4高中數(shù)學(xué)新教材課堂導(dǎo)學(xué)案（直線的傾斜程度）及答案

課堂導(dǎo)學(xué)（平面直角坐標(biāo)系中直線的傾斜程度）【知識(shí)點(diǎn)】1.直線的傾斜角：直線向上的方向和軸正方向所夾的叫叫做直線的傾斜角.傾斜角記為，則2.直線的斜率：傾斜角的正切值稱為斜率，記為，即（）.注：由斜率的定義可知，當(dāng)在范圍內(nèi)時(shí)，直線的斜率大于零；當(dāng)在范圍內(nèi)時(shí)，直線的斜率小于零；當(dāng)時(shí)，直線的斜率為零；當(dāng)時(shí)，直線的斜率不存在．直線的斜率與直線的傾斜角(除外)為一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，且在和范圍內(nèi)分別與傾斜角的變化方向一致，即傾斜角越大則斜率越大，反之亦然．因此若需在或范圍內(nèi)比較傾斜角的大小只需比較斜率的大小即可，反之亦然．3.過與的直線的斜率：（為直線的傾斜角）；注：對(duì)于上面的斜率公式要注意下面五點(diǎn)：(1)當(dāng)時(shí)，公式右邊無意義，直線的斜率不存在，傾斜角，直線與軸垂直；(2)與、的順序無關(guān)，即，和，在公式中的前后次序可以同時(shí)交換，但分子與分母不能交換；(3)斜率可以不通過傾斜角而直接由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)求得；(4)當(dāng)時(shí)，斜率，直線的傾斜角，直線與軸平行或重合；(5)求直線的傾斜角可以由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)先求斜率而得到．4.兩直線與（不重合）的平行與垂直：（1）平行：當(dāng)直線的斜率分別為.若∥，則與的傾斜角與相等.由，可得，即；當(dāng)直線斜率都不存在時(shí)，傾斜角與都等于90°則∥.（2）垂直：設(shè)兩條直線的斜率分別為.若，則.【例題】例1.已知三條直線的傾斜角分別為，，，則它們的斜率分別為，，.例2.如下圖所示，寫出圖中直線（）的斜率.AA1A2A3A4A5A6A7A8A9A10例3.如圖所示，，，則（1），，；（2）直線與直線是否垂直？（填“是”或“否”）（3）一條直線過點(diǎn)且與線段有公共點(diǎn)，則其斜率的取值范圍是；（4）一條直線過點(diǎn)且與線段有公共點(diǎn)，則其斜率的取值范圍是.例4.（多選題）如圖所示，下列四條直線，，，，斜率分別是，，，，傾斜角分別是，，，，則下列關(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)直線的圖像特征，結(jié)合直線的斜率與傾斜角定義，得出結(jié)論.【詳解】直線，，，，斜率分別是，，，，傾斜角分別是，，，，由傾斜角定義知，，，，故C正確；由，知，，，，故B正確；故選：BC【直線的傾斜程度】一、選擇題1．下列說法正確的是(D)A．一條直線和x軸的正方向所成的正角，叫做這條直線的傾斜角B．直線的傾斜角α的取值范圍是銳角或鈍角C．與x軸平行的直線的傾斜角為180°D．每一條直線都存在傾斜角，但并非每一條直線都存在斜率1.D解析：選項(xiàng)A成立的前提條件為直線和x軸相交，故錯(cuò)誤；選項(xiàng)B中傾斜角α的范圍是0°≤α<180°，故錯(cuò)誤；選項(xiàng)C中與x軸平行的直線，它的傾斜角為0°，故錯(cuò)誤；選項(xiàng)D中每一條直線都存在傾斜角，但是直線與y軸平行時(shí)，該直線的傾斜角為90°，斜率不存在，故正確．2．對(duì)于下列命題①若α是直線l的傾斜角，則0°≤α<180°；②一條直線的斜率隨著傾斜角的增大而增大；③任一條直線都有傾斜角，但不一定有斜率；④任一條直線都有斜率，但不一定有傾斜角．其中正確命題的個(gè)數(shù)是(B)A．1B．2C．3D．43．若A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等，則直線AB的傾斜角和斜率分別是(C)A．45°，1 B．135°，－1C．90°，不存在 D．180°，不存在C解析：由傾斜角的定義知直線AB的傾斜角為90°，而當(dāng)傾斜角為90°時(shí)，斜率不存在．4．若圖中直線l1、l2、l3的斜率分別為k1、k2、k3，則(D)A．k1<k2<k3B．k3<k1<k2C．k3<k2<k1D．k1<k3<k25．已知直線經(jīng)過點(diǎn)，，則直線的斜率為（A）A． B． C． D．6．若直線過點(diǎn)(1,2)，(4,2＋eq\r(3))，則此直線的傾斜角是(C)A．30° B．45° C．60° D．90°7．以A(－1,1)，B(2，－1)，C(1,4)為頂點(diǎn)的三角形是(C)A．銳角三角形B．鈍角三角形C．以A點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的直角三角形D．以B點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的直角三角形6.C解析kAB＝eq\f(－1－1,2＋1)＝－eq\f(2,3)，kAC＝eq\f(4－1,1＋1)＝eq\f(3,2)，∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC，∠A為直角．8．如果過P（-2，m）,Q（m，4）兩點(diǎn)的直線的斜率為1，那么m的值是（A）A．1 B．4 C．1或3 D．1或49．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)點(diǎn)?，若直線l過點(diǎn)且與線段AB相交，則直線l的斜率k的取值范圍是（

）A．或 B．或C． D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)斜率的公式，利用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行求解即可.【詳解】如圖所示：，要想直線l過點(diǎn)且與線段AB相交，則或，故選：A10．已知直線斜率為，且，那么傾斜角的取值范圍是（

）．A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】由，得到，結(jié)合正切函數(shù)的性質(zhì)，即可求解．【詳解】由題意，直線的傾斜角為，則，因?yàn)?，即，結(jié)合正切函數(shù)的性質(zhì)，可得．故選：B．二、填空題11．已知直線經(jīng)過兩點(diǎn)，，則直線的斜率為3.12．若直線AB與y軸的夾角為60°，則直線AB的傾斜角為__30°或150°___，斜率為____eq\f(\r(3),3)或－eq\f(\r(3),3)___．13.已知點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，若直線的斜率為，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)是．14．（2022·天津天津·高二期末）若直線l經(jīng)過A(2，1)，B(1，)兩點(diǎn)，則l的斜率取值范圍為_________________；其傾斜角的取值范圍為_________________.【答案】

【解析】【分析】根據(jù)直線l經(jīng)過A(2，1)，B(1，)兩點(diǎn)，利用斜率公式，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求解；設(shè)其傾斜角為，，利用正切函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】因?yàn)橹本€l經(jīng)過A(2，1)，B(1，)兩點(diǎn)，所以l的斜率為，所以l的斜率取值范圍為，設(shè)其傾斜角為，，則，所以其傾斜角的取值范圍為，故答案為：，三、解答題15．已知A(－1,1)，B(1,1)，C(2，eq\r(3)＋1)，(1)求直線AB和AC的斜率；(2)若點(diǎn)D在線段AB(包括端點(diǎn))上移動(dòng)時(shí)，求直線CD的斜率的變化范圍．10.解(1)由斜率公式得kAB＝eq\f(1－1,1－－1)＝0，kAC＝eq\f(\r(3)＋1－1,2－－1)＝eq\f(\r(3),3).(2)如圖所示．kBC＝eq\f(\r(3)＋1－1,2－1)＝eq\r(3).設(shè)直線CD的斜率為k，當(dāng)斜率k變化時(shí)，直線CD繞C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)直線CD由CA逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到CB時(shí)，直線CD與AB恒有交點(diǎn)，即D在線段AB上，此時(shí)k由kCA增大到kCB，所以k的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，\r(3))).二、直線的方程1.點(diǎn)斜式：（直線過點(diǎn)，且斜率為）；（1）點(diǎn)斜式方程是由直線上一點(diǎn)和斜率確定的，點(diǎn)斜式的前提是直線的斜率存在.點(diǎn)斜式不能表示平行于y軸的直線，即斜率不存在的直線；（2）當(dāng)直線的傾斜角為時(shí)，直線方程為；（3）當(dāng)直線傾斜角為時(shí)，直線沒有斜率，它的方程不能用點(diǎn)斜式表示.這時(shí)直線方程為：.（4）表示直線去掉一個(gè)點(diǎn)；表示一條直線.2.斜截式：（為直線在軸上的截距）；注：（1）b為直線在y軸上截距，截距可以取一切實(shí)數(shù)，即可以為正數(shù)、零、負(fù)數(shù)；距離必須大于或等于零；（2）斜截式方程可由過點(diǎn)的點(diǎn)斜式方程得到；（3）當(dāng)時(shí)，斜截式方程就是一次函數(shù)的表示形式.（4）斜截式的前提是直線的斜率存在.斜截式不能表示平行于y軸的直線，即斜率不存在的直線.（5）斜截式是點(diǎn)斜式的特殊情況，在方程中，是直線的斜率，是直線在軸上的截距.3.一般式：（、不全為零）.（1）當(dāng)時(shí)，方程可化為，它表示過點(diǎn)，斜率為的直線．（2）當(dāng)，時(shí)，方程化為，即，此時(shí)直線與軸垂直．（3）由上可知，關(guān)于、的二元一次方程，它都表示一條直線．三、兩條直線的平行與垂直1.當(dāng)直線；①若平行且；②若垂直.2.當(dāng)直線：，：①若平行且不重合；②若垂直.四、距離公式：1.兩點(diǎn)的距離：2.點(diǎn)到直線的距離公式：3.兩平行直線點(diǎn)距離：例1．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）過點(diǎn)，斜率為的直線在x軸上的截距為______．【答案】【解析】【分析】寫出直線的點(diǎn)斜式方程，令，即可求得結(jié)果.【詳解】由題可知所求直線方程為：，令，解得，即直線在x軸上的截距為.故答案為：.例2．（2022·江蘇·高二）已知三點(diǎn)，（1）△ABC為__________三角形.【答案】直角【解析】【分析】根據(jù)直線斜率關(guān)系即得.【詳解】如圖，猜想是直角三角形，由題可得邊所在直線的斜率,邊所在直線的斜率，由，得即，所以是直角三角形.故答案為：直角.（2）求直線的方程；（3）求邊上的中線所在的直線方程.例3.（多選題）（2022·江蘇·高二）下列說法正確的是（

）A．直線必過定點(diǎn)B．直線在y軸上的截距為2C．直線的傾斜角為60°D．過點(diǎn)且平行于直線的直線方程為【答案】AC【解析】【分析】將直線方程化為，即可求出直線過定點(diǎn)坐標(biāo)，從而判斷A，令求出，即可判斷B，求出直線的斜率即可得到傾斜角，從而判斷C，根據(jù)兩直線平行斜率相等求出直線方程即可判斷D；【詳解】解：對(duì)于A，，即，