高中數(shù)學 1.2.2 第1課時組合(一)同步測試 新人教A版選修2-3

【成才之路】-學年高中數(shù)學1.2.2第1課時組合(一)同步測試新人教A版選修2-3一、選擇題1．若Ceq\o\al(x,6)＝Ceq\o\al(2,6)，則x的值為()A．2 B．4C．4或2 D．3[答案]C[解析]由組合數(shù)性質(zhì)知x＝2或x＝6－2＝4，故選C.2．(·陜西理，6)從正方形四個頂點及其中心這5個點中，任取2個點，則這2個點的距離不小于該正方形邊長的概率為()A．eq\f(1,5) B．eq\f(2,5)C．eq\f(3,5) D．eq\f(4,5)[答案]C[解析]如圖，基本事件共有Ceq\o\al(2,5)＝10個，小于正方形邊長的事件有OA、OB、OC、OD共4個，∴P＝1－eq\f(4,10)＝eq\f(3,5).3．(·寶雞中學高二期末)Ceq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,4)＋…＋Ceq\o\al(2,16)等于()A．Ceq\o\al(2,15) B．Ceq\o\al(3,16)C．Ceq\o\al(3,17) D．Ceq\o\al(4,17)[答案]C[解析]原式＝Ceq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,4)＋…＋Ceq\o\al(2,16)＝Ceq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(2,4)＋…＋Ceq\o\al(2,16)＝Ceq\o\al(3,5)＋Ceq\o\al(2,5)＋…＋Ceq\o\al(2,16)＝…＝Ceq\o\al(3,16)＋Ceq\o\al(2,16)＝Ceq\o\al(3,17).4．平面上有12個點，其中沒有3個點在一條直線上，也沒有4個點共圓，過這12個點中的每三個作圓，共可作圓()A．220個 B．210個C．200個 D．1320個[答案]A[解析]Ceq\o\al(3,12)＝220，故選A.5．從6名男生和2名女生中選出3名志愿者，其中至少有1名女生的選法共有()A．36種 B．30種C．42種 D．60種[答案]A[解析]解法1(直接法)：選出的3名志愿者中含1名女生有Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(2,6)種選法，含2名女生有Ceq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(1,6)種選法，∴共有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,6)＋Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,6)＝36種選法．解法2(間接法)：若選出的3名全是男生，則有Ceq\o\al(3,6)種選法，∴至少有一名女生的選法數(shù)為Ceq\o\al(3,8)－Ceq\o\al(3,6)＝36種．6．將標號為1、2、3、4、5、6的6張卡片放入3個不同的信封中，若每個信封放2張卡片，其中標號為1、2的卡片放入同一信封，則不同的放法共有()A．12種 B．18種C．36種 D．54種[答案]B[解析]由題意，不同的放法共有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,4)＝3×eq\f(4×3,2)＝18種．二、填空題7．方程Ceq\o\al(x,17)－Ceq\o\al(x,16)＝Ceq\o\al(2x＋2,16)的解集是________．[答案]{5}[解析]因為Ceq\o\al(x,17)＝Ceq\o\al(x,16)＋Ceq\o\al(x－1,16)，所以Ceq\o\al(x－1,16)＝Ceq\o\al(2x＋2,16)，由組合數(shù)公式的性質(zhì)，得x－1＝2x＋2或x－1＋2x＋2＝16，得x1＝－3(舍去)，x2＝5.8．從一組學生中選出4名學生當代表的選法種數(shù)為A，從這組學生中選出2人擔任正、副組長的選法種數(shù)為B，若eq\f(B,A)＝eq\f(2,13)，則這組學生共有________人．[答案]15[解析]設(shè)有學生n人，則eq\f(A\o\al(2,n),C\o\al(4,n))＝eq\f(2,13)，解之得n＝15.9．7名志愿者中安排6人在周六、周日兩天參加社區(qū)公益活動．若每天安排3人，則不同的安排方案共有________種．(用數(shù)字作答)[答案]140[解析]第一步安排周六有Ceq\o\al(3,7)種方法，第二步安排周日有Ceq\o\al(3,4)種方法，所以不同的安排方案共有Ceq\o\al(3,7)Ceq\o\al(3,4)＝140種．三、解答題10．平面內(nèi)有10個點，其中任何3個點不共線，(1)以其中任意2個點為端點的線段有多少條？(2)以其中任意兩個點為端點的有向線段有多少條？(3)以其中任意三個點為頂點的三角形有多少個？[解析](1)所求線段的條數(shù)，即為從10個元素中任取2個元素的組合，共有Ceq\o\al(2,10)＝eq\f(10×9,2×1)＝45(條)，即以10個點中的任意2個點為端點的線段共有45條．(2)所求有向線段的條數(shù)，即為從10個元素中任取2個元素的排列，共有Aeq\o\al(2,10)＝10×9＝90(條)，即以10個點中的2個點為端點的有向線段共有90條．(3)所求三角形的個數(shù)，即從10個元素中任選3個元素的組合數(shù)，共有Ceq\o\al(3,10)＝120(個)．一、選擇題11．(·大綱全國理，5)有6名男醫(yī)生、5名女醫(yī)生，從中選出2名男醫(yī)生、1名女醫(yī)生組成一個醫(yī)療小組，則不同的選法共有()A．60種 B．70種C．75種 D．150種[答案]C[解析]本題考查了分步計數(shù)原理和組合的運算，從6名男醫(yī)生中選2人有Ceq\o\al(2,6)＝15種選法，從5名女醫(yī)生選1人有Ceq\o\al(1,5)＝5種選法，所以由分步乘法計數(shù)原理可知共有15×5＝75種不同的選法．12．(·秦安縣西川中學高二期中)某城市的汽車牌照號碼由2個英文字母后接4個數(shù)字組成，其中4個數(shù)字互不相同英文字母可以相同的牌照號碼共有()A．(Ceq\o\al(1,26))2Aeq\o\al(4,10)個 B．Aeq\o\al(2,26)Aeq\o\al(4,10)個C．(Ceq\o\al(1,26))2104個 D．Aeq\o\al(2,26)104個[答案]A[解析]∵前兩位英文字母可以重復(fù)，∴有(Ceq\o\al(1,26))2種排法，又∵后四位數(shù)字互不相同，∴有Aeq\o\al(4,10)種排法，由分步乘法計數(shù)原理知，共有不同牌照號碼(Ceq\o\al(1,26))2Aeq\o\al(4,10)個．13．過三棱柱任意兩個頂點的直線共15條，其中異面直線有()A．18對 B．24對C．30對 D．36對[答案]D[解析]三棱柱共6個頂點，由此6個頂點可組成Ceq\o\al(4,6)－3＝12個不同四面體，而每個四面體有三對異面直線則共有12×3＝36對．二、填空題14．四個不同的小球放入編號為1、2、3、4的四個盒子中，則恰有一個空盒的放法共有________種(用數(shù)字作答)．[答案]144[解析]先從四個小球中取兩個放在一起，有Ceq\o\al(2,4)種不同的取法，再把取出的兩個小球與另外兩個小球看作三堆，并分別放入四個盒子中的三個盒子中，有Aeq\o\al(3,4)種不同的放法，據(jù)分步計數(shù)原理，共有Ceq\o\al(2,4)·Aeq\o\al(3,4)＝144種不同的放法．[點評]對于排列組合的混合應(yīng)用題，一般解法是先選(組合)后排(排列)．15．某書店有11種雜志，2元1本的有8種，1元1本的有3種．小張買雜志用去10元錢，則不同買法的種數(shù)為________(用數(shù)字作答)．[答案]266[解析]由已知分兩類情況：(1)買5本2元的買法種數(shù)為Ceq\o\al(5,8).(2)買4本2元的、2本1元的買法種數(shù)為Ceq\o\al(4,8)·Ceq\o\al(2,3).故不同買法種數(shù)為Ceq\o\al(5,8)＋Ceq\o\al(4,8)·Ceq\o\al(2,3)＝266.三、解答題16．(1)解方程：Aeq\o\al(3,m)＝6Ceq\o\al(4,m)；(2)解不等式：Ceq\o\al(x－1,8)>3Ceq\o\al(x,8).[解析](1)原方程等價于m(m－1)(m－2)＝6×eq\f(mm－1m－2m－3,4×3×2×1)，∴4＝m－3，m＝7.(2)由已知得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1≤8,x≤8))，∴x≤8，且x∈N＋，∵Ceq\o\al(x－1,8)>3Ceq\o\al(x,8)，∴eq\f(8！,x－1！9－x！)>eq\f(3×8！,x！8－x！).即：eq\f(1,9－x)>eq\f(3,x)，∴x>3(9－x)，解得x>eq\f(27,4)，∴x＝7,8.∴原不等式的解集為{7,8}．17．已知集合A＝{a1，a2，a3，a4}，B＝{0,1,2,3}，f是從A到B的映射．(1)若B中每一元素都有原象，則不同的映射f有多少個？(2)若B中的元素0無原象，則不同的映射f有多少個？(3)若f滿足f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＋f(a4)＝4，則不同的映射f又有多少個？[解析](1)顯然映射f是一一對應(yīng)的，故不同的映射f共有Aeq\o\al(4,4)＝24個．(2)∵0