4.5 函數(shù)的應(yīng)用（二）（解析版）

.5函數(shù)的應(yīng)用（二）知識(shí)點(diǎn)一求函數(shù)的零點(diǎn)【【解題思路】探究函數(shù)零點(diǎn)的兩種求法(1)代數(shù)法：求方程f(x)＝0的實(shí)數(shù)根，若存在實(shí)數(shù)根，則函數(shù)存在零點(diǎn)，否則函數(shù)不存在零點(diǎn)．(2)幾何法：與函數(shù)y＝f(x)的圖象聯(lián)系起來(lái)，圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為函數(shù)的零點(diǎn)【例1】（2024·山東青島·二模）函數(shù)的零點(diǎn)為（

）A．0 B．1 C． D．【答案】B【解析】因?yàn)椋?，解得，即函?shù)的零點(diǎn)為1.故選：B.【變式】1．（23-24北京順義·期末）函數(shù)的零點(diǎn)是（

）A． B． C．10 D．【答案】A【解析】令，可得，解得，故函數(shù)的零點(diǎn)是.故選：A.2．（2024湖南）函數(shù)的零點(diǎn)是（

）A．0 B．1 C．2 D．【答案】C【解析】由，設(shè)，則得，解得，從而，所以.故選：C.3．（2023高一上·全國(guó)·專題練習(xí)）若函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)是2和3，則函數(shù)的零點(diǎn)是．【答案】1和【解析】∵函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)是2和3，∴，解得，∴，令，解得或1∴的零點(diǎn)為1和.故答案為：1和4．（23-24高一上·河北石家莊·階段練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，且對(duì)任意，恒有，則函數(shù)的零點(diǎn)是.【答案】0【解析】令，由函數(shù)為上的單調(diào)函數(shù)，且，，得為常數(shù)，則，且，于是，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，因此，即，由，得，所以函數(shù)的零點(diǎn)是0.故答案為：0知識(shí)點(diǎn)二判斷零點(diǎn)所在的區(qū)間【【解題思路】確定函數(shù)f(x)零點(diǎn)所在區(qū)間的常用方法(1)解方程法：當(dāng)對(duì)應(yīng)方程f(x)＝0易解時(shí)，可先解方程，再看求得的根是否落在給定區(qū)間上．(2)利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理：首先看函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是否連續(xù)，再看是否有f(a)·f(b)<0.若f(a)·f(b)<0，則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)必有零點(diǎn)．(3)數(shù)形結(jié)合法：通過(guò)畫函數(shù)圖象，觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點(diǎn)來(lái)判斷．【例2-1】（2024遼寧·期末）已知函數(shù)，則的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?，又函?shù)，，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，，所以，所以零點(diǎn)所在的大致區(qū)間為.故選：B.【例2-2】（23-24高一下·云南曲靖·階段練習(xí)）若函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，且滿足對(duì)任意，都有，則函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)楹瘮?shù)在上是單調(diào)函數(shù)，，設(shè)，所以，所以，因?yàn)榕c在上單調(diào)遞增，所以有唯一解，解得，所以，又，，故的零點(diǎn)所在的區(qū)間為.故選：B.【例2-3】（23-24高三上·浙江紹興·期末）已知命題：函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn)，則命題成立的一個(gè)必要不充分條件是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】函數(shù)在上單調(diào)遞增，由函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn)，得，解得，即命題成立的充要條件是，顯然成立，不等式、、都不一定成立，而成立，不等式恒成立，反之，當(dāng)時(shí)，不一定成立，所以命題成立的一個(gè)必要不充分條件是.故選：D【變式】1．（23-24高一下·江蘇揚(yáng)州·期末）方程的解所在區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】令，在上連續(xù)，且單調(diào)遞增，對(duì)于A，因?yàn)椋?，所以的零點(diǎn)不在內(nèi)，所以A錯(cuò)誤，對(duì)于B，因?yàn)?，，所以的零點(diǎn)不在內(nèi)，所以B錯(cuò)誤，對(duì)于C，因?yàn)椋?，所以的零點(diǎn)在內(nèi)，所以方程的解所在區(qū)間為，所以C正確，對(duì)于D，因?yàn)?，，所以的零點(diǎn)不在內(nèi)，所以D錯(cuò)誤，故選：C2．（2024安徽蕪湖·階段練習(xí)）已知函數(shù)，在下列區(qū)間中，包含零點(diǎn)的區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)楹瘮?shù)在單調(diào)遞減，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，又，，所以函數(shù)在上存在唯一零點(diǎn).故選：D.3．（23-24高一下·海南·階段練習(xí)）函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，故在上是單調(diào)遞增函數(shù)；又，，由零點(diǎn)存在定理可知，函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為.故選：C.4．（23-24高一上·湖南株洲·期末）若方程的實(shí)根在區(qū)間上，則（

）A． B．2 C．或2 D．1【答案】C【解析】方程化為，分別做出方程左右兩邊的圖象，從圖象可知，方程，方程有兩個(gè)分別在和之間的根，下面證明：方程在和之間各有一個(gè)實(shí)根，設(shè)，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)得在區(qū)間上是增函數(shù)，又，，則，由零點(diǎn)存在性定理知，在區(qū)間上僅有一個(gè)零點(diǎn)，即方程區(qū)間上僅有一個(gè)實(shí)根，同理可得方程區(qū)間上僅有一個(gè)實(shí)根，結(jié)合題意可知，或，故選：C.知識(shí)點(diǎn)三二分法概念的理解【【解題思路】運(yùn)用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)應(yīng)具備的條件(1)函數(shù)圖象在零點(diǎn)附近連續(xù)不斷．(2)在該零點(diǎn)左右函數(shù)值異號(hào)．只有滿足上述兩個(gè)條件，才可用二分法求函數(shù)零點(diǎn)．【例3-1】（23-24高一上·吉林延邊·期末）下列函數(shù)中，不能用二分法求零點(diǎn)的是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】不能用二分法求零點(diǎn)的函數(shù)，要么沒(méi)有零點(diǎn)，要么零點(diǎn)兩側(cè)同號(hào)；對(duì)于A，有唯一零點(diǎn)，且函數(shù)值在零點(diǎn)兩側(cè)異號(hào)，故可用二分法求零點(diǎn)；對(duì)于B，有唯一零點(diǎn)，但恒成立，故不可用二分法求零點(diǎn)；對(duì)于C，有兩個(gè)不同零點(diǎn)，且在每個(gè)零點(diǎn)左右兩側(cè)函數(shù)值異號(hào)，故可用二分法求零點(diǎn)；對(duì)于D，有唯一零點(diǎn)，且函數(shù)值在零點(diǎn)兩側(cè)異號(hào)，故可用二分法求零點(diǎn).故選：B.【例3-2】（23-24高一上·天津·階段練習(xí)）下列函數(shù)圖象與x軸均有交點(diǎn)，其中不能用二分法求圖中交點(diǎn)橫坐標(biāo)的是下圖中的（

）A．B．C． D．【答案】C【解析】根據(jù)零點(diǎn)存在定理可知，能用二分法求零點(diǎn)的函數(shù)，在零點(diǎn)左右兩側(cè)的函數(shù)值應(yīng)該是正負(fù)符號(hào)相反，對(duì)于A，兩側(cè)函數(shù)值符號(hào)相反，故可用二分法求交點(diǎn)橫坐標(biāo)；對(duì)于B，兩側(cè)函數(shù)值符號(hào)相反，故可用二分法求交點(diǎn)橫坐標(biāo)；對(duì)于C，圖象與x軸有交點(diǎn)，圖象在x軸及其上方，兩側(cè)函數(shù)值符號(hào)相同，故不可用二分法求交點(diǎn)橫坐標(biāo)；對(duì)于D，兩側(cè)函數(shù)值符號(hào)相反，故可用二分法求交點(diǎn)橫坐標(biāo)；故選：C【變式】1．（23-24高一上·湖北恩施·期末）下列方程中，不能用二分法求近似解的為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】對(duì)于A，在上單調(diào)遞增，且，可以使用二分法，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，在R上連續(xù)且單調(diào)遞增，且，可以使用二分法，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，故不可以使用二分法，故C正確；對(duì)于D，在上單調(diào)遞增，且，可以使用二分法，故D錯(cuò)誤.故選：C2．（2023高一上·全國(guó)·專題練習(xí)）以下每個(gè)圖象表示的函數(shù)都有零點(diǎn)，但不能用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【解析】由二分法的定義，可知只有當(dāng)函數(shù)在區(qū)間上的圖象連續(xù)不斷，且，即函數(shù)的零點(diǎn)是變號(hào)零點(diǎn)時(shí)，才能將區(qū)間一分為二，逐步得到零點(diǎn)的近似值．對(duì)各選項(xiàng)分析可知，選項(xiàng)A，B，D都符合，而選項(xiàng)C不符合，因?yàn)樵诹泓c(diǎn)兩側(cè)函數(shù)值不異號(hào)，因此不能用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值．故選：C.3．（23-24高一上·陜西西安·階段練習(xí)）多選下列函數(shù)圖象與軸均有交點(diǎn)，其中能用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的有（

）A．

B．

C．

D．

【答案】BCD【解析】根據(jù)二分法的定義，知函數(shù)在區(qū)間上的圖象連續(xù)不斷，且，即函數(shù)的零點(diǎn)是變號(hào)零點(diǎn)，才能將區(qū)間一分為二，逐步得到零點(diǎn)的近似值．對(duì)于A，因?yàn)榱泓c(diǎn)左右兩側(cè)的函數(shù)值不變號(hào)，所以不能用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值，故A錯(cuò)誤．對(duì)于BCD，三個(gè)函數(shù)圖象均符合二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的條件，故BCD正確；故選：BCD.知識(shí)點(diǎn)四用二分法求方程的近似解【【解題思路】利用二分法求方程的近似解的步驟(1)構(gòu)造函數(shù)，利用圖象確定方程的解所在的大致區(qū)間，通常取區(qū)間(n，n＋1)，n∈Z.(2)利用二分法求出滿足精確度的方程的解所在的區(qū)間M.(3)區(qū)間M內(nèi)的任一實(shí)數(shù)均是方程的近似解，通常取區(qū)間M的一個(gè)端點(diǎn)．【例4-1】（23-24高一下·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）用二分法研究函數(shù)的零點(diǎn)時(shí)，第一次經(jīng)過(guò)計(jì)算得，，則其中一個(gè)零點(diǎn)所在區(qū)間和第二次應(yīng)計(jì)算的函數(shù)值分別為（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【解析】因?yàn)?，由零點(diǎn)存在性知：零點(diǎn)，根據(jù)二分法，第二次應(yīng)計(jì)算，即.故選：B.【例4-2】（23-24高一上·湖南·期末）用二分法求函數(shù)的一個(gè)正零點(diǎn)的近似值（精確度為時(shí)，依次計(jì)算得到如下數(shù)據(jù)；，關(guān)于下一步的說(shuō)法正確的是（

）A．已經(jīng)達(dá)到精確度的要求，可以取1.1作為近似值B．已經(jīng)達(dá)到精確度的要求，可以取1.125作為近似值C．沒(méi)有達(dá)到精確度的要求，應(yīng)該接著計(jì)算D．沒(méi)有達(dá)到精確度的要求，應(yīng)該接著計(jì)算【答案】C【解析】由二分法的定義，可得正零點(diǎn)所在區(qū)間不斷縮小，時(shí)的區(qū)間長(zhǎng)度為，故沒(méi)有達(dá)到精確的要求，應(yīng)該接著計(jì)算的值.故選：C【變式】1．（23-24高一上·江蘇蘇州·期末）若函數(shù)的一個(gè)正數(shù)零點(diǎn)附近的函數(shù)值用二分法計(jì)算，其參考數(shù)據(jù)如下：那么方程的一個(gè)近似根精確度為可以是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)椋?，所以，所以函?shù)在內(nèi)有零點(diǎn)，因?yàn)?，所以不滿足精確度為因?yàn)椋?，所以函?shù)在內(nèi)有零點(diǎn)，因?yàn)?，所以不滿足精確度為因?yàn)?，所以，所以函?shù)在內(nèi)有零點(diǎn)，因?yàn)?，所以不滿足精確度為因?yàn)椋?，所以函?shù)在內(nèi)有零點(diǎn)，因?yàn)?，所以不滿足精確度為因?yàn)椋?，所以函?shù)在內(nèi)有零點(diǎn)，因?yàn)?，滿足精確度為，所以方程的一個(gè)近似根精確度為可以是區(qū)間內(nèi)任意一個(gè)值包括端點(diǎn)值.故選：C.2．（23-24高一上·云南昆明·期末）若函數(shù)的一個(gè)正零點(diǎn)用二分法計(jì)算，零點(diǎn)附近函數(shù)值的參考數(shù)據(jù)如下：，，，，，，那么方程的一個(gè)近似根（精確度）為（

）A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5【答案】C【解析】因?yàn)椋圆槐乜紤]端點(diǎn)；因?yàn)椋圆槐乜紤]端點(diǎn)和；因?yàn)椋?，所以，所以函?shù)在內(nèi)有零點(diǎn)，因?yàn)椋詽M足精確度0.1；所以方程的一個(gè)近似根（精確度0.1）是區(qū)間內(nèi)的任意一個(gè)值（包括端點(diǎn)值），根據(jù)四個(gè)選項(xiàng)可知：.故選：C.3．（23-24高一上·上海浦東新·階段練習(xí)）用二分法求函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)的近似值（精確度為0.1）時(shí)，依次計(jì)算得到如下數(shù)據(jù)：，，，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．函數(shù)在上不一定有零點(diǎn)B．已經(jīng)達(dá)到精確度，可以取1.375作為近似值C．沒(méi)有達(dá)到精確度，應(yīng)該接著計(jì)算D．沒(méi)有達(dá)到精確度，應(yīng)該接著計(jì)算【答案】D【解析】對(duì)于A，由，且連續(xù)，則根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在定理知，在上一定有零點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，C，D，，沒(méi)有達(dá)到精確度的要求，應(yīng)該接著計(jì)算，故B錯(cuò)誤，C錯(cuò)誤，D正確．故選：D．重難點(diǎn)一零點(diǎn)的個(gè)數(shù)【【解題思路】判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的四種常用方法(1)利用方程根，轉(zhuǎn)化為解方程，有幾個(gè)不同的實(shí)數(shù)根就有幾個(gè)零點(diǎn)．(2)畫出函數(shù)y＝f(x)的圖象，判定它與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，從而判定零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．(3)結(jié)合單調(diào)性，利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理，可判定y＝f(x)在(a，b)上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．(4)轉(zhuǎn)化成兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題．【例5-1】（2025高三·全國(guó)·專題練習(xí)）函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】由函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，即為方程解的個(gè)數(shù)，即為函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，作出函數(shù)與的圖象，如圖所示，當(dāng)時(shí)，函數(shù)與的圖象有且僅有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)為，有兩個(gè)公共點(diǎn)，綜上可得，函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn).故選：D.【例5-2】（23-24陜西漢中·期末）設(shè)函數(shù),則的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，令或，有2個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，令，即，結(jié)合函數(shù)的圖象可知二者在時(shí)有1個(gè)交點(diǎn)，即此時(shí)有1個(gè)零點(diǎn).綜合可知，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3.故選：D【例5-3】（23-24高一下·廣東韶關(guān)·階段練習(xí)）函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，顯然函數(shù)在上都單調(diào)遞減，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，而，則函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，顯然，因此函數(shù)在區(qū)間上至少各有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，由，得，則在上的零點(diǎn)即為函數(shù)的圖象與直線的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)的圖象與直線，如圖，

觀察圖象知，函數(shù)的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，即有兩個(gè)解，所以函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3.故選：D【變式】1．（23-24高一下·廣西南寧·階段練習(xí)）已知分段函數(shù)，則方程的解的個(gè)數(shù)是（

）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】B【解析】函數(shù)，由，得或，解得或，解得，所以方程有3個(gè)解.故選：B2．（2024高一上·湖南邵陽(yáng)·競(jìng)賽）函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)等價(jià)于方程的解得個(gè)數(shù)，即函數(shù)與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，作出函數(shù)與的圖象如下圖所示，由圖象可知：函數(shù)與有且僅有兩個(gè)不同交點(diǎn)，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.故選：C.3．（23-24高一上·甘肅武威·期末）已知函數(shù)則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，由，得或0（舍去）；當(dāng)時(shí)，由解得或.故共有3個(gè)零點(diǎn).故選：C.4（23-24高一下·浙江·期中）已知函數(shù)則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】由題意可知，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)可以轉(zhuǎn)化為和函數(shù)的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)，它們的函數(shù)圖象如圖所示.故選：C．重難點(diǎn)二根據(jù)零點(diǎn)情況求參數(shù)范圍【例6-1】（23-24浙江寧波·期末）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】若時(shí)，，則，滿足題意，若，當(dāng)，解得且，此時(shí)滿足題意，若時(shí)，，此時(shí)，此時(shí)方程在只有一根，滿足題意，若時(shí)，，此時(shí)，此時(shí)方程在只有一根，滿足題意，當(dāng)，得時(shí)，此時(shí)，此時(shí)方差的根為，滿足題意，綜上可得或故選：C【例6-2】（23-24高一上·廣東茂名·期中）已知函數(shù)，若方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，即函數(shù)與函數(shù)的圖象有三個(gè)不同交點(diǎn).作函數(shù)的圖象如下圖所示，由圖可得，.所以實(shí)數(shù)的取值范圍是：.故選：B.【變式】1．（23-24高一上·安徽亳州·期末）若函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，則常數(shù)a的取值范圍為．【答案】【解析】因?yàn)樵谏暇鶠樵龊瘮?shù)，所以函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，且函數(shù)圖象連續(xù)不間斷，故若在區(qū)間上存在零點(diǎn)，則解得．故常數(shù)a的取值范圍為．故答案為：2．（22-23甘肅定西·階段練習(xí)）已知函數(shù)，若關(guān)于的方程恰有三個(gè)實(shí)數(shù)根，則的取值范圍為．【答案】【解析】關(guān)于的方程恰有三個(gè)實(shí)數(shù)根等價(jià)于函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為3，的圖象如圖所示，由圖可知當(dāng)時(shí)，兩函數(shù)圖象有3個(gè)交點(diǎn)，所以的取值范圍為，故答案為：3．（2024·寧夏銀川）函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),求a的范圍【答案】【【解析】的零點(diǎn)兩個(gè),即的根有兩個(gè).即的交點(diǎn)有兩個(gè).而互為反函數(shù),圖像關(guān)于對(duì)稱.當(dāng)兩個(gè)圖像均與相切時(shí),設(shè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為.分別求導(dǎo),所以,所以.,即,所以.當(dāng)時(shí)候,兩圖像有一個(gè)交點(diǎn),當(dāng),兩圖像有兩個(gè)交點(diǎn),即的零點(diǎn)兩個(gè).綜上所.故答案為:.4．（23-24高一下·遼寧撫順·期中）若函數(shù)只有1個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是．【答案】【解析】由，得，設(shè)函數(shù)，由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，，可作出的大致圖象，如圖所示，由圖可知，的取值范圍是．故答案為：.5．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有3個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是．【答案】【解析】由的解析式作出的大致圖像．如圖所示：

方程有3個(gè)不等實(shí)數(shù)根等價(jià)于的圖象與直線有3個(gè)不同的公共點(diǎn)，則．故答案為：.重難點(diǎn)三零點(diǎn)大小的比較【例7-1】（2024·廣東梅州）三個(gè)函數(shù)，，的零點(diǎn)分別為，則之間的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因?yàn)楹瘮?shù)，，，都是增函數(shù)，所以函數(shù)，，均為增函數(shù)，因?yàn)椋院瘮?shù)的零點(diǎn)在上，即，因?yàn)?，所以函?shù)的零點(diǎn)在上，即，因?yàn)椋院瘮?shù)的零點(diǎn)在上，即，綜上，．故選：B．【變式】1．（23-24高一下·河南·開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)的零點(diǎn)分別是，則的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】令，得，則為函數(shù)與交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，為函數(shù)與交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，為函數(shù)與交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，在同一直角坐標(biāo)系中，分別作出和的圖象，如圖所示，

由圖可知，.故選：B2（23-24高一上·湖南株洲·期末）.已知函數(shù)的零點(diǎn)分別為，則的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的零點(diǎn)分別為，可轉(zhuǎn)化為與三個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，在同一坐標(biāo)系下，畫出函數(shù)與函數(shù)的圖象，如圖所示，結(jié)合圖象可得：.故選：B.3（23-24高一上·湖北·階段練習(xí)）已知函數(shù)，，的零點(diǎn)分別為則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題知得，即為函數(shù)與函數(shù)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，同理可知為函數(shù)與函數(shù)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，為函數(shù)與函數(shù)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，分別作出，，和的圖像，由圖像交點(diǎn)可得.故選：B4．（23-24高三上·寧夏石嘴山·階段練習(xí)）函數(shù)，，的零點(diǎn)分別為a，b，c，則（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】令，可得，因?yàn)?，所以，，可得，所以；令，可得，因?yàn)?，所以，，可得，所以；令，可得，因?yàn)?，所以，，可得，所以；綜上，.故選：A.重難點(diǎn)四零點(diǎn)之和【例8-1】（22-23高一上·全國(guó)·單元測(cè)試）是上的偶函數(shù)，若方程有五個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則這些根之和為（

）A．2 B．1 C．0 D．【答案】C【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是上的偶函數(shù)，所以函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱，那么，即有5個(gè)實(shí)數(shù)根，可知其中4個(gè)實(shí)數(shù)根，有兩對(duì)關(guān)于軸對(duì)稱，另外一個(gè)為，所以這些根的和為0.故選：C【例8-2】（2024山東菏澤·期末）若，分別是方程，的根，則（

）A．2022 B．2023 C． D．【答案】B【解析】由題意可得是函數(shù)的圖象與直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，是函數(shù)圖象與直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，因?yàn)榈膱D象與圖象關(guān)于直線對(duì)稱，而直線也關(guān)于直線對(duì)稱，所以線段的中點(diǎn)就是直線與的交點(diǎn)，由，得，即線段的中點(diǎn)為，所以，得，故選：B【變式】1．（23-24高一上·寧夏石嘴山·期中）（多選）已知函數(shù)，若存在，使得，則的取值可以是（

）A． B．3 C． D．【答案】CD【解析】設(shè)，作出函數(shù)與的圖象，如圖：觀察圖形知，當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，點(diǎn)、關(guān)于直線對(duì)稱，則，且函數(shù)在上為增函數(shù)，由，，得，因此，所以的取值可以是，.故選：CD2．（22-23江西南昌·期末）（多選）已知函數(shù)，若有四個(gè)不同的解且，則可能的取值為（）A． B． C． D．【答案】BC【解析】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)的圖象如下，

則由圖象可知，的圖象與有4個(gè)交點(diǎn)，分別為，因?yàn)橛兴膫€(gè)不同的解且，所以，且，且，，又因?yàn)樗约?，所以，所以，且，?gòu)造函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)在上都是減函數(shù)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，即，所以.故選：BC.重難點(diǎn)五函數(shù)模型的應(yīng)用【【解題思路】應(yīng)用函數(shù)模型解決問(wèn)題的基本過(guò)程1．審題——弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇模型．2．建模——將自然語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型．3．求?！蠼鈹?shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)模型．4．還原——將數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實(shí)際問(wèn)題．【例9-1】（24-25高一上·全國(guó)·課堂例題）天文學(xué)中天體的明暗程度可以用星等或亮度來(lái)描述．兩顆星的星等與亮度滿足．其中星等為的星的亮度為．已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，“宿二”的亮度是“天津四”的倍，則與最接近的是（）（注：當(dāng)較小時(shí)，）A．1.24 B．1.25 C．1.26 D．1.27【答案】C【解析】根據(jù)題意可得，所以，解得，根據(jù)參考公式可得，故與最接近的是1.26．故選：C.【變式】1．（23-24高一上·云南昆明·期末）酒駕是嚴(yán)重危害交通安全的違法行為．為了保障交通安全，根據(jù)國(guó)家有關(guān)規(guī)定：血液中酒精含量達(dá)到的駕駛員即為酒后駕車，及以上認(rèn)定為醉酒駕車，都屬于違法駕車．假設(shè)某駕駛員喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了．如果停止喝酒以后，他血液中的酒精含量會(huì)以每小時(shí)的速度減少，要保證他不違法駕車，則他至少要休息(結(jié)果精確到小時(shí)，參考數(shù)據(jù)：)（

）A．小時(shí) B．小時(shí) C．小時(shí) D．小時(shí)【答案】C【解析】設(shè)此人休息小時(shí)才能駕駛，由題意可得，即，由于函數(shù)再定義域內(nèi)單調(diào)遞減，所以，所以此人至少要休息小時(shí).故選：C2．（24-25高一上·上海·隨堂練習(xí)）2020年12月17日凌晨，嫦娥五號(hào)返回器攜帶月球樣品在內(nèi)蒙古四子王旗預(yù)定區(qū)域安全著陸．嫦娥五號(hào)返回艙之所以能達(dá)到如此高的再入精度，主要是因?yàn)樗捎脧椞椒祷貜椀?，?shí)現(xiàn)了減速和再入階段彈道調(diào)整，這與“打水漂”原理類似（如圖所示）．現(xiàn)將石片扔向水面，假設(shè)石片第一次接觸水面的速率為，這是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率為上一次的90%，若要使石片的速率低于，則至少需要“打水漂”的次數(shù)為．（參考數(shù)據(jù)：，）【答案】6【解析】設(shè)石片第n次“打水漂”時(shí)的速率為，則．由，得，則，即，則，故至少需要“打水漂”的次數(shù)為6．故答案為：6.3．（23-24高一上·廣西崇左·期中）雙碳戰(zhàn)略之下，新能源汽車發(fā)展成為乘用車市場(chǎng)轉(zhuǎn)型升級(jí)的重要方向．根據(jù)工信部最新數(shù)據(jù)顯示，截至2022年一季度，我國(guó)新能源汽車已累計(jì)推廣突破1000萬(wàn)輛大關(guān)．某企業(yè)計(jì)劃引進(jìn)新能源汽車生產(chǎn)設(shè)備，通過(guò)市場(chǎng)分析，每生產(chǎn)（千輛）獲利（萬(wàn)元），；該公司預(yù)計(jì)2022年全年其他成本總投入為萬(wàn)元．由市場(chǎng)調(diào)研知，該種車銷路暢通，供不應(yīng)求．記2022年的全年利潤(rùn)為（單位：萬(wàn)元）．(1)求函數(shù)的解析式；(2)當(dāng)2022年產(chǎn)量為多少千輛時(shí)，該企業(yè)利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)產(chǎn)量為5千輛時(shí)，該企業(yè)利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是380萬(wàn)元【解析】（1）由已知，，又整理得（2）當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，即時(shí)，，，的最大值為380，故當(dāng)2022年產(chǎn)量為5千輛，該企業(yè)利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是380萬(wàn)元．單選題1．（2024湖北）下列關(guān)于二分法的敘述中，正確的是（

）A．用二分法可求所有函數(shù)零點(diǎn)的近似值B．用二分法可求函數(shù)零點(diǎn)的近似值，可精確到小數(shù)點(diǎn)后任一位C．二分法無(wú)規(guī)律可循，無(wú)法在計(jì)算機(jī)上完成D．只能用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)【答案】B【解析】A選項(xiàng)，由二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值需要函數(shù)圖象在零點(diǎn)附近連續(xù)且區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值異號(hào)，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，二分法，反復(fù)求區(qū)間中點(diǎn)，確定函數(shù)值符號(hào)，故可求函數(shù)零點(diǎn)的近似值，可精確到小數(shù)點(diǎn)后任一位，B正確；C選項(xiàng)，二分法是一種程序化的運(yùn)算過(guò)程，反復(fù)求區(qū)間中點(diǎn)，確定函數(shù)值符號(hào)，因而可以通過(guò)編程，在計(jì)算機(jī)上完成，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，求零點(diǎn)的方法有解方程法、作圖法等，D錯(cuò)誤．故選：B．2．（23-24高一下·江西吉安·期末）已知某種鉛蓄電池由于硫酸濃度的降低，每隔一個(gè)月其性能指數(shù)都要損失10%，且一般認(rèn)為當(dāng)該種類型的電池的性能指數(shù)降低到原來(lái)的以下時(shí)就需要更換其中的硫酸來(lái)達(dá)到持久續(xù)航，則最多使用（

）個(gè)月就需要更換純硫酸（參考數(shù)據(jù)，）A．11 B．12 C．13 D．14【答案】C【解析】設(shè)最初該種電池的性能指數(shù)為k，通過(guò)月后性能指數(shù)變?yōu)椋瑒t．由題意得，即，兩邊取常用對(duì)數(shù)，可得．∵，∴．又，故最多使用13個(gè)月就需要更換純硫酸．故選：C.3．（2023·寧夏銀川）函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】若函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，由函數(shù)在的圖象連續(xù)不斷，且為增函數(shù)，則根據(jù)零點(diǎn)存在定理可知，只需滿足，即，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D.4．（2023高一上·江蘇·專題練習(xí)）若函數(shù)在存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．∪【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，，不存在零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，是一次函數(shù)，必然單調(diào)，故只需即可，即，解得或，即的取值范圍是∪，故選：D5．（2024四川德陽(yáng)·期末）函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)的充分不必要條件是（

）A． B．C．或 D．【答案】A【解析】函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則有2個(gè)不等實(shí)數(shù)根，即或，由于，故為函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)的充分不必要條件，顯然，均不能推出或，不符合題意；或是函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)的充分必要條件，故選：A6．（2024廣東江門·期末）已知，，的零點(diǎn)分別是，，，則，，的大小順序是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】函數(shù)，，的零點(diǎn)，即為函數(shù)分別與函數(shù)、、的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，如圖所示：由圖可得.故選：B7．（2024江蘇南通·階段練習(xí)）已知，若互不相等的實(shí)數(shù)，，滿足，則的取值范圍為（

）．A． B． C． D．【答案】A【解析】作函數(shù)的圖象,如下圖，當(dāng)時(shí),的圖象為開(kāi)口向上的拋物線的一部分,對(duì)稱軸為,最小值為；當(dāng)時(shí),為直線的一部分.設(shè),,由圖象可知,,令,解得,則,且,則,即.故選：A8．（2023·上海·專題練習(xí)）已知函數(shù)，且m，n是方程的兩個(gè)根（m＜n），則實(shí)數(shù)a、b、m、n的大小關(guān)系可能是（

）A．m＜a＜b＜n B．a(chǎn)＜m＜n＜b C．m＜a＜n＜b D．a(chǎn)＜m＜b＜n【答案】B【解析】因?yàn)楹瘮?shù)，令，a、b為的零點(diǎn)，函數(shù)的圖象是由的圖象向上平移一個(gè)單位得到的，又m，n是方程的兩個(gè)根（m＜n），如圖所示：由圖知：a＜m＜n＜b，故選：B.多選題9．（23-24高一上·浙江溫州·期末）設(shè)，某同學(xué)用二分法求方程的近似解精確度為，列出了對(duì)應(yīng)值表如下：依據(jù)此表格中的數(shù)據(jù)，方程的近似解不可能為（

）A． B． C． D．【答案】ABD【解析】由題中參考數(shù)據(jù)可得根在區(qū)間內(nèi)，故通過(guò)觀察四個(gè)選項(xiàng)，符合要求的方程近似解可能為，不可能為ABD選項(xiàng)．故選：ABD．10．（23-24高一上·河南駐馬店·階段練習(xí)）若函數(shù)的一個(gè)正數(shù)零點(diǎn)附近的函數(shù)值用二分法逐次計(jì)算，參考數(shù)據(jù)如下：，；，；．那么可以作為方程的一個(gè)近似解的是（精確度為0.1）（

）A．1.35 B．1.40 C．1.43 D．1.50【答案】BC【解析】因?yàn)?，所以，所以函?shù)在內(nèi)有零點(diǎn)，因?yàn)椋圆粷M足精確度；因?yàn)?，所以，所以函?shù)在內(nèi)有零點(diǎn)，因?yàn)椋圆粷M足精確度；因?yàn)椋?，所以函?shù)在內(nèi)有零點(diǎn)，因?yàn)?，所以不滿足精確度；因?yàn)?，所以，所以函?shù)在內(nèi)有零點(diǎn)，因?yàn)椋詽M足精確度；所以方程的一個(gè)近似根（精確度）是區(qū)間內(nèi)的任意一個(gè)值，根據(jù)四個(gè)選項(xiàng)可知選BC.故選：BC11．（23-24高一上·河南鄭州·期中）若二次函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)恰落在內(nèi)，則實(shí)數(shù)的值可以是（

）A． B． C． D．1【答案】BC【解析】，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)，，BC滿足.故選：BC.填空題12．（23-24高一下·河南信陽(yáng)·開(kāi)學(xué)考試）函數(shù)，若關(guān)于的方程恰有三個(gè)實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是.【答案】【解析】作出函數(shù)和的圖象，如圖所示由圖象可知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.方程恰有三個(gè)實(shí)數(shù)根轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與的圖象恰有三個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)的圖象知，要使函數(shù)的圖象與的圖象恰有三個(gè)交點(diǎn)，只需滿足，所以的取值范圍為.故答案為：.13．（23-24高一上·上海虹口·期末）設(shè)，則函數(shù)的所有零點(diǎn)之和為．【答案】【解析】由一元二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)可知函數(shù)的圖象如圖所示，根據(jù)圖象可知共有個(gè)零點(diǎn)，且個(gè)零點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，所以零點(diǎn)之和為，故答案為：14．（22-23高一上·云南昆明·期末）已知是定義在區(qū)間的函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)是；若方程有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，，，則.【答案】2，820【解析】由題意可知，令，即，解得或，故函數(shù)在內(nèi)的零點(diǎn)為和；方程有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，即為與的四個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，方程即，，即，當(dāng)即時(shí)，方程可轉(zhuǎn)化為即；當(dāng)時(shí)，方程可轉(zhuǎn)化為即；故要有四個(gè)實(shí)數(shù)根，則兩種情況都有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，不妨設(shè)為的兩根，則，則為的兩根，則，則；故答案為:2，8;20.解答題15．（23-24高一上·吉林延邊·階段練習(xí)）我們一般使用分貝（符號(hào)是）來(lái)表示聲音強(qiáng)度（瓦/平方米，符號(hào)是）的等級(jí)，強(qiáng)度為的聲音對(duì)應(yīng)的等級(jí)為，科學(xué)研究表明，它們滿足關(guān)系：，其中為修正系數(shù)（常數(shù)），為