4.5 函數的應用（二）（解析版）

.5函數的應用（二）知識點一求函數的零點【【解題思路】探究函數零點的兩種求法(1)代數法：求方程f(x)＝0的實數根，若存在實數根，則函數存在零點，否則函數不存在零點．(2)幾何法：與函數y＝f(x)的圖象聯系起來，圖象與x軸的交點的橫坐標即為函數的零點【例1】（2024·山東青島·二模）函數的零點為（

）A．0 B．1 C． D．【答案】B【解析】因為，令，解得，即函數的零點為1.故選：B.【變式】1．（23-24北京順義·期末）函數的零點是（

）A． B． C．10 D．【答案】A【解析】令，可得，解得，故函數的零點是.故選：A.2．（2024湖南）函數的零點是（

）A．0 B．1 C．2 D．【答案】C【解析】由，設，則得，解得，從而，所以.故選：C.3．（2023高一上·全國·專題練習）若函數的兩個零點是2和3，則函數的零點是．【答案】1和【解析】∵函數的兩個零點是2和3，∴，解得，∴，令，解得或1∴的零點為1和.故答案為：1和4．（23-24高一上·河北石家莊·階段練習）已知定義在上的函數為單調函數，且對任意，恒有，則函數的零點是.【答案】0【解析】令，由函數為上的單調函數，且，，得為常數，則，且，于是，又函數在上單調遞增，且，因此，即，由，得，所以函數的零點是0.故答案為：0知識點二判斷零點所在的區(qū)間【【解題思路】確定函數f(x)零點所在區(qū)間的常用方法(1)解方程法：當對應方程f(x)＝0易解時，可先解方程，再看求得的根是否落在給定區(qū)間上．(2)利用函數零點存在定理：首先看函數y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是否連續(xù)，再看是否有f(a)·f(b)<0.若f(a)·f(b)<0，則函數y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內必有零點．(3)數形結合法：通過畫函數圖象，觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點來判斷．【例2-1】（2024遼寧·期末）已知函數，則的零點所在的區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】函數的定義域為，又函數，，在上單調遞增，所以函數在上單調遞增，又，，所以，所以零點所在的大致區(qū)間為.故選：B.【例2-2】（23-24高一下·云南曲靖·階段練習）若函數在上是單調函數，且滿足對任意，都有，則函數的零點所在的區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為函數在上是單調函數，，設，所以，所以，因為與在上單調遞增，所以有唯一解，解得，所以，又，，故的零點所在的區(qū)間為.故選：B.【例2-3】（23-24高三上·浙江紹興·期末）已知命題：函數在內有零點，則命題成立的一個必要不充分條件是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】函數在上單調遞增，由函數在內有零點，得，解得，即命題成立的充要條件是，顯然成立，不等式、、都不一定成立，而成立，不等式恒成立，反之，當時，不一定成立，所以命題成立的一個必要不充分條件是.故選：D【變式】1．（23-24高一下·江蘇揚州·期末）方程的解所在區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】令，在上連續(xù)，且單調遞增，對于A，因為，，所以的零點不在內，所以A錯誤，對于B，因為，，所以的零點不在內，所以B錯誤，對于C，因為，，所以的零點在內，所以方程的解所在區(qū)間為，所以C正確，對于D，因為，，所以的零點不在內，所以D錯誤，故選：C2．（2024安徽蕪湖·階段練習）已知函數，在下列區(qū)間中，包含零點的區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為函數在單調遞減，函數在上單調遞增，所以在上單調遞減，又，，所以函數在上存在唯一零點.故選：D.3．（23-24高一下·海南·階段練習）函數的零點所在區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】當時，設，則，故在上是單調遞增函數；又，，由零點存在定理可知，函數的零點所在的區(qū)間為.故選：C.4．（23-24高一上·湖南株洲·期末）若方程的實根在區(qū)間上，則（

）A． B．2 C．或2 D．1【答案】C【解析】方程化為，分別做出方程左右兩邊的圖象，從圖象可知，方程，方程有兩個分別在和之間的根，下面證明：方程在和之間各有一個實根，設，根據函數性質得在區(qū)間上是增函數，又，，則，由零點存在性定理知，在區(qū)間上僅有一個零點，即方程區(qū)間上僅有一個實根，同理可得方程區(qū)間上僅有一個實根，結合題意可知，或，故選：C.知識點三二分法概念的理解【【解題思路】運用二分法求函數的零點應具備的條件(1)函數圖象在零點附近連續(xù)不斷．(2)在該零點左右函數值異號．只有滿足上述兩個條件，才可用二分法求函數零點．【例3-1】（23-24高一上·吉林延邊·期末）下列函數中，不能用二分法求零點的是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】不能用二分法求零點的函數，要么沒有零點，要么零點兩側同號；對于A，有唯一零點，且函數值在零點兩側異號，故可用二分法求零點；對于B，有唯一零點，但恒成立，故不可用二分法求零點；對于C，有兩個不同零點，且在每個零點左右兩側函數值異號，故可用二分法求零點；對于D，有唯一零點，且函數值在零點兩側異號，故可用二分法求零點.故選：B.【例3-2】（23-24高一上·天津·階段練習）下列函數圖象與x軸均有交點，其中不能用二分法求圖中交點橫坐標的是下圖中的（

）A．B．C． D．【答案】C【解析】根據零點存在定理可知，能用二分法求零點的函數，在零點左右兩側的函數值應該是正負符號相反，對于A，兩側函數值符號相反，故可用二分法求交點橫坐標；對于B，兩側函數值符號相反，故可用二分法求交點橫坐標；對于C，圖象與x軸有交點，圖象在x軸及其上方，兩側函數值符號相同，故不可用二分法求交點橫坐標；對于D，兩側函數值符號相反，故可用二分法求交點橫坐標；故選：C【變式】1．（23-24高一上·湖北恩施·期末）下列方程中，不能用二分法求近似解的為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】對于A，在上單調遞增，且，可以使用二分法，故A錯誤；對于B，在R上連續(xù)且單調遞增，且，可以使用二分法，故B錯誤；對于C，，故不可以使用二分法，故C正確；對于D，在上單調遞增，且，可以使用二分法，故D錯誤.故選：C2．（2023高一上·全國·專題練習）以下每個圖象表示的函數都有零點，但不能用二分法求函數零點近似值的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【解析】由二分法的定義，可知只有當函數在區(qū)間上的圖象連續(xù)不斷，且，即函數的零點是變號零點時，才能將區(qū)間一分為二，逐步得到零點的近似值．對各選項分析可知，選項A，B，D都符合，而選項C不符合，因為在零點兩側函數值不異號，因此不能用二分法求函數零點的近似值．故選：C.3．（23-24高一上·陜西西安·階段練習）多選下列函數圖象與軸均有交點，其中能用二分法求函數零點近似值的有（

）A．

B．

C．

D．

【答案】BCD【解析】根據二分法的定義，知函數在區(qū)間上的圖象連續(xù)不斷，且，即函數的零點是變號零點，才能將區(qū)間一分為二，逐步得到零點的近似值．對于A，因為零點左右兩側的函數值不變號，所以不能用二分法求函數零點的近似值，故A錯誤．對于BCD，三個函數圖象均符合二分法求函數零點近似值的條件，故BCD正確；故選：BCD.知識點四用二分法求方程的近似解【【解題思路】利用二分法求方程的近似解的步驟(1)構造函數，利用圖象確定方程的解所在的大致區(qū)間，通常取區(qū)間(n，n＋1)，n∈Z.(2)利用二分法求出滿足精確度的方程的解所在的區(qū)間M.(3)區(qū)間M內的任一實數均是方程的近似解，通常取區(qū)間M的一個端點．【例4-1】（23-24高一下·江蘇揚州·階段練習）用二分法研究函數的零點時，第一次經過計算得，，則其中一個零點所在區(qū)間和第二次應計算的函數值分別為（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【解析】因為，由零點存在性知：零點，根據二分法，第二次應計算，即.故選：B.【例4-2】（23-24高一上·湖南·期末）用二分法求函數的一個正零點的近似值（精確度為時，依次計算得到如下數據；，關于下一步的說法正確的是（

）A．已經達到精確度的要求，可以取1.1作為近似值B．已經達到精確度的要求，可以取1.125作為近似值C．沒有達到精確度的要求，應該接著計算D．沒有達到精確度的要求，應該接著計算【答案】C【解析】由二分法的定義，可得正零點所在區(qū)間不斷縮小，時的區(qū)間長度為，故沒有達到精確的要求，應該接著計算的值.故選：C【變式】1．（23-24高一上·江蘇蘇州·期末）若函數的一個正數零點附近的函數值用二分法計算，其參考數據如下：那么方程的一個近似根精確度為可以是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，，所以，所以函數在內有零點，因為，所以不滿足精確度為因為，所以，所以函數在內有零點，因為，所以不滿足精確度為因為，所以，所以函數在內有零點，因為，所以不滿足精確度為因為，所以，所以函數在內有零點，因為，所以不滿足精確度為因為，所以，所以函數在內有零點，因為，滿足精確度為，所以方程的一個近似根精確度為可以是區(qū)間內任意一個值包括端點值.故選：C.2．（23-24高一上·云南昆明·期末）若函數的一個正零點用二分法計算，零點附近函數值的參考數據如下：，，，，，，那么方程的一個近似根（精確度）為（

）A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5【答案】C【解析】因為，所以不必考慮端點；因為，所以不必考慮端點和；因為，，所以，所以函數在內有零點，因為，所以滿足精確度0.1；所以方程的一個近似根（精確度0.1）是區(qū)間內的任意一個值（包括端點值），根據四個選項可知：.故選：C.3．（23-24高一上·上海浦東新·階段練習）用二分法求函數的一個零點的近似值（精確度為0.1）時，依次計算得到如下數據：，，，，則下列說法正確的是（

）A．函數在上不一定有零點B．已經達到精確度，可以取1.375作為近似值C．沒有達到精確度，應該接著計算D．沒有達到精確度，應該接著計算【答案】D【解析】對于A，由，且連續(xù)，則根據函數零點存在定理知，在上一定有零點，故A錯誤；對于B，C，D，，沒有達到精確度的要求，應該接著計算，故B錯誤，C錯誤，D正確．故選：D．重難點一零點的個數【【解題思路】判斷函數零點個數的四種常用方法(1)利用方程根，轉化為解方程，有幾個不同的實數根就有幾個零點．(2)畫出函數y＝f(x)的圖象，判定它與x軸的交點個數，從而判定零點的個數．(3)結合單調性，利用函數零點存在定理，可判定y＝f(x)在(a，b)上零點的個數．(4)轉化成兩個函數圖象的交點個數問題．【例5-1】（2025高三·全國·專題練習）函數的零點個數為（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】由函數的零點的個數，即為方程解的個數，即為函數與的圖象的交點的個數，作出函數與的圖象，如圖所示，當時，函數與的圖象有且僅有一個交點；當時，函數與的圖象的交點為，有兩個公共點，綜上可得，函數有3個零點.故選：D.【例5-2】（23-24陜西漢中·期末）設函數,則的零點個數為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】當時，令或，有2個零點；當時，令，即，結合函數的圖象可知二者在時有1個交點，即此時有1個零點.綜合可知，的零點個數為3.故選：D【例5-3】（23-24高一下·廣東韶關·階段練習）函數的零點個數為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】函數的定義域為，當時，，顯然函數在上都單調遞減，因此函數在上單調遞減，而，則函數在上有唯一零點；當時，，顯然，因此函數在區(qū)間上至少各有一個零點，當時，由，得，則在上的零點即為函數的圖象與直線的交點橫坐標，在同一坐標系內作出函數的圖象與直線，如圖，

觀察圖象知，函數的圖象與直線有兩個交點，即有兩個解，所以函數的零點個數為3.故選：D【變式】1．（23-24高一下·廣西南寧·階段練習）已知分段函數，則方程的解的個數是（

）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】B【解析】函數，由，得或，解得或，解得，所以方程有3個解.故選：B2．（2024高一上·湖南邵陽·競賽）函數的零點個數為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】函數的零點個數等價于方程的解得個數，即函數與的交點個數，作出函數與的圖象如下圖所示，由圖象可知：函數與有且僅有兩個不同交點，函數的零點個數為2.故選：C.3．（23-24高一上·甘肅武威·期末）已知函數則函數的零點個數為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】當時，由，得或0（舍去）；當時，由解得或.故共有3個零點.故選：C.4（23-24高一下·浙江·期中）已知函數則函數的零點個數為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】由題意可知，的零點個數可以轉化為和函數的圖象交點個數，它們的函數圖象如圖所示.故選：C．重難點二根據零點情況求參數范圍【例6-1】（23-24浙江寧波·期末）若函數在區(qū)間內恰有一個零點，則實數的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】若時，，則，滿足題意，若，當，解得且，此時滿足題意，若時，，此時，此時方程在只有一根，滿足題意，若時，，此時，此時方程在只有一根，滿足題意，當，得時，此時，此時方差的根為，滿足題意，綜上可得或故選：C【例6-2】（23-24高一上·廣東茂名·期中）已知函數，若方程有三個不同的實數根，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】方程有三個不同的實數根，即函數與函數的圖象有三個不同交點.作函數的圖象如下圖所示，由圖可得，.所以實數的取值范圍是：.故選：B.【變式】1．（23-24高一上·安徽亳州·期末）若函數在區(qū)間上存在零點，則常數a的取值范圍為．【答案】【解析】因為在上均為增函數，所以函數在區(qū)間上為增函數，且函數圖象連續(xù)不間斷，故若在區(qū)間上存在零點，則解得．故常數a的取值范圍為．故答案為：2．（22-23甘肅定西·階段練習）已知函數，若關于的方程恰有三個實數根，則的取值范圍為．【答案】【解析】關于的方程恰有三個實數根等價于函數與的圖象的交點個數為3，的圖象如圖所示，由圖可知當時，兩函數圖象有3個交點，所以的取值范圍為，故答案為：3．（2024·寧夏銀川）函數有兩個零點,求a的范圍【答案】【【解析】的零點兩個,即的根有兩個.即的交點有兩個.而互為反函數,圖像關于對稱.當兩個圖像均與相切時,設切點橫坐標為.分別求導,所以,所以.,即,所以.當時候,兩圖像有一個交點,當,兩圖像有兩個交點,即的零點兩個.綜上所.故答案為:.4．（23-24高一下·遼寧撫順·期中）若函數只有1個零點，則的取值范圍是．【答案】【解析】由，得，設函數，由指數函數性質可知，函數在上單調遞減，在上單調遞增，且，，可作出的大致圖象，如圖所示，由圖可知，的取值范圍是．故答案為：.5．（2024·全國·模擬預測）已知函數，若關于的方程有3個不相等的實數根，則的取值范圍是．【答案】【解析】由的解析式作出的大致圖像．如圖所示：

方程有3個不等實數根等價于的圖象與直線有3個不同的公共點，則．故答案為：.重難點三零點大小的比較【例7-1】（2024·廣東梅州）三個函數，，的零點分別為，則之間的大小關系為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因為函數，，，都是增函數，所以函數，，均為增函數，因為，所以函數的零點在上，即，因為，所以函數的零點在上，即，因為，所以函數的零點在上，即，綜上，．故選：B．【變式】1．（23-24高一下·河南·開學考試）已知函數的零點分別是，則的大小關系為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】令，得，則為函數與交點的橫坐標，為函數與交點的橫坐標，為函數與交點的橫坐標，在同一直角坐標系中，分別作出和的圖象，如圖所示，

由圖可知，.故選：B2（23-24高一上·湖南株洲·期末）.已知函數的零點分別為，則的大小關系為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因為函數的零點分別為，可轉化為與三個函數的交點的橫坐標為，在同一坐標系下，畫出函數與函數的圖象，如圖所示，結合圖象可得：.故選：B.3（23-24高一上·湖北·階段練習）已知函數，，的零點分別為則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題知得，即為函數與函數交點的橫坐標，同理可知為函數與函數交點的橫坐標，為函數與函數交點的橫坐標，分別作出，，和的圖像，由圖像交點可得.故選：B4．（23-24高三上·寧夏石嘴山·階段練習）函數，，的零點分別為a，b，c，則（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】令，可得，因為，所以，，可得，所以；令，可得，因為，所以，，可得，所以；令，可得，因為，所以，，可得，所以；綜上，.故選：A.重難點四零點之和【例8-1】（22-23高一上·全國·單元測試）是上的偶函數，若方程有五個不同的實數根，則這些根之和為（

）A．2 B．1 C．0 D．【答案】C【解析】因為函數是上的偶函數，所以函數圖象關于軸對稱，那么，即有5個實數根，可知其中4個實數根，有兩對關于軸對稱，另外一個為，所以這些根的和為0.故選：C【例8-2】（2024山東菏澤·期末）若，分別是方程，的根，則（

）A．2022 B．2023 C． D．【答案】B【解析】由題意可得是函數的圖象與直線交點的橫坐標，是函數圖象與直線交點的橫坐標，因為的圖象與圖象關于直線對稱，而直線也關于直線對稱，所以線段的中點就是直線與的交點，由，得，即線段的中點為，所以，得，故選：B【變式】1．（23-24高一上·寧夏石嘴山·期中）（多選）已知函數，若存在，使得，則的取值可以是（

）A． B．3 C． D．【答案】CD【解析】設，作出函數與的圖象，如圖：觀察圖形知，當時，直線與函數的圖象有三個交點，點、關于直線對稱，則，且函數在上為增函數，由，，得，因此，所以的取值可以是，.故選：CD2．（22-23江西南昌·期末）（多選）已知函數，若有四個不同的解且，則可能的取值為（）A． B． C． D．【答案】BC【解析】當時，，當時，，當時，，作出函數的圖象如下，

則由圖象可知，的圖象與有4個交點，分別為，因為有四個不同的解且，所以，且，且，，又因為所以即，所以，所以，且，構造函數，因為函數在上都是減函數，所以函數在上單調遞減，所以，即，所以.故選：BC.重難點五函數模型的應用【【解題思路】應用函數模型解決問題的基本過程1．審題——弄清題意，分清條件和結論，理順數量關系，初步選擇模型．2．建模——將自然語言轉化為數學語言，將文字語言轉化為符號語言，利用數學知識建立相應的數學模型．3．求?！蠼鈹祵W模型，得出數學模型．4．還原——將數學結論還原為實際問題．【例9-1】（24-25高一上·全國·課堂例題）天文學中天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述．兩顆星的星等與亮度滿足．其中星等為的星的亮度為．已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，“宿二”的亮度是“天津四”的倍，則與最接近的是（）（注：當較小時，）A．1.24 B．1.25 C．1.26 D．1.27【答案】C【解析】根據題意可得，所以，解得，根據參考公式可得，故與最接近的是1.26．故選：C.【變式】1．（23-24高一上·云南昆明·期末）酒駕是嚴重危害交通安全的違法行為．為了保障交通安全，根據國家有關規(guī)定：血液中酒精含量達到的駕駛員即為酒后駕車，及以上認定為醉酒駕車，都屬于違法駕車．假設某駕駛員喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了．如果停止喝酒以后，他血液中的酒精含量會以每小時的速度減少，要保證他不違法駕車，則他至少要休息(結果精確到小時，參考數據：)（

）A．小時 B．小時 C．小時 D．小時【答案】C【解析】設此人休息小時才能駕駛，由題意可得，即，由于函數再定義域內單調遞減，所以，所以此人至少要休息小時.故選：C2．（24-25高一上·上?！るS堂練習）2020年12月17日凌晨，嫦娥五號返回器攜帶月球樣品在內蒙古四子王旗預定區(qū)域安全著陸．嫦娥五號返回艙之所以能達到如此高的再入精度，主要是因為它采用彈跳式返回彈道，實現了減速和再入階段彈道調整，這與“打水漂”原理類似（如圖所示）．現將石片扔向水面，假設石片第一次接觸水面的速率為，這是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率為上一次的90%，若要使石片的速率低于，則至少需要“打水漂”的次數為．（參考數據：，）【答案】6【解析】設石片第n次“打水漂”時的速率為，則．由，得，則，即，則，故至少需要“打水漂”的次數為6．故答案為：6.3．（23-24高一上·廣西崇左·期中）雙碳戰(zhàn)略之下，新能源汽車發(fā)展成為乘用車市場轉型升級的重要方向．根據工信部最新數據顯示，截至2022年一季度，我國新能源汽車已累計推廣突破1000萬輛大關．某企業(yè)計劃引進新能源汽車生產設備，通過市場分析，每生產（千輛）獲利（萬元），；該公司預計2022年全年其他成本總投入為萬元．由市場調研知，該種車銷路暢通，供不應求．記2022年的全年利潤為（單位：萬元）．(1)求函數的解析式；(2)當2022年產量為多少千輛時，該企業(yè)利潤最大？最大利潤是多少？請說明理由．【答案】(1)(2)產量為5千輛時，該企業(yè)利潤最大，最大利潤是380萬元【解析】（1）由已知，，又整理得（2）當時，，則當時，；當時，，即時，，，的最大值為380，故當2022年產量為5千輛，該企業(yè)利潤最大，最大利潤是380萬元．單選題1．（2024湖北）下列關于二分法的敘述中，正確的是（

）A．用二分法可求所有函數零點的近似值B．用二分法可求函數零點的近似值，可精確到小數點后任一位C．二分法無規(guī)律可循，無法在計算機上完成D．只能用二分法求函數的零點【答案】B【解析】A選項，由二分法求函數零點近似值需要函數圖象在零點附近連續(xù)且區(qū)間端點函數值異號，A錯誤；B選項，二分法，反復求區(qū)間中點，確定函數值符號，故可求函數零點的近似值，可精確到小數點后任一位，B正確；C選項，二分法是一種程序化的運算過程，反復求區(qū)間中點，確定函數值符號，因而可以通過編程，在計算機上完成，C錯誤；D選項，求零點的方法有解方程法、作圖法等，D錯誤．故選：B．2．（23-24高一下·江西吉安·期末）已知某種鉛蓄電池由于硫酸濃度的降低，每隔一個月其性能指數都要損失10%，且一般認為當該種類型的電池的性能指數降低到原來的以下時就需要更換其中的硫酸來達到持久續(xù)航，則最多使用（

）個月就需要更換純硫酸（參考數據，）A．11 B．12 C．13 D．14【答案】C【解析】設最初該種電池的性能指數為k，通過月后性能指數變?yōu)?，則．由題意得，即，兩邊取常用對數，可得．∵，∴．又，故最多使用13個月就需要更換純硫酸．故選：C.3．（2023·寧夏銀川）函數在區(qū)間上存在零點，則實數的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】若函數在區(qū)間上存在零點，由函數在的圖象連續(xù)不斷，且為增函數，則根據零點存在定理可知，只需滿足，即，解得，所以實數的取值范圍是.故選：D.4．（2023高一上·江蘇·專題練習）若函數在存在零點，則實數的取值范圍是（

）A． B．C． D．∪【答案】D【解析】當時，，不存在零點；當時，是一次函數，必然單調，故只需即可，即，解得或，即的取值范圍是∪，故選：D5．（2024四川德陽·期末）函數有兩個零點的充分不必要條件是（

）A． B．C．或 D．【答案】A【解析】函數有兩個零點，則有2個不等實數根，即或，由于，故為函數有兩個零點的充分不必要條件，顯然，均不能推出或，不符合題意；或是函數有兩個零點的充分必要條件，故選：A6．（2024廣東江門·期末）已知，，的零點分別是，，，則，，的大小順序是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】函數，，的零點，即為函數分別與函數、、的圖象交點的橫坐標，如圖所示：由圖可得.故選：B7．（2024江蘇南通·階段練習）已知，若互不相等的實數，，滿足，則的取值范圍為（

）．A． B． C． D．【答案】A【解析】作函數的圖象,如下圖，當時,的圖象為開口向上的拋物線的一部分,對稱軸為,最小值為；當時,為直線的一部分.設,,由圖象可知,,令,解得,則,且,則,即.故選：A8．（2023·上?！ｎ}練習）已知函數，且m，n是方程的兩個根（m＜n），則實數a、b、m、n的大小關系可能是（

）A．m＜a＜b＜n B．a＜m＜n＜b C．m＜a＜n＜b D．a＜m＜b＜n【答案】B【解析】因為函數，令，a、b為的零點，函數的圖象是由的圖象向上平移一個單位得到的，又m，n是方程的兩個根（m＜n），如圖所示：由圖知：a＜m＜n＜b，故選：B.多選題9．（23-24高一上·浙江溫州·期末）設，某同學用二分法求方程的近似解精確度為，列出了對應值表如下：依據此表格中的數據，方程的近似解不可能為（

）A． B． C． D．【答案】ABD【解析】由題中參考數據可得根在區(qū)間內，故通過觀察四個選項，符合要求的方程近似解可能為，不可能為ABD選項．故選：ABD．10．（23-24高一上·河南駐馬店·階段練習）若函數的一個正數零點附近的函數值用二分法逐次計算，參考數據如下：，；，；．那么可以作為方程的一個近似解的是（精確度為0.1）（

）A．1.35 B．1.40 C．1.43 D．1.50【答案】BC【解析】因為，所以，所以函數在內有零點，因為，所以不滿足精確度；因為，所以，所以函數在內有零點，因為，所以不滿足精確度；因為，所以，所以函數在內有零點，因為，所以不滿足精確度；因為，所以，所以函數在內有零點，因為，所以滿足精確度；所以方程的一個近似根（精確度）是區(qū)間內的任意一個值，根據四個選項可知選BC.故選：BC11．（23-24高一上·河南鄭州·期中）若二次函數的一個零點恰落在內，則實數的值可以是（

）A． B． C． D．1【答案】BC【解析】，則，函數在上單調遞增，當，，BC滿足.故選：BC.填空題12．（23-24高一下·河南信陽·開學考試）函數，若關于的方程恰有三個實數根，則的取值范圍是.【答案】【解析】作出函數和的圖象，如圖所示由圖象可知，在上單調遞增，在上單調遞減.方程恰有三個實數根轉化為函數的圖象與的圖象恰有三個交點，結合函數的圖象知，要使函數的圖象與的圖象恰有三個交點，只需滿足，所以的取值范圍為.故答案為：.13．（23-24高一上·上海虹口·期末）設，則函數的所有零點之和為．【答案】【解析】由一元二次函數的圖象和性質可知函數的圖象如圖所示，根據圖象可知共有個零點，且個零點關于對稱，所以零點之和為，故答案為：14．（22-23高一上·云南昆明·期末）已知是定義在區(qū)間的函數，則函數的零點是；若方程有四個不相等的實數根，，，，則.【答案】2，820【解析】由題意可知，令，即，解得或，故函數在內的零點為和；方程有四個不相等的實數根，，即為與的四個交點的橫坐標，方程即，，即，當即時，方程可轉化為即；當時，方程可轉化為即；故要有四個實數根，則兩種情況都有兩個不同的實數根，不妨設為的兩根，則，則為的兩根，則，則；故答案為:2，8;20.解答題15．（23-24高一上·吉林延邊·階段練習）我們一般使用分貝（符號是）來表示聲音強度（瓦/平方米，符號是）的等級，強度為的聲音對應的等級為，科學研究表明，它們滿足關系：，其中為修正系數（常數），為