2021年北京各區(qū)中考一模分類匯編-18幾何綜合

初三一模幾何綜合分類整理

共5題(典型、倍長、標記猜、截長補短、無度數(shù)自己構造)

1.(2021?朝陽一模)如圖，在等腰三角形A8c中，ZBAC<60°,AB=AC，。為8c

邊的中點，將線段AC繞點A逆時針旋轉60。得到線段AE,連接BE交AD于點F。

(1)依題意補全圖形；

(2)求NAFE的度數(shù)；

(3)用等式表示線段AF,BF,EF之間的數(shù)量關系，并證明。

2.(2021?通州一模)已知點P為線段A8上一點，將線段AP繞點A逆時針旋轉60’,得

到線段4C；再將線段研終點B逆時針旋轉120”,得到線段50；連接AO,取A。中點

M,連接

⑴如圖1,當點尸在線段CM上時，求證：PM//BD-,

(2)如圖2,當點尸不在線段CM上，寫出線段與CM的數(shù)量關系與位置關系，并

證明.

3.（2021?燕山一模）如圖，在正方形ABC。中，Q>3,P是CD邊上一動點（不與。點

重合），連接AP,點。于點E關于AP所在的直線對稱，連接AE,PE,延長C8到點凡

使得BF=DP,連接￡尸，AF.

（1）依題意補全圖形1;

（2）若￡>P=1,求線段加'的長；

（3）當點P在CO邊上運動時，能使aAEF為等腰三角形，直接寫出此時△如/5的面積。

圖1

4.（2021?石景山一模）在△ABC中，AB=AC,N8AC=a（（Tva<90）,點E是△ABC

內(nèi)?初點，連接AE,CE,將△AEC繞點A順時針旋轉a，使AC邊與AB重合，得到△AO8,

延長CE與射線8。交于點M（點M與點。不重合）。

（1）依題意補全圖形1：

（2）探究與/AEM的數(shù)量關系為；

（3）如圖2,若。E平分NAO8,用等式表示線段MC,AE,8。之間的數(shù)量關系，并證明。

圖1圖2

5.（2021?大興一模）如圖，等邊AaBC中，點P是8c邊上的一點，作點C關于直線AP

的對稱點。，連接8,8D,作4￡J_8D于點心

（1）若N%C=10°,依題意補全圖形1,并直接寫出N8CD的度數(shù)：

（2）如圖2,若N/V1C=a（（y<a<30）,

求證：N8CD=/8AE：

用等式表示線段8D.CD,AE之間的線段關系并加以證明。

★K字圖共2題

6.（2021?延慶一模）在正方形ABCD中，點E在射線BC上（不與點8、C重合），連接08,

DE,將。E繞點碘時針旋轉90。得到EF,連接BF.

（1）如圖I,點E在3c邊上.

①依題意補全圖1；

②若48=6,EC=2,求3戶的長：

（2）如圖2,點E在8c邊的延長線上，用等式表示線段8nBE,8b之間的數(shù)量關

系，并證明.

圖1

圖2

7.(2021?房山一模)已知：在AABC中，4=45，ZABC=a,以8c為斜邊作等腰

RtZ\8DC,使得4。兩點在直線BC的同側，過點。作D￡_LA8于點￡。

(1)如圖1,當。二20、時，

求NCDE的度數(shù)：

判斷線段AE與BE的數(shù)量關系；

(2)若45VI<90,線段與8E的數(shù)量關系是否保持不變？依題意補全圖2,并證明。

★角含半角共1題

8.(2021?豐臺?模)如圖，在△ABC中，ZACB=90,CA=CB,點尸在線段A8上，

作射線CP(0°<NACP<45°),將射線CP繞點C逆時針旋轉45°,得到射線CQ,過

點A作AO_LCP于點O,交CQ于點E,連接BE.

(1)依題意補全圖形；

(2)用等式表示線段4短，DE,BE之間的數(shù)量關系，并證明.

A

9.(2021?門頭溝一模)在正方形488中，將邊AD繞點4逆時針旋轉a((Tva＜90。)

得到線段4邑AE與CD延長線相交于點F,過8作8G〃“交CF于點G,連接8E.

(1)如圖1,求證：NBGC=2ZAEB：

(2)當45。＜。＜90。時，依題意補全圖2,用等式表示線段八從EF,DG之間的數(shù)量關系，

并證明.

10.12021?東城一模】已知NMAN=30。，點B為邊AM上一個定點，點P為線段AB上一

個動點(不與點48重合)，點P關于直線AN的對稱點為點Q,連接4Q,8Q.點

A關于直線8Q的對稱點為點C,連接PQ,CP.

(1)如圖1,若點P為線段48的中點.

①直接寫出NAQ8的度數(shù)：

②依題意補全圖形，并直接寫出線段CP與AP的數(shù)量關系；

(2)如圖2,若線段CP與BQ交于點D.

①設/8QP=a,求NCPQ的大小(用含a的式子表示)：

②用等式表示線段DC,DQ,DP之間的數(shù)量關系，并證明.

N

圖1圖2

★猜造構全等共3題（標記的重要性）

11.（2021?西城一模）如圖，在△ABC中，AB=AC,ZBA0900,。是△ABC內(nèi)一點,

/AOGNBAC。過點B作BE〃C。交AO的延長線于點E。

（1）依題意補全圖形：

（2）求證：NCAD=NABE；

（3）在（1）補全的圖形中，不添加其他新的線段，在圖中找出與CO相等的線段并加

以證明。

12.（2021?順義一模）如圖，等腰三角形ABC中，A￡f=AC,CO_L48于點。，NA=a.

（1）求出NZJCB的大小（用含a的式子表示）：

（2）延長CD至點E,使CE=AC,連接AE并延長交CB的延長線于點F.

①依題意補全圖形；

②用等式表示線段E尸與之間的數(shù)量關系，并證明。

RC

13.（2021?海淀一模）如圖，在△A8C中，AB=AC,ZE4C=40。，作射線CM,

4cM=80。.O在射線CM上，連接4拉，石是4）的中點，C關于點七的對稱點為

尸，連接。尸.

（1）依題意補全圖形：

（2）判斷與"■的數(shù)量關系并證明：

（3）平面內(nèi)一點G,使得QG=DC,FG=FB,求NCQG的值.

14.(2021?平谷一模)在AABC中，NACB=90°,AC=BC,。是直線A8上一點

(點D不與點A、B重合)，連接DC并延長到E,使得CEXD,過點E作瓦'_L直線BC,交

直線BC于點尸.

(1)如圖L當點D為線段A8的上任意一點時，用等式表示線段EF、CF、AC的數(shù)量關

系，并證明：

(2)如圖2,當點D為線段BA的延長線上一點時，依題意補全圖2,猜想線段EF、CF、

AC的數(shù)量關系是否發(fā)生改變，并證明：

A

一二

K

B

E

初三一模幾何綜合分類整理

共5題（典型、倍長、標記猜、截長補短、無度數(shù)自己構造）

1.（2021?朝陽一模）如圖，在等腰三角形A8c中，ZBAC<60°,AB=AC,。為8c

邊的中點，將線段AC繞點A逆時針旋轉60。得到線段AE,連接BE交AD于點F。

（1）依題意補全圖形；

（2）求NAFE的度數(shù)；

（3）用等式表示線段AF,BF,EF之間的數(shù)量關系，并證明。

（1）解：依題意補全圖形，如圖.

2分

（2）解:

：,ZBAD=-ZBAC.

2

???線段AC繞點A逆時針旋轉60°得到線段AE,

：.AB=AE,ZG4f=60°.

ZABE=ZE.

在△ABE中，ZABE+ZE+ZBAC=1800-ZCA￡=120°,

A-(N48E+NE+N8AC)=60°.

2

HPZABE+ZBAD=60°.

AZAFE=ZABE+ZBAD=60°...................4分

(3)AF+BF=EF.

【法1】

：,FM=AF.BDC

：,AF+BF=EF.6分

【法2】在EF上截取點M,使EM=8F,連接AM、CF

【法3】在DA的延長線上截取FM=EF,連接ME,在ME上截取MN=AM,連接AN

2.(2021?通州一模)己知點尸為線段上一點，將線段AP繞點A逆時針旋轉60：,得

到線段AC；再將線段3尸終點B逆時針旋轉120°,得到線段30；連接AO,取中點

M,連接

⑴如圖1,當點P在線段CM上時，求證：PM//BD-,

(2)如圖2,當點P不在線段CM上，寫出線段與CM的數(shù)量關系與位置關系，并

證明.

c

c

.?.△APC為等邊一角形

/.ZCPA=60

NAPW=1202分

又「ZABD=120°

/.PM||BD3分

Q）證法一:

延長AM至點尸，使得.MF=MB,連接AF,8C,尸C,PC

猜想：CM1MB,CM=6MB4分

證明:

AM=MD,FM=BM

二.四邊形AFBD為平行四邊形

AF=BD,AF\\BD

ZBAF=180-NABD=60"

ZC4F=120

是等邊.角形,

AC=CP,NCPB=120°

\PB=DB=AF

:.^CAF=ACPB............................................................................................................6分

:.CF=CB,/1=N2

/.ZFCl?=60o

.?.△CB”是等邊三角形...............................................7分

又FM=BM

CM_LMB,CM=6MB............................................................................................8分

證法二：

正之j

':昱M；LAD%*^-

、,、A…田

':MN:CM

:、、也撲YNDC為平行

或4「加Ax〃DN

】、/8沙―Z.ND。5谿

'；t/pcDhLN」C"配'

，；分"二，?！瓵c=*P

12伙P彳匏L三房牛

:、LMp3K心"二片P

'：4外（P+2PCD-2NDQH|9

、'、℃P寸￡六外:-M'

7AAyc;公N8PD=bS

:、z.gpcu4pD二%?

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/、A以PC幺AgDNCM）

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.：CM-/M/

，NaMC二汨Lgc—MBZ

二“那3BD

:、/那孑/少/二小"4）做

fa上N0c"psD二X>'

3幺MGC二Q

',；fgK二右

B叢

:、CAA一心8隊

3.（2021?燕山一模）如圖，在正方形48co中，CQ=3,P是CD邊上一動點（不與。點

重合），連接AP,點。于點E關于AP所在的直線對稱，連接AE,PE,延長C8到點凡

使得BF=DP,連接EF,AF.

（1）依題意補全圖形1：

（2）若￡>P=1,求線段加'的長；

（3）當點尸在CO邊上運動時，能使△△￡廣為等腰三角形，直接寫出此時△加;5的面積。

圖1

.解：(1)補全圖形如圖1所示.--2分

(2)如圖2,連接8P.

V點D與點E關于AP所在的直線對稱，

：.AE=AD,ZPAD=ZPAE.

???四邊形A8CD是正方形，

：.AD=AB,ND=/48F=90°.

又?:DP=BF,：.△4DP經(jīng)A4BF.------------3分

：.AF=AP,ZFAB=ZPAD.：.ZFAB=z：PAE.

/.NFAB+NBAE=NPAE+NBAE.:.ZFAE=ZPAB.

???△"￡絲△以8(SAS).-------------4分

:?EF=BP.

?/四邊形ABCD是正方形，，BC=CD=AB=3.*：DP=1,，CP=2.

，在Rtm8cp中，8P=JCP?+巴。=屈EF=A.-5分

圖2

（3）當點P在CD邊上運動時，若使MEF為等腰三角形，則

2或2

△D4P的面積是247分

（3）問解題思路:1.因為4ABF為直角△,所以AF>AB,即AFAAE,只有AF=EF或AE=EF

時成立

2.用方程的思想求解:設DP=x，則PC=3-x,

1

:,EF=BP=麻第-助但二出例加

AF=AP=1、平二萬科麗

①當AF二EF時，際砒;■

解得x=3/2即DP=3/2.?.SADAP=1/2XADXDP=1/2X3X3/2=9/4

②當AE=EF時，｛或者：,.，AE=AD=3,?歸=3

解得x=3DP=3（即P與C重合）ASADAP=l/2XADXDP=l/2X3X3=9/2

2或2

綜上，AOAP的面積是24

4.（2021?石景山一模）在△A3C中，4B=AC,N84C=a（0<a<90），點E是△ABC

內(nèi)一動點，連接AE,CE,將△4EC繞點A順時針旋轉a，使AC邊與AB重合，得到△AO3,

延長CE與射線8。交于點M（點M與點。不重合）。

（1）依題意補全圖形1：

（2）探究NAOM與NAEM的數(shù)量關系為_______________*

（3）如圖2,若DE平分乙4DB,用等式表示線段MC,AE,8。之間的數(shù)量關系，并證明。

AA

△/1

BCB

圖1圖2

.解：（1）補全圖形如圖所示（兩種情況畫出一種即可）............................2分

(2)=或NA/W+NA￡A/=180°..........................................4分

(3)線段"C,AE,以＞之間的數(shù)量關系是：MC=AE+BD.................5分

證明：由作圖可知ZVWD@AACE.

NADB=Z.AEC,AD=AE,BD=CE.

ZADM=ZAEM,

'：DE平分乙ADB,

：.ZADE=ZBDE.

E

BC

AD=AE,

：.ZADE=ZAED.

：./BDE=Z.AED.

AE//BM.

ZDAE=ZADM,ZAEM=ZM.

又??,ZAEM=ZADMt

：.ZDAE=^AEM,ZADM=ZM.

/.OE=OAfOM=OD.

：.OE+OM=OA+OD.

：.EM=AD=AE,

MC=EM+CE,

：.MC=AE^BD^.............................7分

5.（2021?大興一模）如圖，等邊8c中，點P是8c邊上的一點，作點C關于直線AP

的對稱點。，連接CD，BD,作4E_L8D于點￡。

（1）若N%C=10°,依題意補全圖形1,并直接寫出NBCD的度數(shù)：

（2）如圖2,若NP4C=a（（r<a<30）,

求證：NBCD=NBAE；

用等式表示線段8D,CD,4￡之間的線段關系并加以證明。

解：（1）如圖所示,

NBCD的度數(shù)是一20。

（2）法1：

①證明：如圖，連接40.

根據(jù)題意，得：AP1CD.

*：Z.PAC=a,

；?NACD=90°-a

:△ABC是等邊三角形，

:.NACB=60°.

:.NBCD=ZACD-ZACB

=90°-?-60°

=30°-a

X^AB=AC=AD,AE1BD,

:.ZBAE=^DAE=-ZBAD

2

=-(.ZBAC-ZCAD)

2

=-(60°-2a)

2

=30°-?

:?NBCD=NBAE

A

②用等式表示線段BQ,CD,AE之間的數(shù)量關系是AE=CD+』D

2

在AE上截取連接

’.'△4BC是等邊三角形,

：.AB=AC.

又,：4BCD=/BAE,

，△助F@△BCD

:?NABF=NCBD,BF=BD.

；?NFBE=/ABC=60。.

:.EF=BFsin600=—BF=—BD.

22

：.AE=AF+EF=CD+—BD.

2

（2）@^2：

證明：如圖

???點C,。是關于直線AP的對稱點

:.AC=AD.

???△ABC是等邊三角形

:.AB=AC=BC=AD

:?B、D、。在以4為圓心的圓上

：.ZBCD=-NBA。

2

又?：AB=AD,AE±BDt

：.ZBAE=ZDAE=-ZBAD

2

:,NBCD=NBAE

②法2：

用等式表示線段BQ,CD,AE之間的數(shù)量關系是AE=CD+@BD

2

過點B作CD的垂線BF,交CD的延長線于點F,

A

:△ABC?是等邊三角形，

???AB=BC.

\'AE±BD,BFVCF,

：.ZAEB=90°,ZCFB=90°,

:./AEB=NCFB

:?4ABE烏ACBF.

:?BE=BF,NABE=NCBF,AE=CF

即ZABC+NCBD=NCBD+/DBF

又,:ZABC=60°

；?NDBF=NABC=60。

在RsDB尸中，

,,.DF=ffDsin60°=—BD.

2

*：CF=CD+DF

：.CF=CD+—BD.

2

又*：CF=AE,

：.AE=CD+—BD.

2

★K字圖共2題

6.（2021?延慶一模）在正方形45CQ中，點E在射線8c上（不與點8、C重合），連接08,

DE,將OE繞點E逆時針旋轉90。得到EF,連接

（1）如圖1,點E在邊上.

①依題意補全圖1：

②若A8=6,EC=2,求3尸的長：

（2）如圖2,點E在8C邊的延長線上，用等式表示線段8。，BE,8b之間的數(shù)量關

系，并證明.

答案.（1）①

2分

②解法一：作FMLCB延長線于M

???NFMB=9。。

???正方形A8CO

:.ZDCE=90°

VDE1EF

???/MEF+/DCE=9Q。

:./MEF=NEDC

VZDCE=ZFMB=90°,EF=DE

?'.△FEM經(jīng)AEOC

：.EC-FM-2,DC-ME-h

：.MB=2

,RtZXFWB中,BF=2五..........4分

(2)解法一：42BE=BD+BF..........5分

證明：作FM_LCB于M

可證△FEMdEDC

:.CE=MF,ME=DC

：,ME=BC

：,BM=CE=MF

在R〔ABMF和RIA88中，由勾股定理得

BC=隈,CE=BM=^

〈BE=BC+CE

'BE=，瑤

Z.V2FE=BD+BF7分

②、解法二：在CD上截取CG=CE=2,則在RtZXECG中，GE=2>/2.

???正方形ABC。

ZDCE=90°,ZGDE+ZDEC=90°

'：DELEF

:.NBEF+NDEC=90°

???正方形ABCD

ABC=CD

??.BCCE=CD?CG,即BE=GD

?:EF=DE

:?AFEg&EDG

:,BF=GE

:.BF=2V2

解法三：以點E為圓心,EB長為半徑畫弧，交BD于

點G,過點G作GH±CD于點H,則EG=EB、△GHD為等腰

直角三角形。

V正方形ABCD

???ZDBE=ZBGE=45°,ZGEB=90°,ZWCE=90°

*：DHLCD

ZGHC=90°

???四邊形ECHG為矩形

.,.CE=GH=2,DG=2V2,ZGEB=90°

'：DELEF

:./￡＞七戶=90。

AZDEF-ZGEF=ZGEB-,ZGEF,即NOEG=NFEB

VDE=FE,GE=BE,

AAFEB^ADEG

:.BF=GD=2V2

(2)解法二：yp2,BE=BD+BF

證明：連接DE,過點E作CE的垂線交BD延長線于

的延長線于點G

可證△GDE^ABFE

：.BF=DG,BE=GE

在RS8EG中，由勾股定理得：

>[2BE=BG

■:BG=BD+DG

/.V2BF=BD+BF

4G

7.（2021?房山一模）已知：在△48C中，ZA=45\ZABC=a,以8c為斜邊作等腰

RtABDC,使得4。兩點在直線8c的同側，過點。作?！阓LA8于點品

（1）如圖1,當。二20、時，

求NCDE的度數(shù)：

判斷線段AE與BE的數(shù)量關系；

（3）若45°<1<90‘，線段AE與8E的數(shù)量關系是否保持不變？依題意補全圖2,并

證明。

解（1）?.?△BDC是等腰直角三角形/BDC=45。ZCDB=90°

ZABC=a=20°/.ZABD=25°

VDE±ABZBDE=90°-ZABD=65°,

???ZCDB=90°,.\ZCDE=90°-ZBDE=25°

⑵AE=BE

證法（一）如圖1延長DE,與AC的延長線交于點F,過點C作CG1DF于G

DE1AB,ZA=45°「.ZF=ZA=45°,AE=FE丁CG//AEZFCG=45°=ZF.\CG=FG

???△BDC是等腰直角三角形，DC=DB,Z2+Z3=9O°-Z1+Z3=9O°/.Z1=Z2

在ADCG和ABDE中，由于NCGD=NDEB=90°Z2=Z1,DC=DBADCG=ABDE

CG=DE=FG,DG=BE/.FE=DG/.AE=BE

證法（二）作CG1AB于G,過D點作DF_LCG交CG的延長線于F,

VZEGF=ZF=ZGED=900/.四邊形GFDE是矩形

?/ABDC是等腰直角三角形DC=DB

.,.ZCDB=ZCGH=90°

ZCHG=ZDHBZ1=Z3

在ACFD和ABED中VZ1=Z3,ZF=ZDEB=90°DC=DB

.,.△CF3ABED/.CF=BEDF=DE矩形GFDE是正方形

GE=GFZA=45°CG±ABZACG=ZA=45°AG=CG

AG+GE=CG+FG/.AE=CF=BEAE=BE

證法（三）取BC的中點F,連接DF交AB于H,在AB上截取BG=DE

?「ABDC是等腰直角三角形/.DF1BCDF=-BC=BF

2

?/ZDEH=ZBFH=90°,ZEHD=ZFHBZEDF=ZGBF

在ADEF和ABGF中VDE=BG，ZEDF=ZGBF，DF=BF

/.ADEF^ABGFFE=FGZEFD=ZGFB

???ZDEB=90°ZEFG=90°,/.ZFEH=45°

BFBE

???ZA=45°/.ZA=ZFEBEF//AC/.=1/.AE=BE

證法（一）過點C作CG1DE,交ED的延長線于G,EG交AC于H

???ABDC是等腰三角形，DC=DB,ZCDB=90°

故NCDG+/BDE=90°

???DEIAB/.ZDBE+ZBDE=90°/.ZCDG=ZBDE

在ACDG、M>BE中，由于ZCDG=ZBDE,ZCGD=ZBED=90°DC=DB

/.ACGDSADEB從而DG=BE,CG=DE

?/ZA=45°,GE1ABZAHE=ZA=45°AE=HE

.-.ZCHG=ZAHE=45°=ZGCHGH=GC=ED/.GD=EH.\AE=BE

證法（二）：作CF_LAB于F,由法一得ACGD=ADEB/.CG=DE,DG=BE

設CG=m=DE,DG=n=BE?；ZCGE=ZGEB=ZCFE=90°

二.矩形GEFC,CF=GE=m+nEF=CG=m,

?.?NA=45°CF±AB

ZACF=ZA=45°,AF=CF=m+n,BF=BE-EF=n-m

/.AB=AF+BF=m+n+n-m=2nAE=AB-BE=2n-n=n故有AE=BE

證法（三）：過點C作CF1AB于F,過點D作DMXCF于M

?/DE1ABZDEF=ZEFM=ZDHF=90°四邊形DEFM是矩形NEDM=90°

???ABDC是等腰直角三角形CD=BDZCDB=90°ZCDM=ZBDE

在ACDM和ABDE中，ZDMC=ZDEB=90°ZCDM=ZBDECD=BD

ACDM^ABDE/.CM=BEDM=DE/.矩形DEFM是正方形MF=EF

???ZA=45°CF1AB/.ZACF=ZA=45°/.AF=CFVAE=CM=BEAE=BE

證法（四）以點D為圓心，DC長為半徑作圓D

???△BDC是等腰直角三角形

/.DC=DB?ZCDB=90°/.點B在圓D上

假設點A在圓D內(nèi)，延長BA交圓D于A',

連接CA',VZCAzB=-ZBDC=45°

2

NBAC=/BA'C+NA'CA=45。故A與A'重合，點A在圓D上：

同理，點A也不能在圓D外，..DA=DB?/DE1AB/.AE=BE

證法（五）

取BC中點F,連接DF、EF,在AB延長線上截取BG=DE,連接FG.

???ABDC是等腰直角三角形，?.DF1BC,DF=-BC=BF

2

?/DE1AB,/.ZDEB=90°,ZDEB+ZDFB=180°

???ZEDF+ZEBF=180°ZFBG+ZEBF=180°/.ZEDF=ZGBF

在AEDF和AGBF中，

?/DE=BG,ZEDF=ZGBF,DF=BF/.AEDFsAGBF

EF=GF,ZDFE=ZBFG

???ZDFB=90°ZEFG=90°/.ZFEG=45°

AECF

???ZA=45°「.ZA=ZFEGEF//AC—=一=1/.AE=BE

BEBF

★角含半角共1題

8.(2021?豐臺一模)如圖，在AABC中，Z4CB=90,CA=CB,點P在線段A8上，

作射線CP(0°<NACP<45°),將射線CP繞點。逆時針旋轉45°,得到射線C。，過

點A作ADLCP于點D,交CQ于點E,連接BE.

(1)依題意補全圖形：

(2)用等式表示線段4。，DE,BE之間的數(shù)量關系，并證明.

解：(1)如圖所示:

。

(2)AD+BE=DE.

法1：證明：延長D4至凡使DF=DE,連接CE

,：AD1CP,DF=DE,

:.CE=CF,

:.ZDCF=ZDCE=45°,

?:/A013=900,

:./ACD+/EC8=45。,

,/ZDCA+ZACF=ZDCF=45°,

：,ZFCA=ZECB.

在△AC尸和△BCE中，

CA=CB

NACF=NBCE

CF=CE

:.XACF94BCE.

:.AF=BE,

:?AD+BE=DE.

法2：證明：在。E上截取。凡使得。尸=40,連接CE

VAD±CP,DF=AD,

：.CA=CF,4ACD=4FCD

*：CA=CB,

:,CF=CB

VZACS=90°,ZDCE=45°,

；?NACD+NECB=45。,NFCD+NFCE=45。,

：,NFCE=NECB

在△尸。石和4BCE中，

CF=CB

<Z.FCE=/BCE

CE=CE

.,.△FCF^ABCE.

：.FE=BE,

：.AD+BE=DF+FE=DE.

9.(2021?門頭溝一模)在正方形488中，將邊AD繞點4逆時針旋轉。(0。＜々＜90。)

得到線段4邑AE與CD延長線相交于點F,過B作BG〃AF交CF于點G,連接8E.

(1)如圖1,求證：NBGC=2ZAEB：

(2)當45。＜。＜90。時，依題意補全圖2,用等式表示線段八”，EF,DG之間的數(shù)量關系，

并證明.

(1)證明：；四邊形A8CD是正方形,

：.AB//CD,

；./ABG=/BGC...............................1分

\'BG//AF,AB=AD=AE,

ZAEB=ZGBE,ZAEB=ZABE,..............................2分

/.N48G=2NG8E,

；?N8GC=2/G8E...............................3分

(2)依題意補全圖形，線段AH,EF,DG之間的數(shù)量關系是￡F=AH+DG.A

證法一:在DC上截取CM=AH,連接AM交8E與N...............................4分圖1

*：AD=AB,ZADM=ZBAH=90°,DM=AH,

AZ1=Z2.

VZl+Z3=ZflAH=9O%..............................5分

???N3+N2=9O°,即NAN8=90°,

又HE=48,

:?/BAM=NEAM.

'：BG//AF,

，ZBAM=ZAMFt

：.ZEAM=^AMF,..........

：.FM=AF.

'：BG//AF,AB//CD,

：.FG=AB=AE.

：.EF=GM,HPEF=AH+DG.

江區(qū)二：

於八戢能治娛上衣和CM二M造就8M.

、、皿也對用（D2上方莊）

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八月正丁七產(chǎn)：：4）〉十“十"

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10.[2021?東城一?！恳阎?/VMN=30。，點8為邊AM上一個定點，點P為線段48上一

個動點（不與點A,8重合），點P關于直線AN的對稱點為點Q,連接AQ,8Q,點八關

于直線8。的對稱點為點C,連接PQ,CP.

⑴如圖1,若點P為線段A8的中點.

①直接寫出NAQ8的度數(shù)：

②依題意補全圖形，并直接寫出線段CP與AP的數(shù)量關系;

（2）如圖2,若線段CP與8Q交于點。.

①設/膽。=/求NCPQ的大?。ㄓ煤琣的式子表示）；

②用等式表示線段DC,DQ,DP之間的數(shù)量關系，并證明.

(1)解：①/4。8=90°；

②補全圖形，如圖1,CP三退AP.

3分

（2）①解：如圖2,連接ca,

???點。，點Q關于直線/A/對稱，點4點。關于直線8Q對稱,

/.AP=AQ=CQ,/PAN=NQAN,Z.CQB=ZAQB.

?.?NMAN=3O。，

NP4Q=60°.

???△/PQ為等邊三角形.

ZAQP=6O°,PQ=AQ.

CQ^PQ.

LC-LCPQ.

MBPA

\^BQP=ay

:.ZCQB=600+a.

:.NCQP=60。+2a.

/.ZCPQ=600-a...........................................................5分

②結論:DC=DP+DQ.

【法i】證明「.NCDQ=NCPQ+NBQR

/.ZC￡>e=60°.

在。。上截取?！?OQ連接￡Q

為等邊三角形.

:.QE;QD.

NDEQ=NEDQ=60。.

/.ZCE0=ZPD0=120°.

?;/C=/CPQ,CQ=PQ,

AC^G^APDC(AAS).

:.EC=DP.

..DC=EC+DE=DP+DQ............................................7分

【法2】

MBPA

★猜造構全等共3題（標記的重要性）

11.（2021?西城一模）如圖，在△ABC中，AB=AC,N8AC90。，。是△ABC內(nèi)一點，

ZADC=ZBAC,過點B作BE〃CO交AO的延長線于點反

（1）依題意補全圖形；

（2）求證：ZCAD=ZABE；

（3）在（1）補全的圖形中，不添加其他新的線段，在圖中找出與CO相等的線段并加

以證明。

圖解（略解）：

（1）問

截取BG=A￡>,黃綠△8G￡>二粉紅△AOC（SAS）：

設NA8G=N/UX?=a;N84G=NACD=〃，貝ljNAGE=a+/;NCDE=a+/7（三角形外角

等于不相鄰內(nèi)角和）：

BE//CD=>ZCDE=ZAEG=a+fi（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）

根CD=AG=AE

標準答案（詳解）：

27.（本小題滿分7分）

（1）解：補全圖形如圖6所示.

(2)證明：如圖7,延長BE至點F.

'：BE//CD,點尸在班■的延長線上，

:.Z/IDC=Z1.

VZADC=ZBAC,\X.

:.Z1-Z5/4C.

V/1是△/6￡的外角，

?*.Z\=ZABE+ZBAE.學……聲

:.ZABE=Z\-ZBAE.

,圖7

又丁ZCAD-ZBAC-Z.BAE,

：.NCAD=ZABE.......................................................................................3分

(3)AE...............................................................................................................................4分

證明：如圖8,延長8E至點兄在8f?上極取8G=/。，連接4G.

由(2)得//8G=/C4。.

.*.4GE=N2.

:.AE=AG.

AECD.

12.（2021?順義一模）如圖，等腰三角形ABC中，AB=AC,CO_LA3于點O,ZA=a.

（1）求出NQCB的大?。ㄓ煤琣的式子表示）；

（2）延長8至點E,使CE=AC,連接AE并延長交CB的延長線于點E

①依題意補全圖形；

②用等式表示線段EF與8c之間的數(shù)量關系，并證明。

A

(1)解：'：AB=AC,