第一章 第3講 等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)

第一章集合、常用邏輯用語(yǔ)與不等式第3講等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)

課標(biāo)要求命題點(diǎn)五年考情命題分析預(yù)測(cè)梳理等式

的性質(zhì)，

理解不等

式的概

念，掌握

不等式的

性質(zhì).比較兩個(gè)數(shù)(式)的

大小2022全國(guó)卷甲T12；2020全國(guó)卷ⅢT12本講很少單獨(dú)命題，常與其他知識(shí)綜合

命題，命題熱點(diǎn)有比較大小，不等式性

質(zhì)的應(yīng)用等，主要考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算

和邏輯推理素養(yǎng).題型以選擇題和填空題

為主，難度中等，預(yù)計(jì)2025年高考命題

點(diǎn)變化不大，復(fù)習(xí)備考時(shí)要掌握等式與

不等式的性質(zhì)，并能充分運(yùn)用.不等式的性質(zhì)及其應(yīng)用2020新高考卷

ⅠT11；2019全國(guó)卷ⅡT6

1.兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小的方法關(guān)系方法作差法作商法a＞ba－b＞0a＝ba－b＝0a＜ba－b＜0＜

＞

2.等式的性質(zhì)對(duì)稱性如果a＝b，那么b＝a傳遞性如果a＝b，b＝c，那么a＝c可加(減)性如果a＝b，那么a±c＝b±c可乘性如果a＝b，那么ac＝bc可除性3.不等式的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容對(duì)稱性a＞b?③

?傳遞性a＞b，b＞c?④

?可加性a＞b?a＋c＞b＋c可乘性a＞b，c＞0?ac＞bc；a＞b，c＜0?⑤

?同向可加性a＞b，c＞d?⑥

?同向同正可乘性a＞b＞0，c＞d＞0?⑦

?同正可乘方性a＞b＞0，那么an＞bn(n∈N，n≥2)b＜a

a＞c

ac＜bc

a＋c＞b＋d

ac＞bd

1.已知

t

＝2

a

＋2

b

，

s

＝

a

2＋2

b

＋1，則(

C

)A.t＞sB.t≥sC.t≤sD.t＜s[解析]因?yàn)?/p>

t

－

s

＝(2

a

＋2

b

)－(

a

2＋2

b

＋1)＝－(

a

－1)2≤0，所以

t

≤

s

.故選C.C1234

A.A≤BB.A≥BC.A＜BD.A＞B

B12343.[多選]下列說(shuō)法不正確的是(

AD

)A.一個(gè)不等式的兩邊同時(shí)加上或同時(shí)乘以同一個(gè)數(shù)，不等號(hào)方向不變D.若x＞y，則x2＞y2AD12344.[教材改編]已知2＜

a

＜3，－2＜

b

＜－1，則2

a

－

b

的取值范圍是

?.[解析]

∵2＜

a

＜3，∴4＜2

a

＜6

①.∵－2＜

b

＜－1，∴1＜－

b

＜2

②.①＋②

得，5＜2

a

－

b

＜8.(5，8)

1234

A.A＜BB.A＞BC.A＝BD.不確定A

例1訓(xùn)練1例2例3訓(xùn)練2(2)eπ·πe與ee·ππ

的大小關(guān)系為

?.

eπ·πe＜ee·ππ

例1訓(xùn)練1例2例3訓(xùn)練2方法技巧比較數(shù)(式)大小的常用方法1.作差法：(1)作差；(2)變形；(3)定號(hào)；(4)得出結(jié)論.2.作商法：(1)作商；(2)變形；(3)判斷商與1的大小關(guān)系；(4)得出結(jié)論.3.構(gòu)造函數(shù)，

利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小.例1訓(xùn)練1例2例3訓(xùn)練2訓(xùn)練1

(1)若

a

＞

b

＞1，

P

＝

a

e

b

，

Q

＝

b

e

a

，則

P

，

Q

的大小關(guān)系是(

C

)A.P＞QB.P＝QC.P＜QD.不能確定C

例1訓(xùn)練1例2例3訓(xùn)練2(2)[多選/2023江蘇省南京市調(diào)研]已知

a

＞

b

＞0，則(

AC

)C.a3－b3＞2(a2b－ab2)AC例1訓(xùn)練1例2例3訓(xùn)練2

例1訓(xùn)練1例2例3訓(xùn)練2

例1訓(xùn)練1例2例3訓(xùn)練2命題點(diǎn)2

不等式的性質(zhì)及其應(yīng)用

角度1

不等式的性質(zhì)例2

(1)[全國(guó)卷Ⅱ]若

a

＞

b

，則(

C

)A.ln(a－b)＞0B.3a＜3bC.a3－b3＞0D.｜a｜＞｜b｜[解析]

解法一由函數(shù)

y

＝lnx

的圖象(圖略)知，當(dāng)0＜

a

－

b

＜1時(shí)，ln(

a

－

b

)＜

0，故A不正確；因?yàn)楹瘮?shù)

y

＝3

x

在R上單調(diào)遞增，所以當(dāng)

a

＞

b

時(shí)，3

a

＞3

b

，故B不

正確；因?yàn)楹瘮?shù)

y

＝

x

3在R上單調(diào)遞增，所以當(dāng)

a

＞

b

時(shí)，

a

3＞

b

3，即

a

3－

b

3＞0，

故C正確；當(dāng)

b

＜

a

＜0時(shí)，｜

a

｜＜｜

b

｜，故D不正確.故選C.C解法二當(dāng)

a

＝0.3，

b

＝－0.4時(shí)，ln(

a

－

b

)＜0，3

a

＞3

b

，｜

a

｜＜｜

b

｜，故排除

A，B，D.故選C.例1訓(xùn)練1例2例3訓(xùn)練2(2)[多選/2023湖南省邵陽(yáng)二中模擬]如果

a

，

b

，

c

滿足

c

＜

b

＜

a

，且

ac

＜0，那么

下列結(jié)論一定正確的是(

ACD

)A.ab＞acB.cb2＜ab2C.c(b－a)＞0D.ac(a－c)＜0[解析]由

c

＜

b

＜

a

，且

ac

＜0，得

a

＞0，

c

＜0.對(duì)于A，由

c

＜

b

，

a

＞0得

ac

＜

ab

，故A正確.對(duì)于B，取

c

＝－1，

b

＝0，

a

＝1，顯然B不一定正確.對(duì)于C，

b

－

a

＜0，

c

＜0，故

c

(

b

－

a

)＞0，故C正確.對(duì)于D，

ac

＜0，

a

－

c

＞0，故

ac

(

a

－

c

)＜

0，故D正確.故選ACD.ACD例1訓(xùn)練1例2例3訓(xùn)練2方法技巧判斷不等式是否成立的常用方法(1)利用不等式的性質(zhì)驗(yàn)證，應(yīng)用時(shí)注意前提條件；(2)利用特殊值法排除錯(cuò)誤選項(xiàng)，進(jìn)而得出正確選項(xiàng)；(3)根據(jù)式子特點(diǎn)，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷.例1訓(xùn)練1例2例3訓(xùn)練2

A.(－3，－1)C.(－2，－1)

A例1訓(xùn)練1例2例3訓(xùn)練2(2)[2024湖北孝感部分學(xué)校模擬]已知實(shí)數(shù)

a

，

b

滿足－3≤

a

＋

b

≤2，－1≤

a

－

b

≤4，則3

a

－2

b

的取值范圍為

?.

[－4，11]

例1訓(xùn)練1例2例3訓(xùn)練2方法技巧利用不等式性質(zhì)可以求某些代數(shù)式的取值范圍，解決的方法是先利用待定系數(shù)法建

立所求范圍的整體與已知范圍的整體的等量關(guān)系，再利用不等式的性質(zhì)求解.例1訓(xùn)練1例2例3訓(xùn)練2

A例1訓(xùn)練1例2例3訓(xùn)練2

例1訓(xùn)練1例2例3訓(xùn)練2(2)[多選/2024山東省鄄城縣第一中學(xué)模擬]已知

a

，

b

，

c

∈R，則下列命題為真命題

的是(

ABC

)A.若bc2＜ac2，則b＜aABC例1訓(xùn)練1例2例3訓(xùn)練2

例1訓(xùn)練1例2例3訓(xùn)練2

1.[命題點(diǎn)1/多選/2024黑龍江哈爾濱模擬]已知偶函數(shù)

f

(

x

)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，

且

f

(－1)＝0.若

a

＝

f

(20.7)，

b

＝

f

(0.5－0.9)，

c

＝

f

(log0.70.9)，則(

ACD

)A.b2＞a2D.b＞a＋cACD12

12

B.｜a｜＋b＞0D.lna2＞lnb2AC12

121.[2024四川廣安模擬]已知

P

＝

a

2＋3，

Q

＝4

a

－1，則

P

，

Q

的大小關(guān)系是(

A

)A.P≥QB.P＞QC.P≤QD.P＜Q[解析]

P

＝

a

2＋3，

Q

＝4

a

－1，

P

－

Q

＝

a

2＋3－4

a

＋1＝(

a

－2)2≥0，故

P

≥

Q

，故選A.A1234567891011121314152.[2022上海高考]已知實(shí)數(shù)

a

，

b

，

c

，

d

滿足：

a

＞

b

＞

c

＞

d

，則下列選項(xiàng)中正確

的是(

B

)A.a＋d＞b＋cB.a＋c＞b＋dC.ad＞bcD.ac＞bd[解析]對(duì)于選項(xiàng)A，如取

a

＝4，

b

＝3，

c

＝2，

d

＝－4，此時(shí)

a

＋

d

＜

b

＋

c

，故

A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，

a

＋

c

＞

b

＋

c

＞

b

＋

d

，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，D，如取

a

＝4，

b

＝－1，

c

＝－2，

d

＝－3，此時(shí)

ad

＜

bc

，

ac

＜

bd

，故C，D錯(cuò)誤.故選B.B1234567891011121314153.[2024陜西西安模擬]若

a

＜

b

＜0＜

c

＜

d

，則(

C

)A.ac＜adB.a－c＞b－d

C123456789101112131415

A.m＜n＜pB.n＜m＜pC.p＜m＜nD.p＜n＜m

A1234567891011121314155.[2024山東煙臺(tái)模擬]已知

x

＞

y

＞

z

，

x

＋

y

＋

z

＝0，則下列不等式成立的是

(

B

)A.xy＞yzB.xy＞xzC.xz＞yzD.x｜y｜＞｜y｜z[解析]因?yàn)?/p>

x

＞

y

＞

z

，

x

＋

y

＋

z

＝0，所以

x

＞0，

z

＜0，

y

的符號(hào)無(wú)法確定.對(duì)于A，由題意得

x

＞

z

，若

y

＜0，則

xy

＜0＜

yz

，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)?/p>

y

＞

z

，

x

＞0，所以

xy

＞

xz

，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?/p>

x

＞

y

，

z

＜0，

所以

xz

＜

yz

，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)｜

y

｜＝0時(shí)，

x

｜

y

｜＝｜

y

｜

z

，故D錯(cuò)誤.故選B.B1234567891011121314156.[2024廣西柳州模擬]一般認(rèn)為，民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積，但窗戶

面積與地板面積的比應(yīng)該不小于10％，而且這個(gè)比值越大，采光效果越好.若同時(shí)增

加相同的窗戶面積和地板面積，公寓的采光效果(

B

)A.變壞了B.變好了C.不變D.無(wú)法判斷B123456789101112131415

1234567891011121314157.[多選]若

a

＞0＞

b

＞－

a

，

c

＜

d

＜0，則下列結(jié)論正確的是(

BCD

)A.ad＞bcC.a－c＞b－dD.a(d－c)＞b(d－c)

BCD1234567891011121314158.[多選]若

a

＞0，

b

＞0，則使

a

＞

b

成立的充要條件是(

ABD

)A.a2＞b2B.a2b＞ab2

ABD1234567891011121314159.[多選/2024安徽模擬]已知2＜

x

＜3，－2＜

y

＜1，則下列選項(xiàng)正確的是(

CD

)B.2＜xy2＜12C.－6＜xy＜3D.3＜2x－y＜8

CD12345678910111213141510.[2024安徽省淮南市模擬]已知1≤

a

－

b

≤2，2≤

a

＋

b

≤4，則4

a

－2

b

的取值范

圍是

?.

[5，10]

123456789101112131415

A.a＜b＜cB.c＜b＜aC.c＜a＜bD.b＜a＜c

B

123456789101112131415

A.①B.②C.③D.④C123456789101112131415[解析]設(shè)原價(jià)為1，對(duì)于①，降價(jià)后的價(jià)格為(1－

a

％)(