第六章 第4講 余弦定理、正弦定理

第六章平面向量、復(fù)數(shù)第4講余弦定理、正弦定理

課標(biāo)要求命題點(diǎn)五年考情命題分析預(yù)測借助向量的運(yùn)算，探索三角

形邊長與角度的關(guān)系，掌握

余弦定理、正

弦定理.利用正、

余弦定理解三角形2023新高考卷ⅠT17；2023新高考卷ⅡT17；2023全國卷乙T4；2023全國卷甲T16；2022新高考卷ⅠT18；2022新高考卷ⅡT18；2022全國卷甲T16；2021全國卷甲T8；2021全國卷乙T15；2021新高考卷ⅠT19；2021浙江T14；2020全國卷ⅠT16；2020全國卷ⅡT17；2020全國卷ⅢT7；2020新高考卷ⅠT17；2019全國卷ⅠT17；2019全國卷ⅡT15；2019全國卷ⅢT18本講每年必考，主要考查正、余弦定理的應(yīng)用，如求解三角形的邊長、角度、周長、面積等問題，也會作為方法求解其他章節(jié)問題，難度中等.預(yù)計(jì)2025年高考命題穩(wěn)定，備考時(shí)要重視正、余弦定理的應(yīng)用.課標(biāo)要求命題點(diǎn)五年考情命題分析預(yù)測借助向量的運(yùn)

算，探索三角形邊長與角度的關(guān)系，掌握余弦定理、正弦定理.判斷三角形的形狀2021新高考卷ⅡT18本講每年必考，主要考查正、余弦定理的應(yīng)用，如求解三角形的邊長、角度、周長、面積等問題，也會作為方法求解其他章節(jié)問題，難度中等.預(yù)計(jì)2025年高考命題穩(wěn)定，備考時(shí)要重視正、余弦定理的應(yīng)用.與面積、周長有關(guān)的問題2023全國卷乙T18；2022全國卷乙T17；2022新高考卷ⅡT18；2022北京T16；2021北京T16；2021新高考卷ⅡT18；2020全國卷ⅡT17；2019全國卷ⅢT18

1.余弦定理、正弦定理

在△

ABC

中，若角

A

，

B

，

C

所對的邊分別是

a

，

b

，

c

，

R

為△

ABC

的外接圓半

徑，則定理余弦定理正弦定理內(nèi)容a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝①

?；c2＝②

?.c2＋a2－2cacosB

a2＋b2－2abcosC

2R

定理余弦定理正弦定理變形

2RsinB

2RsinC

sinA∶sinB∶sinC

2.在△

ABC

中，若已知角

A

，

B

所對的邊

a

，

b

和角

A

，則解的情況如下：A為銳角A為鈍角或直角圖形

關(guān)系式a＜bsinAa＝bsinAbsinA＜a＜ba≥ba＞ba≤b解的個(gè)數(shù)無解?

??

??

?一解無解一解

兩解

一解

內(nèi)切圓

1.以下說法正確的是(

A

)A.在△ABC中，A＞B是sinA＞sinB的充要條件B.在△ABC中，若b2＋c2＞a2，則△ABC為銳角三角形C.在△ABC中，若sin2A＝sin2B，則△ABC為等腰三角形D.三角形中的三邊之比等于相應(yīng)的三個(gè)內(nèi)角之比

A12345

A.1D.3[解析]由余弦定理得

AC

2＝

AB

2＋

BC

2－2

AB

·

BC

·cos

B

，得

BC

2＋2

BC

－15＝

0，解得

BC

＝3或

BC

＝－5(舍去).故選D.D123453.[多選]記△

ABC

的內(nèi)角

A

，

B

，

C

的對邊分別為

a

，

b

，

c

，則符合下列條件的△

ABC

有且只有一個(gè)的是(

AC

)B.a＝1，b＝2，c＝3C.b＝c＝1，B＝45°D.a＝1，b＝2，A＝100°

AC123454.已知2

a

＋1，

a

，2

a

－1是鈍角三角形的三邊，

則實(shí)數(shù)

a

的取值范圍是

?.

(2，8)

12345

12345

C例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4

A.6B.5C.4D.3

A例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4

B例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4

A.直角三角形B.等邊三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形

A例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4

等邊三角形

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4方法技巧判斷三角形形狀的方法(1)化為邊：通過正、余弦定理將角化邊，利用因式分解、配方等得出邊之間的關(guān)系

進(jìn)行判斷.判斷技巧：a2＋b2＜c2cosC＜0C為鈍角三角形為鈍角三角形a2＋b2＝c2cosC＝0C為直角三角形為直角三角形a2＋b2＞c2cosC＞0C為銳角無法判斷(只有C為最大角時(shí)才可得出三

角形為銳角三角形)例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4(2)化為角：通過正、余弦定理將邊化角，通過三角恒等變換公式、三角形的內(nèi)角和

定理得出角的大小或角之間的關(guān)系.注意(1)不能隨意約掉公因式，要移項(xiàng)、提取公因式，否則會有遺漏一種形狀的可

能.(2)注意挖掘隱含條件，在變形過程中注意角的范圍對三角函數(shù)值的影響.例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4訓(xùn)練2

[2021新高考卷Ⅱ]在△

ABC

中，角

A

，

B

，

C

所對的邊分別為

a

，

b

，

c

，

b

＝

a

＋1，

c

＝

a

＋2.(1)若2sin

C

＝3sin

A

，求△

ABC

的面積.

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4(2)是否存在正整數(shù)

a

，使得△

ABC

為鈍角三角形？若存在，求

a

；若不存在，說明

理由.

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4命題點(diǎn)3

與面積、周長有關(guān)的問題角度1

面積問題例3

[2023全國卷乙]在△

ABC

中，已知∠

BAC

＝120°，

AB

＝2，

AC

＝1.(1)求sin∠

ABC

；

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4(2)若

D

為

BC

上一點(diǎn)，且∠

BAD

＝90°，求△

ADC

的面積.

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4角度2

周長問題例4

[2022全國卷乙]記△

ABC

的內(nèi)角

A

，

B

，

C

的對邊分別為

a

，

b

，

c

，

已知sin

C

sin(

A

－

B

)＝sin

B

sin(

C

－

A

).(1)證明：2

a

2＝

b

2＋

c

2；

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4解法二因?yàn)?/p>

A

＋

B

＋

C

＝π，所以sin

C

sin(

A

－

B

)＝sin(

A

＋

B

)sin(

A

－

B

)＝sin2

A

cos2

B

－cos2

A

sin2

B

＝

sin2

A

(1－sin2

B

)－(1－sin2

A

)sin2

B

＝sin2

A

－sin2

B

.

同理有sin

B

sin(

C

－

A

)＝sin(

C

＋

A

)sin(

C

－

A

)＝sin2

C

－sin2

A

，所以sin2

A

－sin2

B

＝sin2

C

－sin2

A

，由正弦定理可得2

a

2＝

b

2＋

c

2.例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4

(2)由(1)及

a

2＝

b

2＋

c

2－2

bc

cos

A

得，

a

2＝2

bc

cos

A

，所以2

bc

＝31.因?yàn)?/p>

b

2＋

c

2＝2

a

2＝50，所以(

b

＋

c

)2＝

b

2＋

c

2＋2

bc

＝81，得

b

＋

c

＝9，所以△

ABC

的周長為

a

＋

b

＋

c

＝14.例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4方法技巧與周長有關(guān)問題的解題思路(1)若邊長易求，直接求出邊長，進(jìn)而求出周長；(2)若邊長不易求，可利用整體思想，構(gòu)造以兩邊長的和為未知數(shù)的方程求解，進(jìn)而

求出周長.例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4

C.12D.16B例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4方法技巧射影定理：在△

ABC

中，

a

，

b

，

c

分別為內(nèi)角

A

，

B

，

C

的對邊，則

a

＝

b

cos

C

＋

c

cos

B

，

b

＝

a

cos

C

＋

c

cos

A

，

c

＝

a

cos

B

＋

b

cos

A

.

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3例4訓(xùn)練3例5訓(xùn)練4

B12345

12345

123453.[命題點(diǎn)1/2024杭州市質(zhì)檢]已知四邊形

ABCD

是一個(gè)圓的內(nèi)接四邊形，如圖，若

AB

＝1，

BC

＝3，

CD

＝

DA

＝2.(1)求線段

BD

的長；

12345

12345

12345

12345

12345

12345

12345

12345

A.1B.2C.3D.4[解析]由余弦定理得

b

2＝

a

2＋

c

2－2

ac

cos

B

＝9＋

c

2－3

c

＝13，即

c

2－3

c

－4＝

0，解得

c

＝－1(舍去)或

c

＝4，∴

c

＝4.故選D.D12345678910111213141516

A12345678910111213141516

A.6B.8C.4D.2

A123456789101112131415164.在△

ABC

中，

D

為邊

BC

上一點(diǎn)，

AD

＝6，

BD

＝3，∠

ABC

＝45°，則

sin∠

ADC

的值為(

C

)

C123456789101112131415165.

[設(shè)問創(chuàng)新/多選]黑板上有一道解三角形的習(xí)題，求解過程是正確的，但一位同學(xué)

不小心把其中一部分擦去了，現(xiàn)在只能看到：在△

ABC

中，內(nèi)角

A

，

B

，

C

的對邊

分別為

a

，

b

，

c

，已知

a

＝2，……，解得

B

＝60°.根據(jù)以上信息，你認(rèn)為下面哪個(gè)

選項(xiàng)可以作為這個(gè)習(xí)題的其余已知條件？(

ABD

)B.A＝30°，c＝4ABD12345678910111213141516

123456789101112131415166.[多選]在△

ABC

中，內(nèi)角

A

，

B

，

C

的對邊分別為

a

，

b

，

c

，下列條件能判斷△

ABC

是鈍角三角形的有(

BC

)A.a＝6，b＝5，c＝4D.b2sin2C＋c2sin2B＝2bccosBcosCBC12345678910111213141516

12345678910111213141516

12345678910111213141516

12345678910111213141516

12345678910111213141516

鈍角三角形

12345678910111213141516

12345678910111213141516

12345678910111213141516

12345678910111213141516

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.無法確定C12345678910111213141516

12345678910111213141516解法二延長

AD

到

E

使

AD

＝

DE

，連接

BE

，

CE

，則四邊形

ABEC

是平行四邊

形，

AE

＝2

AD

，所以

AE

2＋

BC

2＝2(

AB

2＋

AC

2)，所以

BC

2＝14＞

AB

2＋

AC

2，則

△

ABC

為鈍角三角形.故選C.

1234567891011121314151612.

[2024湖北部分學(xué)校聯(lián)考]在△

ABC

中，角

A

，

B

，

C

的對邊分別為

a

，

b

，

c

，

b

＝3，

BD

為

AC

邊上的中線，

BD

＝2，且

a

cos

C

－2

b

cos∠

ABC

＋

c

cos

A

＝0，則

△

ABC

的面積為(

C

)A.2

C12345678910111213141516

1234567891011121314151613.[多選]在△

ABC

中，內(nèi)角

A

，

B

，

C

所對的邊分別為

a

，

b

，

c

，已知(

b

＋

c

)∶(

c

＋

a

)∶(

a

＋

b

)＝4∶5∶6，則下列結(jié)論正確的是(

ABD

)A.sinA∶sinB∶sinC＝7∶5∶3C