專題06 線段的垂直平分線與角平分線綜合壓軸題五種模型全攻略（原卷版）

專題06線段的垂直平分線與角平分線綜合壓軸題五種模型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一利用線段垂直平分線的性質(zhì)求解】 1【考點(diǎn)二線段垂直平分線的判定】 4【考點(diǎn)三利用角平分線的性質(zhì)求解】 8【考點(diǎn)四角平分線的判定】 10【考點(diǎn)五線段的垂直平分線與角平分線的綜合問題】 14【過關(guān)檢測(cè)】 20【典型例題】【考點(diǎn)一利用線段垂直平分線的性質(zhì)求解】例題：（2023春·江蘇淮安·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，中，，，的垂直平分線交于E，D，連接，則．【變式訓(xùn)練】1．（2023·江蘇·八年級(jí)假期作業(yè)）三名同學(xué)分別站在一個(gè)三角形三個(gè)頂點(diǎn)的位置上，他們?cè)谕鎿尩首拥挠螒颍笤谒麄冎虚g放一個(gè)凳子，搶到凳子者獲勝，為使游戲公平，凳子應(yīng)放的最適當(dāng)?shù)奈恢迷谌切蔚模?/p>

）A．三條角平分線的交點(diǎn) B．三邊中線的交點(diǎn)C．三邊上高所在直線的交點(diǎn) D．三邊的垂直平分線的交點(diǎn)2．（2023春·山東濟(jì)南·七年級(jí)濟(jì)南市章丘區(qū)第二實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在中，，的中垂線交于E，的中垂線交于G，則的周長等于．

3．（2023春·廣東深圳·七年級(jí)?？计谀┤鐖D，在中，，分別垂直平分邊和邊，交邊于M，N兩點(diǎn)，與相交于點(diǎn)F．

(1)若，求的周長；(2)若，則的度數(shù)為______°．【考點(diǎn)二線段垂直平分線的判定】例題：（2023春·陜西西安·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，為三角形的角平分線，于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，連接交于點(diǎn)O．

(1)若，，求的度數(shù)；(2)寫出與的關(guān)系，并說明理由；【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·廣西河池·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，邊，的垂直平分線交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)求證：點(diǎn)在線段的垂直平分線上．2．（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)是等邊外一點(diǎn)，，，點(diǎn)，分別在，上，連接、、、．(1)求證：是的垂直平分線；(2)若平分，，求的周長．【考點(diǎn)三利用角平分線的性質(zhì)求解】例題：（2023春·山東威?！て吣昙?jí)統(tǒng)考期末）如圖，是中的平分線，于點(diǎn)E，，則（

）

A．14 B．26 C．56 D．28【變式訓(xùn)練】1．（2023春·甘肅張掖·八年級(jí)校考期末）一塊三角形的草坪，現(xiàn)要在草坪上建一個(gè)涼亭供大家休息，要使涼亭到草坪三邊的距離相等，涼亭的位置應(yīng)選在（）A．三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn) B．三角形三條角平分線的交點(diǎn)C．三角形三條高所在直線的交點(diǎn) D．三角形三條中線的交點(diǎn)2．（2023春·山西運(yùn)城·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，BD平分，P是上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作于點(diǎn)Q，，O是上任意一點(diǎn)，連接，則的最小值為．

3．（2023春·陜西榆林·七年級(jí)?？计谀┤鐖D，在四邊形中，，，的平分線與的平分線相交于點(diǎn)，且點(diǎn)在線段上，．

(1)求的度數(shù)；(2)試說明．【考點(diǎn)四角平分線的判定】例題：（2023·全國·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，的平分線與的外角平分線相交于點(diǎn)，連接．求證：是的外角平分線．【變式訓(xùn)練】1．（2023·廣東惠州·校聯(lián)考二模）如圖，，，于．

(1)求證：平分；(2)若，，求的長．2．（2023·江蘇·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，若．(1)求證：平分；(2)請(qǐng)猜想與之間的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．【考點(diǎn)五線段的垂直平分線與角平分線的綜合問題】例題：（2023秋·河北保定·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，平分，，于點(diǎn)E，點(diǎn)F在上，．(1)求證：．(2)連接，求證垂直平分．(3)若，，求的長．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·河南洛陽·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，是的角平分線，于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，連接．(1)求證：點(diǎn)D在的垂直平分線上；(2)若，，則的長為___________2．（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，為外一點(diǎn)，為的垂直平分線，分別過點(diǎn)作，，垂足分別為點(diǎn)，，且．(1)求證：為的角平分線；(2)若，，求的長．3．（2023春·全國·八年級(jí)開學(xué)考試）如圖1，射線BD交△ABC的外角平分線CE于點(diǎn)P，已知∠A=78°，∠BPC=39°，BC=7，AB=4．(1)求證：BD平分∠ABC；(2)如圖2，AC的垂直平分線交BD于點(diǎn)Q，交AC于點(diǎn)G，QM⊥BC于點(diǎn)M，求MC的長度．【過關(guān)檢測(cè)】一、選擇題1．（2023春·四川成都·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，是邊的垂直平分線，分別交于D、E兩點(diǎn)，連接，，，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．2．（2023春·四川達(dá)州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)P為定角平分線上的一個(gè)定點(diǎn)，且與互補(bǔ)．若在繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)的過程中，其兩邊分別與、相交于M、N兩點(diǎn)，則以下結(jié)論中，不正確的是（

）

A．的值不變 B．C．的長不變 D．四邊形的面積不變二、填空題3．（2023春·山東青島·七年級(jí)山東省青島實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)校考期末）如圖，是的角平分線，，垂足為，是的中線，，，．則的面積為．4．（2023春·湖南衡陽·七年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，在銳角三角形ABC中，，的面積為18，平分，若E、F分別是上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．

三、解答題5．（2023春·河南商丘·七年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，，平分，點(diǎn)D，E在射線，上，點(diǎn)P是射線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接交射線于點(diǎn)F，設(shè)．(1)如圖1，若．①的度數(shù)是，當(dāng)時(shí)，；②若，求x的值；(2)如圖2，若，是否存在這樣的x的值，使得？若存在，求出x的值；若不存在，說明理由．6．（2023春·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)統(tǒng)考期末）在中，，線段、分別平分、交于點(diǎn)G．

(1)如圖1，求的度數(shù)；(2)如圖2，求證：；(3)如圖3，過點(diǎn)C作交延長線于點(diǎn)D，連接，點(diǎn)N在延長線上，連接交于點(diǎn)，使，若，，求線段的長．7．（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，OF是的平分線，點(diǎn)A在射線上，P，Q是直線ON上的兩動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q在點(diǎn)P的右側(cè)，且，作線段OQ的垂直平分線，分別交直線OF，ON于點(diǎn)B，點(diǎn)C，連接AB，PB．(1)如圖1，請(qǐng)指出AB與PB的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(2)如圖2，當(dāng)P，Q兩點(diǎn)都在射線ON的反向延長線上時(shí)，線段AB，PB是否還存在（1）中的數(shù)量關(guān)系？若存在，請(qǐng)寫出證明過程；若不存在，請(qǐng)說明理由．8．（2023春·浙江寧波·七年級(jí)校考期末）角平分線性質(zhì)定理描述了角平分線上的點(diǎn)到角兩邊距離的關(guān)系，小儲(chǔ)發(fā)現(xiàn)將角平分線放在三角形中，有一些新的發(fā)現(xiàn)，請(qǐng)完成下列探索過程：

【知識(shí)回顧】（1）如圖1，是的平分線上的一點(diǎn)，于點(diǎn)，作于點(diǎn)，試證：【深入探究】（2）如圖2，在中，為的角平分線交于于點(diǎn)，其中，求．【應(yīng)用遷移】（3）如圖3，中，的角平分線與的中線交于點(diǎn)為中點(diǎn)，連接，若，則的長度為__________．9．（2023·貴州遵義·?？既＃┮阎狣是Rt△ABC斜邊AB的中點(diǎn)，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，過點(diǎn)D作Rt△DEF使∠DEF＝90°，∠DFE＝30°，連接CE并延長CE到P，使EP＝CE，連接BE，F(xiàn)P，BP，設(shè)BC與DE交于M，PB與EF交于N．（1）如圖1，當(dāng)D，B，F(xiàn)共線時(shí)，求證：①EB＝EP；②∠EFP＝30°；（2）如圖2，當(dāng)D，B，F(xiàn)不共線時(shí)，連接BF，求證：∠BFD+∠EFP＝30°．10．（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）【了解概念】如圖1，已知A，B為直線MN同側(cè)的兩點(diǎn)，點(diǎn)P為直線的一點(diǎn)，連接，，若，則稱點(diǎn)P為點(diǎn)A，B關(guān)于直線l的“等角點(diǎn)”．(1)【理解運(yùn)用】如圖2，在中，D為上一點(diǎn)，點(diǎn)D，E關(guān)于直線對(duì)稱，連接并延長至點(diǎn)F，判斷點(diǎn)B是否為點(diǎn)D，F(xiàn)關(guān)于直線的“等