高中數(shù)學第七章復數(shù)章小結(jié)教學設計

第七章復數(shù)章小結(jié)

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

1.內(nèi)容

復數(shù)的概念、復數(shù)的四則運算、復數(shù)的三角形式*

2.內(nèi)容解析

本章通過解方程引入了復數(shù)，進而研究復數(shù)的表示和運算，以及它們的幾何

意義，將實數(shù)系擴充成復數(shù)系.

教科書從解方程入手，通過總結(jié)數(shù)系不斷擴充的過程，特別是從有理數(shù)集擴

充到實數(shù)集的過程，總結(jié)了數(shù)系擴充的一般規(guī)則，即擴充后的數(shù)系與原數(shù)系中的

運算協(xié)調(diào)一致，且保持運算律不變，進而通過類比規(guī)定了復數(shù)的概念以及復數(shù)相

等的概念，將實數(shù)集擴充到了復數(shù)集.在數(shù)學史上，實數(shù)集擴充到復數(shù)集，是一

個漫長而曲折的過程，顯示了人類理性思維的強大作用.對數(shù)系擴充的學習，有

助于提升學生的數(shù)學抽象素養(yǎng).

復數(shù)本質(zhì)上是一對有序數(shù)對，因此復數(shù)集c與復平面內(nèi)所有的點組成的集

合是一一對應的，與復平面內(nèi)以原點為起點的向量組成的集合也是——對應的，

這就是復數(shù)的兩種幾何

意義.復數(shù)幾何意義的學習有助于提升學生的直觀想象素養(yǎng).

引入一類數(shù)，就要研究它的運算，復數(shù)的四則運算中，加法、乘法運算是核

心，減法、除法運算分別是它們的逆運算.教科書類比實數(shù)的四則運算法則得到

了復數(shù)的加法法則和乘法法則以及相應的運算律，通過減法和加法、乘法和除法

互為逆運算，得到了復數(shù)的減法和除法法則以及相應的運算律.復數(shù)代數(shù)形式的

加減運算的幾何意義，就是相應平面向量的加減運算.對復數(shù)四則運算的學習有

助于培養(yǎng)學生的數(shù)學運算素養(yǎng)和直觀想象素養(yǎng).

由復數(shù)的向量表示可以進一步得到復數(shù)的三角表示，進而研究復數(shù)乘、除運

算的三角表示及其幾何意義.復數(shù)乘、除運算的三角表示形式簡潔，在很多情況

下可以簡化復數(shù)的乘、除運算；其幾何意義就是平面向量的旋轉(zhuǎn)、伸縮，因此，

可以方便地解決很多平面向量和平面幾何問題.對復數(shù)三角表示的學習有助于提

升學生的直觀想象、邏輯推理和數(shù)學運算素養(yǎng).

數(shù)系通常包括兩個要素，一是組成數(shù)系的數(shù)，二是數(shù)系中的運算及運算律;

另外，數(shù)系的擴充過程也很關(guān)鍵.因此，本章復習的重點是：數(shù)系的擴充過程,

復數(shù)的代數(shù)形式及其幾何意義，復數(shù)的加、減、乘、除四則運算，復數(shù)加、減運

算的幾何意義.特別需要指出的是，復數(shù)的三角表示將復數(shù)、平面向量和三角函

數(shù)三者緊密相連，這種形式在復數(shù)體系中乃至整個數(shù)學中具有極為重要的地位,

但鑒于《課程標準（2017年版）》將其定位為選學內(nèi)容，不作為考試要求，因

此不將它作為本章復習的重點.但建議一旦選學復數(shù)的三角表示，也應將復數(shù)的

三角表示式、復數(shù)乘、除運算的三角表示及其幾何意義列為本章復習的教學重點.

二'目標和目標解析

1.目標

(1)通過方程的解，認識復數(shù).

(2)理解復數(shù)的代數(shù)表示及其幾何意義，理解兩個復數(shù)相等的含義.

(3)掌握復數(shù)代數(shù)形式表示式的四則運算，了解復數(shù)加、減運算的幾何意

義.

(4)通過復數(shù)的幾何意義，了解復數(shù)的三角表示，了解復數(shù)的代數(shù)表示與

三角表示之間的關(guān)系，了解復數(shù)乘、除運算的三角表示及其幾何意義.

2.目標解析

達成上述目標的標志是：

(1)能夠說出復數(shù)系擴充的規(guī)則和過程，會解復數(shù)系范圍內(nèi)的一元二次方

程.

(2)能夠說出復數(shù)的幾何意義，會利用復數(shù)的幾何意義解決相關(guān)問題.

(3)能熟練運用復數(shù)的四則運算法則和復數(shù)加減運算的幾何意義解決有關(guān)

復數(shù)的計算問題.

(4)選學"復數(shù)的三角表示"的同學，要能夠運用復數(shù)的三角表示乘除運

算的運算法則和幾何意義解決相關(guān)運算問題.

三、教學問題診斷分析

理解并掌握實數(shù)系擴充到復數(shù)系所遵循的規(guī)則，是培養(yǎng)學生理性思維的重要

抓手，但學生在學習過程中可能不易理解，也不太重視，因此，復習教學中，要

回顧并梳理從自然數(shù)到復數(shù)的擴充過程，進一步理解其"擴充規(guī)則"，感受理性

思維在數(shù)系擴充中發(fā)揮的重要作用.

復數(shù)代數(shù)形式的加、減運算與平面向量加、減運算的聯(lián)系，復數(shù)三角表示式

以及復數(shù)的乘、除運算與平面向量、三角函數(shù)的聯(lián)系是本章的重點內(nèi)容，也是難

點內(nèi)容，學生在利用幾何意義解決問題時可能不太熟練，要通過典型例題的講解,

分析幾何意義的本質(zhì)，舉一反三，突破難點.

四、教學過程設計

(-)復數(shù)的概念

問題1:數(shù)系是怎樣逐步擴充的?請對"自然數(shù)一整數(shù)一有理數(shù)——

實數(shù)——復數(shù)"的數(shù)系擴充過程進行整理.

師生活動：學生梳理并口述數(shù)系擴充的過程，教師用PPT呈現(xiàn).

j自然數(shù)

產(chǎn)理數(shù)｛::'負隹數(shù)

r實數(shù)｛工“分數(shù)

復數(shù)｛(無理敷

i虎數(shù)

追問1:數(shù)系擴充的規(guī)則是什么？你能說說數(shù)學史上數(shù)系擴充的歷程嗎？

師生活動：師生共同回顧歸納數(shù)系擴充的規(guī)則：數(shù)集擴充后，在新數(shù)集中規(guī)

定的加法運算和乘法運算，與原來數(shù)集中規(guī)定的加法和乘法運算協(xié)調(diào)一致，并且

加法和乘法都滿足交換律和結(jié)合律，乘法對加法滿足分配律.學生口述歷史上數(shù)

系擴充的歷程，教師補充完善，并指出理性思維在數(shù)系擴充過程中發(fā)揮了強大作

用.

設計意圖：梳理復數(shù)擴充的過程和規(guī)則，體會理性思維在數(shù)系擴充中發(fā)揮的

作用.

追問2:復數(shù)是怎么規(guī)定的？實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)、復數(shù)之間有什么區(qū)別和

聯(lián)系？

追問3:復數(shù)相等是怎么規(guī)定的？什么是共犯復數(shù)？

師生活動：學生思考回答，教師反饋補充,追問1和追問2的答案通過PPT

進行呈現(xiàn).

設計意圖：復習鞏固復數(shù)的相關(guān)概念，體會理性思維在數(shù)系擴充中發(fā)揮的作

用.

問題2:復數(shù)的幾何意義是什么？實數(shù)和復數(shù)幾何意義的區(qū)別是什么？復數(shù)

的模是什么？

師生活動：學生思考口答，教師用PPT展示.

設計意圖：進一步明確復數(shù)、復平面內(nèi)的點以及平面向量三者一一對應的關(guān)

系，體會復數(shù)與向量的聯(lián)系性.

例1.實數(shù)?為何值時,復數(shù)二=（標-3上-4）+（標-5k-6）i是：，

（D實數(shù)；（2）虛數(shù)；（3）純虛數(shù)；（4）0.P

師生活動：教師引導學生一起分析，學生自主完成，教師進行反饋評價.，

分析：因為Q為實數(shù)，所以/-34和M-5t-6均為實數(shù)，由復數(shù)是實數(shù)、虛數(shù)和究

虛數(shù)的條件可以確定上的值.，

解：（1）當籍—52-6=0,即2=6或方=-1時，二是實數(shù).”

（2）當V-5Ar-6wO,即言6且e*-1時，二是虛數(shù).教

二一3無一4=0,

（3）當.，；./即齊=4時，二是純虛數(shù).

2-5/t-6#0,

雷-3t-4=0,

（4）當:即上=—1時，二是0."

2-5方-6=0,

設計意圖：復習鞏固復數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)的概念.

練習：

1.設ZEC,在復平面內(nèi)Z對應的點為Z,則滿足條件23平3的點Z的集

合是什么？

答案：以原點O為圓心，以2及3為半徑的兩個圓所夾的圓環(huán)，包括圓環(huán)

的邊界.

設計意圖：復習鞏固復數(shù)的幾何意義.

（二）復數(shù)的四則運算

問題3:復數(shù)代數(shù)形式的四則運算法則是怎么規(guī)定的？滿足什么運算律？

問題4:復數(shù)代數(shù)形式加減運算的幾何意義是什么？

追問：你對復數(shù)代數(shù)形式的加、減運算與向量的加、減運算的一致性有什么

體會？

師生活動：學生思考回答，教師補充完善，答案通過PPT進行呈現(xiàn).

例2.1是虛數(shù)單位，則二的值為.~

31+1

師生活動：學生自主完成，教師評價反饋.答案為：拒.，

設計意圖：復習鞏固復數(shù)模的概念，復數(shù)的四則運算法則.P

練習：

2.若(l-i)+(2+3i)=a+bi(a,beR,i是虛數(shù)單位),則a,b的值分別等于

().

(A)3,-2(B)3,2(C)3,-3(D)-1,4

設計意圖：復習鞏固復數(shù)相等的充要條件，復數(shù)的加、減運算法則.答案

為B.

3.設二i=3-4i,二2=-2+3i,則二i+二2在復平面內(nèi)對應的點位于()?。

(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限~

設計意圖：復習鞏固加法運算法則和復數(shù)加法的幾何意義，滲透數(shù)形結(jié)合的思想方法

答案為D.，

33210

4.計算：(1)()一立(2)[(l+2i).i+(—)]-(^-).P

221+iy/2

設計意圖：復習鞏固復數(shù)代數(shù)表示式四則運算法則，提升學生的運算求解能

力.

師生活幼：學生獨立完成，教師巡視，及時指出學生解題時出現(xiàn)的問題，對

基礎較弱的學生進行個別指導.完成后，生生互評，教師點評.答案為：(1)

-1；(2)-9i.

例3.設。是原點，向量與，而對應的復數(shù)分別為2-3i,-3+2i,那么向量及對

應的復額是().，

(A)-5+5i(B)-5-5i(C)5+5i(D)5-5i

師生活動：學生自主完成，教師評價反饋.教師強調(diào)復數(shù)和平面向量之間

的聯(lián)系性，復數(shù)的運算問題可以轉(zhuǎn)化為平面向量的運算問題去解決，反過來，平

面向量的運算問題也可以轉(zhuǎn)化為復數(shù)的運算問題去解決.答案為D.

設計意圖；幫助學生進一步理解復數(shù)的幾何意義，復數(shù)和相應的平面向量的

一一對應關(guān)系，復習鞏固復數(shù)的減法運算的幾何意義.

例4.在復平面上，正方形ABCD的兩個頂點A,B對應的復數(shù)分別為1+i,

2-3i.求另外兩個頂點C,D對應的復數(shù).

師生活動：師生共同分析，學生自主完成，同時請學生到黑板上板演，之后

生生、師生之間進行反饋點評、修改完善.

uuu

解：設點。坐標為(x,y),則點。對應的復數(shù)為x+yi,OD=(x,y).，

根據(jù)題意，得，

HIMULUUUL

==(2,-3)-(1,1)=(1,-4),。

ULMUUttUU1

AD=OD-OA=(A->),)-(l>l)=(x-1,y-1).。

turnia.il

因為4DJ_48,所以(一丫-1)1一4(］，-1)=0.“

因為卜!)卜卜3卜JT7,所以J(x_l)2+(y—l)2=拒.P

X=-3,x=5,

所以《c或4P

v=0y=2.

所以，點。對應的復數(shù)為-31或5+2i.。

UU0

所以，0=(-4,-1)或(4,1).2

uuaUUWUUBUlMuuu

又因為ac=xo,^OC-OB=AD,“

UUIBUU*ULU

所以OC—AD+OB—(—2,—4)或(6,—2),

所以，點C,D對應的復數(shù)分別為-2-4i,-3i;或6-2i,5+2i.

設計意圖復習鞏固復數(shù)加、減運算幾何意義和復數(shù)加、減運算的運算法則，

提升學生綜合運用知識分析問題、解決問題的能力和數(shù)學運算素養(yǎng).

(三)復數(shù)的三角表示(備注：此部分為選學內(nèi)容，可根據(jù)學情自主安排)

問題5:什么是復數(shù)的三角形式？它與復數(shù)的幾何意義之間有什么聯(lián)系？復

數(shù)的代數(shù)形式與三角形式之間有什么關(guān)系？

問題6:復數(shù)三角表示乘法運算的運算法則是什么，用文字語言如何描述？

問題7:復數(shù)乘除運算的三角表示及其幾何意義分別是什么？利用復數(shù)的乘

除運算的幾何意義能夠解決什么問題？

師生活動：教師利用PPT給出問題，學生根據(jù)問題回歸課本，回顧所學知

識.

設計意圖：通過問題串，引導學生回顧復數(shù)三角表示的基礎知識，將知識系

統(tǒng)化、條理化.

例5.把復數(shù)二i和二，對應的向量為，礪分別繞點。按逆時針方向旋轉(zhuǎn)△和任

1243

后，這兩個向量完全重合，已知二2=-1-有，求復數(shù)二i的代數(shù)表示式.，

師生活動：師生共同分析解題思路，可利用復數(shù)乘法三角表示的幾何意義求解.之后

學生獨立完成，教師反饋訂正.。

解：由復數(shù)乘法的幾何意義，得

/71..兀、/5TL..5兀、

^(008-4-18111—)=r2(cos—4-1S1D—)

又二2=-1->^=235e+isin色)，"

47r..4兀、."571..5兀、

2(8S---F1sin——)(cos—+1sin—)

所以二1=--------------------------------=2[cos(37r--)+isin(37t--)]"

7L..7T44

cos—+1sin—

44

設計意圖：鞏固復數(shù)乘法的幾何意義、復數(shù)的三角表示和代數(shù)表示的互化以

及復數(shù)三角表示的乘、除運算的相關(guān)知識，提升學生的數(shù)學運算素養(yǎng).

練習：

5.復數(shù)嗚的輻角主值是（）.

(A)-(B)—(C)—(D)—.

4444

設計意圖：鞏固復數(shù)的三角表示和輻角主值概念.答案為D.

6.在復平面內(nèi)，把與復數(shù)3-/對應的向量繞原點。按順時針方向旋轉(zhuǎn)6O0，求與所

得的向量對應的復數(shù)(用代數(shù)形式表示).川

設計意圖：復數(shù)鞏固復數(shù)除法的幾何意義，利用復數(shù)除法的幾何意義解決平面向量的旋

轉(zhuǎn)問題，提升學生分析問題解決問題的能力和數(shù)學運算素養(yǎng).答案為-2&i.。

(四)歸納總結(jié)、布置作業(yè)

師生活動:請學生用思維導圖梳理復數(shù)一章的基礎知識和解決問題的基本方

法.并進行展示交流.

布置作業(yè)：教科書復習參考題2復習鞏固第1,2,3,4,5題.

五、目標檢測設計

1.若i為虛數(shù)單位，如下圖中復平面內(nèi)點Z表示復數(shù)二，則表示復數(shù)三的點是().

1+1

y

(A)E~Fll"7

?---------?---

(C)G2°H

(D)H，第1題，

設計意圖:本題主要評價學生對復數(shù)四則運算法則的掌握程度和對復數(shù)幾何

意義的理解程度，同時評價數(shù)形結(jié)合的思想方法.答案為D.

2.已知復數(shù)z滿足(z-1)i=l+i，貝(Jz=().

(A)-2-i(B)-2+i

(C)2-i(D)2+i

設計意圖:本題主要評價學生對復數(shù)代數(shù)表示式四則運算法則和運算律的掌

握程度，同時評價數(shù)