】（2022下·高三?？紗卧獪y試）在中，、、所對的邊分別為、、，又..，則.【答案】/【分析】根據(jù)正弦定理或者余弦定理求解即可；【詳解】方法一：由正弦定理得：，，∴或，又∵，∴，∴，，∴.故答案為：.方法二；，解得：解得：或者（舍去），故答案為：.【變式1-3】（2023上·山東日照·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）在中，，為中點，，，則邊的長為.【答案】【分析】設(shè)，，由、，利用正余弦定理、倍角正弦公式得、求出所設(shè)參數(shù)，結(jié)合三角形性質(zhì)確定的長度.【詳解】設(shè)，，

在和中，，，又，得，在中，，由，有，所以，整理得：，①又，即，整理得：，②聯(lián)立①②得，，即，解得或，三角形ADC中的三邊關(guān)系知：，故，所以.故答案為：題型06正余弦應(yīng)用：比值型求值【解題攻略】最值范圍：分式比值型化邊為角型通過正余弦定理，把邊轉(zhuǎn)化為角。利用特殊角，消角，以分母角度為住元，消去分子角度，轉(zhuǎn)化為分母角度的單變量函數(shù)形式對單變量（單角）求最值?！镜淅?-1】（2022上·四川成都·高三成都七中校考階段練習(xí)）在中，斜邊為，點在邊上，若，，則.【答案】【分析】由，結(jié)合同角關(guān)系求出，，結(jié)合三角形面積公式證明，，再根據(jù)余弦定理列關(guān)系式求即可.【詳解】因為，所以，又，，所以，，的面積，的面積，所以，因為，所以，故，所以，故，所以由余弦定理可得，又，所以，所以，故答案為：.【典例1-2】（2023下·福建泉州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）記的內(nèi)角的對邊分別為，，若的面積為3，則當(dāng)?shù)闹荛L取到最小值時，．【答案】【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合三角形面積定理、余弦定理求出周長的函數(shù)表達式，再借助函數(shù)性質(zhì)、均值不等式計算作答.【詳解】由題意得，因為，則，由余弦定理，所以即，即，則，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，即當(dāng)a最小時，的周長最小，顯然，當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”，此時，所以當(dāng)?shù)闹荛L取到最小值時，．故答案為：【變式1-1】（2022上·江蘇南通·高三統(tǒng)考）在中(角A為最大內(nèi)角，a，b，c為、、所對的邊)和中，若，，，則.【答案】【分析】根據(jù)，可知B和互余，C和互余，于是根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°，可得到，再根據(jù)可求出，從而求出和A.根據(jù)余弦定理和三角形面積公式可將要求的式子化簡為，根據(jù)A的大小即可求解．【詳解】∵A是最大內(nèi)角，∴均為銳角，∵，，∴，，∴，∴，即，∵是三角形內(nèi)角，∴，∴，∴．在△ABC中，由余弦定理得，，故，∴．故答案為：．【變式1-2】（2020·四川成都·高三雙流中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在中，，，則.【答案】【解析】利用降冪公式與輔助角公式化簡,可得,再根據(jù)可得,化簡可得.再化簡,代入計算即可.【詳解】由有,又,故.故.又,故,整理得,因為,故解得.故.代入可得.故答案為：【變式1-3】．已知中，設(shè)角、B、C所對的邊分別為a、b、c，的面積為，若，則的值為（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【分析】首先根據(jù)正弦定理將等式中的角轉(zhuǎn)化成邊得：，通過余弦定理可將等式化簡整理為，通過三角函數(shù)圖像可知，同時通過基本不等式可知，即得，通過取等條件可知，，將其代入問題中即可求解答案.【詳解】已知由正弦定理可知：，，整理得：，兩邊同除得：，根據(jù)余弦定理得：，即，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立.又，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.綜上所述：且，故得：，此時且，，.故選：B題型07最值型：角與對邊互化面積型【解題攻略】注意正弦定理在進行邊角轉(zhuǎn)換時等式必須是齊次，關(guān)于邊的齊次式或關(guān)于角的正弦的齊次式，齊次分式也可以用正弦定理進行邊角轉(zhuǎn)換．求范圍問題，通常是把量表示為三角形某個角的三角函數(shù)形式，利用此角的范圍求得結(jié)論．【典例1-1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）在中，角、、所對的邊分別為、、，已知，，則面積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用余弦定理結(jié)合基本不等式可求得的最大值，再利用三角形的面積公式可求得面積的最大值.【詳解】由余弦定理可得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故.因此，面積的最大值為.故選：B.【典例1-2】（2022秋·黑龍江·高三哈爾濱三中?？迹┰谥校堑膶叿謩e為，若，，則面積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用正弦定理邊化角可化簡已知等式求得，進而得到；利用余弦定理和基本不等式可求得，代入三角形面積公式即可求得結(jié)果.【詳解】由正弦定理得：，，，，，，，，解得：；由余弦定理得：，（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），，.故選：B.【變式1-1】（2023秋·遼寧鐵嶺·高三?？奸_學(xué)考試）在中，內(nèi)角的對邊分別為，若，且，則面積的最大值為.【答案】【分析】由，得到，利用余弦定理得到，再利用余弦定理結(jié)合基本不等式得到，再利用三角形的面積求解.【詳解】解：因為，所以，由余弦定理得，因為，所以，由余弦定理得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，所以面積的最大值為，故答案為：【變式1-2】（2023秋·廣東珠?！じ呷？奸_學(xué)考試）已知，，分別為的三個內(nèi)角，，的對邊，，且，則面積的最大值為.【答案】【分析】利用正弦定理進行邊角互化可得，再結(jié)合余弦定理可得，利用基本不等式可得，進而可得面積的最大值.【詳解】由，得，由正弦定理得，化簡得，故，所以.又因為，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.故，故答案為：.【變式1-3】（2023秋·四川成都·高三四川省成都市新都一中校聯(lián)考開學(xué)考試）在中，角，，的對邊分別為，，，若，，則面積的最大值為．【答案】【分析】首先利用余弦定理和基本不等式即可求出的最大值，最終代入三角形面積公式即可求解.【詳解】由題意，，由余弦定理得，即，對其利用基本不等式可得，所以當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，此時有最大值4，代入三角形面積公式可得，所以面積的最大值為.故答案為：.題型08最值型：周長、邊長范圍【解題攻略】解三角形中最值或范圍問題，通常涉及與邊長，周長有關(guān)的范圍問題，與面積有關(guān)的范圍問題，或與角度有關(guān)的范圍問題，常用處理思路：①余弦定理結(jié)合基本不等式構(gòu)造不等關(guān)系求出答案；②采用正弦定理邊化角，利用三角函數(shù)的范圍求出最值或范圍，如果三角形為銳角三角形，或其他的限制，通常采用這種方法；③巧妙利用三角換元，實現(xiàn)邊化角，進而轉(zhuǎn)化為正弦或余弦函數(shù)求出最值【典例1-1】（2021上·河南濮陽·高三濮陽市油田第二高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）銳角中，內(nèi)角的對邊分別為，且滿足，若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用正弦定理對所給等式進行角化邊，再利用余弦定理可求得從而求得角A，由正弦定理可得，則，利用兩角和與差的正弦、余弦公式將等式化簡為關(guān)于B的正弦型函數(shù)，由銳角三角形求出角B的范圍即可利用正弦函數(shù)的值域求得的取值范圍.【詳解】因為由正弦定理可得，即，所以，又，所以，由正弦定理可知，所以，則，因為為銳角三角形且，所以，解得，當(dāng)時，，，所以.故選：B【典例1-2】（2023上·四川南充·高三四川省南充高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)銳角的內(nèi)角所對的邊分別為，若，則的取值范圍為（

）A．(1，9] B．(3，9]C．(5，9] D．(7，9]【答案】D【分析】由正弦定理求出，再由余弦定理可得，化為，結(jié)合角的范圍，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)論.【詳解】因為，由正弦定理可得，則有，由的內(nèi)角為銳角，可得，，由余弦定理可得因此有故選：D.【變式1-1】（2023下·高三單元測試）在中，角，，的對邊分別為，，，若，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用三角恒等變換及正弦定理將進行化簡，可求出的值，再利用邊化角將化成角，然后利用輔助角公式及角的范圍即可得到答案.【詳解】由題知，即由正弦定理化簡得即故選：.【變式1-2】（2021·河北唐山·統(tǒng)考三模）的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，角的內(nèi)角平分線交于點，若，，則的取值范圍是．【答案】【分析】先由根據(jù)基本不等式可得，再根據(jù)等面積法得到，結(jié)合余弦定理確定角的范圍即可得解.【詳解】，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號角的內(nèi)角平分線交于，設(shè)，則，所以，所以，又，設(shè)，易知函數(shù)單調(diào)遞增，所以，所以，.故答案為：.【變式1-3】（2023上·四川宜賓·高三四川省宜賓市第四中學(xué)校校考階段練習(xí)）中，若，則周長最大值為．【答案】.【詳解】分析：根據(jù)正弦定理，將邊長轉(zhuǎn)化為角的表示形式，利用差角公式和輔助角公式，得到關(guān)于角A的表達式，然后根據(jù)角A的取值范圍確定最值．詳解：由正弦定理，所以所以周長因為所以當(dāng)時，所以周長最大值為題型9最值型：比值范圍【典例1-1】（2022上·廣西桂林·高三?？茧A段練習(xí)）在中，角所對應(yīng)的邊分別為，設(shè)的面積為，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由面積公式和余弦定理，基本不等式對進行變形，得到關(guān)于的關(guān)系式，結(jié)合三角函數(shù)的有界性，列出關(guān)于t的不等式，求出最大值.【詳解】，，則設(shè)所以，即，故選：A.【典例1-2】（2023上·江蘇無錫·高三江蘇省南菁高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在銳角中，角的對邊分別為，為的面積，且，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由三角形面積公式及余弦定理得到，結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系得到，，由正弦定理得到，且根據(jù)三角形為銳角三角形，得到，求出，利用對勾函數(shù)得到的最值，求出的取值范圍.【詳解】由三角形面積公式可得：，故，，故，因為，所以，解得：或0，因為為銳角三角形，所以舍去，故，，由正弦定理得：，其中，因為為銳角三角形所以，故，所以，，，，令，則為對勾函數(shù)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，又，因為，所以，則.故選：C【變式1-1】（2023上·貴州黔東南·高三統(tǒng)考）在銳角中，角的對邊分別為，且的面積，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先由三角形面積公式求出，然后引入?yún)?shù)，將所求表示為的函數(shù)，再根據(jù)正弦定理邊化角、誘導(dǎo)公式、兩角和差得，注意到在銳角中，有，從而可以求出的范圍，由此即可得解【詳解】由三角形面積公式結(jié)合，可知，即，又由平方關(guān)系，所以，即，解得或（舍去），由余弦定理有，所以，令，所以，故只需求出的范圍即可，由正弦定理邊化角得，注意到在銳角中，有，簡單說明如下：若，則，即不是銳角，但這與是銳角三角形矛盾，所以在銳角中，有，所以在銳角中，有，因為正切函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，從而，而函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以.綜上所述：的取值范圍為.故選：B.【變式1-2】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知的內(nèi)角的對邊分別為，若，則的取值范圍為．【答案】

【詳解】由正弦定理可知．，又，則，，從而，又，知，所以，則，換元可令，則，故本題應(yīng)填．【變式1-3】（2022下·重慶·高三重慶市彭水第一中學(xué)校?？迹┰阡J角中，角、、的對邊分別為、、，若，則的取值范圍是．【答案】【分析】利用正弦定理，誘導(dǎo)公式及和差化積公式得到，從而A=2B，求出，根據(jù)銳角三角形得到的范圍，從而求出的范圍.【詳解】由正弦定理得：，由二倍角公式得：，，由和差化積公式可得：，即，因為為銳角三角形，所以，，所以，所以或（舍去），即A=2B，，由正弦定理可得：，由題意得：，解得：，，解得：又綜上：,所以，則的取值范圍是故答案為：題型10最值型：余弦定理齊次式【典例1-1】（2022·全國·高三課時練習(xí)）銳角中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，則的取值范圍是（

）A．(） B．(）C．[) D．[，1)【答案】C【解析】先利用基本不等式求函數(shù)的最小值，再根據(jù)三角形是銳角三角形，得到的范圍，再求函數(shù)值域的上限.【詳解】由題意得，（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），由于三角形是銳角三角形，所以，所以，解得所以，，設(shè)，因為函數(shù)在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)無限接近中的較大者，所以所以的取值范圍是，故選：C．【典例1-2】（2020·全國·高三課時練習(xí)）銳角中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由余弦定理，求得，再結(jié)合基本不等式和函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.【詳解】由題意，因為，所以，又由，得，則所以，令，則，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，又，，所以.故選：D.【變式1-1】（2022·四川成都·二模（理））已知中，角的對邊分別為.若，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用正弦定理邊化角，可得，再次角化邊可得關(guān)系，利用余弦定理和基本不等式可求得的最小值，進而得的最大值，再求即可得答案.【詳解】解：∵,\∴，∴由正弦定理得：，即，，則，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號），的最小值為.∵，∴，∴的最大值為.故選：C.【變式1-2】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知中，角的對邊分別為．若，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用正弦定理邊化角，可得，再次角化邊可得關(guān)系，利用余弦定理和基本不等式可求得的最小值.【詳解】由正弦定理得：，即，，則，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號），的最小值為.故選：C.【變式1-3】（2020·河南·校聯(lián)考二模）在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且BC邊上的高為，則的最大值是．【答案】【分析】由面積公式可得，再用余弦定理可得，即得出結(jié)果.【詳解】由題，三角形的面積：.由余弦定理：，可得：.所以，其中.所以的最大值為.故答案為：.題型11最值型：正切【解題攻略】正切：1.；2.在三角形中，【典例1-1】（2023上·遼寧丹東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在銳角三角形中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)正弦定理化簡，求出，化簡得，根據(jù)三角形為銳角三角形求出范圍，進而求出范圍即可.【詳解】由，根據(jù)正弦定理得，因為，所以，因為三角形為銳角三角形，所以，即，，由題，則，所以，故選：A【典例1-2】（2023下·云南保山·高三?？迹┮阎娜齻€內(nèi)角分別為，，，若，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用正弦定理及余弦定理化簡表示，結(jié)合基本不等式求得的取值范圍，從而求得的取值范圍，即可求解.【詳解】由題意，由正弦定理得：，化簡得：，由余弦定理得：，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，從而可得為銳角，所以：，得：，則：，所以：，所以：的最大值為，故A項正確.故選：A.【變式1-1】（2022·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中?？级＃┰阡J角中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，的面積為S，若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由面積公式與正余弦定理化簡后得出關(guān)系后求解【詳解】在中，，故題干條件可化為，由余弦定理得，故，又由正弦定理化簡得：，整理得，故或（舍去），得為銳角三角形，故，解得，故故選：C【變式1-2】（2023上·全國·高三專題練習(xí)）在銳角中，，則角的范圍是，的取值范圍為.【答案】【分析】由已知結(jié)合余弦定理，正弦定理及和差角公式進行化簡可得，的關(guān)系，結(jié)合銳角三角形條件可求，的范圍，然后結(jié)合對勾函數(shù)的單調(diào)性可求．【詳解】解：因為及，所以，由正弦定理得，所以，整理得，即，所以，即，又為銳角三角形，所以，解得，故，，則，令，則，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，，故，即．故答案為：；．【變式1-3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，則的最大值為．【答案】【分析】利用余弦定理及基本不等式可得，然后利用同角關(guān)系式，可得，即求．【詳解】∵，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，又，所以，∴.故答案為：．題型12三角形角平分線型【解題攻略】角平分線定理（大題中，需要證明，否則可能會扣過程分）：三角形角平分線的處理方法：【典例1-1】（2022·貴州貴陽·高三開學(xué)考試（理））已知的內(nèi)角對應(yīng)的邊分別是，內(nèi)角的角平分線交邊于點，且．若，則面積的最小值是（

）A．16 B． C．64 D．【答案】B【分析】利用正弦定理及誘導(dǎo)公式可得，然后利用三角形面積公式及基本不等式即得.【詳解】∵，∴，即，又，，∴，即，又，∴，由題可知，，所以，即，又，即，當(dāng)且僅當(dāng)取等號，所以.故選：B.【典例1-2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，∠ABC的平分線交AC于點D，且BD＝1，則的最小值為（）A．8 B．9 C．10 D．7【答案】B【分析】根據(jù)三角形面積可得到，將變?yōu)?，展開后利用基本不等式，即可求得答案.【詳解】由題意得，即，得，得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號，故選：B．【變式1-1】（2022·安徽·巢湖市第一中學(xué)模擬預(yù)測（理））在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，，若角A的內(nèi)角平分線AD的長為2，則的最小值為（

）A．10 B．12 C．16 D．18【答案】D【分析】根據(jù)，利用正弦定理得到，再利用余弦定理得到A，再根據(jù)平分角A，利用，得到，然后利用基本不等式求解.【詳解】解：因為，所以，即，由余弦定理易得，又平分角A，．由，得，即，即，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，即的最小值為18．故選：D．【變式1-2】（2021·全國·高三專題練習(xí)）已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，，角A的平分線交BC于點D，且，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，，角A的角平分線交BC于點D，可得，由可得，，在，由余弦定理可得，在中，由正弦定理可知：，可求得，判斷出為銳角，即可求得答案.【詳解】，角A的角平分線交BC于點D又，解得在中，由正弦定理可知：即，為銳角，故.故選：B.【變式1-3】（2022·陜西西安·三模（理））在中，，，的角平分線的長為，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】在中，利用正弦定理可求得，利用三角形內(nèi)角和可求得，從而確定，在中利用正弦定理可得結(jié)果.【詳解】在中，由正弦定理得：，即，又，，，，則，，，在中，由正弦定理得：，.故選：C.題型13三角形中線型【解題攻略】中線的處理方法1.向量法：雙余弦定理法（補角法）：如圖設(shè)，在中，由余弦定理得，①在中，由余弦定理得，②因為，所以所以①+②式即可3.延伸補形法：如圖所示，延伸中線，補形為平行四邊形4.中線分割的倆三角形面積相等【典例1-1】在中，內(nèi)角的對邊分別為，且邊上的中線，則（

）A．3 B． C．1或2 D．2或3【答案】C【分析】由正弦定理及可得，在中由余弦定理列式可得，在中由余弦定理可得，綜上即可求解c【詳解】由得，∴，∵，∴，即.在中，由余弦定理可得，整理得，在中，，∴，即（*），當(dāng)時，（*）式可解得，；當(dāng)時，（*）式可解得，；故選：C【典例1-2】.在中，分別是的中點，且，若恒成立，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，要求的最小值，即要求出的最大值，由的關(guān)系，用表示出，由分別是的中點，在中，利用余弦定理表示出，在中，利用余弦定理表示出，并表示出，開方并分離出常數(shù)，由為三角形的內(nèi)角，得到的范圍，進而由三角函數(shù)的性質(zhì)可得答案解：因為，所以,因為分別是的中點，所以，在中，由余弦定理得，，在中，由余弦定理得，所以所以，因為當(dāng)取得最小值時，比值最大，所以當(dāng)時，，此時達到最大值，為，則若恒成立，的最小值為，故選：B【【變式1-1】在中，角的對邊分別為，已知，點是的中點，若，則面積的最大值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先由題意得到，結(jié)合余弦定理得到，且，再由余弦定理，得到，求出，根據(jù)三角形面積公式，得到，即可求出結(jié)果.【詳解】因為點是的中點，，，所以，即，即，所以，整理得：，因此，即，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立；且；又，所以，因此面積為，當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最大值.故選A【變式1-2】在中，若3sinC=2sinB,點,F分別是,的中點，則BEA．（14，78） B．（【答案】A本道題運用余弦定理，計算BECF【詳解】∵3sinC=2sinB,可得3AB=2AC，即∴AE=1在△ABD中，由余弦定理可得B=A=25在△ACF中，由余弦定理可得C=5∴cosA∈(?1,1),可得BECF=1?【變式1-3】（2022·河南·鄭州四中高三階段練習(xí)（理））在等腰中，AB＝AC，若AC邊上的中線BD的長為3，則的面積的最大值是（

）A．6 B．12 C．18 D．24【答案】A【分析】利用余弦定理得到邊長的關(guān)系式，然后結(jié)合勾股定理和基本不等式即可求得面積的最大值．【詳解】設(shè)，，由于，在和中應(yīng)用余弦定理可得：，整理可得：，結(jié)合勾股定理可得的面積：，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立．則面積的最大值為6．故選：A.題型14三角形重心型【解題攻略】中線的處理方法1.向量法：補全為平行四邊形。再轉(zhuǎn)而在新三角形中用正余弦定理【典例1-1】.在鈍角中，分別是的內(nèi)角所對的邊，點是的重心，若，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】延長交于，由重心性質(zhì)和直角三角形特點可求得，由，利用余弦定理可構(gòu)造等量關(guān)系得到，由此確定為銳角，則可假設(shè)為鈍角，得到，，，由此可構(gòu)造不等式組求得的取值范圍，在利用余弦定理可得，利用的范圍，結(jié)合為銳角可求得的取值范圍.【詳解】延長交于，如下圖所示：為的重心，為中點且，，，；在中，；在中，；，，即，整理可得：，為銳角；設(shè)為鈍角，則，，，，，解得：，，，由余弦定理得：，又為銳角，，即的取值范圍為.故選：C.【典例1-2】（2024秋·福建福州·高三福建省福清第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知點G為三角形ABC的重心，且，當(dāng)取最大值時，（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題設(shè)可得，結(jié)合，及余弦定理可得，根據(jù)基本不等式即可求解.【詳解】由題意，所以，即，所以，所以，又，，則，所以，即，由，，，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，又在上單調(diào)遞減，，所以當(dāng)取最大值時，.故選：A【變式1-1】．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在銳角中，、、分別是的內(nèi)角、、所對的邊，點是的重心，若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】連接并延長交于點，由重心的性質(zhì)可得出，利用平面向量的線性運算可得出，利用平面向量的數(shù)量積以及余弦定理可得出，推導(dǎo)出，再結(jié)合銳角三角形這一條件以及余弦定理求出的取值范圍，利用雙勾函數(shù)的單調(diào)性可求得的取值范圍.【詳解】連接并延長交于點，則為的中點，因為，則，由重心的性質(zhì)可得，則，因為，所以，，所以，，所以，，所以，，則為銳角，由余弦定理可得，所以，，因為為銳角三角形，則，即，即，所以，，構(gòu)造函數(shù)，其中，任取、且，則.當(dāng)時，，，則，當(dāng)時，，，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因為，所以，，故.故選：C.【變式1-2】（2020春·天津·高三天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知中，為的重心，則A． B． C． D．【答案】A【分析】由題，先用余弦定理求得，再用向量表示出，然后代入用向量的數(shù)量積公式進行計算即可求得結(jié)果.【詳解】因為中，為的重心，所以，由余弦定理可得：且所以=【變式1-3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）銳角中，，，為角，，所對的邊，點為的重心，若，則的取值范圍為（

）A．， B．， C．， D．，【答案】B【分析】設(shè)點在圓上，且，，設(shè)直線，的傾斜角分別為，.兩角差正切公式得，再求出即可【詳解】設(shè)，是單位圓的直徑的端點，在圓上，設(shè)，點為的重心，.點在圓上.是銳角三角形，點在圓上，且，，設(shè)直線，的傾斜角分別為，.則，，..故選：.題型15三角形外接圓【解題攻略】三角形所在的外接圓的處理方法：1.外接圓的圓心到三角形的三個頂點的距離相等。銳角三角形外心在三角形內(nèi)部。直角三角形外心在三角形斜邊中點上。鈍角三角形外心在三角形外。2.正弦定理：eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R，其中R為外接圓半徑【典例1-1】（2023秋·遼寧沈陽·高三沈陽市第一二〇中學(xué)?？奸_學(xué)考試）在中，，，，是的外接圓上的一點，若，則的最大值是（

）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】利用余弦定理與勾股定理得是直角三角形，進而可以建立直角坐標系，根據(jù)點的坐標得向量的坐標，由向量的坐標運算可得的表達式，進而利用三角函數(shù)求最值即可.【詳解】因為在中，，，，由余弦定理得，所以，則，所以，故以AC的中點為原點，建立如圖所示的平面直角坐標系，

，易得，則，，設(shè)的坐標為，則，又，所以，則，得，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，即的最大值為.故選：B.【典例1-2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知銳角滿足，且O為的外接圓圓心，若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意可得，將平方整理得，設(shè)，則有，再設(shè)，則有==，求解即可.【詳解】解：如圖所示：由正弦定理可得：，所以，在中，由余弦定理可得,又因為,所以.又因為，所以，即有：，即，所以，設(shè)，可得，又因為為銳角三角形，所以，所以，設(shè)，則有，所以==，所以故選：A.【變式1-1】（2022春·上海閔行·高三上海市七寶中學(xué)?？迹┤羰峭饨訄A圓心，是的內(nèi)角，若，則實數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)三角形外心的性質(zhì)、正弦定理、兩角和的余弦公式，結(jié)合平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)和定義進行求解即可.【詳解】設(shè)的中點為，所對的邊為，因為是外接圓圓心，所以，于是有，由，故選：B【變式1-2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)為銳角的外心（三角形外接圓圓心），．若，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】取中點，根據(jù)外心性質(zhì)知，根據(jù)向量線性運算可證得三點共線，從而得到，利用等腰三角形和三角形外心的性質(zhì)可求得，結(jié)合余弦值可推導(dǎo)得到，進而構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】取中點，連接，為的外心，，，，三點共線，，，，，，，，即，，，則，解得：.故選：A【變式1-3】．（2022春·北京·高三?？计谀┮阎切瓮饨訄A的半徑為1為圓心，且，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意可得三角形是以角為直角的直角三角形，解直角三角形求出相應(yīng)的邊，利用數(shù)量積幾何意義計算得答案．【詳解】因為三角形外接圓的半徑為1為圓心，為的中點，故是直角三角形，為直角．又，,,故選:A.高考練場1.（2021·安徽安慶·統(tǒng)考二模）在中，分別是，，的對邊.若，且，則的大小是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由，且，得到，利用余弦定理求解.【詳解】因為，且，所以，所以，因為，所以，故選：A2.在中，，則三角形的形狀為（

）A．直角三角形 B．等邊三角形C．銳角三角形 D．等腰三角形【答案】D【分析】由正弦定理結(jié)合兩角差的正弦公式可得答案.【詳解】由正弦定理，因，則，又A，B為三角形內(nèi)角，得B=A.3.在中，，則此三角形的解的情況是（

）A．有兩解 B．有一解C．無解 D．有無數(shù)個解【答案】C【分析】通過作圓法可確定三角形解的情況.【詳解】作垂直于所在直線，垂足為，則，以為圓心，4為半徑作圓，可知與無交點，故三角形無解.故選：C.4.（2023春·廣東東莞·高三東莞市東莞中學(xué)松山湖學(xué)校?？茧A段練習(xí)）在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，且，若，，則△ABC的外接圓直徑為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由余弦定理與三角形面積公式，利用條件可解出角，再由利用余弦定理可求，由可得外接圓直徑.【詳解】由得，，即：，可得.又因為，可得．又已知，，由余弦定理得，解得.則外接圓直徑.故選：D.5.（2023春·云南·高三云南師大附中校考階段練習(xí)）在△ABC中，，且，則三角形ABC的面積為.【答案】【分析】設(shè)，則，代入已知式化簡可得，可視為關(guān)于的二次方程有解，由可求得，即，可判斷是一個等邊三角形，即可求出三角形ABC的面積.【詳解】設(shè)，則，且，于是，所以，整理得，可視為關(guān)于的二次方程有解，那么，由于，所以，則，因為，于是，滿足，所以，故是一個等邊三角形，所以．故答案為：.6.（2023·四川成都·校聯(lián)考二模）在中，角A，B，C的對邊分別為，，則.【答案】2【分析】化