2025屆湖南省株洲荷塘區(qū)四校聯(lián)考數(shù)學(xué)八上期末教學(xué)質(zhì)量檢測試題含解析

2025屆湖南省株洲荷塘區(qū)四校聯(lián)考數(shù)學(xué)八上期末教學(xué)質(zhì)量檢測試題試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題（每題4分，共48分）1．兩個三角形如果具有下列條件：①三條邊對應(yīng)相等；②三個角對應(yīng)相等；③兩條邊及它們的夾角對應(yīng)相等；④兩條邊和其中一邊的對角相等；⑤兩個角和一條邊對應(yīng)相等，那么一定能夠得到兩個三角形全等的是（）A．①②③④B．①③④⑤C．①③⑤D．①②③④⑤2．如圖：一把直尺壓住射線OB，另一把直尺壓住射線OA并且與第一把直尺交于點(diǎn)P，小明說：“射線OP就是∠BOA的角平分線．”他這樣做的依據(jù)是（）A．角平分線上的點(diǎn)到這個角兩邊的距離相等B．角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上C．三角形三條角平分線的交點(diǎn)到三條邊的距離相等D．以上均不正確3．已知點(diǎn)、點(diǎn)關(guān)于軸對稱，點(diǎn)在第()象限A．一 B．二 C．三 D．四4．下列計(jì)算錯誤的是（）A． B．C． D．5．如圖，已知，點(diǎn)，，，…在射線上，點(diǎn)，，，…在射線上，，，，…均為等邊三角形，若，則的邊長為（）A．8 B．16 C．24 D．326．如圖，在△ABC中，∠A＝80°，邊AB，AC的垂直平分線交于點(diǎn)O，則∠BCO的度數(shù)為（）A．10° B．20° C．30° D．40°7．如圖，在直角△ABC中，，AB=AC，點(diǎn)D為BC中點(diǎn)，直角繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，DM，DN分別與邊AB，AC交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，下列結(jié)論：①△DEF是等腰直角三角形；②AE=CF；③△BDE≌△ADF；④BE+CF=EF，其中正確結(jié)論是（）A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④8．若是關(guān)于的完全平方式，則的值為（）A．7 B．-1 C．8或-8 D．7或-19．若一個三角形的兩邊長分別為5和7，則該三角形的周長可能是（）A．12 B．14 C．15 D．2510．下列運(yùn)算中，結(jié)果是a5的是（）A．a(chǎn)2?a3 B．a(chǎn)10a2 C．(a2)3 D．(-a)511．下列說法錯誤的是（）A．一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形B．對角線互相垂直的四邊形是菱形C．對角線相等的菱形是正方形D．對角線相等的平行四邊形是矩形12．如圖，下列4個三角形中，均有AB=AC，則經(jīng)過三角形的一個頂點(diǎn)的一條直線能夠?qū)⑦@個三角形分成兩個小等腰三角形的是（）A．①③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④二、填空題（每題4分，共24分）13．如圖，已知△ABC的周長是20，OB，OC分別平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于點(diǎn)D，且OD＝2，△ABC的面積是_____．14．如圖，△ABC中，EF是AB的垂直平分線，與AB交于點(diǎn)D，BF=12，CF=3，則AC=．15．如果a+b＝3，ab＝4，那么a2+b2的值是_．16．分式方程的解為_________．17．如圖，將長方形ABCD的邊AD沿折痕AE折疊，使點(diǎn)D落在BC上的F處，若AB＝5，AD＝13，則EF＝_____．18．函數(shù)y=–1的自變量x的取值范圍是．三、解答題（共78分）19．（8分）如圖，點(diǎn)是等邊三角形的邊上一點(diǎn)，交于，延長至，使，連結(jié)交于．（1）請先判斷的形狀，并說明理由．（2）請先判斷和是否相等，并說明理由．20．（8分）在△ABC中，AB＝AC，D、E分別在BC和AC上，AD與BE相交于點(diǎn)F．（1）如圖1，若∠BAC＝60°，BD＝CE，求證：∠1＝∠2；（2）如圖2，在（1）的條件下，連接CF，若CF⊥BF，求證：BF＝2AF；（3）如圖3，∠BAC＝∠BFD＝2∠CFD＝90°，若S△ABC＝2，求S△CDF的值．21．（8分）如圖所示，點(diǎn)O是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠AOB=110°，∠BOC=α,以O(shè)C為邊作等邊三角形OCD，連接AD．（1）當(dāng)α=150°時(shí)，試判斷△AOD的形狀，并說明理由；（2）探究：當(dāng)a為多少度時(shí)，△AOD是等腰三角形？22．（10分）一個多邊形，它的內(nèi)角和比外角和的倍多求這個多邊形的邊數(shù)．23．（10分）已知：如圖，在△ABC中，CD⊥AB于點(diǎn)D，E是AC上一點(diǎn)且∠1+∠2＝90°．求證：DE∥BC．24．（10分）計(jì)算：（x+3）（x﹣4）﹣x（x+2）﹣525．（12分）如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點(diǎn)E，∠BAC＝90°，∠CED＝45°，BE＝2DE＝2，CD＝．（1）求AB的長；（2）求AC的長．26．現(xiàn)要在△ABC的邊AC上確定一點(diǎn)D，使得點(diǎn)D到AB，BC的距離相等．（1）如圖，請你按照要求，在圖上確定出點(diǎn)D的位置（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）若AB=4，BC=6，△ABC的面積為12，求點(diǎn)D到AB的距離．

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、C【解析】根據(jù)三角形全等的判定定理SSS、SAS、ASA、AAS分別進(jìn)行分析即可．【詳解】①三條邊對應(yīng)相等，可利用SSS定理判定兩個三角形全等；②三個角對應(yīng)相等，不能判定兩個三角形全等；③兩條邊及它們的夾角對應(yīng)相等，可以利用SAS定理判定兩個三角形全等；④兩條邊和其中一邊的對角相等，不能判定兩個三角形全等；⑤兩個角和一條邊對應(yīng)相等利用AAS定理判定兩個三角形全等.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定，熟練掌握判定定理是解題的關(guān)鍵.2、B【分析】過兩把直尺的交點(diǎn)P作PE⊥AO，PF⊥BO，根據(jù)題意可得PE=PF，再根據(jù)角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在這個角的平分線上可得OP平分∠AOB.【詳解】如圖，過點(diǎn)P作PE⊥AO，PF⊥BO，∵兩把完全相同的長方形直尺的寬度相等，∴PE＝PF，∴OP平分∠AOB（角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在這個角的平分線上），故選B.【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的判定定理，角的內(nèi)部，到角兩邊的距離相等的點(diǎn)在這個角的平分線上；熟練掌握定理是解題關(guān)鍵.3、C【分析】根據(jù)點(diǎn)A、點(diǎn)B關(guān)于軸對稱，求出a，b的值，然后根據(jù)象限點(diǎn)的符號特點(diǎn)即可解答.【詳解】∵點(diǎn)、點(diǎn)關(guān)于軸對稱，∴a=3，b=3，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為，∴點(diǎn)P在第三象限，故答案為：C.【點(diǎn)睛】本題考查了軸對稱和象限內(nèi)點(diǎn)的符號特點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握其性質(zhì).4、B【分析】根據(jù)二次根式的加減法對A進(jìn)行判斷；根據(jù)平方差公式對B進(jìn)行判斷；根據(jù)二次根式的乘法法則對C進(jìn)行判斷；根據(jù)二次根式的除法法則對D進(jìn)行判斷．【詳解】A、，計(jì)算正確，不符合題意；B、，計(jì)算錯誤，符合題意；C、，計(jì)算正確，不符合題意；D、，計(jì)算正確，不符合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式的運(yùn)算法則．5、D【分析】先根據(jù)等邊三角形的各邊相等且各角為60°得：∠B1A1A2=60°，A1B1=A1A2，再利用外角定理求∠OB1A1=30°，則∠MON=∠OB1A1，由等角對等邊得：B1A1=OA1=2，得出△A1B1A2的邊長為2，再依次同理得出：△A2B2A3的邊長為4，△A4B4A5的邊長為：24=16，則△A5B5A6的邊長為：25=1．【詳解】解：∵△A1B1A2為等邊三角形，

∴∠B1A1A2=60°，A1B1=A1A2，

∵∠MON=30°，

∴∠OB1A1=60°-30°=30°，

∴∠MON=∠OB1A1，

∴B1A1=OA1=2，

∴△A1B1A2的邊長為2，

同理得：∠OB2A2=30°，

∴OA2=A2B2=OA1+A1A2=2+2=4，

∴△A2B2A3的邊長為4，

同理可得：△A3B3A4的邊長為：23=8，

△A4B4A5的邊長為：24=16，

則△A5B5A6的邊長為：25=1，

故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和外角定理，難度不大，需要運(yùn)用類比的思想，依次求出各等邊三角形的邊長，并總結(jié)規(guī)律，才能得出結(jié)論．6、A【分析】連接OA、OB，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ABC+∠ACB=100°，根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到OA=OB，OA=OC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)計(jì)算即可．【詳解】解：如圖，連接OA，OB，∵∠BAC=80°，∴∠ABC+∠ACB=100°，∵點(diǎn)O是AB，AC垂直平分線的交點(diǎn)，∴OA=OB，OA=OC，∴∠OAB=∠OBA，∠OCA=∠OAC，OB=OC，∴∠OBA+∠OCA=80°，∴∠OBC+∠OCB=100°-80°=20°，∵OB=OC，∴∠BCO=∠CBO=10°，故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查垂直平分線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于利用三角形內(nèi)角和的性質(zhì)．7、C【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠CAD=∠B=45°，根據(jù)同角的余角相等求出∠ADF=∠BDE，然后利用“角邊角”證明△BDE和△ADF全等，判斷出③正確；根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得DE=DF、BE=AF，從而得到△DEF是等腰直角三角形，判斷出①正確；再求出AE=CF，判斷出②正確；根據(jù)BE+CF=AF+AE，利用三角形的任意兩邊之和大于第三邊可得BE+CF＞EF，判斷出④錯誤．【詳解】∵∠B=45°，AB=AC，

∴△ABC是等腰直角三角形，

∵點(diǎn)D為BC中點(diǎn)，

∴AD=CD=BD，AD⊥BC，∠CAD=45°，

∴∠CAD=∠B，

∵∠MDN是直角，

∴∠ADF+∠ADE=90°，

∵∠BDE+∠ADE=∠ADB=90°，

∴∠ADF=∠BDE，

在△BDE和△ADF中，，

∴△BDE≌△ADF（ASA），故③正確；

∴DE=DF、BE=AF，

又∵∠MDN是直角，

∴△DEF是等腰直角三角形，故①正確；

∵AE=AB-BE，CF=AC-AF，

∴AE=CF，故②正確；

∵BE+CF=AF+AE＞EF，

∴BE+CF＞EF，

故④錯誤；

綜上所述，正確的結(jié)論有①②③；

故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、同角的余角相等的性質(zhì)、三角形三邊的關(guān)系；熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理論證是解決問題的關(guān)鍵．8、D【分析】利用完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征判斷即可確定出m的值．【詳解】∵x2?2（m?3）x＋16是關(guān)于x的完全平方式，∴m?3＝±4，解得：m＝7或?1，故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了完全平方式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．9、C【分析】先根據(jù)三角形三條邊的關(guān)系求出第三條邊的取值范圍，進(jìn)而求出周長的取值范圍，從而可的求出符合題意的選項(xiàng).【詳解】∴三角形的兩邊長分別為5和7，∴2<第三條邊<12,∴5+7+2<三角形的周長<5+7+12,即14<三角形的周長<24，故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了三角形三條邊的關(guān)系：三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，據(jù)此解答即可.10、A【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則、同底數(shù)冪的除法法則、冪的乘方、及乘方的意義逐項(xiàng)計(jì)算即可．【詳解】A.a2?a3=a5，故正確；B.a10a2=a8，故不正確；C.(a2)3=a6，故不正確；D.(-a)5=-a5，故不正確；故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了冪的運(yùn)算，熟練掌握冪的運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．同底數(shù)的冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加；同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變指數(shù)相減；冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘．11、B【分析】根據(jù)正方形，平行四邊形，矩形，菱形的判定定理判斷即可．【詳解】解：A、一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，故正確；B、對角線互相垂直且平分的四邊形是菱形，故錯誤；C、對角線相等的菱形是正方形，故正確；D、對角線相等的平行四邊形是矩形，故正確；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形，平行四邊形，矩形，菱形的判定定理，熟練掌握判定定理是解題的關(guān)鍵．12、C【解析】對于①，作∠B或∠C的平分線即可，②不能，③作斜邊上的高，④在BC上取點(diǎn)D，使BD=BA即可.【詳解】解：由題意知，要求“被一條直線分成兩個小等腰三角形”，①圖，作∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D，則分成的兩個三角形的角的度數(shù)分別為：36°，36°，108°和36°，72°72°，符合要求；②圖不能被一條直線分成兩個小等腰三角形；③圖，作等腰直角三角形斜邊上的高AD，則可把它分為兩個小等腰直角三角形，符合要求；④圖，在BC上取點(diǎn)D，使BD=BA，作直線AD，則分成的兩個三角形的角的度數(shù)分別為：36°，72，72°和36°，36°，108°，符合要求．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定和三角形的內(nèi)角和定理，在等腰三角形中，從一個頂點(diǎn)向?qū)呉粭l線段，分原等腰三角形為兩個新的等腰三角形，必須存在新出現(xiàn)的一個小等腰三角形與原等腰三角形相似才有可能.二、填空題（每題4分，共24分）13、1．【分析】根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得點(diǎn)O到AB、AC、BC的距離都相等（即OE＝OD＝OF），從而可得到的面積等于周長的一半乘以2，代入求出即可．【詳解】如下圖，連接OA，過O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，∵OB、OC分別平分∠ABC和∠ACB，∴OE＝OF＝OD＝2，∵的周長是1，OD⊥BC于D，且OD＝2，∴＝1，故答案為：1【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)及三角形面積的求法，熟練掌握角平分線的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.14、1【解析】試題分析：因?yàn)镋F是AB的垂直平分線，所以AF=BF,因?yàn)锽F=12，CF=3，所以AF=BF=12,所以AC=AF+FC=12+3=1．考點(diǎn)：線段垂直平分線的性質(zhì)15、1．【分析】直接利用已知結(jié)合完全平方公式計(jì)算得出答案．【詳解】∵a+b＝3，ab＝4，∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝9，∴a2+b2＝9﹣2×4＝1．故答案為：1．【點(diǎn)睛】此題主要考查了完全平方公式，正確應(yīng)用公式是解題關(guān)鍵．16、【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解．【詳解】去分母得：，

解得：，

經(jīng)檢驗(yàn)是分式方程的解．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了解分式方程，利用了轉(zhuǎn)化的思想，解分式方程注意要檢驗(yàn)．17、【分析】由翻折的性質(zhì)得到AF＝AD＝13，在Rt△ABF中利用勾股定理求出BF的長，進(jìn)而求出CF的長，再根據(jù)勾股定理可求EC的長．【詳解】解：∵四邊形ABCD是長方形，∴∠B＝90°，∵△AEF是由△ADE翻折，∴AD＝AF＝13，DE＝EF，在Rt△ABF中，AF＝13，AB＝5，∴BF＝＝＝12，∴CF＝BC﹣BF＝13﹣12＝1．∵EF2＝EC2+CF2，∴EF2＝（5﹣EF）2+1，∴EF＝，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的綜合應(yīng)用、圖形的翻折，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理和翻折的性質(zhì)．18、x≥1【解析】試題分析：根據(jù)二次根式有意義的條件是被開方數(shù)大于等于1，可知x≥1．考點(diǎn)：二次根式有意義三、解答題（共78分）19、（1）等邊三角形，證明見解析；（2），證明見解析．【分析】（1）根據(jù)等邊三角形和平行線的性質(zhì)，即可完成證明；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，結(jié)合，可得；再根據(jù)平行線性質(zhì)，得，，從而得到，即可得到答案．【詳解】（1）∵是等邊三角形∴∵∴，∴∴是等邊三角形；（2）∵是等邊三角形∴∵∴∵∴，在和中∴∴．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形、平行線、全等三角形的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握等邊三角形、平行線、全等三角形的性質(zhì)，從而完成求解．20、（1）見解析；（2）見解析；（3）【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的判定定理得到△ABC為等邊三角形，得到AB＝BC，∠ABC＝∠C＝60°，證明△ABD≌△BCE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明結(jié)論；（2）過B作BH⊥AD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠BAD＝∠CBE，證明△AHB≌△BFC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答；（3）過C作CM⊥AD交AD延長線于M，過C作CN⊥BE交BE延長線于N，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到CM＝CN，證明△AFB≌△CMA，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BF＝AM，AF＝CM，根據(jù)三角形的面積公式列式計(jì)算即可．【詳解】（1）證明：∵AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC為等邊三角形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠C＝60°，在△ABD和△BCE中，，∴△ABD≌△BCE（SAS），∴∠1＝∠2；（2）如圖2，過B作BH⊥AD，垂足為H，∵△ABD≌△BCE，∴∠BAD＝∠CBE，∵∠ABF+∠CBE＝60°，∴∠BFD＝∠ABF+∠BAD＝60°，∴∠FBH＝30°，∴BF＝2FH，在△AHB和△BFC中，∴△AHB≌△BFC（AAS），∴BF＝AH＝AF+FH＝2FH，∴AF＝FH，∴BF＝2AF；（3）如圖3，過C作CM⊥AD交AD延長線于M，過C作CN⊥BE交BE延長線于N，∵∠BFD＝2∠CFD＝90°，∴∠EFC＝∠DFC＝45°，∴CF是∠MFN的角平分線，∴CM＝CN，∵∠BAC＝∠BFD＝90°，∴∠ABF＝∠CAD，在△AFB和△CMA中，∴△AFB≌△CMA（AAS）∴BF＝AM，AF＝CM，∴AF＝CN，∵∠FMC＝90°，∠CFM＝45°，∴△FMC為等腰直角三角形，∴FM＝CM，∴BF＝AM＝AF+FM＝2CM，∵∴S△BDF＝2S△CDF，∵AF＝CM，F(xiàn)M＝CM，∴AF＝FM，∴F是AM的中點(diǎn)，∴，∵AF⊥BF，CN⊥BF，AF＝CN，∴S△AFB＝S△BFC，設(shè)S△CDF＝x，則S△BDF＝2x，∴S△AFB＝S△BFC＝3x∴，則3x+3x+x＝2，解得，x＝，即S△CDF＝．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的面積計(jì)算，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．21、（1）△AOD是直角三角形；（2）當(dāng)α為110°、125°、140°時(shí)，三角形AOD是等腰三角形．【解析】試題分析：（1）首先根據(jù)已知條件可以證明△BOC≌△ADC，然后利用全等三角形的性質(zhì)可以求出∠ADO的度數(shù)，由此即可判定△AOD的形狀；（2）利用（1）和已知條件及等腰三角形的性質(zhì)即可求解．試題解析：（1）∵△OCD是等邊三角形，∴OC=CD，而△ABC是等邊三角形，∴BC=AC，∵∠ACB=∠OCD=60°，∴∠BCO=∠ACD，在△BOC與△ADC中，∵，∴△BOC≌△ADC，∴∠BOC=∠ADC，而∠BOC=α=150°，∠ODC=60°，∴∠ADO=150°-60°=90°，∴△ADO是直角三角形；（2）∵設(shè)∠CBO=∠CAD=a，∠ABO=b，∠BAO=c，∠CAO=d，則a+b=60°，b+c=180°-110°=70°，c+d=60°，a+d=50°∠DAO=50°，∴b-d=10°，∴（60°-a）-d=10°，∴a+d=50°，即∠CAO=50°，①要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO，∴190°-α=α-60°，∴α=125°；②要使OA=OD，需∠OAD=∠ADO，∴α-60°=50°，∴α=110°；③要使OD=AD，需∠OAD=∠AOD，∴190°-α=50°，∴α=140°．所以當(dāng)α為110°、125°、140°時(shí)，三角形AOD是等腰三角形．考點(diǎn)：1.等邊三角形的判定與性質(zhì)；2.全等三角形的判定與性質(zhì)；3.等腰三角形的判定．22、1【分析】結(jié)合題意，根據(jù)多邊形外角和等于，得到這個多