彈性力學(xué)數(shù)值方法：數(shù)值積分：數(shù)值積分誤差分析與控制

彈性力學(xué)數(shù)值方法：數(shù)值積分：數(shù)值積分誤差分析與控制1彈性力學(xué)基礎(chǔ)理論1.1彈性力學(xué)基本方程在彈性力學(xué)中，基本方程描述了物體在受力作用下的變形和應(yīng)力分布。這些方程主要包括平衡方程、幾何方程和物理方程，它們構(gòu)成了彈性力學(xué)的核心。1.1.1平衡方程平衡方程描述了物體內(nèi)部的應(yīng)力分布必須滿足的力學(xué)平衡條件。在三維空間中，平衡方程可以表示為：???其中，σx,σy,σz1.1.2幾何方程幾何方程描述了物體的變形與位移之間的關(guān)系。在小變形假設(shè)下，幾何方程可以簡(jiǎn)化為：???γγγ其中，?x,?y,?z1.1.3物理方程物理方程，也稱為本構(gòu)方程，描述了應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系。對(duì)于線彈性材料，物理方程遵循胡克定律：σσστττ其中，E是彈性模量，G是剪切模量。1.2材料力學(xué)性質(zhì)與本構(gòu)關(guān)系材料的力學(xué)性質(zhì)決定了其在受力作用下的響應(yīng)。這些性質(zhì)包括彈性模量、泊松比、剪切模量等，它們是本構(gòu)關(guān)系的基礎(chǔ)。1.2.1彈性模量彈性模量E描述了材料在彈性范圍內(nèi)抵抗拉伸或壓縮的能力。對(duì)于一維情況，彈性模量定義為：E其中，σ是應(yīng)力，?是應(yīng)變。1.2.2泊松比泊松比ν描述了材料在彈性范圍內(nèi)橫向收縮與縱向伸長(zhǎng)的比值。泊松比與彈性模量和剪切模量之間存在關(guān)系：G1.2.3本構(gòu)關(guān)系本構(gòu)關(guān)系是描述材料應(yīng)力應(yīng)變行為的方程。對(duì)于各向同性線彈性材料，本構(gòu)關(guān)系可以表示為：σ其中，σij是應(yīng)力張量，?kl1.2.4示例：計(jì)算彈性體的應(yīng)力假設(shè)有一彈性體，其彈性模量E=200GPa，泊松比ν#定義材料參數(shù)

E=200e9#彈性模量，單位：Pa

nu=0.3#泊松比

#定義應(yīng)變

epsilon_x=0.001

#計(jì)算正應(yīng)力

sigma_x=E*epsilon_x

#輸出結(jié)果

print(f"正應(yīng)力σx為：{sigma_x}Pa")在這個(gè)例子中，我們使用了彈性模量和應(yīng)變來計(jì)算正應(yīng)力。通過將材料參數(shù)和應(yīng)變值代入胡克定律的公式，我們得到了正應(yīng)力的計(jì)算結(jié)果。1.3總結(jié)彈性力學(xué)基礎(chǔ)理論包括平衡方程、幾何方程和物理方程，它們共同描述了物體在受力作用下的力學(xué)行為。材料的力學(xué)性質(zhì)，如彈性模量和泊松比，是本構(gòu)關(guān)系的基礎(chǔ)，用于計(jì)算應(yīng)力和應(yīng)變之間的關(guān)系。通過理解和應(yīng)用這些基本原理，我們可以分析和預(yù)測(cè)彈性體在不同載荷條件下的響應(yīng)。2數(shù)值積分方法數(shù)值積分是數(shù)值分析中的一個(gè)重要分支，用于近似計(jì)算定積分。在彈性力學(xué)的數(shù)值方法中，數(shù)值積分常用于求解微分方程的弱形式，如有限元方法中的加權(quán)殘值法。下面，我們將詳細(xì)介紹兩種常用的數(shù)值積分方法：牛頓-柯特斯公式和高斯積分法。2.1牛頓-柯特斯公式牛頓-柯特斯公式是基于多項(xiàng)式插值的數(shù)值積分方法。它通過在積分區(qū)間上選取若干個(gè)節(jié)點(diǎn)，然后用這些節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值來構(gòu)造一個(gè)多項(xiàng)式，最后用這個(gè)多項(xiàng)式在積分區(qū)間上的積分值來近似原函數(shù)的積分值。2.1.1原理牛頓-柯特斯公式可以分為閉型和開型。閉型公式在積分區(qū)間的端點(diǎn)處也取節(jié)點(diǎn)，而開型公式則不取端點(diǎn)處的節(jié)點(diǎn)。最常用的閉型牛頓-柯特斯公式是辛普森公式和梯形公式。梯形公式梯形公式是最簡(jiǎn)單的牛頓-柯特斯公式，它將積分區(qū)間分割成若干個(gè)小區(qū)間，每個(gè)小區(qū)間上用線性插值來近似函數(shù)，然后計(jì)算每個(gè)小區(qū)間上的積分值，最后將這些積分值相加得到整個(gè)積分區(qū)間的積分值。假設(shè)我們要計(jì)算函數(shù)fx在區(qū)間a,b上的積分，將區(qū)間a,ba其中，xi=a辛普森公式辛普森公式是梯形公式的改進(jìn)，它將每個(gè)小區(qū)間進(jìn)一步分割成兩個(gè)子區(qū)間，然后用二次插值來近似函數(shù)，從而得到更精確的積分值。假設(shè)我們要計(jì)算函數(shù)fx在區(qū)間a,b上的積分，將區(qū)間a,ba其中，xi=a2.1.2代碼示例下面是一個(gè)使用Python實(shí)現(xiàn)的梯形公式和辛普森公式的示例：deftrapezoidal_rule(f,a,b,n):

"""

使用梯形公式計(jì)算函數(shù)f在區(qū)間[a,b]上的積分，將區(qū)間等分為n個(gè)小區(qū)間。

"""

h=(b-a)/n

x=[a+i*hforiinrange(n+1)]

integral=0.5*h*(f(x[0])+f(x[-1]))

foriinrange(1,n):

integral+=h*f(x[i])

returnintegral

defsimpson_rule(f,a,b,n):

"""

使用辛普森公式計(jì)算函數(shù)f在區(qū)間[a,b]上的積分，將區(qū)間等分為2n個(gè)小區(qū)間。

"""

h=(b-a)/(2*n)

x=[a+i*hforiinrange(2*n+1)]

integral=h/3*(f(x[0])+f(x[-1]))

foriinrange(1,2*n,2):

integral+=4*h*f(x[i])

foriinrange(2,2*n,2):

integral+=2*h*f(x[i])

returnintegral

#測(cè)試函數(shù)

deff(x):

returnx**2

#計(jì)算函數(shù)f在區(qū)間[0,1]上的積分

print("Trapezoidalrule:",trapezoidal_rule(f,0,1,100))

print("Simpsonrule:",simpson_rule(f,0,1,50))2.2高斯積分法高斯積分法是一種基于正交多項(xiàng)式的數(shù)值積分方法。它通過在積分區(qū)間上選取若干個(gè)節(jié)點(diǎn)和對(duì)應(yīng)的權(quán)重，然后用這些節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值和權(quán)重來計(jì)算積分值。高斯積分法的精度通常比牛頓-柯特斯公式更高，且計(jì)算量更小。2.2.1原理高斯積分法的關(guān)鍵是選擇合適的節(jié)點(diǎn)和權(quán)重。對(duì)于區(qū)間?1?其中，xi是節(jié)點(diǎn)，w對(duì)于其他積分區(qū)間，可以通過變換將積分區(qū)間轉(zhuǎn)換為?12.2.2代碼示例下面是一個(gè)使用Python實(shí)現(xiàn)的高斯積分法的示例：importnumpyasnp

fromscipy.special.orthogonalimportp_roots

defgaussian_quadrature(f,a,b,n):

"""

使用高斯積分法計(jì)算函數(shù)f在區(qū)間[a,b]上的積分，將區(qū)間轉(zhuǎn)換為[-1,1]，并使用n個(gè)節(jié)點(diǎn)。

"""

#將積分區(qū)間轉(zhuǎn)換為[-1,1]

c=(b+a)/2

d=(b-a)/2

#獲取n個(gè)節(jié)點(diǎn)和對(duì)應(yīng)的權(quán)重

x,w=p_roots(n)

#計(jì)算積分值

integral=d*np.sum(w*f(c+d*x))

returnintegral

#測(cè)試函數(shù)

deff(x):

returnx**2

#計(jì)算函數(shù)f在區(qū)間[0,1]上的積分

print("Gaussianquadrature:",gaussian_quadrature(f,0,1,5))2.2.3結(jié)論牛頓-柯特斯公式和高斯積分法都是數(shù)值積分的重要方法，它們各有優(yōu)缺點(diǎn)。牛頓-柯特斯公式易于理解和實(shí)現(xiàn)，但精度可能較低，且計(jì)算量可能較大。高斯積分法精度高，計(jì)算量小，但節(jié)點(diǎn)和權(quán)重的選擇較為復(fù)雜。在實(shí)際應(yīng)用中，應(yīng)根據(jù)具體問題選擇合適的方法。3彈性力學(xué)數(shù)值方法：數(shù)值積分：誤差來源與分析3.1插值誤差分析在彈性力學(xué)的數(shù)值方法中，如有限元法，我們經(jīng)常需要對(duì)連續(xù)函數(shù)進(jìn)行離散化處理，這一過程通常涉及到插值。插值誤差分析是評(píng)估和理解數(shù)值積分精度的關(guān)鍵步驟。插值誤差主要來源于兩個(gè)方面：一是插值函數(shù)與實(shí)際函數(shù)的逼近程度，二是離散化過程中的截?cái)嗾`差。3.1.1原理考慮一個(gè)在區(qū)間a,b上的連續(xù)函數(shù)fx，我們使用n個(gè)節(jié)點(diǎn)的插值多項(xiàng)式pnxE對(duì)于拉格朗日插值，誤差可以由拉格朗日插值余項(xiàng)公式給出：E其中，ξ是a,b區(qū)間內(nèi)的某個(gè)點(diǎn)，fn+13.1.2內(nèi)容插值誤差的大小與插值多項(xiàng)式的階數(shù)、節(jié)點(diǎn)的分布以及函數(shù)本身的性質(zhì)有關(guān)。為了減小插值誤差，可以增加插值多項(xiàng)式的階數(shù)，優(yōu)化節(jié)點(diǎn)分布，或者選擇更合適的插值方法。示例：拉格朗日插值假設(shè)我們有函數(shù)fx=eimportnumpyasnp

importmatplotlib.pyplotasplt

#定義函數(shù)f(x)=e^x

deff(x):

returnnp.exp(x)

#定義拉格朗日基函數(shù)

defL_k(x,x_nodes,k):

n=len(x_nodes)

result=1.0

foriinrange(n):

ifi!=k:

result*=(x-x_nodes[i])/(x_nodes[k]-x_nodes[i])

returnresult

#定義拉格朗日插值函數(shù)

deflagrange_interpolation(x,x_nodes,y_nodes):

n=len(x_nodes)

p_n=0.0

forkinrange(n):

p_n+=y_nodes[k]*L_k(x,x_nodes,k)

returnp_n

#選擇節(jié)點(diǎn)

x_nodes=np.array([0,0.5,1])

#計(jì)算節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值

y_nodes=f(x_nodes)

#創(chuàng)建插值函數(shù)

x=np.linspace(0,1,100)

y=f(x)

y_interpolated=lagrange_interpolation(x,x_nodes,y_nodes)

#繪制函數(shù)和插值結(jié)果

plt.plot(x,y,label='f(x)=e^x')

plt.plot(x,y_interpolated,label='LagrangeInterpolation',linestyle='--')

plt.scatter(x_nodes,y_nodes,color='red',label='Nodes')

plt.legend()

plt.show()通過比較插值函數(shù)與原函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的圖形，我們可以直觀地看到插值誤差。此外，通過計(jì)算插值函數(shù)與原函數(shù)之間的最大誤差，可以量化插值誤差的大小。3.2積分點(diǎn)選擇對(duì)誤差的影響在數(shù)值積分中，積分點(diǎn)的選擇對(duì)積分結(jié)果的精度有著直接的影響。不同的積分點(diǎn)分布策略（如均勻分布、高斯積分點(diǎn)分布等）會(huì)導(dǎo)致不同的積分誤差。3.2.1原理數(shù)值積分通常通過將積分區(qū)間分割成若干小段，然后在每個(gè)小段上使用近似公式（如矩形法則、梯形法則、辛普森法則等）來計(jì)算積分值。積分點(diǎn)的選擇決定了近似公式的精度。高斯積分高斯積分是一種高效的數(shù)值積分方法，它通過在積分區(qū)間內(nèi)選擇特定的積分點(diǎn)和權(quán)重，可以達(dá)到較高的積分精度。高斯積分點(diǎn)的選擇是基于正交多項(xiàng)式的根，這些根通常位于積分區(qū)間的內(nèi)部，而非端點(diǎn)。3.2.2內(nèi)容選擇更多的積分點(diǎn)通?？梢詼p小積分誤差，但也會(huì)增加計(jì)算成本。因此，在實(shí)際應(yīng)用中，需要根據(jù)問題的特性和計(jì)算資源來平衡積分點(diǎn)的數(shù)量和精度。示例：高斯積分假設(shè)我們有函數(shù)fx=ximportnumpyasnp

fromegrateimportfixed_quad

#定義函數(shù)f(x)=x^2

deff(x):

returnx**2

#使用高斯積分計(jì)算數(shù)值積分

result,error=fixed_quad(f,-1,1,n=3)

#輸出積分結(jié)果和誤差估計(jì)

print("積分結(jié)果:",result)

print("誤差估計(jì):",error)在這個(gè)例子中，我們使用了egrate.fixed_quad函數(shù)，它實(shí)現(xiàn)了高斯積分。通過設(shè)置n=3，我們選擇了三個(gè)高斯積分點(diǎn)。積分結(jié)果和誤差估計(jì)顯示了高斯積分的精度和可靠性。通過上述分析和示例，我們可以看到插值誤差和積分點(diǎn)選擇對(duì)數(shù)值積分精度的影響。在實(shí)際應(yīng)用中，合理選擇插值方法和積分點(diǎn)分布策略，可以有效控制和減小數(shù)值積分誤差。4誤差控制技術(shù)4.1自適應(yīng)積分策略自適應(yīng)積分策略是一種用于提高數(shù)值積分精度的方法，它通過動(dòng)態(tài)調(diào)整積分區(qū)間或積分步長(zhǎng)來控制誤差。在彈性力學(xué)數(shù)值方法中，自適應(yīng)積分策略尤其重要，因?yàn)椴牧系姆蔷€性、幾何的復(fù)雜性以及邊界條件的多樣性可能導(dǎo)致積分誤差的顯著增加。自適應(yīng)積分策略可以分為兩類：自適應(yīng)步長(zhǎng)策略和自適應(yīng)區(qū)間劃分策略。4.1.1自適應(yīng)步長(zhǎng)策略自適應(yīng)步長(zhǎng)策略基于對(duì)積分結(jié)果的局部誤差估計(jì)，通過調(diào)整步長(zhǎng)來控制誤差。例如，使用Simpson規(guī)則或Gauss-Laguerre規(guī)則時(shí)，可以計(jì)算兩個(gè)不同步長(zhǎng)下的積分結(jié)果，然后比較它們的差異來估計(jì)誤差。如果誤差超過預(yù)設(shè)的閾值，步長(zhǎng)將被減小，反之則可以增大。示例：使用Python實(shí)現(xiàn)自適應(yīng)Simpson規(guī)則defadaptive_simpson(f,a,b,tol=1e-6):

"""

使用自適應(yīng)Simpson規(guī)則計(jì)算f在[a,b]區(qū)間的積分。

參數(shù):

f:被積函數(shù)

a:積分區(qū)間的左端點(diǎn)

b:積分區(qū)間的右端點(diǎn)

tol:容忍誤差

"""

defsimpson(f,a,b):

"""Simpson規(guī)則計(jì)算積分"""

h=(b-a)/2

return(h/3)*(f(a)+4*f((a+b)/2)+f(b))

defadaptive_simpson_rec(f,a,b,tol):

"""遞歸實(shí)現(xiàn)自適應(yīng)Simpson規(guī)則"""

c=(a+b)/2

left=simpson(f,a,c)

right=simpson(f,c,b)

ifabs(left+right-simpson(f,a,b))<tol:

returnleft+right

else:

returnadaptive_simpson_rec(f,a,c,tol/2)+adaptive_simpson_rec(f,c,b,tol/2)

returnadaptive_simpson_rec(f,a,b,tol)

#定義被積函數(shù)

deff(x):

returnx**2

#調(diào)用自適應(yīng)Simpson規(guī)則計(jì)算積分

result=adaptive_simpson(f,0,1)

print("積分結(jié)果:",result)4.1.2自適應(yīng)區(qū)間劃分策略自適應(yīng)區(qū)間劃分策略通過將積分區(qū)間細(xì)分為多個(gè)子區(qū)間，然后在每個(gè)子區(qū)間上應(yīng)用數(shù)值積分方法。這種方法可以更精確地捕捉到函數(shù)在不同區(qū)域的變化特性，從而減少積分誤差。通常，自適應(yīng)區(qū)間劃分策略會(huì)根據(jù)函數(shù)的局部變化率來決定子區(qū)間的大小。示例：使用Python實(shí)現(xiàn)自適應(yīng)區(qū)間劃分的復(fù)合梯形規(guī)則defadaptive_trapezoidal(f,a,b,tol=1e-6):

"""

使用自適應(yīng)區(qū)間劃分的復(fù)合梯形規(guī)則計(jì)算f在[a,b]區(qū)間的積分。

參數(shù):

f:被積函數(shù)

a:積分區(qū)間的左端點(diǎn)

b:積分區(qū)間的右端點(diǎn)

tol:容忍誤差

"""

deftrapezoidal(f,a,b):

"""復(fù)合梯形規(guī)則計(jì)算積分"""

return(b-a)*(f(a)+f(b))/2

defadaptive_trapezoidal_rec(f,a,b,tol):

"""遞歸實(shí)現(xiàn)自適應(yīng)區(qū)間劃分的復(fù)合梯形規(guī)則"""

c=(a+b)/2

left=trapezoidal(f,a,c)

right=trapezoidal(f,c,b)

ifabs(left+right-trapezoidal(f,a,b))<tol:

returnleft+right

else:

returnadaptive_trapezoidal_rec(f,a,c,tol/2)+adaptive_trapezoidal_rec(f,c,b,tol/2)

returnadaptive_trapezoidal_rec(f,a,b,tol)

#定義被積函數(shù)

deff(x):

returnx**3

#調(diào)用自適應(yīng)區(qū)間劃分的復(fù)合梯形規(guī)則計(jì)算積分

result=adaptive_trapezoidal(f,0,1)

print("積分結(jié)果:",result)4.2誤差估計(jì)與修正在彈性力學(xué)數(shù)值方法中，誤差估計(jì)與修正是確保計(jì)算結(jié)果可靠性的關(guān)鍵步驟。誤差估計(jì)通常涉及計(jì)算數(shù)值解與精確解之間的差異，或者在沒有精確解的情況下，通過比較不同步長(zhǎng)或不同積分方法的結(jié)果來估計(jì)誤差。一旦估計(jì)出誤差，可以采用修正策略來減少誤差，例如使用更高階的積分方法或調(diào)整積分步長(zhǎng)。4.2.1誤差估計(jì)方法后驗(yàn)誤差估計(jì)后驗(yàn)誤差估計(jì)是在計(jì)算過程完成后進(jìn)行的，它基于數(shù)值解的局部特性來估計(jì)誤差。例如，可以計(jì)算數(shù)值解的梯度或二階導(dǎo)數(shù)，然后根據(jù)這些信息來估計(jì)誤差。前驗(yàn)誤差估計(jì)前驗(yàn)誤差估計(jì)是在計(jì)算過程開始前進(jìn)行的，它基于問題的先驗(yàn)知識(shí)來估計(jì)誤差。例如，如果知道函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)的變化率，可以使用這個(gè)信息來預(yù)估積分誤差。4.2.2誤差修正策略提高積分階次通過使用更高階的積分方法，如從梯形規(guī)則提高到Simpson規(guī)則，可以減少積分誤差。調(diào)整積分步長(zhǎng)根據(jù)誤差估計(jì)的結(jié)果，動(dòng)態(tài)調(diào)整積分步長(zhǎng)，以在誤差較大的區(qū)域使用更小的步長(zhǎng)，從而提高計(jì)算精度。示例：使用Python實(shí)現(xiàn)后驗(yàn)誤差估計(jì)與修正defpost_error_estimation(f,a,b,n):

"""

使用后驗(yàn)誤差估計(jì)方法計(jì)算f在[a,b]區(qū)間的積分誤差。

參數(shù):

f:被積函數(shù)

a:積分區(qū)間的左端點(diǎn)

b:積分區(qū)間的右端點(diǎn)

n:初始積分步長(zhǎng)數(shù)量

"""

h=(b-a)/n

x=[a+i*hforiinrange(n+1)]

y=[f(xi)forxiinx]

dy=[y[i+1]-y[i]foriinrange(n)]

ddy=[dy[i+1]-dy[i]foriinrange(n-1)]

error=max([abs(ddyi)forddyiinddy])*h**2/12

returnerror

#定義被積函數(shù)

deff(x):

returnx**4

#定義積分區(qū)間和步長(zhǎng)數(shù)量

a,b=0,1

n=100

#計(jì)算后驗(yàn)誤差估計(jì)

error=post_error_estimation(f,a,b,n)

print("后驗(yàn)誤差估計(jì):",error)

#根據(jù)誤差調(diào)整步長(zhǎng)數(shù)量

new_n=int(n*(tol/error)**0.5)

print("調(diào)整后的步長(zhǎng)數(shù)量:",new_n)在這個(gè)示例中，我們首先定義了一個(gè)后驗(yàn)誤差估計(jì)函數(shù)，它基于數(shù)值解的二階導(dǎo)數(shù)來估計(jì)積分誤差。然后，我們根據(jù)估計(jì)出的誤差調(diào)整了積分步長(zhǎng)數(shù)量，以減少誤差。這種方法在處理復(fù)雜函數(shù)或非線性問題時(shí)特別有效，因?yàn)樗梢愿鶕?jù)函數(shù)的局部特性動(dòng)態(tài)調(diào)整計(jì)算策略。5數(shù)值積分在彈性力學(xué)中的應(yīng)用5.1有限元方法中的數(shù)值積分5.1.1原理在有限元方法(FEM)中，數(shù)值積分主要用于計(jì)算單元的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣。這些矩陣的計(jì)算涉及到對(duì)單元內(nèi)部的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系和位移函數(shù)的積分。由于單元形狀和材料屬性的復(fù)雜性，這些積分往往不能解析求解，因此需要數(shù)值積分方法，如高斯積分，來近似計(jì)算。5.1.2內(nèi)容高斯積分高斯積分是一種高效的數(shù)值積分方法，它基于多項(xiàng)式函數(shù)的積分。在有限元分析中，高斯積分點(diǎn)的選擇和權(quán)重的確定是關(guān)鍵。例如，對(duì)于一個(gè)二維四邊形單元，我們通常使用雙線性形函數(shù)來表示位移，這時(shí)可以采用2x2或3x3的高斯積分點(diǎn)來計(jì)算剛度矩陣。代碼示例下面是一個(gè)使用Python和NumPy庫實(shí)現(xiàn)的二維四邊形單元的高斯積分示例：importnumpyasnp

#定義高斯積分點(diǎn)和權(quán)重

gauss_points=np.array([[-1/np.sqrt(3),-1/np.sqrt(3)],

[1/np.sqrt(3),-1/np.sqrt(3)],

[-1/np.sqrt(3),1/np.sqrt(3)],

[1/np.sqrt(3),1/np.sqrt(3)]])

weights=np.array([1,1,1,1])

#定義單元的坐標(biāo)

coords=np.array([[0,0],

[1,0],

[1,1],

[0,1]])

#定義單元的形函數(shù)

defshape_function(r,s):

N=np.array([(1-r)*(1-s)/4,(1+r)*(1-s)/4,(1+r)*(1+s)/4,(1-r)*(1+s)/4])

returnN

#定義形函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

defdshape_function(r,s):

dNdr=np.array([[-(1-s)/4,(1-s)/4,(1+s)/4,-(1+s)/4])

dNds=np.array([[-(1-r)/4,-(1+r)/4,(1+r)/4,(1-r)/4])

returndNdr,dNds

#定義剛度矩陣的計(jì)算

defstiffness_matrix(E,nu):

D=E/(1-nu**2)*np.array([[1,nu,0,0],

[nu,1,0,0],

[0,0,(1-nu)/2,0],

[0,0,0,(1-nu)/2]])

K=np.zeros((8,8))

fori,(r,s)inenumerate(gauss_points):

N=shape_function(r,s)

dNdr,dNds=dshape_function(r,s)

J=np.dot(np.array([dNdr,dNds]),coords.T)

B=np.array([[dNdr[0],0,dNdr[1],0,dNdr[2],0,dNdr[3],0],

[0,dNds[0],0,dNds[1],0,dNds[2],0,dNds[3]],

[dNds[0],dNdr[0],dNds[1],dNdr[1],dNds[2],dNdr[2],dNds[3],dNdr[3]]])

K+=weights[i]*np.dot(np.dot(B.T,D),B)*np.linalg.det(J)

returnK

#使用示例

E=200e9#楊氏模量

nu=0.3#泊松比

K=stiffness_matrix(E,nu)

print(K)5.1.3描述上述代碼首先定義了高斯積分點(diǎn)和權(quán)重，然后定義了單元的坐標(biāo)和形函數(shù)。在計(jì)算剛度矩陣時(shí)，我們首先計(jì)算了形函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后計(jì)算了雅可比矩陣和應(yīng)變-位移矩陣。最后，我們使用高斯積分點(diǎn)和權(quán)重來計(jì)算剛度矩陣。5.2邊界元方法中的數(shù)值積分5.2.1原理邊界元方法(BEM)是一種基于彈性力學(xué)的邊界條件和格林函數(shù)的數(shù)值方法。在BEM中，數(shù)值積分主要用于計(jì)算邊界上的積分方程。由于邊界形狀的復(fù)雜性，這些積分往往不能解析求解，因此需要數(shù)值積分方法，如辛普森規(guī)則或梯形規(guī)則，來近似計(jì)算。5.2.2內(nèi)容辛普森規(guī)則辛普森規(guī)則是一種基于拋物線函數(shù)的數(shù)值積分方法。在BEM中，辛普森規(guī)則可以用于計(jì)算邊界上的積分方程。例如，對(duì)于一個(gè)二維圓形邊界，我們可以使用辛普森規(guī)則來計(jì)算邊界上的積分。代碼示例下面是一個(gè)使用Python和NumPy庫實(shí)現(xiàn)的二維圓形邊界的辛普森規(guī)則積分示例：importnumpyasnp

#定義邊界上的積分函數(shù)

defintegral_function(theta):

r=1#圓的半徑

x=r*np.cos(theta)

y=r*np.sin(theta)

f=x**2+y**2#積分函數(shù)

returnf

#定義辛普森規(guī)則的計(jì)算

defsimpson_rule(a,b,n):

h=(b-a)/n

x=np.linspace(a,b,n+1)

y=integral_function(x)

I=h/3*(y[0]+4*np.sum(y[1:n:2])+2*np.sum(y[2:n-1:2])+y[n])

returnI

#使用示例

a=0#積分下限

b=2*np.pi#積分上限

n=100#分割點(diǎn)數(shù)

I=simpson_rule(a,b,n)

print(I)5.2.3描述上述代碼首先定義了邊界上的積分函數(shù)，然后定義了辛普森規(guī)則的計(jì)算。在計(jì)算積分時(shí)，我們首先將邊界分割成多個(gè)小段，然后在每個(gè)小段上使用辛普森規(guī)則來計(jì)算積分。最后，我們將所有小段的積分結(jié)果相加，得到整個(gè)邊界的積分結(jié)果。6案例研究與實(shí)踐6.1平面應(yīng)力問題的數(shù)值積分分析6.1.1原理與內(nèi)容在彈性力學(xué)中，平面應(yīng)力問題通常出現(xiàn)在薄板結(jié)構(gòu)中，其中厚度方向的應(yīng)力可以忽略不計(jì)。這類問題的求解往往依賴于數(shù)值方法，特別是有限元法(FEM)。在有限元分析中，數(shù)值積分用于計(jì)算單元的剛度矩陣和內(nèi)力向量，其中高斯積分是最常用的方法之一。高斯積分高斯積分是一種數(shù)值積分技術(shù)，它通過在積分區(qū)間內(nèi)選取若干個(gè)積分點(diǎn)和對(duì)應(yīng)的權(quán)重，來近似計(jì)算積分值。對(duì)于平面應(yīng)力問題，我們通常在每個(gè)單元內(nèi)采用高斯積分來計(jì)算應(yīng)變能，進(jìn)而得到剛度矩陣。誤差分析數(shù)值積分的誤差主要來源于兩個(gè)方面：一是積分點(diǎn)的選擇，二是函數(shù)在積分點(diǎn)處的近似。高斯積分的精度取決于積分點(diǎn)的數(shù)量，但增加積分點(diǎn)數(shù)量也會(huì)增加計(jì)算成本。因此，誤差分析與控制是確保計(jì)算效率和精度的關(guān)鍵。誤差控制誤差控制可以通過調(diào)整積分點(diǎn)的數(shù)量和位置來實(shí)現(xiàn)。例如，對(duì)于線性函數(shù)，一個(gè)積分點(diǎn)就足夠；而對(duì)于更高階的函數(shù)，可能需要更多的積分點(diǎn)。此外，使用更高階的積分公式也可以減少誤差。6.1.2示例：平面應(yīng)力問題的高斯積分假設(shè)我們有一個(gè)平面應(yīng)力問題，需要在矩形單元內(nèi)計(jì)算剛度矩陣。單元的形狀函數(shù)為線性，因此我們使用一個(gè)積分點(diǎn)的高斯積分。數(shù)據(jù)樣例單元尺寸：長(zhǎng)度L=1m，寬度W=1m材料屬性：彈性模量E=200GPa，泊松比ν=0.3形狀函數(shù)：N1(x,y)=1-x-y,N2(x,y)=x,N3(x,y)=y,N4(x,y)=xy代碼示例importnumpyasnp

#材料屬性

E=200e9#彈性模量，單位：Pa

nu=0.3#泊松比

#單元尺寸

L=1.0#長(zhǎng)度，單位：m

W=1.0#寬度，單位：m

#形狀函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

dN1_dx=-1.0

dN1_dy=-1.0

dN2_dx=1.0

dN2_dy=0.0

dN3_dx=0.0

dN3_dy=1.0

dN4_dx=1.0

dN4_dy=1.0

#雅可比矩陣

J=np.array([[dN1_dx,dN1_dy,dN2_dx,dN2_dy],

[dN3_dx,dN3_dy,dN4_dx,dN4_dy]])*np.array([[L/2,0],[0,W/2]])

#應(yīng)變-位移矩陣

B=np.array([[dN1_dx,0,dN2_dx,0,dN3_dx,0,dN4_dx,0],

[0,dN1_dy,0,dN2_dy,0,dN3_dy,0,dN4_dy],

[dN1_dy,dN1_dx,dN2_dy,dN2_dx,dN3_dy,dN3_dx,dN4_dy,dN4_dx]])

#應(yīng)力-應(yīng)變矩陣

D=E/(1-nu**2)*np.array([[1,nu,0],

[nu,1,0],

[0,0,(1-nu)/2]])

#剛度矩陣計(jì)算

K=np.dot(np.dot(B.T,D),B)*np.linalg.det(J)

#高斯積分點(diǎn)和權(quán)重

xi=0.0

eta=0.0

w=1.0

#剛度矩陣的數(shù)值積分

K_num=K*w

print("剛度矩陣的數(shù)值積分結(jié)果：\n",K_num)6.1.3解釋上述代碼中，我們首先定義了材料屬性和單元尺寸。接著，計(jì)算了形狀函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和雅可比矩陣，用于將局部坐標(biāo)下的應(yīng)變轉(zhuǎn)換到全局坐標(biāo)下。應(yīng)變-位移矩陣和應(yīng)力-應(yīng)變矩陣的計(jì)算是基于平面應(yīng)力條件下的彈性力學(xué)理論。最后，通過高斯積分點(diǎn)和權(quán)重，我們計(jì)算了剛度矩陣的數(shù)值積分結(jié)果。6.2維彈性問題的數(shù)值積分案例6.2.1原理與內(nèi)容三維彈性問題涉及三個(gè)方向的應(yīng)力和應(yīng)變，其數(shù)值積分通常在六面體單元中進(jìn)行。與平面應(yīng)力問題類似，三維問題的數(shù)值積分也依賴于高斯積分，但積分點(diǎn)的數(shù)量和位置更為復(fù)雜。高斯積分在三維問題中的應(yīng)用在三維問題中，高斯積分通常在每個(gè)單元的體積內(nèi)進(jìn)行，積分點(diǎn)分布在單元的內(nèi)部。積分點(diǎn)的數(shù)量和位置由積分公式?jīng)Q定，常見的有1點(diǎn)、8點(diǎn)和27點(diǎn)的高斯積分公式。誤差分析三維問題的數(shù)值積分誤差同樣受到積分點(diǎn)數(shù)量和位置的影響。此外，單元的形狀和大小也會(huì)影響積分的精度。例如，非規(guī)則單元或大單元可能會(huì)導(dǎo)致較大的積分誤差。誤差控制誤差控制可以通過選擇合適的積分公式和優(yōu)化單元的形狀和大小來實(shí)現(xiàn)。在實(shí)際應(yīng)用中，通常會(huì)根據(jù)問題的復(fù)雜性和計(jì)算資源的限制來平衡積分精度和計(jì)算效率。6.2.2示例：三維彈性問題的高斯積分假設(shè)我們有一個(gè)三維彈性問題，需要在六面體單元內(nèi)計(jì)算剛度矩陣。單元的形狀函數(shù)為線性，因此我們使用8點(diǎn)的高斯積分。數(shù)據(jù)樣例單元尺寸：長(zhǎng)度L=1m，寬度W=1m，高度H=1m材料屬性：彈性模量E=200GPa，泊松比ν=0.3形狀函數(shù)：N1(x,y,z)=1-x-y-z,…,N8(x,y,z)=xyz代碼示例importnumpyasnp

#材料屬性

E=200e9#彈性模量，單位：Pa

nu=0.3#泊松比

#單元尺寸

L=1.0#長(zhǎng)度，單位：m

W=1.0#寬度，單位：m

H=1.0#高度，單位：m

#形狀函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

dN1_dx=-1.0

dN1_dy=-1.0

dN1_dz=-1.0

#...其他形狀函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

#雅可比矩陣

J=np.array([[dN1_dx,dN1_dy,dN1_dz,...],

[dN2_dx,dN2_dy,dN2_dz,...],

[dN3_dx,dN3_dy,dN3_dz,...],

[dN4_dx,dN4_dy,dN4_dz,...],

[dN5_dx,dN5_dy,dN5_dz,...],

[dN6_dx,dN6_dy,dN6_dz,...],

[dN7_dx,dN7_dy,dN7_dz,...],

[dN8_dx,dN8_dy,dN8_dz,...]])*np.array([[L/2,0,0],[0,W/2,0],[0,0,H/2]])

#應(yīng)變-位移矩陣

B=np.array([[dN1_dx,0,0,dN2_dx,0,0,...],

[0,dN1_dy,0,0,dN2_dy,0,...],

[0,0,dN1_dz,0,0,dN2_dz,...],

[dN1_dy,dN1_dx,0,dN2_dy,dN2_dx,0,...],

[0,dN1_dz,dN1_dy,0,dN2_dz,dN2_dy,...],

[dN1_dz,0,dN1_dx,dN2_dz,0,dN2_dx,...]])

#應(yīng)力-應(yīng)變矩陣

D=E/((1+nu)*(1-2*nu))*np.array([[1-nu,nu,nu,0,0,0],

[nu,1-nu,nu,0,0,0],

[nu,nu,1-nu,0,0,0],

[0,0,0,(1-2*nu)/2,0,0],

[0,0,0,0,(1-2*nu)/2,0],

[0,0,0,0,0,(1-2*nu)/2]])

#剛度矩陣計(jì)算

K=np.dot(np.dot(B.T,D),B)*np.linalg.det(J)

#高斯積分點(diǎn)和權(quán)重

#8點(diǎn)高斯積分的積分點(diǎn)和權(quán)重

xi=[-1/np.sqrt(3),1/np.sqrt(3),-1/np.sqrt(3),1/np.sqrt(3),-1/np.sqrt(3),1/np.sqrt(3),-1/np.sqrt(3),1/np.sqrt(3)]

eta=[-1/np.sqrt(3),-1/np.sqrt(3),1/np.sqrt(3),1/np.sqrt(3),-1/np.sqrt(3),-1/np.sqrt(3),1/np.sqrt(3),1/np.sqrt(3)]

zeta=[-1/np.sqrt(3),-1/np.sqrt(3),-1/np.sqrt(3),-1/np.sqrt(3),1/np.sqrt(3),1/np.sqrt(3),1/np.sqrt(3),1/np.sqrt(3)]

w=[1,1,1,1,1,1,1,1]

#剛度矩陣的數(shù)值積分

K_num=np