西工大821自動控制原理-4習題及答案-第四章 根軌跡法習題及答案

西工大821自動控制原理

第四章根軌跡法習題及答案

4-1系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

K*

G(S)H(S)=

(5+1)(5+2)(5+4)

試證明點4=-1+八Q在根軌跡上，并求出相應

的根軌跡增益K*和開環(huán)增益Ko

解若點4在根軌跡上，則點4應滿足相角條

件NG(s)H(s)=±(2攵+1)乃，如圖解4-1所示。

對于s=T+/JJ,由相角條件

ZG(5I)//(51)=

O-Z(-l+；V3+1)-Z(-1+jV3+2)-Z(-l+jV3+4)=

71冗兀

()------------------------=—7T

236

滿足相角條件，因此邑=-1+/、存在根軌跡上。將邑代入幅值條件：

|G(5.)/7(51)|

|-1+jV3+l|-|-l+JA/3+2|-|-1+j>/3+4|

K*3

解出：K*=12,K=—=-

82

4-2已知開環(huán)零、極點如圖4-22所示，試繪制相應的根軌跡。

(a)(b)(c)(d)

j

題4-22圖開環(huán)零、極點分布圖

解根軌如圖解4-2所示:

4-3已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，試概略繪出系統(tǒng)根軌跡。

K

(1)G(s)=-------------------------

5(0.25+1X0.55+1)

K'(s+5)

⑵G(s)

s(s+2)(5+3)

K(s+1)

⑶G(s)=

s(2s+1)

K______10K

解⑴G(s)=

s(0.2s+l)(0.5s+l)s(s+5)(s+2)

系統(tǒng)有三個開環(huán)極點：P]=0,〃2=-2,〃3=-5

圖4-3(。根軌跡圖

①實軸上的根軌跡：

(-00,-5],[-2,0]

0-2-57

O"..—,—

"33

②漸近線：?

(2%+1)),71

(p=--------=±-

a"33

③分離點：

111

—+-----+-----=0

dd+5d+2

解之得：[=-0.88,d2-3.7863(舍去)。

④與虛軸的交點：特征方程為0(5)=?+752+105+10^=0

2

盡\Re[D(ja))]=-7co+102=0

Im[D(j<y)]=-co3-106y=0

解得什屈

k=l

與虛軸的交點(0,±V10j)o根軌跡如圖解4-3(a)所

ZjSo

⑵根軌跡繪制如下：

①實軸上的根軌跡：[-5,-3],[—2,0]圖"3(b)根軌跡圖

_0-2-3-(-5)

2

②漸近線:

(2七+1)乃71

----------=±—

2--2

1111

③分離點:—I1

dd+2d+3d+5

用試探法可得d=-0.886,根凱跡如圖解4-3(b)所示。

S4-3(c)根軌跡圖

K(s+1)K(s+1)

(3)G(s)=

s(2s+1)2s(s+；)

根軌跡繪制如下:

①實軸上的根軌跡:(-x-1],[-0.5,0]

111

②分離點：-1----=---

dd+0.5d+1

解之得：J=-0.293,J=-1.707o根軌跡如圖解4-3(c)所示。

4-4已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，試概略繪出相應的根軌跡。

K*(s+2)

(1)G(s)

(5+1+J2)(5+1-J2)

K*G+20)

(2)G(s)

^+10+710)(5-10-J10)

K*(s+2)

解⑴G(s)=

(s+l+/2)(s+l-/2)

根軌跡繪制如下：

①實軸上的根軌跡：(-00-2]

圖4-4Q)根軌跡圖

②分離點：—!一+一!一=_!_

4+1+/2d+\-j2d+2

解之得：d=-4.23

③起始角：

=180,+63.4350-90“=153.43°

0Pn\

由對稱性得另一起始角為-153.43°。

根軌跡如圖解4-4(a)所示。

小~、K*(s+20)

(2)G(s)=------------------------------------

5(5+10+；1OX^+1O-J1O)

系統(tǒng)有三個開環(huán)極點和一個開環(huán)零點。

根軌跡繪制如下：

①實軸上的根軌跡：[-20,0]圖解4-4G)根軌跡圖

②起始角：9=180,+45°-90°-135°=0。

根軌跡如圖解4-4(b)所示。

4-5已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，試概略繪出相應的根軌跡。

K"

⑴G(s)〃(s)=

5(52+85+20)

IC

G(s)H(s)=

s(s+l)(s+2)(s+5)

K*(s+2)

⑶G(s)"(s)=

s(s+3)(s~+2s+2)

K*(s+1)

(4)G(s)H(s)=

5(15-1)(52+45+16)

K*

解⑴G(s)H(s)=

s(s~+8s+20)

①實軸上的根軌跡：(-8,0]

②漸近線:

0+(-4+/2)+(-4-/2)8

33

(2k+1)乃,n

(Pa=---------=±-，乃

33

111

③分離點:-H-------------H--------------=0

dd+4+J2d+4-j2

解之得：d=—2,d=—3.33。

④與虛軸交點：O(S)=S3+8S2+20S+K*

把5=/口代入上方程，整理，令其實、虛部分別為零得:

Re(O(/0))=K*-8<y2=0

Im(D(jco))=20<y-<y3=0

co=0co=±245

解得:

IC=0K*=160

⑤起始角：由相角條件epi=-63°,9p、=63、

根軌講如圖解4-5(a)所示c

K?

(2)G(s)”(s)=

s(s+l)(s+2)(s+5)

①實軸上的根軌跡：[—5,—21[-1,0]

0+(-5)+(-2)+(-1)=_2

②漸近線:4

(22+1)%,冗3兀

-----------=±—,—

444

1111

③分離點:----卜---------------1------=---0

dd+\d+2d+5

解之得：4=-4.06,內=-0.399,4=-1.54(舍去);

④與虛軸交點：

D(s)=s4+8s*+17s2+10s+K*

令s=，y,帶入特征方程，令實部，虛部分別為零

Re(D(?)=<y4-8^2+2AT*=0

Im(O(/3))=(6+K')?-5G°=0

圖4-5(b)根軌跡圖

69=0\co=±1.12

解得:

K*=0[K^=19.7

根軌跡如圖解4?5(b)所示。

K'(s+2)

(3)G(s)H(s)=

s(s+3)(52+2s+2)

系統(tǒng)有四個開環(huán)極點、一個開環(huán)零點。根軌跡繪制如下:

①實軸上的根軌跡：[-x-3],[-2,0]

②漸近線:“3

(2々+1)笈j

(p=-------------=±—,乃

a33

③與虛軸交點：閉環(huán)特征方程為

O(s)=5(5+3XS2+2s+2)+K*(s+2)

把S=代入上方程，令

Re(O(網)=6?-8口2+2K*=0

Im(D(yd>))=(6+K4)(o-5co3=0

(o=0(D=±1.61

解得:

IC=0K，=7.03

④起始角

%=180。+45。-90。-135。-25.57。=-25.57。

根軌跡如圖解4-5(c)所示。

/r(s+i)

(4)G(s)H(s)=

s(s-1)(52+45+16)

系統(tǒng)根軌跡繪制如下:

①實軸上的根軌跡：[一8,-1][0,1]

_1+(-2+；V3)+(-2-；V3)-(-1)_2

cyn——

漸近線：.“33

(2k+1)乃j

中a=q=±產

11111

③分離點:----1-----------1-----------產H------------------

dd-\J+2-J2V36/4-2+J2V3d+1

解得：dA=-2.26,J2=0.49,J3,4=-0.76±72.16(舍去)

④與虛軸交點：閉環(huán)特征方程為

D(s)=5(5-1)(52+4s+16)+K*(s+1)=0

把S="y代入上方程，整理，令實虛部分別為零得：

Re(D(?)=d>4-12zw2+Ar*=0

(

Im(D(/M)-(K*-16)0-3,-0

d)=0(co=±1.38[co=±2.66

解得：4.

K4=0[Kv=21.7[AT*=37.3

⑤起始角：

0=180+106..1°-90-120J-130..89c=-54..79°

Pni

圖4-5(d)根軌跡圖

由對稱性得，另一起始角為54.79°,根軌跡如圖解4-5(d)所示。

4-6已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，要求:

K*(s+z)

(1)確定G(s)=產生純虛根為土川的z值和K"值;

52(5+10)(5+20)

(2)概略繪出G(s)=的閉環(huán)根軌跡圖(要求

5(5+1)(5+3.5)(s+3+72)(5+3-J2)

確定根軌跡的漸近線、分離點、與虛軸交點和起始角)。

解(1)閉環(huán)特征方程

O(s)=52(5+10X5+20)+K*(s+z)=/+30s3+200§2+K*s+K*z=0

有D(jco)=(/_20002+K，Z)+30])=0

04-2(W+K*Z=0

令實虛部分別等于零即:

K%—3癡=0

把3=1代入得:K*=30,z=199/30o

（2）系統(tǒng)有五個開環(huán)極點:

P\=。，〃2=T，P3=-3.5,凡=-3+72,p5=-3-j2

?實軸上的根軌跡：[-00-3.5],[-1,0]

-1-3.5(-3；2)(-3-；2)

+++-2.1

“5

②漸近線:

(2%+1)47t,37r

冉=-—=土寸土彳/

分離點:-——=0

dd+1"3.5d+3-j21+3+J2

解得：4=-0.45,4—24（舍去），/、4=-3.25±jl.90（舍去）

④與虛軸交點：閉環(huán)特征方程為

O(s)=s(s+1)(5+3.5)(s+3+72)(5+3—j2)+K，=0

把$=代入上方程，整理，令實虛部分別為零得:

Re（j^）=K"+10.5/-79.5〃=0

co-43.5"+45.5。=0

解得:

69=0d>=±1.02co=±6.52

(舍去)

K*=0K*=71.9()'K*=-15546.3

⑤起始角：根據法則七（相角條件），根軌跡的起始角為

圖解4-6根軌跡圖

0n=180-75..96-90-135-146.3=92?74

由對稱性得，另一起始角為92.74、根軌跡如圖解4-6所示。

4-7已知控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

K%s+2)

G(s)H(s)=

(s2+4s+9產

試概略繪制系統(tǒng)根軌跡。

解根軌跡繪制如下：

①實軸上的根軌跡：[-00-2]

②漸近線：

(J

圖解4-7根軌跡圖

221

③分離點:-------------------------產=-----

d+2+jy/5d+2-jyl5d+2

解之得：d=-3.29d=0.71(舍去)

④與虛軸交點：閉環(huán)特征方程為

D(s)=(52+4s+9)2+K*(s+2)=0

把$=代入上方程，令

Re(D(?)=co4-3432+81+2K*=0

Im(O(加))=(72+K4)(o-腦3=0

解得；

co=+V2T

K*=96

⑤起始角：90°—(29〃P\一2x90°)=(2k+1)乃

解出〃=45°,。，=一135"

P\〃2

根軌跡如圖解4-7所示。

4-8已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

s(s2+3s+9)

試用根軌跡法確定使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的升壞增益K值范

圍。

解根軌跡繪制如下：

①實軸上的根軌跡：(-oo,0]

②起始角：-30°

-6

-1.5+J2.6-1.5-12.6

"I-

③漸近線:

(2k+1)斤i1

--------=±-，4

33

④與虛軸交點：閉環(huán)特征方程

圖解4-8根軌跡圖

D(5)=5(52+5-F9)+/C*=0

把5=/口代入上方程，整理，令實虛部分別為零得:

Re(D(jey))=AT*-3<y2=0

Im(Z)(jty))=9co-co3=0

(o=06?=±3

解得:

K"=0IC=27

根軌跡如圖解4-8所示。從根軌跡圖可知，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的K*范圍為0<K"<27,又

K=K”9,故相應的的K范圍為0vKv3。

4-9單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

G(s)—一

(S+l)2(；S-1)

試繪制系統(tǒng)根軌跡，并確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍。

解根軌跡繪制如下：

①實軸上的根軌跡：［0.5,7/4］

②漸近線：

-l-l+7/4-(-0.5)1

(ya=-------------------------=—

,24

(2k+\)7t汽

(p=-----------=±-

I“a22

③與虛軸交點：閉環(huán)特征方程為

+#+(2爪一學$+K-i=o

把5=代入上方程，令

17

Re(O(加))=K-］一心=0

in4

Im(D(j<y))=(2K--^)CD--CO3=0

60=0co=±A/2

解得:

K=\K0=—9

7

根軌跡如圖解4-9所示。由圖解小9可知使系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍為l<K<9/7。

4-10單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

K*Gy2_2s+5)

G(s)=

(5+2X5-0.5)

試繪制系統(tǒng)根軌跡，確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍。

解根軌跡繪制如下：

①實軸上的根軌跡：[-2,0.5]

②分離點：由

1111

--------1------=-----------1----------

d-0.5d+2d-\+j2d-\-j2

解得：d,=-0.41o

③與虛軸交點：

D(s)-(s+2)(5-0.5)+/T($2+2s+5)-0

把s二jG代入上方程，令

Re(O(網)=-(1+K*)〃+5K*-1=0

V

Im(D(jty))=(1.5-2^*)6)=0

69=0[co=±1.25圖解4-10根疑跡圖

解得：..

A：=0.2K=0.75

根軌跡如圖解4-10所示。由圖解4-10可知系統(tǒng)穩(wěn)定的K*值范圍為0.2<K*<0.75；又

K=5K\所以系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍為lvK<3.75。

4-11試繪出下列多項式方程的根軌跡。

(1)53+2s24-3s+Ks+2K=0；

(2)53+352+(/C+2)5+10X：=0

解(1)S3+2S2+3S-^-KS+2K=0

作等效開環(huán)傳遞函數(shù)G*(s)=

s+2s+3s

根軌跡繪制如下：

①實軸上的根軌跡：[-2,0]

②漸近線：

-1+JV2+(-1-JV2)-(-2)__

Oa=-U

2

(2k+1)%

8a±-

22

③起始角:

以=180+54.74。-90'-125.26』9.48。

根軌跡如圖解4-11(a)所示。

圖解4/1(a)根軌跡圖

(2)/+31+(K+2)S+10K=0

作等效開環(huán)傳遞函數(shù)G*(s)=/”⑼

s'+3s+2s

根軌跡繪制如下：

①實軸上的根軌跡：[-10,-2],[-1,0]；

”2-(TO)=3.5

“2

②漸近線:

(2k+1)乃,71

(p==±-

a02-------2

1111

③分離點:—+--------4--

dd+\d+2d+10

解得

圖解4-11(b)根軌跡圖

4=-0.4344&=-14.4752(舍)，d3=-1.5904(舍)

④與虛軸交點：閉環(huán)特征方程為

D(s)=$3+3/+(K+2)s+1OK=O

把5可。代入上方程，整理，令實虛部分別為零得：

Re(O(/0))=lOK-3G2二。

<

Im(D(Jcy))=(K+2)co-a)3=0

試根可得:

co=±1.69

3=0

06

K=0K=—

7

根軌跡如圖解4-11(b)所示。

4-12控制系統(tǒng)的結構如圖4-23所示，試概略繪制其根軌跡。

解系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為

R(s)

,K(s+1)C(s)

----

(s+2)3

圖4-23系繡吉構圖

K*(s+1)

G(s)=

($+2)3

此系統(tǒng)為正反饋系統(tǒng)，應繪零度根軌跡。

①實軸上的根軌跡:[-OO-2],[-1,-K>O]

31

②分離點：

d+2d+1

解得J=-0.5

③起始角：根據相角條件,

工化一工3=2k兀

M；=1

得以=60"%=/)。，”=180、

根軌跡如圖解4-12所示。

4-13設單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

G")=

s(s+2)

試繪制其根軌跡，并求出使系統(tǒng)產生重實根和純虛根的K?值。

解由開環(huán)傳遞函數(shù)的表達式知需繪制0°根軌跡。

①實軸上的根軌跡：[-2,0][1,+oo)；

②分離點：-+—

dd+2d-\

解得：[=-0.732,d2=2.732

將s=&=-0.732,s=d2=2.732代入幅值條件得

-=0.54,K&=7.46

③與虛軸交點：閉環(huán)特征方程為

￡>(s)=s(s+2)+K*(1-s)=0

把S=代入上方程，整理，令實虛部分別為零得:

Re(D(jco))=-a)2+K4=0

V

Im(O(四))=(2—K*)G=0

co=0\co=±1.41圖解4-13根軌跡圖

解得:

K*=01K*=2

根軌跡如圖解4-13所示，復平面上的根軌跡為以開環(huán)零點為圓心，開環(huán)零點到分離點的距

離為半徑的圓。系統(tǒng)產生重實根的K*為0.54,7.46,產生純虛根的K/為2。

414己知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，試繪制參數(shù)〃從零變化到無窮大時的根軌跡,

并寫出h=2時系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)。

20

(1)G(5)=

(s+4)(s+b)

30(5+b)

(2)G(s)=

5(5+10)

解(1)做等效開環(huán)傳遞函數(shù)

b(s+4)

s2+45+20

①實軸上的根軌跡：(-00,^]

11

分離點:----------H-----------

d+2+J4d+2-J4

解得：&=—0.472(舍去)，d2=8.472

如圖解4-14(a)所示，根軌跡為以開環(huán)零點為圓心，開環(huán)零點到開環(huán)極點的距離為半徑的圓。

當人=2時，兩個閉環(huán)特征根為42=一3±/4.24。

此時閉環(huán)傳遞函數(shù)為

20

①(5)=

(s+3+；4.24)(5+3-J4.24)

(2)做等效開環(huán)傳遞函數(shù)G.(s)=一

s(s+40)

①實軸上的根軌跡：[-40.-0]

②分離點：-+—^=0

dd+40

圖解4-14(b)根軌跡圖

解得：J=-20

根軌跡如圖解4-14(b)所示，

當力=2時，兩個閉環(huán)特征根為4=-38.44,22=-1.56

此時閉環(huán)傳遞函數(shù)為

30(5+2)

①⑸=

(5+1.56X^+38.44)

4-15已知系統(tǒng)結構圖如圖4-24所示，試繪制時間常數(shù)7變化時系統(tǒng)的根軌跡，并分析

參數(shù)T的變化對系統(tǒng)動態(tài)性能的影響。

100

解:G(s)=

7V+S2+20S

作等效開環(huán)傳遞函數(shù)

1/T(52+205+100)

G"(s)=

T

圖4-24系統(tǒng)結構圖

根軌跡繪制如下:

①實軸上的根軌跡：(-00,-10],[-10,0]

3二2

②分離點:

廠d+10

解得4=-30。

根據幅值條件，對應的7=0.015。

③虛軸交點：閉環(huán)特征方程為

D(s)=7s3+s1+20$4-1OO=O

把S=代入上方程，整理，令實虛部分別為零得：

Re(￡)(/?))=IO。-。？=0

V

Im(D(jey))=20G-Teo3=0

…-?=±10

解得：,

[T=0.2

④起始角：0Pi=60°

參數(shù)7從零到無窮大變化時的根軌跡如圖解4-15所示。

從根軌跡圖可以看出，當0VTW0.015時，系統(tǒng)階躍響應為單調收斂過程；

0.015vT<0.2時，階躍響應為振蕩收斂過程；7>0.2時，有兩支根軌跡在s右半平面,

此時系統(tǒng)不穩(wěn)定v

4-16實系數(shù)特征方程

A(J)=+5s2+(6+a)s+。=0

要使其根全為實數(shù)，試確定參數(shù)〃的范圍。

解作等效開環(huán)傳遞函數(shù)

a(s+1)a(s+1)

G(s)=

53+552+6ss(s+2)(5+3)

當。>0時，需繪制180。根軌跡。

①實軸上的根軌跡：[-3-2],[-1,0]

-2-3+1c

--------=—2

3-1

②漸近線:

(2k+1)打、冗

---------=±-

3-1~2

③分離點：

1111

—+----+-----=1

d4+2d+3c/+1

解得d=-2.47

分離點處的根軌跡增益可由幅值條件求得：

*\dV[d+2M+3|

K*d=U----=0.4147

d+\

根據以上計算，可繪制出系統(tǒng)根軌跡如圖所示。由

根軌跡圖解4-16(a)可以看出，當0.4147時，多項式的根全為實數(shù)。

當°<0時，需繪制0”根軌跡。實軸上的根軌跡區(qū)段為：(-00-3],[-2-1],[0,8)。

由根軌跡圖圖解4-16(b)可以看出，當時，多項式的根全為實數(shù)。因此所求參數(shù)。

的范圍為0工。40.4147或。<0。

4-17某單位反饋系統(tǒng)結構圖如圖4-25所示，試分別繪出控制器傳遞函數(shù)G/s)為

⑴G式s)=K"

-國生-

⑵GC2(S)=K(5+3)-T---1-

⑶GC3(S)=K'(S+1)

時系統(tǒng)的根軌跡，并討論比例加微分控制器圖4-25系統(tǒng)結構圖

G,(s)=K'(s+z,)中，零點-z,的取值對系統(tǒng)穩(wěn)定性

的影響。

解⑴G,G)=K*時

系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)=$2：+2

根軌跡繪制如下：

①實軸上的根軌跡：(-oo,-2]

-22

(J=—=—

a"33圖解417(a)根軌跡圖

②漸近線:

(2k+V\7v,n

(pa=--------=±—，用

“333

根軌跡如圖解4-17(a)所示。2

(2)GC2(S)=K“(S+3)；

系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)=,根軌跡繪制如下:

①實軸上的根軌跡：[-3-2]

-2-(-3)1

<T?=---------=—

②漸近線：,20Z?

(24+

根軌跡如圖解4/7(b)所示。

(3)Gc3(S)=K'(s+1)

系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)=f(S+D

S2(S+2)

根軌跡繪制如下:

①實軸上的根軌跡：

2-(-1)1

I=——圖解4-17(c)根軌跡圖

22

②漸近線:

k+1)%,7T

2~2

根軌跡如圖解4-17(c)所示。

從根軌跡圖中可以看出，比例加微分控制器G,(s)=K\s+zc)的加入使根軌跡向左移

動，且當|z』v|p|時系統(tǒng)趨于穩(wěn)定，附加開環(huán)零點越靠近虛軸這種趨勢越強。

4-18某單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

試根據系統(tǒng)根軌跡分析系統(tǒng)穩(wěn)定性，并估算b%=16.3%時的K值。

根軌跡繪制如下：

①實軸的根軌跡：實軸上的除點-2外沒有根軌

圖解4-18根軌跡圖

-2-2-2